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問(wèn)題教學(xué)法是一種新的教學(xué)方法,有利于激發(fā)學(xué)生的內(nèi)生動(dòng)力,化被動(dòng)為主動(dòng),使其整體學(xué)習(xí)效能、自主探究能力得以提升,為教學(xué)工作的優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。本文以“基本不等式”為例,基于學(xué)生學(xué)情、教材內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程,重點(diǎn)探討如何運(yùn)用問(wèn)題發(fā)散學(xué)生思維,促使學(xué)生圍繞問(wèn)題探究,并在問(wèn)題解決過(guò)程中總結(jié)“基本不等式”的知識(shí)點(diǎn),提高學(xué)生的問(wèn)題分析、解決能力,為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。一、教材分析“基本不等式”選自人民教育出版社A版普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修第一冊(cè)第二章“一元二次函數(shù)、方程和不等式”第2節(jié),本節(jié)教學(xué)案例設(shè)計(jì)重點(diǎn)集中在基本不等式的“不等式性質(zhì)、求解方法、線性優(yōu)化”三個(gè)方面,并要求學(xué)生掌握不等式的論證方法與求解技巧,以問(wèn)題為引導(dǎo),培養(yǎng)高中生的思維能力。二、學(xué)情分析基于學(xué)情的了解,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì),并能夠在問(wèn)題解析中運(yùn)用不等式性質(zhì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn),已經(jīng)初具數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)建模意識(shí)。但是部分學(xué)生在不等式知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中,對(duì)知識(shí)點(diǎn)前后關(guān)系聯(lián)結(jié)、不等式性質(zhì)實(shí)際運(yùn)用存在不足。因此,教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)逐步引導(dǎo),以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的方式,引導(dǎo)學(xué)生圍繞問(wèn)題展開(kāi)探究活動(dòng),并在此過(guò)程中理解基本不等式的內(nèi)涵及應(yīng)用技巧,從而更好地學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí),并且運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升。三、教學(xué)目標(biāo)1.指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體的問(wèn)題,歸納出其中的基本不等式,并且掌握代數(shù)、幾何方法證明。2.關(guān)注基本不等式的應(yīng)用領(lǐng)域及其取等條件,并且能運(yùn)用基本不等式解決生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。3.培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題觀察、分析和證明的能力,提升學(xué)生的抽象歸納與分析、問(wèn)題求解能力。四、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):運(yùn)用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法,對(duì)基本不等式進(jìn)行深入的認(rèn)識(shí),對(duì)其進(jìn)行多視角的論證。教學(xué)難點(diǎn):應(yīng)用基本不等式及求等的條件。五、教學(xué)過(guò)程(一)情境導(dǎo)入母親買了兩個(gè)蘋(píng)果回家,小明用自己的“玩具秤”稱蘋(píng)果的重量,首先將蘋(píng)果放入秤中,再放入砝碼讓秤桿保持平衡,此刻稱出的重量是a,但母親說(shuō),這是因?yàn)槌拥闹谱鞑粔驕?zhǔn)確,所以秤的左右兩側(cè)具有細(xì)微的差別。然后,小明把蘋(píng)果和砝碼互換,之后稱量出的重量為b,為得出最終結(jié)果,再把這兩個(gè)分量“平均”,以a+b/2這個(gè)數(shù)字來(lái)代表蘋(píng)果的重量。教師:閱讀材料之后,你有何感想?學(xué)生:小明并未認(rèn)知秤桿需要兩面平衡才能準(zhǔn)確地稱量。教師設(shè)計(jì)問(wèn)題1:蘋(píng)果的真正重量是a+b/2?學(xué)生:蘋(píng)果的質(zhì)量其實(shí)為。教師設(shè)計(jì)問(wèn)題2:接下來(lái)你要如何證明呢?學(xué)生:要探究a+b/2、之間是否是相等的關(guān)系,需要以代入的方式進(jìn)行分析。(設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活情境提高了學(xué)生的探索熱情。在“不合理”的情境下,學(xué)生能夠找到并運(yùn)用原有的物理知識(shí)來(lái)解答,這讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)中獲得了很大的成就感,并且找到了該節(jié)課程要研究的內(nèi)容,培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)模型能力。)(二)以猜測(cè)引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題教師:對(duì)特殊值的分析得出的結(jié)果并不是很嚴(yán)密,你能夠?qū)⑦@個(gè)問(wèn)題進(jìn)行嚴(yán)密的論證嗎?此時(shí)教師根據(jù)之前題目的引導(dǎo)讓學(xué)生互相交流,進(jìn)行練習(xí),并讓學(xué)生總結(jié)解題方法。學(xué)生1:采用對(duì)比方法,但是必須有充分的必要條件,即a,b≥0,以及不等式取等的有效方式。學(xué)生2:運(yùn)用分析法,求出每個(gè)步驟所需要的條件,直到得出明顯的結(jié)論,此時(shí)要注意問(wèn)題的解析方式,并提升分析法的運(yùn)用。學(xué)生3:選取數(shù)值時(shí),先選擇兩個(gè)數(shù)的平方,去掉根號(hào),然后用前面步驟來(lái)論證,此為“平方法”。(設(shè)計(jì)意圖:首先,從特殊值出發(fā)得出猜測(cè),此時(shí)學(xué)生會(huì)產(chǎn)生為何不嚴(yán)密的疑惑,并引起探究的意識(shí)。接下來(lái),通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行不等式的演示,驗(yàn)證學(xué)生對(duì)上一節(jié)不等式的理解程度,同時(shí)能夠讓他們體會(huì)到知識(shí)的實(shí)用性。)(三)用數(shù)形結(jié)合的方式,引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想1.引導(dǎo)學(xué)生思維,強(qiáng)化學(xué)生的探究能力教師:利用一些特殊替代方法,我們已經(jīng)獲得了基本不等式,那么接下來(lái),是否可以利用不等式的性質(zhì)來(lái)導(dǎo)出這個(gè)不等式?學(xué)生:作差法。教師:很好,那你們有沒(méi)有別的辦法?過(guò)了一會(huì)兒,還是沒(méi)有人回應(yīng)。教師:通常有兩種方式:一種是從條件中導(dǎo)出結(jié)果,此為“由因?qū)Чā?,也是所謂的“綜合法”;另一種是從結(jié)果中尋找足夠的條件,此為執(zhí)果索因法,也是所謂的分析法。如果能從簡(jiǎn)單的條件中導(dǎo)出結(jié)果,我們可以使用綜合方法,而作差法是綜合法中的一種,相反,則使用解析法。教師:除a,b>0以外,其他的不等式成立沒(méi)有任何條件,因此需要同學(xué)們用分析法來(lái)論證。學(xué)生組內(nèi)討論交流,教師適時(shí)引導(dǎo),合作探索。學(xué)生:要證明■≥■,則證明a+b≥2■,由不等式的特點(diǎn)可知,證明a+b-2■≥0,也是■-■2≥0。教師引導(dǎo)學(xué)生展示自己的論證步驟,修改其解題形式。教師:分析法的重點(diǎn)在于尋找足夠的條件,直到發(fā)現(xiàn)明顯存在的公式為止。(設(shè)計(jì)意圖:在對(duì)基本不等式進(jìn)行驗(yàn)證和討論時(shí),教師著重講解分析法,提升學(xué)生對(duì)基本不等式知識(shí)的理解以及問(wèn)題解答的能力,并組織學(xué)生了解綜合法和分析法,能夠更加明確地知曉分析法的具體作用,并在此基礎(chǔ)上提升了他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),強(qiáng)化其邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,為之后問(wèn)題的探索和學(xué)習(xí)提供幫助。)2.以圖形和案例相結(jié)合,激發(fā)學(xué)生思維例題:在圖1中,DC是垂直于△ABD的斜邊AB上的高,垂直于直線AB的點(diǎn)C為垂足,將斜邊AB分為兩個(gè)長(zhǎng)為a、b的線段,要求學(xué)生找到可以表達(dá)算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的直線段,并用圖形表達(dá)基本不等式。學(xué)生:在AB邊上,可以把它分為兩個(gè)長(zhǎng)度是■的直線段。教師:非常好,在圖2中,將AB的中點(diǎn)設(shè)為O,那么OA=OB≤■,那么,有什么直線可以用來(lái)表示幾何平均數(shù)嗎?學(xué)生互相討論,找出直線段的位置。學(xué)生:從圖2中可以很容易地看出,■=■,就是DC2=AC×BC,因此,DC=■,高DC的長(zhǎng)度代表了幾何平均數(shù)。教師:怎么解釋?學(xué)生:在DO的連接線上,DO=■,它還可以代表算術(shù)平均數(shù)。教師:非常好,根據(jù)直角三角形的特性,我們可以知道,D是在圓周O上,而這個(gè)圓周O的半徑為■,如圖3所示。用“幾何畫(huà)圖板”來(lái)演示點(diǎn)D沿圓的移動(dòng),DC<DO只有當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)O一致,也就是a=b時(shí),才有DC=DO。教師:經(jīng)過(guò)探索,得出用幾何方法來(lái)說(shuō)明基本不等式:圓的半弦長(zhǎng)度不能超出其半徑的長(zhǎng)度。在此,同學(xué)們應(yīng)當(dāng)了解為何以■≥■來(lái)表達(dá)基本不等式,這種表達(dá)方式具有其獨(dú)特的幾何含義。(設(shè)計(jì)意圖:在引導(dǎo)的過(guò)程中,以基本不等式的幾何說(shuō)明帶領(lǐng)學(xué)生探究知識(shí)。高中生可通過(guò)觀察圖形中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與變化,思考基本不等式問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)空間立體思維,進(jìn)而幫助學(xué)生構(gòu)建立體化的知識(shí)體系,切實(shí)了解基本不等式的求等條件。)3.運(yùn)用對(duì)新知識(shí)闡釋,深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)教師:你如何理解“基本”這個(gè)詞在基本不等式中的意義?學(xué)生:這應(yīng)該是最容易求得的不等式了吧。教師:重要不等式是從基本不等式中推導(dǎo)出來(lái)的?;静坏仁狡鹆巳齻€(gè)作用。第一,這個(gè)基本不等式的計(jì)算規(guī)則很簡(jiǎn)單,左側(cè)使用了加、除,右側(cè)使用到了乘和開(kāi)方,這兩個(gè)最基礎(chǔ)的操作,左側(cè)是算術(shù)平均數(shù),右側(cè)是幾何平均數(shù)。第二,基本不等式中包含了豐富的代數(shù)、幾何和物理知識(shí),同時(shí)包含了現(xiàn)實(shí)的生活環(huán)境,因此可在實(shí)際生活中運(yùn)用基本不等式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。第三,對(duì)其他均值不等式進(jìn)行形變和擴(kuò)展,從而得到更為復(fù)雜的不等式。(設(shè)計(jì)意圖:從“基本不等式”術(shù)語(yǔ)的意義入手,既能使學(xué)生更好地了解基本不等式的相關(guān)知識(shí),又能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到,仍有許多不等式知識(shí)是建立在基本不等式基礎(chǔ)上的,從而使學(xué)生更加關(guān)注此類知識(shí)。)4.引導(dǎo)學(xué)生了解重要不等式教師:同學(xué)們,我們?cè)谶M(jìn)行解答的過(guò)程中需要注意重要不等式和基本不等式的運(yùn)用情況,對(duì)于題目解析時(shí)是否適用基本不等式進(jìn)行分析。那讓我們來(lái)分析一下,怎樣才能更好地理解當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),其中的等號(hào)成立?學(xué)生:使用的條件是a,b>0,“當(dāng)且僅當(dāng)”指的是“充要條件”。教師:能不能給我講講?學(xué)生:這句話的含義是a=b時(shí)(取等號(hào))的充分必要條件。教師:說(shuō)得好,“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立”是“a=b時(shí)取等號(hào),且只有a=b時(shí)取等號(hào)”。(設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生更好地了解不等式的內(nèi)容,并把握基本不等式在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中需要的條件和取等條件,以促使學(xué)生在日后學(xué)習(xí)中能夠更好地將此類知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題解析,并在此過(guò)程中,訓(xùn)練學(xué)生思考深度。)5.運(yùn)用所學(xué)知識(shí),加強(qiáng)知識(shí)的運(yùn)用假設(shè):x>0,則求x+■的最小值,如果x>0,可以得到x+■的極小值。變式:如果用“x∈R且x≠0”來(lái)代替“x≥0”,會(huì)發(fā)生什么?此時(shí)教師可以讓兩名學(xué)生把假設(shè)與變式中提到的條件書(shū)寫(xiě)在黑板上,剩下的學(xué)生用草稿紙做出來(lái)。(設(shè)計(jì)意圖:利用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生完成例題分析,幫助學(xué)生對(duì)基本不等式的適用條件、取等條件做出適當(dāng)取舍,培養(yǎng)其數(shù)學(xué)研究能力,在思維轉(zhuǎn)換過(guò)程中加深知識(shí)學(xué)習(xí)印象,強(qiáng)化數(shù)學(xué)邏輯思維能力。)六、教學(xué)反思首先,以師生互動(dòng)形式總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律,更利于加深學(xué)生課堂學(xué)習(xí)印象。問(wèn)題教學(xué)法融合課堂,可以讓高中生全程帶著探索心理參與學(xué)習(xí)活動(dòng),提升課堂的活躍性和積極性,并以獨(dú)立思考和合作探討的方式提升學(xué)科素養(yǎng)。其次,采用情境導(dǎo)入、數(shù)形結(jié)合等教學(xué)手段輔助授課,更利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng),讓其通過(guò)“數(shù)”與“形”的論證過(guò)程,結(jié)合實(shí)例,歸納出基
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