2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市高二年級上冊冊一月學(xué)業(yè)質(zhì)量內(nèi)調(diào)研數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市高二上冊一月學(xué)業(yè)質(zhì)量內(nèi)調(diào)研數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{。,},0102a3=5,—10,則4a54=

A.5&B.7C.6D.4a

【正確答案】A

【詳解】試題分析:由等比數(shù)列的性質(zhì)知I,aia2a3,a4a5a(),a7a8a9成等比數(shù)歹U,所以a4a5a6=

572

故答案為58

等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)累的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識,轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

2.拋物線y=上一點(diǎn)4(天,2)到其對稱軸的距離為()

8

A.4B.2C.72D.1

【正確答案】A

【分析】利用代入法進(jìn)行求解即可.

【詳解】把義天,2)代入拋物線方程中,得2=9其=/=±4,

O

因?yàn)樵搾佄锞€的對稱軸為縱軸,

所以拋物線y=上一點(diǎn)A(%”2)到其對稱軸的距離為4,

O

故選:A

3.直線x+y-l=0被圓(x+1)2+y2=3截得的弦長等于()

A.V2B.2C.20D.4

【正確答案】B

【詳解】

如圖,圓。+1尸+丫2=3的圓心為M(T,O),

圓半徑|AM=6,

圓心M(-1,0)到直線x+廠1=0的距離:

1-1+0-11廣

|MC|=J_1=6,

V2

...直線x+y-l=0被圓(x+l)2+y2=3截得的弦長:

|AB|=2j(石口-詆2=2.

故選B.

點(diǎn)睛:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線和圓的位置關(guān)系.判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩

種方法:1.代數(shù)法:將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組,再將二元方程組轉(zhuǎn)化為一元二次

方程,該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系.這種方法具有一般性,適合于判斷直

線與圓錐曲線的位置關(guān)系,但是計算量較大.2.幾何法:圓心到直線的距離與圓半徑比較

大小,即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.這種方法的特點(diǎn)是計算量較小.當(dāng)直線與圓相交時,

可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離,弦長和半徑的勾股關(guān)系.

4.圓C為過點(diǎn)P(4,3),Q(2,5)的圓中最小的圓,則圓C上的任意一點(diǎn)M到原點(diǎn)。距離的取

值范圍為()

A.[2,5]B.[3,6|C.[5-2夜,5+2近]D.[5-0,5+0]

【正確答案】D

【分析】要使圓最小則圓心為P、。的中點(diǎn),求出圓心坐標(biāo)及其半徑,由圓心到原點(diǎn)的距離

結(jié)合圓的性質(zhì)即可確定圓C上的任意一點(diǎn)M到原點(diǎn)。距離的范圍.

【詳解】以PQ為直徑的圓最小,則圓心為C(3,4),半徑為近,圓心到原點(diǎn)的距離為5,

,M到原點(diǎn)O距離的最小值為[5-72,5+72].

故選:D.

5.“天問一號”推開了我國行星探測的大門,通過一次發(fā)射,將實(shí)現(xiàn)火星環(huán)繞、著陸、巡視,

是世界首創(chuàng),也是我國真正意義上的首次深空探測.2021年2月10B,天間一號探測器順

利進(jìn)入火星的橢圓環(huán)火軌道(將火星近似看成一個球體,球心為橢圓的一個焦點(diǎn)).2月15日

17時,天問一號探測器成功實(shí)施捕獲軌道“遠(yuǎn)火點(diǎn)(橢圓軌跡上距離火星表面最遠(yuǎn)的一點(diǎn))平

面機(jī)動”,同時將近火點(diǎn)高度調(diào)整至約265公里.若此時遠(yuǎn)火點(diǎn)距離約為11945公里,火星

半徑約為3395公里,則調(diào)整后“天問一號”的運(yùn)行軌跡(環(huán)火軌道曲線)的離心率約為()

A.0.61B.0.67C.0.71D.0.77

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題中的信息列出關(guān)于4,c的方程,然后解方程并求離心率即可.

dy2

【詳解】設(shè)橢圓的方程為=1(<3>Z?>0),

由橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a-c,最大值為a+c,

根據(jù)題意可得近火點(diǎn)滿足a-c=3395+265=3660,a+c=3395+11945=15340,

解得a=9500,c=5840,

所以橢圓的離心率為e=£=繆=0.61,

a9500

故選:A.

6.直三棱柱ABC-A,用G中,AB±BC,四=8C=CG,點(diǎn)。為線段AC的中點(diǎn),若點(diǎn)P

在線段CG上,則直線OP與平面AOB所成角的正弦值的取值范圍是()

A.凈]B.忤用C.[到D.[刊

【正確答案】A

【分析】如圖所示:以為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,計算平面4。8的法向

2+加

量為“=(1,7,1),根據(jù)向量夾角公式得到正弦值為用工方,設(shè)2+m=f,根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)得到最值.

【詳解】如圖所示:以8c,84,即為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=BC=CG=2,

則以0,0,0),0(1,1,0),A(0,2,2),P(2,0,m),me[o,2],

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),則/2}+2一八0,

v7n-BO=x+y=0

取x=l得至一1,1),OP=(\,-\,m),

當(dāng)f=3時,有最大值為1,當(dāng)t=2時有最小值為四.

3

22

7.已知耳,鳥是雙曲線£:=一與=1(。>0,〃>0)的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)尸在E上,。是線段耳公

a'b'

jr

上點(diǎn),若262居=§,6。:6。=1:2,P。=4,則當(dāng)aPK用面積最大時,雙曲線E的方程是

()

【正確答案】C

【分析】在PFQ和.P巴。分別利用余弦定理得21+療=6/+48,再在△尸耳名利用余弦

定理,消去x,根據(jù)均值不等式求耳瑪面積最大時PJPg的關(guān)系,結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即

可求解.

【詳解】如圖所示

設(shè)尸耳=〃,PF,=m,Z.PDFX=a,F^D=x,則/尸£)鳥=兀一。,F(xiàn)2D=2xf

在】尸"。中由余弦定理得〃2=x2+16-8xcosa?,

22

在dPF2D中由余弦定理得〃/=4x+16-16xcos(n-a)=4x+16+16xcos?(2),

2x①+②得2〃2+>=6/+48③,

在耳耳中由余弦定理得9丁=n2+m2-2nmcos^=n2+ITT-inn?,

③④聯(lián)立消去x得2"+g機(jī)2+zw?=72,

1-IT

因?yàn)閟"出=]加〃sing,當(dāng)△?耳馬面積最大時即機(jī)“最大,

由均值不等式可得72=2n2+—nr+mn>2.2n2x—m2+mn=3mn,

2V2

當(dāng)且僅當(dāng)2/=g/即2〃="7時等號成立,〃2〃取得最大值,

此時由④9f=/+4/?2-2n2=3n2解得無=乎〃,所以=百〃,

所以尸即△Pf;瑪為直角三角形,且2尸耳。=],

所以在尸工。中〃2+/〃=16,解得“=2百,

a=G

PF2_PF}=2a=n

由雙曲線的性質(zhì)可得耳鳥=2c=上〃解得.人遍,

22I->

c=a'+h-c=3

?>2

所以雙曲線E的方程為工-±=1,

36

故選:C

8.已知數(shù)列{%}滿足(〃一l)/+l=〃4,(〃wN*),且前〃項(xiàng)和為S“,若T〃eN*,56>S,,,

則臬的取值范圍為()

A.3%B.C.4D.[0,3]

【正確答案】A

=",即數(shù)列{4}是等差數(shù)列,結(jié)合條件得

[分析】利用遞推關(guān)系可得2???+|-na,1+2

a?=l+5dN0

二1+6公。,再利用等差數(shù)列求和公式即得

[詳解1;(〃-1)6用+1=na?(〃eN"),

當(dāng)〃=1時,6=1,

又("T)a“+i+1=;/①,,叫"2+1=(〃+1)%②,

由①一②,得2"。,川-"4L〃+2=na?,即2a向=4*2+4,

???數(shù)列{4}是等差數(shù)列.

由SsNS”,設(shè)"為公差,則

4=1+542011

3+6公。,解得一丁屋飛

7

則3WS6=6+15d<].

故選:A.

9.已知函數(shù)〃x)=2,,則f'(x)=()

2、

X

A.X-2-'B。2'In2C.2'ln2D.

In2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由/(x)=2'=/'(x)=2'ln2,

故選:C

10.已知等差數(shù)列{4“}滿足”3+4+a8+””=12’則的值為()

A.—3B.3C.-12D.12

【正確答案】B

[分析]根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若加+〃=則4“+4,=4+%可得.

【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,4+&+4+即=4%=12,解得%=3,

:%+%=2%,工2%一即=%=3.

故選:B

11.已知函數(shù)/。)=/一以2-法+/,則“a+/?=7”是"函數(shù)/(x)在x=l處有極值10”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要

條件

【正確答案】B

fr⑴=。

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意可得即可得到方程組,解得。、人再檢驗(yàn),

最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】解:f(x')=xi-ax2-bx+a2,所以尸(x)=3x?-2or-£>,

'/,(l)=3-2?-ib=0a=3..l?=-4

所以解得6=-3或*=11

〃l)=l-“-b+a2=10

當(dāng)§時f(x)=x3-3x2+3x+9,/,(X)=3X2-6X+3=3(X-1)2>0,即函數(shù)在定義域上單

調(diào)遞增,無極值點(diǎn),故舍去;

(ci——4

當(dāng)J]]H;tf(x)=x3+4x2-1lx+16,/z(x)=3x2+8x—11=(3x+ll)(x—1),

當(dāng)x>l或時r(x)>0,當(dāng)時r(x)<0,滿足函數(shù)在處取得極值,

所以a+6=7,

所以由a+b=7推不出函數(shù)在x=l處有極值10,即充分性不成立;

由函數(shù)/(x)在x=l處有極值10推得出。+匕=7,即必要性成立;

故"a+b=7”是“函數(shù)/(x)在x=l處有極值10”的必要不充分條件;

故選:B

12.如圖,正方形數(shù)表中對角線的一列數(shù)2,5,10,17,26,37,構(gòu)成數(shù)列{%},則%?3=()

234567

35791113

4710131619

5913172125

61116212631

71319253137

A.20222-1B.20232-1

C.20222+1D.20232+1

【正確答案】D

【分析】由題意得出數(shù)列{4}的遞推公式,再通過累加法得出數(shù)列{4}的通項(xiàng),即可得出答

案.

【詳解】由題意得數(shù)列{4}的遞推公式為:見“-4=2〃+1,

則an~an-l=2?-1,

4I_%=2〃_3,

a2-a,=3,

“22累力口得:q=3+5+7++(2M-1)=----"?)("—-=n:-1;

則a“+1,n-\成立

則02023=20232+1,

故選:D.

13.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù),且礦(x)>2/(x),則不等式

4/(x-2022)<(x-2022)2*2)的解集為()

A.(2022,2023)B.(2022,2024)C.(2022,物)D.(0,2023)

【正確答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=坐,根據(jù)礦(x)>2f(x)得到g(x)=綽的單調(diào)性,再變形不等

XX

式由單調(diào)性求解即可.

【詳解】由題知,函數(shù)/(X)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且有

xf'M>2/(x),即礦(x)-2/(x)>0,

、&,、A?

設(shè)g(x)=,x?-1,

所以g'3="(x)-2?(x)=步(x)-2/(x)>o

x4x3

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?f(x-2022)-(x-2022產(chǎn)/⑵<0,

)(x-2022)//⑵

所以

(x-2022)222

x-2022>0

所以,解得2022cx<2024,

x-2022<2

所以不等式4/(x-2022)-(x-2022)7(2)<0的解集為(2022,2024),

故選:B

關(guān)鍵點(diǎn)睛:根據(jù)不等式0”(x)>2/(x)構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

14.若函數(shù)〃x)=sin[s+1J(<y>0)在區(qū)間(0,兀)上既有極大值又有極小值,則”的取值

范圍為()

A.住,+814

B.-,+ooC.(2,+oo)D.[2,-KO)

【正確答案】A

【分析】求函數(shù)的極值點(diǎn),由條件列不等式,求。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?x)=sin(ox+£|(0>O),

所以當(dāng)=+時,即犬=,(2阮+父.丘2時函數(shù)〃另取最大值,

當(dāng)8+2=2/+ZeZ時,即x=((2E+:),a€Z時函數(shù)〃x)取最小值,

故函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)為X=+極小值點(diǎn)為工=:(2&兀+.),/€2,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sin(0x+.)3>O)在區(qū)間(0㈤上既有極大值又有極小值,

所以4?<兀,故。>:,

co33

所以0的取值范圍為(g,+8).

故選:A.

15.已知函數(shù)“X)滿足=當(dāng)xe1,1時,〃x)=lnx,若在;,4上,方程

f(x)=區(qū)有三個不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

4"|

A.-41n4,—B.[Tln4,-ln4]

4一

C.--,-ln4D.--,-ln4

e

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意求出“X)的解析式,再畫出圖形,轉(zhuǎn)化成“X)與產(chǎn)行的交點(diǎn)問題即可

得出答案.

【詳解】由題意得,當(dāng)時,/(X)=lnx

當(dāng)xe(l,4]時,1),所以/(x)=4/(L)=41nL=-41nx

X4\XyX

~11....huje—,1

即在-,4上,方程〃x)=依有三個不同的實(shí)根等價與函數(shù)〃x)=14」與函數(shù)

-41nx,xe(l,4]

)二丘的圖像有三個交點(diǎn),函數(shù)圖像如下

由圖像可得,當(dāng)直線產(chǎn)區(qū)過點(diǎn)M時,直線產(chǎn)區(qū)與/(x)=Tlnx,xe(l,4]恰有兩個交點(diǎn),

此時%=-ln4

當(dāng)直線產(chǎn)履與/(x)=-41nx,xw(l,4]相切時,設(shè)切點(diǎn)為(天,-41nxJ

44

則切線斜率為£>=/(*))=-—,所以切線方程為y+41n%=~(x-x0)

工0xo

因?yàn)樵撉芯€過原點(diǎn),所以41nxo=4=/=e

此時亳=二4

e

所以當(dāng)-±<kWTn4時,直線產(chǎn)履與/(另=-4111m工€(1,4]恰有兩個交點(diǎn),

e

又當(dāng)直線產(chǎn)履過點(diǎn)時,k=-41n4<-g

即直線產(chǎn)履與/(x)=Tlnx,x?l,4]恰有交點(diǎn)時,必與〃x)=lnx,xe有交點(diǎn),綜上

ke——,-ln4.

ke.

故選:D.

16.已知4=等,b=B,C=則()

32/r96

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

【正確答案】B

【分析】由題可得b<與,c>£然后構(gòu)造函數(shù)〃》)=吧”(0,父,利用導(dǎo)

666X\2.J

數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即得.

【詳解】vsin1sin5石b=£B,c=土土昱=土工皂>皂,

a=-r<-T-=-r2萬6969366

/.c>a,c>b,

對于函數(shù)〃X)=浮,xd0,£|,人)-「

令g(x)=xcosx-sinx,I,則r(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,

.?.g(x)在(o,9上單調(diào)遞減,

.?.g(x)<g(O)=O,即廣(力<0,〃x)在(0e)上單調(diào)遞減,

.71

/\sin—

???川)>/[卦即sinl>-^

3

sinly/3

a=---->b=—,

32冗

c>a>b.

故選:B.

二、多選題

17.在等差數(shù)列{q}中,已知為=10,%=-6,5"是其前"項(xiàng)和,貝IJ().

A.0-)=2B.S=54C.d——2D.-->—

lo78

【正確答案】ACD

根據(jù)己知條件得出q、d的方程組,解出這兩個量的值,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公

式可判斷各選項(xiàng)的正誤.

[%=q+2d=10[a.=14

【詳解】由已知條件得31「,解得】?

必1=4+10。=-6=-2

對于A選項(xiàng),%=4+6d=14-6x2=2,A選項(xiàng)正確;

10x9

對于B選項(xiàng),S|o=lOq+—--d=140-90=50,B選項(xiàng)錯誤;

對于C選項(xiàng),d=-2,C選項(xiàng)正確;

對于D選項(xiàng),與二勺-;21"=>+34=]4—3x2=8,

So84+2847.7bi/SS8TH-T*必

-4=———=a,+-4/=14--x2=7,所以,7譚,D選項(xiàng)正確.

oo227o

故選:ACD.

18.下列結(jié)論錯誤的是()

A.過點(diǎn)A(l,3),B(-3,l)的直線的傾斜角為30。

2

B.若直線2x-3y+6=0與直線ox+y+2=0垂直,則“=

C.直線x+2y-4=0與直線2x+4y+l=0之間的反巨離是亞

2

D.已知A(2,3),3(-1,1),點(diǎn)P在x軸上,則|必|+|冏的最小值是5

【正確答案】ABC

【分析】由斜率公式求出直線AB的斜率即可判斷A,

根據(jù)兩條直線垂直求出“,進(jìn)而判斷B,

利用平行線間的距離公式即可求出答案,進(jìn)而判斷C,

作B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C,進(jìn)而利用對稱性得到答案,進(jìn)而判斷D.

3-1]

【詳解】對A,—=-^tan30°,故A錯誤;

3

對B,若兩條直線垂直,則24-3=0,得。=],故錯誤;

對C,直線x+2y-4=0可化為2x+4y—8=0,則兩條直線間的距離“=42鼻=黑1,

V22+4210

故C錯誤;

對D,如圖,設(shè)點(diǎn)8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C(-1,-1),

貝++當(dāng)且僅當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線時取“=",故D正

確.

故選:ABC.

22

19.已知橢圓工+[=1(0<6<2)的左,右焦點(diǎn)分別為耳,寫,過點(diǎn)”的直線/交橢圓于A和

4b“

B兩點(diǎn),若|A段+忸段的最大值為5,則下列說法中正確的是()

A.橢圓的短軸長為4石

B.當(dāng)|A段+忸閭最大時,|你|=|明|

C.橢圓的離心率為g

D.|A四的最小值為3

【正確答案】BCD

【分析】通過橢圓的定義得到|他|+|朋|+|朋=4a=8,即|你|+忸聞=8-|AB|,進(jìn)而判

段當(dāng)AB/x軸時,|川?|最小,此時8TAM最大,求出匕=6,c=l,即可對選項(xiàng)一一進(jìn)行

判定得出答案.

【詳解】由題意可得:。=2,

根據(jù)橢圓定義可得|A用+忸閭+|45|=%=8,

|A周+忸周的最大值為5,

??.8-|明的最大值為5,

根據(jù)橢圓性質(zhì),當(dāng)軸時,|AB|最小,此時8-|A5|最大,

此時直線/的方程為x=-c

22i2

將丫=-,代入橢圓方程得:(+馬=1,BPy=±y,則|陰"2=3,則6=百,c=l,

則對于選項(xiàng)A:短軸長為2?,故選項(xiàng)A錯誤;

對于選項(xiàng)B:當(dāng)|A局+|明|最大時,|伍|=忸段,故選項(xiàng)B正確;

對于選項(xiàng)C:e,=g,故選項(xiàng)C正確;

a2

對于選項(xiàng)D:8TA同最大值為5,則|AB|的最小值為3,故選項(xiàng)D正確;

綜上所述,選項(xiàng)BCD正確,

故選:BCD.

20.如圖直角梯形ABC。,AB//CD,AB1BC,BC=CD=-AB=2.E為43的中點(diǎn),

2

以O(shè)E為折痕把ADE折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PC=2G,則()

A.平面夕£)E_L平面EBCO

B.PCLED

TT

C.二面角P—OC—3的大小工

4

D.PC與平面尸£D所成角的正切值為0

【正確答案】AC

【分析】A選項(xiàng)中,利用折前折后不變的量及勾股定理的逆定理,可證線線垂直,從而證得

線面垂直,進(jìn)而證明面面垂直;

B選項(xiàng)中,先假設(shè)PCLED,從而證得再根據(jù)-4出不是直角即可推出矛盾,從而

得出結(jié)論;

C選項(xiàng)中,利用定義找出二面角尸-DC-8的平面角,從而求其值,即可得出結(jié)論;

D選項(xiàng)中,利用線面所成角的定義得出PC與平面FED所成角為NCPD,計算其正切值即可.

【詳解】A選項(xiàng)中,PD=A£>=亞萬'=2四,在△POC中,

PD2+CD2=PC2,PCLCD,易知CE>J_DE,且POIDE=D,

\8八平面PED,CDu平面EBCD,:.平面_L平面E8C£>,故A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)中,先假設(shè)PCLED,易知E£>,CD,尸CcC£>=C,可得ED,平面尸DC,則PDYED,

JT

而NAOE=NEDP=r,顯然矛盾,故B選項(xiàng)錯誤;

C選項(xiàng)中,易知二面角尸-。C-B的平面角為ZPDE,根據(jù)折疊前后位于同一平面上的線線位

置關(guān)系不變知2%汨=/">£=£,故?選項(xiàng)正確;

D選項(xiàng)中,由上面的分析知,NCPD為PC與平面PED所成角,在HfVPCD中,

tanACPD=0=也,故D選項(xiàng)錯誤;

PD2

故選:AC

21.若函數(shù)〃力=2/—4加+1在區(qū)間(4—3,4)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)。的值可能是()

A.2B.3C.2月D.4

【正確答案】BC

【分析】利用導(dǎo)函數(shù)判斷了(x)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行求解即可.

【詳解】“X)的定義域?yàn)椋?,+8),所以aN3,A錯誤;

由題意可得:(x)=4x-q,令/'(x)=0解得x=也,

x2

所以當(dāng)0<尤<乎時,r(x)<o,/(X)單調(diào)遞減,

當(dāng)X>*時,/V)>01/(X)單調(diào)遞增,

因?yàn)椤癤)在區(qū)間(4-3,a)上不單調(diào),所以,44-3,4),即%(6-6。+9,明,

3

選項(xiàng)B:當(dāng)。=3時,j?0,9),正確;

選項(xiàng)C:當(dāng)“=2百時,a2-6a+9=21-\2y[3=―,

21+12V3182

所以日€(21-126,12),正確;

選項(xiàng)D:當(dāng)a=4時,1任(1,16),錯誤;

故選:BC

22.已知(l+x)6=%+q(x—1)+生(x—1T++4(犬_球,則下列說法正確的有()

A.%=64

B.4+24+3%+44+545+64=18

C.4+出+/+4=365

D.%+2q+4a2+8%+16a4+32%+64tz6=2”

【正確答案】ACD

【分析】由賦值法以及求導(dǎo)運(yùn)算依次判斷即可.

【詳解】對于A,令x=l可得%=26=64,A正確;

對于B,對(1+工)6=%+4(%一1)+〃2(工一1)2++&(工一1)6兩邊求導(dǎo)得

6(1+x)5=4+2%(x-l)++6〃6(工-1丫,

令x=2可得q+2a2+3%+4/+5%+64=6x35H18,B錯誤;

對于C,令x=0得。0-4+。2-。3+。4一。5+“6=1,令X=2得

4+4+。2+。3+。4+“5+。6=36=729,

兩式相加得2(4)+。2+4+4)=730,則4+。2+4+。6=365,C正確;

對于D,令x=3可得。o+24+44+8%+16%+32%+64%=4‘=2口,D正確.

故選:ACD.

23.己知數(shù)列{q}中,4嗎嗎9成等差數(shù)列,且3q-%+%+l=腔”""?若為<°,則下列

說法正確的是()

A.圖>同B.同<同

C.闖>同D.同<㈤

【正確答案】AD

【分析】首先設(shè)/(x)=e、—x—1,利用導(dǎo)數(shù)求出〃力而小"0)=0,從而得到e-x+1在R

上恒成立,即可得到3q-4+4+1=e…%>a2+a3-a4+l,化簡得到>0,d<0,再依

次判斷選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】設(shè)〃x)=e'-x—l,則/'(x)=e,—l,令7(x)=0,解得x=0.

當(dāng)x?F,O)時,r(x)<0,〃x)為減函數(shù),

當(dāng)x?O,z。)時,/^x)>0,/(x)為增函數(shù).

所以“力由=f(0)=。,即e'2x+1在R上恒成立.

所以3q一4+4+1=物+"廠。4之外-%+1,即34-2a2+&NO.

所以3。]一2(4+d)+4+3J>0,即2q+d20,a}+a2>G.

因?yàn)椋?lt;0,所以q>0,d<0.

若4+4=0,貝!Jd=-24.

根據(jù)V,之出+%-%+1得到因?yàn)?%+1,當(dāng)且僅當(dāng)q=。時等號成立.

當(dāng)q=0時,%=。,與已知條件生<。矛盾,4+%=。不成立.

所以q>0,生<0,又因?yàn)?+%>0,所以同>|聞,故A正確,B錯誤.

因?yàn)?>0,d<(),a2<0,所以4</<。,即|勾<|%],故C錯誤,D正確.

故選:AD

24.已知函數(shù)〃x)=hu—^(aeR),則下列說法正確的是()

A.當(dāng)時,函數(shù)/(x)恰有兩個零點(diǎn)

B.當(dāng)”>(時,不等式/(“<0對任意x>0恒成立

C.若函數(shù)/(x)有兩個零點(diǎn)則占*2>e

D.當(dāng)a=0時,若不等式e'-/(儂)“巾-l)x對xe(O,+a))恒成立,則實(shí)數(shù)用的取值范圍為

(0,e]

【正確答案】BCD

【分析】選項(xiàng)A分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,結(jié)合題意判斷即

可,選項(xiàng)B由選項(xiàng)A可知,當(dāng)時,由。>整,整理可得/(力<0,對任意x>0恒成

立,選項(xiàng)C利用對數(shù)運(yùn)算,換元,構(gòu)造新函數(shù),對新函數(shù)求導(dǎo),利用分析法證明即可,選

項(xiàng)D,不等式變形得到,依+ln,nr4e,+lne,,令8(x)=x+lnx,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,將問題

轉(zhuǎn)化為切4厘,利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求Mx)=的最小值即可.

XX

【詳解】選項(xiàng)A,由x>0,令/(x)=lrir-ar=0=>〃=^-,

設(shè)8(力=竽

l-21nx

則g'(x)="…

令g'(x)=--^=0=>x=^,

當(dāng)0cxe五時,g'(x)>。,當(dāng)x>五時,g'(x)<0,

所以g(x)在(0,五)上單調(diào)遞減,在(五+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)a=g(五)=*,

當(dāng)x=l時,g(l)=罕=0,

所以當(dāng)x<l,g(x)<0,當(dāng)x->+8,g(x)f0,

所以g(x)的圖形如圖所示:

由圖可知,函數(shù)/(x)恰有兩個零點(diǎn)時,

即尸。與),=與有兩個不同的交點(diǎn),此時0<“<,

x2e

故A不正確,

選項(xiàng)B,由選項(xiàng)A,=

x~2e

當(dāng)〃>上時,a><=>ax2>lnx<^>Inx-^/x2<0,

2ed

即〃x)<0對任意x>0恒成立,故B正確,

選項(xiàng)C,由函數(shù)/(x)有兩個零點(diǎn)

即內(nèi),工2為方程111%-以2=0的兩根,

BPInx=ax2<=>21nx=lax1=Inx2=2ax2,

\nx-2ax^,令:二片由=考,且;>t,

所以t2

Inx2=2ax?

Int=2ah

則l

]nt2=2at2

所以2〃=蹩二步

,1-2

欲證x/2>e,即證科>e?,

即證明ln%+lnf2>2,

只需證明ln《+Inq=2a[+f?)=0+q)?,

只需證明如「Inf?〉也11

6+12

(\

2J

即ln4>—/)

t

2ITT

t2

設(shè)機(jī)=}>1,

*2

則Inin>---------,m>1,

/n+1

令F(x)=Intn--、],("?>1),

、12(6+1)-2(機(jī)-1)14

所以小)二T一

mzn+1)2

4m(加一八

~=2>°,

加("?+1)~〃?(/7?+1)-〃?(/%+1)-

所以尸(x)在上為增函數(shù),

又F(1)=O,所以尸(%)>尸(1)=0,

綜上所述,原不等式成立,故%*2>e,

故C正確,

選項(xiàng)D,當(dāng)a=0時,/(x)=lnx,

則不等式e'-/(/nr)N(租-l)x對xe(0,+<?)恒成立,

即ev-lnnvc>(fn-l)x=i?vc-x,

HPev+x>In/nr+mr,

即eA+Inev>In/nr+/nr?

令姒x)=x+lnx,當(dāng)x>0時,夕(x)單調(diào)遞增,

所以e"+InevNInmx+mxo°(e')>(p^tnx),

所以3Ke'=>mKJ對任意x>0恒成立,

x

即求力(司=?在(O,+8)上的最小值,

由〃(力=上聲=巴?1,

當(dāng)0<x<l時,〃'(x)<0,當(dāng)在x>l時,h'(x)>0,

所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,田)上單調(diào)遞增,

所以〃(x)mn=秋l)=e,

由er+x2In)nx+mx,得fnx>0,而x>0,

所以,”>o,所以加的取值范圍是:(o,e],

故選:BCD.

三、填空題

25.若無),則與向量〃反方向的單位向量的坐標(biāo)為.

【正確答案】

\/

【分析】先求出與向量〃同向的單位向量,在反方向的單位向量即可.

【詳解】a=(l,-l,x/2),

二忖=^12+(-1)2+(72)-=2

a__f2」正)

則與向量a反方向的單位向量的坐標(biāo)為-;,;,

故答案為.

26.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線

段A8的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為.

【正確答案】4-1

y2=2px

【詳解】試題分析:由{y1-2py-p2=0+y=2p=4;./?=2,準(zhǔn)線下—1

v=x--p2

2

拋物線方程及性質(zhì)

27.已知數(shù)列{4}滿足am=4+i-4!("eN"),且q=2,%=3,則。20”的值為.

【正確答案】2

【分析】首先判斷數(shù)列的周期,再根據(jù)周期求物)23.

【詳解】由題意得,a3=a2-at=1,<z4=a)-a2=-2,%=q-%=-3,a6=a5-a4=-\,

%=4_%=2,%=%一/=3

.??數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列,

a2023=46*337+1=4=2?

故2.

22

28.已知直線y=r+l與橢圓]+g=l(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),且04,08(。為

坐標(biāo)原點(diǎn)),若橢圓的離心率ew,則。的最大值為.

【正確答案】叵

2

【分析】將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,求得

2/=l+—L丁,由離心率的取值范圍,即可求得。的最大值.

\-e~

【詳解】解:設(shè)4&2),8(孫必),

y=-x+l

由,y2,消去y,可得+力2卜2_勿2尤+々2=0,

b+p-=1

.?.貝I]+_2/_6Z-(1-/?-)

222

由△=(-2?)-4a,2+")(1_")>0,整理得a2+b2>1

二X%=(F+1)(F+1)=3-(%+々)+1.

OAA.OB(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)),可得0408=0,

/.xxx2+y}y2=0,即x]x2+(—%+1)(一赴+1)=0,化簡得2x1x2-(^+/)+1=0.

-2,£(L±)__至_+1=().整理得/+/一2。2〃=0.

a2+b2a2+b2

,b2=a2-c2a2-a2e2

...代入上式,化簡得"=1+占

211+占

才=一

2

-平方得*20

1341

:《1-/W:,可得彳4r44,

4431-e2

因此7:<2/=1+丁1可7得/的5最大值為:5,

3i-e622

滿足條件

.?.當(dāng)橢圓的離心率e=正時,。的最大值為巫.

22

故答案為.叵

2

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考

查計算能力,屬于中檔題.

29.已知函數(shù)/(x)=d,則過(1,1)的切線方程為

31

【正確答案】y=3x-2^y=-x+-

44

【詳解】由函數(shù)/a)=v,則尸(耳=3/,

當(dāng)點(diǎn)(1,1)為切點(diǎn)時,則:⑴=3,即切線的斜率%=3,

所以切線的方程為y-l=3(x-l),即y=3x-2,

當(dāng)點(diǎn)(1,1)不是切點(diǎn)時,設(shè)切點(diǎn)「例加),則k=3〃?2=史二1,即2/_,"_i=o,

I3

解得〃?=-]或a=1(舍去),所以

所以切線的方程為即產(chǎn)

30.已知函數(shù)/(x)=gx3+2x-〃z+W(〃?>0)是口,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)加取最大值

時,若存在點(diǎn)尸,使得過點(diǎn)尸的直線與曲線y=〃x)圍成兩個封閉圖形,且這兩個封閉圖形

的面積總相等,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【正確答案】(0,-3)

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出加的最大值,結(jié)合過點(diǎn)尸的直

線與曲線y=/(x)圍成兩個封閉圖形,且這兩個封閉圖形的面積總相等,判斷函數(shù)的對稱性

進(jìn)行求解即可.

【詳解】由“》)=$3+2)一”+三,

得尸(x)=/+2-?,

“X)是[1,一)上的增函數(shù),

???尸(萬)20在[1,”)上恒成立,

即:*2+2-?20在口,”0)上恒成立.

設(shè)/=[,xe[l,+a?),A?€[1,+<?),

設(shè)y=,+2-/,/e[l,+oo),

y=i+^>o,

函數(shù)y=f+2-1在[,日)單調(diào)遞增,

'min=3_/n.

Win即3-機(jī)2。,m<3,

又m>0,0<m<3.

m的最大值為3.

i3

故得+2x-3+?xe(-<?,0)U(0,+8).

將函數(shù)/(x)的圖像向上平移3個長度單位,

所得圖像相應(yīng)的函數(shù)解析式為:

I3

x3+2x+—,XG(-OO,0)(0,+oo),

由于9(一力=一研力,

夕(X)為奇函數(shù),

故夕(X)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,

由此即得函數(shù)“X)的圖像關(guān)于尸((),-3)成中心對稱.

這表明存在點(diǎn)P(o,-3),使得過點(diǎn)P的直線與曲線y=〃x)圍成兩個封閉圖形,且這兩個封

閉圖形的面積總相等.

故答案為.(0,-3)

31.“牛頓迭代法”是牛頓在17世紀(jì)提出的一種近似求方程根的方法.如圖,設(shè),是/(x)=o的

根,選?。プ鳛椋?初始近似值,過點(diǎn)(七,/(毛))作y=/(x)的切線/,/與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

芭=%一咎&(7'(與上0),稱王是r的一次近似值;過點(diǎn)(知/('))作y=的切線,

=%一^^(廣(演)*o),稱々是『的二次近似值;

則該切線與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為W

X”一■,('1.己知函數(shù)

重復(fù)以上過程,得到r的近似值序列{%?}為“牛頓數(shù)列”,即x向

fM

x+2

/(X)=2X2-8,數(shù)列優(yōu)}為“牛頓數(shù)列”,設(shè)a“=ln」r,且q=1,七>2.數(shù)列{叫的前〃項(xiàng)

X〃一2

和S〃—.

【正確答案】2n-l##-l+2"

再計算表|得至1=(笠|)2’左右兩邊同時取對

【分析】求出/(X)代入x的計算,

數(shù)得到,==2%,即{%}是等比數(shù)列,進(jìn)而求得{”“}的前〃項(xiàng)和S”.

【詳解】=

f'(x)=4x,

.x-/Uy2」-8"+4

‘…"/區(qū))"4x?2x.’

X+2

:.3+2=2居=4+4%+4=(x“+2f=居+2猿

22

'?加-2y+42X?-4X?+4(X?-2)xn-2

2x,,一

又Yxn>2

In=in(^t2)2=21n^

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