2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)第二冊教師用書（含習(xí)題測試）：6.1 平面向量的概念

教材過關(guān)

第六章平面向量及其應(yīng)用

6.1平面向量的概念

課標(biāo)要求核心素養(yǎng)

1.通過對力、速度、位移等

課的分析，了解平面向量的實(shí)

i.通過具體實(shí)例理解向量的概

林際背景.

念，培養(yǎng)教學(xué)抽象核心素養(yǎng).

解2.理解平面向量的意義和兩

2。通過向量的表示和關(guān)祭逐步

讀個向量相等的含義。

形成直觀想象核心素養(yǎng)。

3o理解平面向量的幾何表

示和基本要素.r重點(diǎn)）

精讀教材?必備知識

情境導(dǎo)學(xué)

禁航變母艦導(dǎo)彈發(fā)射處接到命令:向1200km處發(fā)射兩枚巡航

導(dǎo)彈（精度10m左右，射程超過2000km）。

問題1:導(dǎo)彈能否擊中軍事目標(biāo)？

窿答案導(dǎo)彈不一定擊中軍事目標(biāo)。

問題2:要使導(dǎo)彈擊中目標(biāo)，還需要知道什么條件？

窿答嚎需要知道口標(biāo)在于什么方向.

教材研讀

lo向量的概念

既有大小又有①空包的量叫做向量。

2.向量的表示

ri)幾何表示：用②直包邀邀表示向量，有向線段的長度表示

向量的③大小，有句線段的方向表示句量的④空包。

(2)代教表示：用小寫字母〃，仇c,…表示向量。

特別提醒

(1)小寫字母表示向量的注意點(diǎn)：印刷時用黑體，手寫時必

須加希?頭。

C2J有向線段可以表示向量，但是向量不能說成有向線段.

(3J向量可以自由平移，即具有平移性，而有向線段是固定

不動的。

(4)一條有向線段對應(yīng)著一個句量，但一個向量可以對應(yīng)著

無教條有向線段.

3.與向量有關(guān)的概念

名稱定義記法

向量靠

的

長度向量靠的大小|AB|

(或稱

模)

零向量長度為⑤Q_的句量0

單位向長度等于⑥L個單位長度

量的向量

相等向長度⑦相等且方向⑧相

—a=b

量同的向量

平行向方向②相同或相反的非

a〃b

量零向量

r或共

規(guī)定：零向量與任意向量

線0〃a

⑩平行

向量）

思考:向量中的“平行”與平面幾何中的“平疔'一樣嗎?

e提示不一樣，句量中的“平行”包括向量所在直線共線和平

行,而平面幾何中的“平行”指兩條直線平行.

互動探究?關(guān)鍵能力

探究一向量的有關(guān)概念

例1ri）r易錯題）下列說法中正確的是r）

Ao數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的句量可以比較大

Co向量的大小與方向有關(guān)

Do向量的?？梢员容^大小

（2）（多選題）下列說法中正確的是（）

A.若向量〃與力同向，且/b\,則力

Bo單位向量的模都相等

Co對于任意向量/=|瓦若〃與力的方向相同，則a=b

Do向量〃與向量力平行,則向量〃與力方向相同或相反

窿答案(1)D(2JBC

度解析ri)向量不能比較大小，故A,B不正確；向量的大小

即向量的模，指的是有向線段的長度,與方向無關(guān)，故C不正確；

向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，故D正確.

(2)因?yàn)橄蛄渴怯纱笮『头较騼蓚€因素來確定的，所以兩個

向量不能比較大小，故A不正確；

單位向量的模都是1,故B正確；

因?yàn)?〃/=|8/,且〃與力同向，由兩向量相等的條件，可得

a=b,故C正確；

若向量〃與向量力中有一個是零向量，則其方向不足，故D不

正確.

易錯點(diǎn)撥

1.到新一個量是不是向量的兩個關(guān)鍵條件：

ri)大小;(2)方句。這兩個條件缺一不可。

2.特殊向量的特殊性：

ri)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

(2J單核向量不一定相等，易忽略向量的方向；

(3)向量的模是長度，指的是大小，是數(shù)量。

3.常因零向量的方向不確定而到新失誤。

,跟蹤訓(xùn)練1

i-i下列說法中正確的是r

Ao零向量的長度為0

B.單伍句量都相等

Co向量就是有句線段

Do共線向量是左同一條直線上的向量

黛答案A零向量的長度等于0,故A正確；

因?yàn)閱挝幌蛄康姆较虿灰欢ㄏ嗤?，所以不一定相等，故B錯誤；

向量有兩個要素：大小與方向,向量可以平移，而有向線段還有起

點(diǎn)和終點(diǎn)，不可以平移，故C錯誤；

共線向量包括兩向量所在直線平行和兩向量在同一條直線上，

故D錯誤.

1-2下列說法中正確的有r)

①單位向量的長度大于零向量的長度；

②零向量與任一單位句量平行；

③因?yàn)橄嗟认蛄康南嗟汝P(guān)系具有傳遺性，所以平行向量的平行關(guān)

系也具有傳透性；

④因?yàn)橄嗟认蛄恳欢ㄊ瞧叫邢蛄?，所以平行向量也一定是相?/p>

向量。

Ao①②Bo②③Co②④D。③

金答案A①正確;②正確，零向量與任一向量平行;③錯誤，平

行向量的平行關(guān)系不具有傳遺性；④錯誤，平行向量不一定是相

等向量。

探究二向量的表示

例2在如圖所示的坐標(biāo)紙r每個小方格的邊長為1)上，

用直尺和圓規(guī)畫出下列句量：

(1)畫句量就，使版|=4奩，點(diǎn)A左點(diǎn)。北偏東45°方向；

(2)也向量荏，使|福=4,點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向；

(3J畫向量就，使I阮|=6,點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°方向。

O東

魔解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°方向，所以在生標(biāo)紙

上點(diǎn)A跖點(diǎn)O的橫向小方格教與紈向小方格教相等。又|明二4僖

小方格邊長為1,所以點(diǎn)、A跖點(diǎn)O的橫向小方格教與紈句小方格

教都為4,于是點(diǎn)A的位置可以確定，后出向量而，如圖所示。

(2)因?yàn)辄c(diǎn)B左點(diǎn)A的正東方向，且由|二4,所以左坐標(biāo)紙上點(diǎn)

B跖點(diǎn)A的橫向小方格教為4,紈句小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)B的

位置可以確定，后出向量甌如圖所示。

C3J因?yàn)辄c(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30。方向，且品|=6,依據(jù)勾股

定理可得，放士標(biāo)紙上點(diǎn)C跖點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3,紈向小方

格數(shù)為38丈5。2,于是點(diǎn)C的住置可以確定，畫出向量品，如圖

所示。

C

/

/

A/

/B

/

/

/

思維臾破

用有向線段表示向量的步驟

［定起點(diǎn)］---------［先確定向量的起點(diǎn)1

［定方向）---------［再確定向量的方向］

［定終點(diǎn)］---------［根據(jù)向量的長度確定向量的終點(diǎn)］

「跟蹤訓(xùn)練I

2-1已知飛機(jī)從A地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)B

地，再從B地按南偏東30。的方向飛行2000km到達(dá)C地，再從

C地按西南方向飛行1000ekm到達(dá)D地。

（1）作出向量同，BC,CD,布；

C2J問：D地在A地的什么方向？D地跖A地多運(yùn)？

e解析（1）由題意，作出向量同，阮，麗，DAf如圖所示。

⑵依題意知,△ABC為正三角形，所以AC=2000km.又因?yàn)?/p>

ZACD=45°,CD=1OOOMm,所以△ACD為等腰直角三角形，所

以AD=1000V2km,NCAD=45°,所以D也在A地的東南方向，跖

A地1000遮km。

探究三相等向量與平行向量

例3如圖,△ABC和△A'B'C'是左.各邊的己處相交的兩個全

等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長為a,圖中也出了長度均為三的

若干個向量，則

A

B'

BCC

A'

(1J與向量南相等的句量有;

(2)與向量而平行，且模相等的句量有;

(3)與向量嬴平行，且模相等的向量有.

簌答案(1)畝而

(2)M,LE^W^B,~HC

(3)阮而，前而，KBt

思維突破

尋找平行向量或相等向量的方法

(1)平行向量:看方向，先找與表示已知向量的有向線段平

行或共線的線段，再構(gòu)造同句與反向的句量.

提醒：不要漏掉以表示已知向量的有句線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，

起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。

(2)相等向量：先看大小再看方向，先找與表示已知向量的有

向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線.

?跟蹤訓(xùn)練］

3-1如圖所示,△ABC中，三邊長均不相等，E,F,D分別是AC,

AB,BC的中點(diǎn)。

(1)寫出與前共線的向量；

(2)寫出與加長度相等的句量；

(3J寫出與前相等的向量.

窿解析(1)：E,F分別是AC,AB的中點(diǎn),

/.EF/7BC,

?>(f/L>>/>_------>>>>>>>

??與EF線的FE^BD>DB,DC>CD^BC>CBo

(2)-/E,F,D分別是AC,AB,BC的中點(diǎn)，

.*.EF=2iBC,BD=DC=2iBC,

/.EF=BD=DCo

,/AB,BC,AC均不相等，

.,.與前長度相等的向量有城麗，DB^DCy~CD.

(3)與加相等的句量有麗，CD.

評價(jià)檢測?素養(yǎng)提升

課堂檢測

lo若a為任一非零向量,b為單位向量，則下列正確的是（）

A.|a|>|b|Boa〃b

Co|a|>0Dw"b

金答案C|a|不一定大于1,Ib|=l,「.A不正確;a與b不一定

平行，故B不正確；易知C正確消是a方向上的單位向量，不一

定平行于b,故D不正確。

2o下列結(jié)論中正確的是r）

①若a〃b且|a|二|b|,則a二b；

②若a二b,則a〃b且|a|二|b|；

③若a與b方向相同且|a|二Ib|,則a=b;

④若a^b,貝!1a與b方向相反且|a|^|b|.

A.①③B.②③Co③④Do②④

金答案B兩個向量相等需同向等長，反之也成立，故①錯誤，②

③正確；兩向量不相等，可能是不同句或者長度不相等或者不同

向且長度不相等，故④錯誤。

3.如圖，在口ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，圖中與

族平行的向量的個數(shù)為()

Ao1B.2Co3D.4

金答案C題圖中與版平行的句量為麗，麗,成共3個.

4.左平面上將所有模長相等的向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則它們的

終^點(diǎn)、組成)O

*答嚎,一個圓

代解析左平面上杷所有模長相等的向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)

P,各向量的終點(diǎn)到P點(diǎn)的跖離都相等，所以它們的終點(diǎn)組成一

個圓。

5o如圖所示的是中國象棋的半個棋盤，“馬走日r兩個有公共

邊的小方格是象棋中馬的走法.此圖中，馬可以從A處跳到

Ai處，用向量甌表示馬走了“一步”，也可以從A處跳到A2處,

用句量就表示馬走了“一步”。靖左圖中畫出馬左B,C處走了“一

步”的所有情況.

*解析如圖，馬左B處只有3種走法，馬左C處有8種走法.

’素養(yǎng)演練

直觀想象--圖形與向量的關(guān)祭轉(zhuǎn)化

如圖所示，已知左四邊形ABCD中，M,N分別是BC,AD

的中點(diǎn)，又同二虎.求證:CNMA。

DNA

審:前二反00ABCD=>AV=MC=>°AMCNOCN工MA。

聯(lián):利用平行四邊形的到災(zāi)與性質(zhì)證明.

證明：由前二反可知AB=DC且①,

所以四邊形ABCD為平行四邊形，從而②

又M,N分別是BC,AD的中點(diǎn)，所以③

所以AN=MC且④9

所以四邊形AMCN是平行四邊形，

所以CN=MA且CN〃MA,即CN&MA.

思:利用向量關(guān)系證明或到新線段平行或相等的方法:

（1）證明或到新線段相等，只需證明或到新相應(yīng)向量的長度

r或模）相等.

（2J證明線段平行，先證明相應(yīng)的向量共線，再說明線段不共

線。

康答案（DAB〃DC②而二品

Q）AN-'MC④AN//MC

「針對訓(xùn)練J

如圖，左等腰梯形ABCD中,對角線AC與BD交于點(diǎn)P,點(diǎn)E,F

分別放兩腰AD,BC上，EF過點(diǎn)P,且EF〃AB〃"）

AoAD^BCB.AC=BD

C.PE=PFDoEP=PF

0答嚎D由平面幾何知識知，而與品方向不同，故而彳前；而與

麗方向不同，故前彳麗；前與標(biāo)的模相等而方向相反，故即聲討;而與麗

的模相等且方向相同，所以前二兩.

課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

G基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練

lo（2020］東泰安嵩一同步練習(xí)）下列說法正確的是r

Ao若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行

B.終點(diǎn)相同的兩個向量不共線

Co若|a|>|b|,則a〉b

Do單伍向量的長度為1

窿答案D

2.如圖，族正方形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)0,則圖中與耐相等

的向量是r)

AoocBoOD

C.OBD.co

*答案D

3o在四逆形ABCD中，近〃而，|AB|片面|,則四邊形ABCD是

c)

A.梯形B.平彳亍四邊形

C.矩形D。正方形

金答案A

4。設(shè)0是4ABC的外心，則同，麗，而是()

A.相等向量

B.模相等的向量

C.平行向量

D.起點(diǎn)相同的向量

黛答案B因?yàn)槿切蔚耐庑氖侨切瓮饨訄A的圓心，所以點(diǎn)

。到三個頂點(diǎn)A,B,C的跖離相等，所以近，麗而是模相等的向

量.

5.(2020廣東廣州嵩一期末)已知左邊長為2的菱形ABCD

中,NABO60。,則廊|二()

A.lBoV3

Co2Do2V3

度答案D易知AC_LBD,且NABD=30。,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)

O,則AO=|AB=1o在RtAABO中，易得|司二%則|麗|=2|麗=2四。

6o如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,0為其中心，則|而|

e答案V2

窿解析因?yàn)檎叫蔚膶蔷€長為2e，所以|明二也

7.如果在一個邊長為5的正三角形ABC中，一個向量所對應(yīng)的

有句線段為標(biāo)（其中D左邊BC上運(yùn)動），則向量而長度的最小值

為O

女答案w

*解析左正三角形ABC中，有句線段標(biāo)的長度最小時，而應(yīng)與

邊BC垂直，則前長度的最小值為正三角形ABC的氤為串

8o已知A,B,C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量同是平行向量,

與BC是共線向量，則m=.

*答嚎0

*解析因?yàn)锳,B,C不共線，所以國與就不共線.又m與南，前都

共線，所以m=0.

9o如圖所示的是4x3的矩形（每個小方格的邊長都是1）,左起

點(diǎn)和終點(diǎn)都左小方格的頂點(diǎn)處的向量中，與向量近平行且模為企

的句量共有幾個？與向量同方向相同且模為3魚的句量共有幾個？

金解析依題意，每個小方格的兩條對角線中，有一條對角線對應(yīng)

的向量及其相反方向的向量都和同平行且模為也因?yàn)楣灿?2個

小方格，所以滿足條件的向量共有24個。易知與向量同方向相

同且模為3魚的向量共有2個。

6能力拔高練

10o已知D為平行四邊形ABPC的兩條對角線的支點(diǎn)，則黑I力。I的

值為（）

。

AoL2Bi3C.lD.2

解答案C因?yàn)樗倪呅蜛BPC是平行四邊形,D為對角線BC與

AP的支點(diǎn)，所以D為PA的中點(diǎn)，所以鬻的值為1.

11.（多選題）下列說法中正確的是（）

A.若紇為,則a一定不與b共線

B.若近二沆，則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn)

C.在口ABCD中，一定有而二就

D.若a=b,b=c,貝“a=c

窿答案CD兩個向量不相等，可能是長度不相等，方向相同或

相反，所以a與b有共線的可能，故A不正確；A,B,C,D四點(diǎn)

可能左同一條直線上，故B不正確;在口ABCD中，|祠二|阮|,

而與阮平行且方向相同，所以而二就，故C正確;若a=b,則Ia|=|b|,

且a與b方句相同，若b=c,則|b|二|c|,且b與c方向相同，所

以a與c方向相同且模相等，故a=c,故D正確。

12.如圖，在△ABC中,NACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D。若正

的模為2,就的模為3,標(biāo)的模為1,則麗的模為.

C

工

AnR

逐案I

窿解析如圖，延長CD,過點(diǎn)A作BC的平行線交CD的延長線于

點(diǎn)E.

C

二八、、。、\