2023-2024學(xué)年遼寧省五校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年遼寧省五校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=x2+xA.32 B.34 C.522.已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為(

)A.0.75 B.0.6 C.0.52 D.0.483.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2A.852 B.85 C.170 D.4.已知命題p：?x∈(0,π2),2πx<sinx<xA.真，￢p：?x∈(0,π2)，2πx≥sinx≥x

B.真，￢p：?x∈(0,π2)，2πx≥sinx或sinx≥x

C.假，￢p：?x∈(0,π25.已知隨機(jī)變量ξ,η,ξ～B(9,13),η～N(μ,σ2)，且E(η)=D(ξ)，若A.0 B.?1 C.1 D.26.集合{x∈Z|ex+1≤x+e}的子集個(gè)數(shù)為(????)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)A.2 B.4 C.8 D.167.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an=ln(A.m≥2 B.1≤m≤2 C.m≥3 D.2≤m≤3二、多選題：本題共4小題，共23分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。8.已知定義在R上的單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)滿足：任意x∈R，有f(1?x)+f(1+x)=2，f(2+x)+f(2?x)=4，則(

)A.當(dāng)x∈Z時(shí)，f(x)=x

B.任意x∈R，f(?x)=?f(x)

C.存在非零實(shí)數(shù)T，使得任意x∈R，f(x+T)=f(x)

D.存在非零實(shí)數(shù)c，使得任意x∈R，|f(x)?cx|≤19.等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列說法正確的是A.{ln|an|}為等差數(shù)列 B.若a2>a1且a5>10.甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進(jìn)，另一人沒投進(jìn)，則投進(jìn)者得1分，沒進(jìn)者得?1分，如果一輪比賽中兩人都投進(jìn)或都沒投進(jìn)，則都得0分，當(dāng)兩人各自累計(jì)總分相差4分時(shí)比賽結(jié)束，得分高者獲勝.在每次投球中甲投進(jìn)的概率為0.5，乙投進(jìn)的概率為0.6，每次投球都是相互獨(dú)立的.若規(guī)定兩人起始分都為2分，記Pi(i=0,1,2,3,4)為“甲累計(jì)總分為i時(shí)，甲最終獲勝”的概率，則(

)A.一輪比賽中，甲得1分的概率為0.5 B.P(0)=0，P(4)=1

C.Pi=0.2Pi+111.已知函數(shù)f(x)=x(ex?a)2，A.若a=0，則f(x)≥x

B.?a∈R，使得f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增

C.若x=1為f(x)的極值點(diǎn)，則a=e

D.?a∈R，坐標(biāo)平面上存在點(diǎn)P，使得有三條過點(diǎn)P的直線與f(x)的圖象相切三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.從含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，記X為所抽取的次品數(shù)，則E(X)=______．13.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x2+xy?1=0，則x214.設(shè)高斯函數(shù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)(如[2.1]=2，[3]=3，[?1.7]=?2)，已知an=[37×10n],b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

甲、乙兩人對(duì)局比賽，甲贏得每局比賽的概率為p(0<p<1)，每局比賽沒有平局．

(1)若賽制為3局2勝，p=23，求最終甲獲勝的概率；

(2)若賽制為5局3勝，記f(p)為“恰好進(jìn)行4局比賽且甲獲得最終勝利”的概率，求f(p)的最大值及此時(shí)p的值．16.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}滿兄an+1=anan+1，a1=12，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且2S17.(本小題15分)

目前AI技術(shù)蓬勃發(fā)展，某市投放了一批AI無人駕駛出租車.為了了解不同年齡的人對(duì)無人駕駛出租車的使用體驗(yàn)，隨機(jī)選取了100名使用無人駕駛出租車的體驗(yàn)者，讓他們根據(jù)體驗(yàn)效果進(jìn)行評(píng)分．

(1)現(xiàn)將100名消費(fèi)者的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評(píng)分劃分為“好評(píng)”和“差評(píng)”，整理得到如下數(shù)據(jù)，請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)無人駕駛出租車的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān)．好評(píng)差評(píng)合計(jì)青年20中老年10合計(jì)40100(2)設(shè)消費(fèi)者的年齡為x，對(duì)無人駕駛出租車的體驗(yàn)評(píng)分為y.若根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.5x+15，且年齡x的方差為sx2=9，評(píng)分y的方差為sy2=25.求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷對(duì)無人駕駛出租車使用體驗(yàn)的評(píng)分與年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱(當(dāng)|γ|≥0.75時(shí)，認(rèn)為相關(guān)性強(qiáng)，否則認(rèn)為相關(guān)性弱)．

附：b?=i=1nP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(lnx)2+a(lnx+1)x,a>0．

(1)求證：x>0時(shí)，ex>x2；

(2)討論f(x)19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)，定義：對(duì)給定的常數(shù)a，數(shù)列{an}滿足a1>a，f′(an+1)=f(an)?f(a)an?a，則稱數(shù)列{an}為函數(shù)f(x)的“L(a)?數(shù)列”.(f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù))

(1)若函數(shù)f(x)=x2，數(shù)列{an}為函數(shù)f(x)的“L(?1)?數(shù)列”，且a1=1，求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若函數(shù)g(x)=lnx，數(shù)列{an}為函數(shù)g(x)參考答案1.D

2.A

3.B

4.B

5.C

6.C

7.A

8.ABD

9.ABD

10.BC

11.ABD

12.6513.214.4285

2

15.解：(1)設(shè)前兩局比賽甲贏為事件A，

可得P(A)=(23)2=49；

設(shè)前兩局比賽甲贏一局且最后甲勝為事件B，

可得P(B)=C21×23×13×23=827，

則甲勝的概率為P(A)+P(B)=2027；

(2)若恰好進(jìn)行4局比賽且甲獲得最終勝利，

此時(shí)前三局比賽甲贏兩局，第四局甲贏，

所以f(p)=C32p2(1?p)p=316.解：(1)∵an+1=anan+1，∵1an+1=1an+1，

∴數(shù)列{1an}是以1a1=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

∴1an=1a1+(n?1)=2+n?1=n+1，

∴an=1n+1；

∵2Sn=3n+1?3，

當(dāng)n=1時(shí)，217.解：(1)根據(jù)題意可得2×2列聯(lián)表如下：好評(píng)差評(píng)合計(jì)青年203050中老年401050合計(jì)6040100∴K2=100(20×10?30×40)250×50×60×40≈16.667>10.828，

∴有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)無人駕駛出租車的評(píng)價(jià)與年齡有關(guān)；

(2)∵sx2=1100i=1100(xi?x?)218.(1)證明：設(shè)g(x)=x2e?x，x>0，則g′(x)=x(2?x)e?x，x>0，

當(dāng)g′(x)>0時(shí)，0<x<2，則g(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，

當(dāng)g′(x)<0時(shí)，x>2，則g(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減，

所以g(x)≤g(2)=4e2<1，

即x2e?x<1?ex>x2．

(2)解：由題意f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，

則f′(x)=2xlnx+?alnxx2=(2x?a)lnxx2，x>0，a>0，

①當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f′(x)=2(x?1)lnxx2，

當(dāng)0<x≤1時(shí)，(x?1)lnx≥0；當(dāng)x>1時(shí)，(x?1)lnx≥0，

故當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

②0<a<2時(shí)，

當(dāng)x∈(0,a2)∪(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,a2)和(1,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(a2,1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(a2,1)上單調(diào)遞減；

③a>2時(shí)，

當(dāng)x∈(0,1)∪(a2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,1)和(a2,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(1,a2)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(1,a2)上單調(diào)遞減；

(3)證明：由(2)知：

①當(dāng)a=2時(shí)，f(x)在(0,+∞)19.解：(1)f(x)=x2?f′(x)=2x，由題意，有2an+1=an2?1an+1=an?1，

則an+1+1=12(an+1)，又a1+1=2，所以{an+1}是以2為首項(xiàng)、以12為公比的等比數(shù)列，

所以an+1=12n?2，從而an=12n?2?1．

(2)證明：由題可得1an+1=lnanan?1，

①設(shè)φ(x)=lnx?x+1，φ′(x)=1x?1，

可知當(dāng)x