專題8.43 整式乘法與因式分解（全章復習與鞏固）（知識講解）-七年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練（滬科版）

專題8.43整式乘法與因式分解（全章復習與鞏固）（知識講解）【學習目標】1.掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；2.會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算；4.理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解.【要點梳理】要點一、整式的乘法和除法1.單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.2.單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).3.多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質(zhì)符號，單項式乘以多項式各項的結果，要用“＋”連結，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項式的乘法，能得出一個應用比較廣泛的公式：.4.單項式相除把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式.5.多項式除以單項式先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.即：要點二、乘法公式1.平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.2.完全平方公式：；兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.要點三、因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.特別說明：落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.【典型例題】【類型一】整式的乘法??直接運算??化簡求值1、計算：．(2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）根據(jù)積的乘方公式和單項式乘單項式運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)多項式乘多項式運算法則進行計算即可．（1）解：；（2）解：．【點撥】本題主要考查了整式的運算，解題的關鍵是熟練掌握多項式乘多項式運算法則，積的乘方公式和單項式乘單項式運算法則，準確計算．舉一反三：【變式1】計算：．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方及單項式乘以多項式可進行求解．解：．【點撥】本題主要是考查積的乘方及單項式乘以多項式，熟練掌握各個運算法則是解題的關鍵．【變式2】計算：【答案】【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則計算即可．解：．【點撥】本題考查了整式的乘除，熟練掌握多項式乘以多項式運算法則是解題的關鍵．2、先化簡再求值：，其中．【答案】，．【分析】對整式去括號，合并同類項，然后把x、y的值代入整式即可得出整式的值．解：，當時．原式．【點撥】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：，其中，．【答案】；【分析】根據(jù)多項式乘以多項式，單項式乘以多項式進行計算，然后合并同類項，最后將字母的值代入即可求解．解：；當，時，原式．【點撥】本題考查了整式的化簡求值，掌握多項式乘以多項式以及多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．【變式2】已知的展開式中不含x的一次項，常數(shù)項是．求m，n的值．求的值．【答案】(1) (2)35【分析】（1）直接利用多項式乘多項式將原式變形，進而得出m，n的值；（2）利用多項式乘多項式運算法則計算得出答案．（1）解：，由題意可知：，，解得：；（2）解：，當時，原式．【點撥】此題主要考查了多項式乘多項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．【類型二】乘法公式??直接運算??化簡求值3、計算：(2)【答案】(1) (2)【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式進行計算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式分別計算，然后合并同類項即可求解．（1）解：原式

；（2）解：原式

．【點撥】本題考查了多項式乘以多項式，完全平方公式，掌握整式乘法運算的運算法則以及乘法公式是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】計算：．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式，平方差公式以及整式的加減運算，求解即可；解：原式．【點撥】此題考查了完全平方公式，平方差公式以及整式的加減運算，解題的關鍵是掌握整式的相關運算法則．【變式2】計算：(2)【答案】(1) (2)【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式去括號，再加減法；（2）根據(jù)多項式乘以多項式及冪的乘方去括號，再計算加減法．（1）解：；（2）．【點撥】此題考查了整式的混合運算，正確掌握完全平方公式、平方差公式、多項式乘以多項式及冪的乘方計算法則是解題的關鍵．4、先化簡后求值：，其中

，其中，．【答案】(1)； (2)，12【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多項式乘以多項式展開，再合并同類項得到最簡代數(shù)式，再代入取值求出代數(shù)式的值．（2）利用完全平方公式和平方差公式進行化簡，再按照多項式除以單項式的運算法則進行計算，最后代入求值即可．解：（1）將代入得：（2）將，代入得：【點撥】本題主要考查整式化簡求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合運算法則是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】若，求的值．【答案】10【分析】利用完全平方公式和單項式乘多項式的運算法則先計算乘方和乘法，然后合并同類項進行化簡，最后利用整體思想代入求值．解：當時，原式【點撥】本題考查整式的混合運算，理解整體思想解題的應用，掌握完全平方公式是解題關鍵．【變式2】先化簡，再求值：，其中a、b滿足【答案】，【分析】根據(jù)整式的運算法則及絕對值和偶次方的非負性即可求出答案．解：原式，∵，∴，，∴，，當，時，原式．【點撥】本題考查整式的運算及絕對值和偶次方的非負性，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．【類型三】整式的乘法??乘法公式??變形運算??圖形問題5、（1）已知，求代數(shù)式的值；（2）已知，求的值．【答案】（1），2；（2）7【分析】（1）先用平方差公式將原式進行化簡，再將代入進行計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式的變形進行計算即可得到答案．解：（1），

當時，原式；（2），．【點撥】本題考查了求代數(shù)式的值，運用平方差公式、完全平方公式的變形進行計算，熟練掌握平方差公式以及完全平方公式的變形是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】已知實數(shù)m，n滿足，．求的值；求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）先根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則將所求式子變形為，再把已知條件式整體代入求解即可；（2）根據(jù)進行求解即可．（1）解：，∴當，時，原式；（2）解：∵，，∴．【點撥】本題主要考查了多項式乘多項式——化簡求值，完全平方公式的變形求值，正確計算是解題的關鍵．【變式2】利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決方程或代數(shù)式的一些問題，請閱讀下列材料：閱讀材料：若，求m、n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：已知，求a、b的值；已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求c的值；【答案】(1)；(2)．【分析】（1）將多項式拆分為完全平方展開式的形式，最后配湊為完全平方，再根據(jù)平方的性質(zhì)求解；（2）先配湊完全平方公式求出a，b值，再根據(jù)三角形三邊關系求出第三邊．（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴∴，∴，解得，∵a、b、c是的三邊長，∴，即，∵c是正整數(shù)，∴．【點撥】本題考查完全平方公式的應用，三角形三邊關系的應用，解題的關鍵是合理配湊完全平方公式．6、請認真觀察圖形，解答下列問題：根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示陰影圖形的面積的和（只需表示，不必化簡）①________________②________________；由（1）你能得到怎樣的等量關系？請用式子表示：________________如果圖中的滿足.求：①的值②的值【答案】(1)①，② (2)；(3)①，②【分析】(1)根據(jù)陰影部分的面積與空白部分的面積關系即可求出結果；（2）根據(jù)陰影部分的面積相等即可求出結果；（3）根據(jù)完全平方式與已知條件即可求出對應值．（1）解：∵圖中陰影部分的面積由兩部分組成，第一部分的面積為，第二部分的面積為：；∴陰影部分的面積的第一種表示方法為．∵大正方形的面積為；空白部分的面積為，∴陰影部分的面積為：，故答案為：①；②．（2）解：由（1）可知陰影部分的面積相等，∴，故答案為：；（3）解：①∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點撥】本題考查了完全平方式和平方差公式的幾何意義，熟練公式法是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于___________；面積等于___________．觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式，之間的等量關系為___________．運用你所得到的公式，計算：若、為實數(shù)，且，，試求的值．【答案】(1)，或 (2) (3)6【分析】（1）根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)即可求得圖乙中陰影部分正方形邊長，根據(jù)正方形的面積公式求得面積；（2）用兩種不同方式求得陰影部分面積可得關于、、的等式；（3）根據(jù)（2）中結論即可解題．解：（1）圖中陰影部分邊長為，則陰影部分的面積為或故答案為：；或；（2）用兩種不同的方法表示陰影的面積：方法一：陰影部分為邊長的正方形，故面積；方法二：陰影部分面積為邊長的正方形面積四個以為長、b為寬的個長方形面積；∴；即，故答案為：；（3）由（2）得，，∴，∴．【點撥】本題考查了完全平方公式的計算，考查了正方形面積計算，本題中求得是解題的關鍵．【變式2】通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積可以得到一個恒等式圖將一個邊長為的正方形圖形分割成四部分（兩個正方形和兩個長方形），請觀察圖形，解答下列問題：根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示該圖形的總面積，可得如下公式：；如果圖中的、滿足，，求的值；已知，求．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）依據(jù)該圖形的總面積為或可得結果；（2）由（1）題結果可得，將，可求得即的值；（3）設，，則，依據(jù)代入計算可求得即可求出．（1）解：該圖形的總面積為：或故答案為：；（2）由（1）題結果可得，∴當，時，，∴；（3）設，，∴，則，∵，，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了完全平方公式的證明及應用；解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式．【類型四】因式分解??直接進行因式分解??因式分解的應用7、因式分解．;(2)【答案】(1) (2)【分析】（1）利用提公因式進行分解，即可解答；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答．解：（1）；（2）．【點撥】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．舉一反三：【變式1】因式分解：．(2)【答案】(1) (2)【分析】（1）提取公因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可；（2）將變形為，提取公因式，再根據(jù)平方差公式分解因式．（1）解：原式；（2）解：原式【點撥】本題考查了綜合提公因式與公式法分解因式，熟練掌握常用因式分解的方法是解題的關鍵．【變式2】我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．仿照以上方法分解因式：；．【答案】(1) (2)【分析】（1）采用分組法，結合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．（1）解：；（2）解：．【點撥】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．8、利用完全平方公式進行因式分解，解答下列問題：因式分解：________．填空：①當時，代數(shù)式_______；

②當________時，代數(shù)式．③代數(shù)式的最小值是________．拓展與應用：求代數(shù)式的最小值．【答案】(1) (2)①0②3③4 (3)3【分析】（1）根據(jù)完全平方公式將原式進行因式分解即可；（2）①將代入求解即可；②解方程，即可獲得答案；③將代數(shù)式變形為，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可確定答案；（3）將代數(shù)式變形為，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可確定答案．（1）解：．故答案為：；（2）①當時，；②∵，∴，∴當時，代數(shù)式；③∵，又∵，∴當時，代數(shù)式的最小值是4．故答案為：①0；②3；③4；（3）解：∵原式，又∵，，∴原式，代數(shù)式的最小值是3．【點撥】本題主要考查了因式分解的應用