陜西省西安市藍(lán)田縣2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE22-陜西省西安市藍(lán)田縣2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合、，利用并集的定義可求出集合.【詳解】，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查并集的計(jì)算，同時(shí)也考查了肯定值不等式和指數(shù)不等式的求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）虛部為（）A.-1 B.-3 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】干脆利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】，數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知向量，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)?，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4.隨機(jī)從名老年人，名中老年和名青年人中抽取人參與問卷調(diào)查，則抽取的人來自不同年齡層次的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：本題為古典概型，算出抽取2人的總共方法，提出符合題意的，即2人來自不同年齡層．詳解：記3名老年人，名中老年和名青年人分別為該隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果為共15種，其中來自不同年齡層的有11種，故古典概型的概率為故選D點(diǎn)晴：本題考查古典概型的概率算法：5.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的C的值為（）A.3 B.5 C.8 D.【答案】B【解析】第一次循環(huán)，得；其次次循環(huán)，得；第三次循環(huán)，得，不滿意循環(huán)條件，退出循環(huán)，輸出，故選B．考點(diǎn)：程序框圖．6.設(shè)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，，再利用函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)可得答案.【詳解】解：為奇函數(shù)，，又，，又，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小，考查利用學(xué)問解決問題的實(shí)力.7.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A.若α∥β,mα,nβ，則m∥n B.若α⊥β，mα,則m⊥βC.若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n D.若α∥β，mα，則m∥β【答案】D【解析】【分析】在中，與平行或異面；在中，與相交、平行或；在中，與相交、平行或異面；在中，由線面平行的性質(zhì)定理得．【詳解】由，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，知：在中，若，，，則與平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，則與相交、平行或，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，故正確．故選．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題．8.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因?yàn)閳D象過點(diǎn)，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】依據(jù)圖象求解析式問題的一般方法是：先依據(jù)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再依據(jù)函數(shù)圖象上的一個(gè)特別點(diǎn)確定φ值．9.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為且是邊長(zhǎng)為8的正三角形，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意，畫出草圖，則，，即可求出，即可得解；【詳解】解：依題意，設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，則，，所以，所以，即，所以拋物線方程為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，則A.1 B. C. D.-1【答案】D【解析】【分析】求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)兩直線平行的條件，令，，求出；【詳解】，所以，又直線得斜率為，由兩直線平行得：，所以故選D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點(diǎn)切線方程，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．11.已知角的終邊過點(diǎn)，且，則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，，解得，故選B.12.已知P為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若，且直線與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意作出圖象，由雙曲線定義可得，又直線PF2與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，可得，對(duì)在兩個(gè)三角形中分別用余弦定理及余弦定義列方程，即可求得，聯(lián)立，即可求得，問題得解．【詳解】依據(jù)題意作出圖象，如下：則，，又直線PF2與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，所以,所以由雙曲線定義可得：，所以，所以整理得：，即：將代入，整理得：，所以C的漸近線方程為故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義及圓的曲線性質(zhì)，還考查了三角函數(shù)定義及余弦定理，考查計(jì)算實(shí)力及方程思想，屬于難題．二、填空題：13.已知實(shí)數(shù)，滿意，則的取值范圍是_________.【答案】[－5，11]【解析】【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，依據(jù)圖形找到最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示平面區(qū)域如圖.當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，；過點(diǎn)時(shí)，.所以的取值范圖是[－5，11].故答案為：[－5，11].【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，正確作出圖形，找到最優(yōu)解是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14.某學(xué)校有學(xué)生3200人，其中高一學(xué)生1200人，高二學(xué)生1000人，高三學(xué)生1000人，為了解學(xué)生體育達(dá)標(biāo)狀況，確定采納分層抽樣方法，從中抽取容量為48的樣本，則從高三抽取的人數(shù)是________.【答案】【解析】【分析】由題意用樣本容量乘以高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)占的比例，即為所求．【詳解】解：由題意可得高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)占的比例為，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．15.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則角________，的周長(zhǎng)的取值范圍是________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】用余弦定理表示出,與一起代入中化簡(jiǎn),再由余弦定理即可求得,即可得;依據(jù)正弦定理,將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為角C的表達(dá)式.依據(jù)銳角三角形及的范圍,即可確定角B的范圍,進(jìn)而求得周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】由余弦定理可得,且代入可得化簡(jiǎn)可得因?yàn)榇肟傻靡驗(yàn)闉殇J角三角形,則由正弦定理可得,代入,可得則而為銳角三角形,則,則,即,解得所以的周長(zhǎng)為因?yàn)閯t所以則即所以的周長(zhǎng)的范圍為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理在三角函數(shù)恒等變形中的綜合應(yīng)用,正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,留意銳角三角形這一限制角的條件,屬于中檔題.16.三棱柱中，平面，，，，其外接球的體積為_________.【答案】【解析】【分析】依題意可知三棱柱為直棱柱，且，則可將其外接球轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槠矫妫匀庵鶠橹比庵?，，，，，所以，則三棱柱的外接球即為以，，為一組鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，則所以，外接球體積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的體積計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.）（一）必考題17.如圖，四棱錐的底面為直角梯形，為正三角形，平面平面，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，再依據(jù)直線與平面平行的判定定理可知；（2）取正三角形邊的中點(diǎn)，連接，可證為四棱錐的高，依據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）在直角梯形中，由題意且點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，得四邊形為正方形，則，平面，平面，由直線與平面平行的判定定理可知平面；（2）取正三角形邊的中點(diǎn)，連接，可得，又且交線為，所以.即為四棱錐高，因?yàn)?，，正三角形中，，所?【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行的判定定理，考查了平面與平面垂直的性質(zhì)定理，考查了棱錐的體積公式，屬于中檔題.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）當(dāng)且時(shí)，利用求得，閱歷證時(shí)也滿意所求式子，從而可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，利用錯(cuò)位相減法求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)且時(shí)，…①當(dāng)時(shí)，，也滿意①式數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（2）由（1）知：【點(diǎn)睛】本題考查利用求解數(shù)列通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的問題，關(guān)鍵是能夠明確當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)為等差與等比乘積時(shí)，采納錯(cuò)位相減法求和，屬于?？碱}型.19.某社團(tuán)小組在一高峰時(shí)段對(duì)某座地鐵站隨機(jī)抽取了100名乘客，統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間（等待時(shí)間不超過40分鐘）.將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按[5，10），[10，15），[5，20），…，[35，40]分組，制成如圖頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）記表示事務(wù)“在上班高峰時(shí)段某乘客在該站乘車等待時(shí)間少于20分鐘”，試估計(jì)的概率；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間左端點(diǎn)值來估計(jì)，求在上班高峰時(shí)段該站抽取的100名乘客乘車的平均等待時(shí)間.【答案】（1）0.036；（2）0.5；（3）18.3分鐘.【解析】【分析】（1）利用七個(gè)矩形的面積和等于1可得結(jié)果；（2）依據(jù)前3個(gè)矩形的面積和可得結(jié)果；（3）依據(jù)每個(gè)矩形的面積乘以相應(yīng)區(qū)間的左端點(diǎn)值再相加可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）由題意知，該乘客在甲站平均等待時(shí)間少于20分鐘的頻率為：，故的估計(jì)值為0.5.（3）在上班高峰時(shí)段該站站抽取的100名乘客乘車的平均等待時(shí)間：分鐘.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布正方圖，考查了利用直方圖求頻率、平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.20.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，的微小值為，無極大值（2）【解析】【分析】（1）求出，求解不等式，得出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；（2）設(shè)，有三個(gè)零點(diǎn)，至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，求出，對(duì)分類探討，求出至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間的范圍，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，確定區(qū)間存在零點(diǎn)的不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】（1），令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以的微小值為，無極大值.（2）設(shè)，即，.①若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，至多有兩個(gè)零點(diǎn)②若，則，，（僅），單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn).③若，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，要使有三個(gè)零點(diǎn)，必需有成立，由，得，這與沖突，所以不行能有三個(gè)零點(diǎn).④若，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，要使有三個(gè)零點(diǎn)，必需有成立，由，得，由及，得，∴.且當(dāng)時(shí)，，，，.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問題，以及零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，考查分類探討思想，意在考查直觀想象、邏輯推理和計(jì)算求解實(shí)力，屬于較難題.21.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的焦距為，直線截圓：與橢圓所得的弦長(zhǎng)之比為，圓、橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)且不是橢圓頂點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)位，直線，分別交軸于點(diǎn)，.證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由弦長(zhǎng)之比求得，，橢圓方程可求；（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，，分別寫出直線與的方程，得到，的坐標(biāo)，再依據(jù)點(diǎn)在橢圓上，即可證明．【詳解】解：（1）依據(jù)題意可得，．因?yàn)橹本€截圓所得的弦長(zhǎng)為，直線截橢圓所得的弦長(zhǎng)為，故．，，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）由（1）可知點(diǎn)，點(diǎn)．直線的方程為，令，得．因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，，所以直線的方程為，令，得．．，．，即．．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)潔性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．（二）選考題：請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線的平面直角坐標(biāo)方程和直線的一般方程；（2）設(shè)直線與曲線分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）兩邊同乘以，利用轉(zhuǎn)換公式可得曲線的一般方程．直線的參數(shù)方程為參數(shù)），消去參數(shù)可得一般方程．（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，可得關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系、的幾何意義及求解的值．【詳解】（1）由曲線，得，曲線的直角坐標(biāo)方程為直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)可得一般方程：，即．（2）將直線的參數(shù)方程為參數(shù)）代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得：．設(shè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，．若成等比數(shù)列，則，，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化一般方程，考查直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題．選修4－5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【