2021-2022學年河北省雄安新區(qū)博奧高級中學高三最后一模數學試題含解析

2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數為()A．60 B．80 C．90 D．1202．已知函數且，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．3．要得到函數的圖像，只需把函數的圖像（）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位4．已知i為虛數單位，則（）A． B． C． D．5．一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為，高為，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．6．定義域為R的偶函數滿足任意，有，且當時，.若函數至少有三個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知雙曲線（，），以點（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．8．函數的圖象大致為A． B． C． D．9．已知函數，則（）A． B． C． D．10．在平行六面體中，M為與的交點，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．11．函數的圖象可能是（）A． B． C． D．12．已知正方體的體積為，點，分別在棱，上，滿足最小，則四面體的體積為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓心在曲線上的圓中，存在與直線相切且面積為的圓，則當取最大值時，該圓的標準方程為______.14．點是曲線（）圖象上的一個定點，過點的切線方程為，則實數k的值為______.15．函數的定義域為____.16．已知實數a，b，c滿足，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著時代的發(fā)展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創(chuàng)新引領型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日，某報社記者作了有關“你來A城市發(fā)展的理由”的調查問卷，參與調查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關數據如下：來A城市發(fā)展的理由人數合計自然環(huán)境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000（1）根據以上數據，預測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發(fā)放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性；請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關？自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）已知橢圓：的長半軸長為，點（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，為直線上任一點，過點橢圓上點處的切線為，，切點分別，，直線與直線，分別交于，兩點，點，的縱坐標分別為，，求的值.19．（12分）已知數列，，數列滿足，n．（1）若，，求數列的前2n項和；（2）若數列為等差數列，且對任意n，恒成立．①當數列為等差數列時，求證：數列，的公差相等；②數列能否為等比數列？若能，請寫出所有滿足條件的數列；若不能，請說明理由．20．（12分）在中，內角所對的邊分別為，已知，且.（Ｉ）求角的大??；（Ⅱ）若，求面積的取值范圍.21．（12分）已知函數（1）若函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍；（2）若函數對恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）已知函數的定義域為，且滿足，當時，有，且.（1）求不等式的解集；（2）對任意，恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數，，即，故表示直線與截距的倍，根據圖像知：當時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取得到項的系數為：.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.2．B【解析】

構造函數，判斷出的單調性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構造函數，由解得，所以的定義域為，且，所以為奇函數，而，所以在定義域上為增函數，且.由得，即，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查利用函數的單調性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.3．A【解析】

運用輔助角公式將兩個函數公式進行變形得以及,按四個選項分別對變形，整理后與對比，從而可選出正確答案.【詳解】解：.對于A：可得.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個，一個是混淆了已知函數和目標函數;二是在平移時，忘記乘了自變量前的系數.4．A【解析】

根據復數乘除運算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查復數代數運算，屬于基礎題題.5．B【解析】

根據正四棱錐底邊邊長為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因為正四棱錐底邊邊長為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.6．B【解析】

由題意可得的周期為，當時，，令，則的圖像和的圖像至少有個交點，畫出圖像，數形結合，根據，求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數，當時，，當，當，作出圖像，如下圖所示：函數至少有三個零點，則的圖像和的圖像至少有個交點，，若，的圖像和的圖像只有1個交點，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個交點，則有，即，.故選:B.【點睛】本題考查函數周期性及其應用，解題過程中用到了數形結合方法，這也是高考?？嫉臒狳c問題，屬于中檔題.7．A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，且，則可根據圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設雙曲線的一條漸近線與圓交于，因為，所以圓心到的距離為：，即，因為，所以解得．故選A．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查了轉化思想以及計算能力，屬于中檔題．對于離心率求解問題，關鍵是建立關于的齊次方程，主要有兩個思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結合曲線的幾何性質以及題目中的幾何關系建立方程；另一方面，可以從代數的角度，結合曲線方程的性質以及題目中的代數的關系建立方程.8．D【解析】

由題可得函數的定義域為，因為，所以函數為奇函數，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．9．A【解析】

根據分段函數解析式，先求得的值，再求得的值.【詳解】依題意，.故選：A【點睛】本小題主要考查根據分段函數解析式求函數值，屬于基礎題.10．D【解析】

根據空間向量的線性運算，用作基底表示即可得解.【詳解】根據空間向量的線性運算可知因為,，則即，故選：D.【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，用基底表示向量，屬于基礎題.11．A【解析】

先判斷函數的奇偶性，以及該函數在區(qū)間上的函數值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】函數的定義域為，，該函數為偶函數，排除B、D選項；當時，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查根據函數的解析式辨別函數的圖象，一般分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號，結合排除法得出結果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12．D【解析】

由題意畫出圖形，將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面，可得當時最小，設正方體的棱長為，得，進一步求出四面體的體積即可．【詳解】解：如圖，

∵點M，N分別在棱上，要最小，將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面，三線共線時，最小，

∴

設正方體的棱長為，則，∴．

取，連接，則共面，在中，設到的距離為，

設到平面的距離為，

.

故選D．【點睛】本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問題，考查計算能力，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可得圓的面積求出圓的半徑，由圓心在曲線上，設圓的圓心坐標，到直線的距離等于半徑，再由均值不等式可得的最大值時圓心的坐標，進而求出圓的標準方程．【詳解】設圓的半徑為，由題意可得，所以，由題意設圓心，由題意可得，由直線與圓相切可得，所以，而，，所以，即，解得，所以的最大值為2，當且僅當時取等號，可得，所以圓心坐標為：，半徑為，所以圓的標準方程為：.故答案為：．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系及均值不等式的應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意驗正等號成立的條件.14．1【解析】

求出導函數，由切線斜率為4即導數為4求出切點橫坐標，再由切線方程得縱坐標后可求得．【詳解】設，由題意，∴，，，即，∴，．故答案為：1．【點睛】本題考查導數的幾何意義，函數圖象某點處的切線的斜率就是該點處導數值．本題屬于基礎題．15．【解析】由題意得，解得定義域為．16．【解析】

先分離出，應用基本不等式轉化為關于c的二次函數，進而求出最小值.【詳解】解：若取最小值，則異號，，根據題意得：，又由，即有，則，即的最小值為，故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數配方求最值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（萬）（2）（3）填表見解析；有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關【解析】

(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據頻率公式即可求得結果.(2)由分層抽樣的知識可得，抽取6人中,4人選擇“森林城市，空氣清新”,2人選擇“降水充足，氣候怡人”求出對應的基本事件數,即可求得結果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【詳解】（1）（萬）（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，其中4人是選擇“森林城市，空氣清新”，2人是選擇“降水充足，氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”，則,.（3）列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計男100400500女200300500合計3007001000，所以有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關.【點睛】本題主要考查獨立性檢測的相關知識、分層抽樣與古典概念計算概率、考查學生的綜合分析與計算能力,難度較易.18．（1）；（2）.【解析】

（1）因為點在橢圓上，所以，然后，利用，，得出，進而求解即可（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立方程：和，利用韋達定理，再利用，，即可求出的值【詳解】（1）由橢圓的長半軸長為，得.因為點在橢圓上，所以.又因為，，所以，所以（舍）或.故橢圓的標準方程為.（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為.據得.據題意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，，所以.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題，聯(lián)立方程求定值的關鍵在于利用韋達定理進行消參，屬于中檔題19．（1）（2）①見解析②數列不能為等比數列，見解析【解析】

（1）根據數列通項公式的特點，奇數項為等差數列，偶數項為等比數列，選用分組求和的方法進行求解；（2）①設數列的公差為，數列的公差為，當n為奇數時，得出；當n為偶數時，得出，從而可證數列，的公差相等；②利用反證法，先假設可以為等比數列，結合題意得出矛盾，進而得出數列不能為等比數列．【詳解】（1）因為，，所以，且，由題意可知，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，數列是首項和公比均為4的等比數列，所以；（2）①證明：設數列的公差為，數列的公差為，當n為奇數時，，若，則當時，，即，與題意不符，所以，當n為偶數時，，，若，則當時，，即，與題意不符，所以，綜上，，原命題得證；②假設可以為等比數列，設公比為q，因為，所以，所以，，因為當時，，所以當n為偶數，且時，，即當n為偶數，且時，不成立，與題意矛盾，所以數列不能為等比數列．【點睛】本題主要考查數列的求和及數列的綜合，數列求和時一般是結合通項公式的特征選取合適的求和方法，數列綜合題要回歸基本量，充分挖掘題目已知信息，細思細算，本題綜合性較強，難度較大，側重考查邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng).20．（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ｉ）根據，利用二倍角公式得到，再由輔助角公式得到，然后根據正弦函數的性質求解.（Ⅱ）根據（Ｉ）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.【詳解】（Ｉ）因為，所以，，，或，或，因為，所以所以；（Ⅱ）由余弦定理得：，所以，所以，當且僅當取等號，又因為，所以，所以【點睛】本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.21．（1）；（2）.【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，計算函