2020年高中數(shù)學必修第一冊：基本不等式 學案（北師大版）

第一章預(yù)備知識

第三章不等式

3.2基本不等式導(dǎo)學案

學習目標

1.通過兩個探究實例，引導(dǎo)學生基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想;

2.借助基本不等式解決簡單的最值問題，

課前診斷

1.兩個非負實數(shù)的算術(shù)平均值______它們的幾何平均值

2.a>O,b>O,?ix=\[a,y=\[b,貝ij：9也2當且僅當a=b時，等號成立

2

這個不等式稱為

3.當x,y均為正數(shù)時,下面的命題均成立:

（1）若x+y=s（s為定值）則當且僅當x=y時,xy取得

最大值________

（2）若xy=p（p為定值）則當且僅當x=y時,x+y取得最小值

實踐研究

1.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學家處理問題的重要依據(jù).通過

這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.如圖所示的圖形，

在A3上取一點C,使得AC=a,BC=b,過點C作CD_LA8交圓周于￡>,連接0。作CELLO。交0。

于E.由8NOE可以證明的不等式為（）

B

(a>0,Q0)-警（心°,4°）

a+b

D.a+^ab(a>0,b>0)

2.若a,b>0,ab+2a+b=4,貝Ua+b的最小值為()

A.2B.返-1C.2遙-2D.2返-3

3.若矩形ABC。的周長1為定值，則該矩形的面積的最大值是（）

11I2I2

A.-L-B..LC.1D.-L-

164164

4.已知〃?>0,xy>0,當x+y=2時，不等式2匚叱4恒成立，則機的取值范圍是()

xy

A.[5/2-+8)B.[2,+00)C.(0,5/21D.(a,2]

課后訊固

1.下列命題中正確的是（）

A.若a,6CR,則上母》2^".亙=2

B.若x>0,則xJ>2

x

C.若》<0,則乂4》-班H=-4

D.若xCR，則2X+2r>2Y2X?2r=2

2.下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.尸!■彳B.尸尺f

C.y=7x+7'xD.y=x+^~(x>0)

X

3.函數(shù)行x+L6（x>0）的最小值為（)

X

A.6B.7C.8D.9

4.已知實數(shù)a,6GR+,且a+b=2,則工+9的最小值為（）

ab

A.9B.旦C.5D.4

2

5.已知x>0,則y=x+W的最小值為（)

X

A.4B.16C.8D.10

6.若正數(shù)m6滿足L—_=J篇，則當而取最小值時，6的值為（）

ab

A-2V2B-V2c,2加D.V2

7.已知x,y>0,則x+2y的最小值為()

A.9B.12C.15D.672+3

8.已知正實數(shù)滿足a+26=l,則工+2最小值為()

ab

A.8B.9C.10D.11

9.(1)設(shè)0Vx<W,求函數(shù)y=x(3-2x)的最大值；

2

(2)解關(guān)于x的不等式(a+l)x+a<0.

10.如圖，要設(shè)計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩

欄的面積之和為45〃，，四周空白的寬度為0.5〃?，兩欄之間的中縫空白的寬度為0.25〃?，設(shè)廣告牌的高為

（1）求廣告牌的面積關(guān)于x的函數(shù)SQ）；

（2）求廣告牌的面積的最小值.

【答案】：

【實踐研究】

1.【解析】解：由射影定理可知C￡>2=O￡>O￡),即。

0Da+ka+b

2

由Q6OE得蟲良&L,

a+b

故選：A.

2.【解析】解：b=R,ab+2a+b=4,

：.b(a+1)=4-2a,

?6=42a=_2a-4__2(a+1)-6=_6

a+1a+1a+1a+1

：.a+b=a-2+-§-=a+l+_§_-3

a+1a+1

Va>0,QO,

?+fe2^(a+1)._1_-3=2返-3,

當且僅當a+l=6即。=>\/己-1時”=",

a+1

故選：D.

3.【解析】解：設(shè)矩形A8CD的長為x,寬為》則其周長l=2x+2y為定值,

即x+y=—；

2

所以該矩形的面積為

S*(也)2=G+y)2=史=止,

'2"4416

當且僅當x=y=工時S取得最大值是工土.

'416

故選：C.

4【解答］解：；加>0,xy>0,x+y=2,

(x+y)(-+^)=1(irri-2+-

xy2xy2xy

居(42+2廬口)

ZVXy

=/("2+2我辦

,

:不一等式孑^^4恒成立,.,??^■(nH'2+2A/^iJi)N4

整理得?；+1巧)(4母)》0,解得《>我，UPm>2,

的取值范圍為［2,+00).

故選：B.

【課后鞏固】

.D2.C3.C4.B5.C6.A7.D8.B

2

9【解析】解：(1)設(shè)0<xV&,?.?函數(shù)y=x(3-2x)=2-2&-2)，故當》=卓時，函數(shù)取得最大

值為2.

8

(2)關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0,即(x-1)(x-a)<0.

當a=l時，不等式即(x-1)2<o,不等式無解：

當時，不等式的解集為｛x[l<x<”｝；

當時，不等式的解集為｛x|a〈x<l｝.

綜上可得，當。=1時，不等式的解集為0,當。>1時，不等式的解集為｛x|l<x<“｝,當“VI時，不等

式的解集為國"4<1｝.

10.【解析】解：⑴依題意廣告牌的高為一，則(x-1)(r-1.25)=45,

所以t=l.25+,且犬>1，

x-1

所以廣告牌的面積s(x)=a=x(i25+-^-)(x>l).

'