2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市六校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市六校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=3?i，則|z|=(

)A.10 B.10 C.252.設(shè)A，B是直線l上兩點(diǎn)，則“A，B到平面α的距離相等”是“l(fā)/?/α”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知一組數(shù)據(jù)：55，64，92，76，88，67，76，90，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是(

)A.90 B.88 C.82 D.764.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=5,b=4,c=21，則C=(

)A.90° B.45° C.60° D.30°5.已知非零向量a,b滿足a=3b，且向量b在向量a上的投影向量為16a，則aA.30° B.45° C.60°6.已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為(

)A.6π B.8π C.16π D.20π7.用2，3，4這3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為(

)A.13 B.12 C.238.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且csinC+3bsinAcosC=bsinB，則tanA的最大值是(

)A.32 B.22 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知i是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.復(fù)數(shù)z=3?5i的虛部為5

C.若復(fù)數(shù)z1，z2滿足(z10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列對△ABC的個(gè)數(shù)的判斷正確的是(

)A.當(dāng)a=22,c=4,A=30°時(shí)，有兩解

B.當(dāng)a=5，b=7，A=60°時(shí)，有一解

C.當(dāng)a=2,b=4,A=30°時(shí)，無解

D.當(dāng)11.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，AA1=2，D是邊B1C1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A.DE//AB

B.平面AB1C⊥平面ABDE

C.DE//平面AB1C

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若事件A與B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.3，則P(A∪B)=______．13.如圖，用無人機(jī)測量一座小山的海拔與該山最高處的古塔AB的塔高，無人機(jī)的航線與塔AB在同一鉛直平面內(nèi)，無人機(jī)飛行的海拔高度為500m，在C處測得塔底A(即小山的最高處)的俯角為45°，塔頂B的俯角為30°，向山頂方向沿水平線CE飛行50m到達(dá)D處時(shí)，測得塔底A的俯角為75°，則該座小山的海拔為

m；古塔AB的塔高為

m．

14.已知△ABC中，AB=22,∠A=45°,D為BC上一點(diǎn)，且BD=2DC，BE⊥AC，垂足為E，則AD?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）已知向量OA=(?3,1),OB=(1,?1),OC=(m,4),OD=(x,y)(m,x,y∈R)．

(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值；

(2)若四邊形16.（15分）如圖，在三棱錐A?BCD中，E是線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段CD上的一點(diǎn)．

(1)若EF//平面ABC，試確定F在CD上的位置，并說明理由；

(2)若BC=BD=AD=AC，證明：CD⊥AB．17.（15分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(2sinA+sinC)c=bsin2C．

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若AC=67，點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，且∠ABD=∠CBD，BD=4，求△ABC的周長．18.（17分）為了估計(jì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，現(xiàn)對100個(gè)產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評分(滿分100分)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品．

(1)求圖中a的值，并求綜合評分的平均數(shù)；

(2)用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層隨機(jī)抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再從這5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品的概率；

(3)已知落在[50,60)的平均綜合評分是54，方差是3，落在[60,70)的平均綜合評分為63，方差是3，求落在[50,70)的總平均綜合評分z?和總方差s2．19.（17分）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=3，AB=2AC=4，AC⊥CB，點(diǎn)D，E分別為棱BC，A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)．

(1)求證：AF⊥平面BCE；

答案解析1.A

【解析】解：由題意，|z|=32+(?1)2.B

【解析】解：由直線l不在平面α內(nèi)知：直線l上有兩個(gè)點(diǎn)到平面α的距離相等?l//α或直線l與平面α相交，

l//α?直線l上有兩個(gè)點(diǎn)到平面α的距離相等，

∴直線l上有兩個(gè)點(diǎn)到平面α的距離相等是l//α的必要不充分條件．

故選：B．

3.A

【解析】解：一組數(shù)據(jù)為55，64，92，76，88，67，76，90，

從小到大排列為55，64，67，76，76，88，90，92，

因?yàn)?×80%=6.4，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)為90．

故選：A．

4.C

【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

若a=5,b=4,c=21，

則可得cosC=a2+b2?c22ab=525.C

【解析】解：因?yàn)閨b|cos所以cosa,b=12，又故選：C．6.D

【解析】解：正六棱柱的所有棱長均為2，故正六棱柱的外接球球心為上下底面中心連線的中點(diǎn)，設(shè)外接球的半徑為r，故

r2=12+2故選：D．7.C

【解析】解：將2，3，4組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有{234,243,324,342,423,432}，共6種，

其中偶數(shù)有{234,324,342,432}，共4種，

所以事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為46=23．

8.D

【解析】解：因?yàn)閏sinC+3bsinAcosC=bsinB，

由正弦定理得c2+3abcosC=b2，

所以c2+3ab?a2+b2?c22ab=b2，所以a2=c2?b23，

由余弦定理得cosA=b2+c9.AD

【解析】解：i+i2+i3+i4=0，故A正確；

復(fù)數(shù)z=3?5i的虛部為?5，故B錯(cuò)誤；

設(shè)z1=1+i，z2=2，則(z1?1)2+(z2?1)10.AC

【解析】解：對于A，因?yàn)閍=22,c=4,A=30°，

可得22sin30°=4sinC，

可得sinC=22，

又因?yàn)?°<C<180°，c>a，

所以C=45°或C=135°，有兩解，故A正確；

對于B，因?yàn)閍=5，b=7，A=60°，

所以sinB=bsinAa=7×325=7310>1，無解，故B11.ABD

【解析】解：對于選項(xiàng)A：如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB//A1B1，

A1B1?平面A1B1C1，AB?平面A1B1C1，

則有AB//平面A1B1C1，AB?平面ABDE，平面A1B1C1∩平面ABDE=DE，

可得DE//AB，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)镈是B1C1的中點(diǎn)，BC=2，AA1=2，所以B1BDB1=BCB1B，

又∠DB1B=∠B1BC=90°，所以△B1BC∽△DB1B，所以∠BB1C=∠B1DB，

則∠BB1C+∠B1BD=∠B1DB+∠B1BD=90°，

所以B1C⊥BD，

因?yàn)锳B⊥BC，AB⊥BB1BC∩BB1=B，BC，BB1?平面B1BC，

所以AB⊥平面B1BC，

因?yàn)锽1C?平面B1BC，所以B112.0.6

【解析】解：因?yàn)槭录嗀與B互斥，則P(A)P(B)=0，

又P(A)=0.3，P(B)=0.3，

則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.3=0.6．

故答案為：0.6．

13.475?25【解析】解：如圖，在?ACD中

，CD=50,∠ACD=45由正弦定理得ACsin∠ADC又sin105所以AC=5012×延長AB交CE于H，

則AH=ACsin又無人機(jī)飛行的海拔高度為500m，

所以該座小山的海拔為500?25(在?ABC中，∠ACB=45又sin∠ACB=由正弦定理有ABsin15°=AC故答案為：475?253，14.?4【解析】解：如圖，因?yàn)锽E⊥AC，所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B=22,∠A=45°，所以EA=EB=2，則E(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，

又因?yàn)锽D=2DC，過D作DF⊥AC于F，則DF/?/EB，所以DFBE=CDCB=13，

得到DF=13BE=2315.解：(1)因?yàn)镺A=(?3,1),OB=(1,?1),OC=(m,4)，

所以AB=OB?OA=(1,?1)?(?3,1)=(4,?2)，AC=OC?OA=(m,4)?(?3,1)=(m+3,3)．

又A，B，C三點(diǎn)共線，所以AB//AC，所以4×3?(?2)(m+3)=0，

解得m=?9．

(2)由AB=(4,?2),BC=OC?OB=(m,4)?(1,?1)=(m?1,5)，

CD=OD【解析】(1)由OA=(?3,1),OB=(1,?1),OC=(m,4)，由A，B，C三點(diǎn)共線，可得m=?9．

(2)由AB=(4,?2),BC=16.(1)解：F是CD的中點(diǎn)，理由如下：

若EF//平面ABC，由EF?平面ACD，平面ACD∩平面ABC=AC，

得EF//AC，又E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，

所以F是CD的中點(diǎn)；

(2)證明：取CD的中點(diǎn)G，連接BG，AG，

因?yàn)锽C=BD=AD=AC，G為CD中點(diǎn)，

所以CD⊥AG，CD⊥BG，

因?yàn)锽G∩AG=G，所以CD⊥平面ABG，

因?yàn)锳B?平面ABG，

所以CD⊥AB．

【解析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得EF//AC，從而根據(jù)E是線段AD的中點(diǎn)即可確定點(diǎn)E的位置；

(2)通過等腰三角形的性質(zhì)證得CD⊥AG，CD⊥BG，從而利用線面垂直的判定定理得CD⊥平面ABG，最后利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明．

17.解：(1)依據(jù)題干條件(2sinA+sinC)c=bsin2C，

根據(jù)正弦定理可得(2sinA+sinC)sinC

=sinBsin2C

=2sinBsinCcosC，

又因?yàn)閟inC>0，

所以2sinA+sinC

=2sinBcosC

=2sin(B+C)+sinC

=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC，

所以2cosBsinC+sinC=0，

所以(2cosB+1)sinC=0，

又因?yàn)閟inC>0，

所以2cosB+1=0，

所以cosB=?12，

又因?yàn)锽∈(0,π)，

所以B=2π3．

(2)由題意可知∠ABD=∠CBD=π3，又因?yàn)槿切蜛BC包括三角形ABD和三角形DBC，

即S△ABC=S△ABD+S△DBC，

所以S△ABC=12acsin2π3=12c×4sinπ3+12a×4sinπ3，

【解析】(1)根據(jù)已知條件和正弦定理求解．

(2)根據(jù)第一問所求角度，在利用余弦定理求解即可．

18.解：(1)由頻率分布直方圖可得：(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，

解得a=0.040，

則綜合評分的平均數(shù)為x?=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020)=81；

(2)由題意，抽取5個(gè)產(chǎn)品，其中一等品有3個(gè)，非一等品有2個(gè)，

一等品記為a、b、c，非一等品記為D、E，

從這5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)，試驗(yàn)的樣本空間Ω={ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE}，共10個(gè)樣本點(diǎn)，

記事件A=“抽取的這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品”，則A={aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE}，共7個(gè)樣本點(diǎn)，

所以所求的概率為P=710；

(3)z【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和為1，求出a的值，再結(jié)合平均數(shù)的定義求解；

(2)利用古典概型的概率公式求解；

(3)利用分層隨機(jī)抽樣的均值和方差公式求解．

19.解：(1)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，

又AC⊥CB，AC∩AA1=A，AC，AA1?平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，

又AF?平面ACC1A1，

所以BC⊥AF，

在矩形ACC1A1中，AA1=3，AC=2，點(diǎn)E是棱A1C1的中點(diǎn)，

所以AE=EC=2，所以△AEC是等邊三角形，

又點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，所以AF⊥EC，

又CE∩BC=C，CE，BC?平面BCE，

所以