新教材適用高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步測(cè)評(píng)新人教A版必修第二冊(cè)

第八章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿(mǎn)分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說(shuō)法正確的是()A.圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)等腰三角形B.棱柱即是兩個(gè)底面全等且其余各面都是矩形的多面體C.任何一個(gè)棱臺(tái)都可以補(bǔ)一個(gè)棱錐使它們組成一個(gè)新的棱錐D.通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn),有多數(shù)條母線(xiàn)解析:圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)扇形,故A錯(cuò)誤;由棱柱的定義知B錯(cuò)誤;通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn),有且只有一條母線(xiàn),故D錯(cuò)誤;因?yàn)槔馀_(tái)是由一個(gè)大棱錐被一個(gè)平行于底面的平面所截,夾在截面與底面的部分,所以任何一個(gè)棱臺(tái)都可以補(bǔ)一個(gè)棱錐使它們組成一個(gè)新的棱錐,故C正確.答案:C2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點(diǎn),則直線(xiàn)CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1D1解析:CE?平面ACC1A1,∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面ACC1A1,∴BD⊥CE.答案:B3.如圖,Rt△O'A'B'是一平面圖形的直觀圖,斜邊O'B'=2,則這個(gè)平面圖形的面積是()A.22 BC.2 D.2解析:在直觀圖中,∵O'B'=2,∠A'O'B'=45°,∠O'A'B'=90°,∴O'A'=A'B'=2×∴S△O'A'B'=12×2∴這個(gè)平面圖形的面積S=22S△O'A'B'=22故選D.答案:D4.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底面的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()(“斛”不是國(guó)際通用單位)A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析:設(shè)米堆的底面半徑為r,則π2r=8,故r=16π(尺),則V米堆=13πr2h×因?yàn)?斛米的體積約為1.62立方尺,所以堆放的米約有3209÷1.62≈22(斛)答案:B5.如圖,四棱錐S-ABCD全部的棱長(zhǎng)都等于2,E是SA的中點(diǎn),過(guò)C,D,E三點(diǎn)的平面與SB交于點(diǎn)F,則四邊形DEFC的周長(zhǎng)為()A.2+3 B.3+3C.3+23 D.2+23解析:∵AB=BC=CD=DA=2,∴四邊形ABCD為菱形,∴AB∥CD,從而AB∥平面DEFC,∵AB?平面SAB,平面SAB∩平面DEFC=EF,∴AB∥EF.又E是SA的中點(diǎn),∴F為SB的中點(diǎn),∴EF=1,DE=CF=3∴四邊形DEFC的周長(zhǎng)為3+23答案:C6.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36π B.64πC.144π D.256π解析:本題主要考查空間幾何體.設(shè)球O的半徑為R,則S△AOB=12R2當(dāng)OC⊥平面AOB時(shí),三棱錐O-ABC的體積最大,此時(shí)V=13×12R2·R=36,解得R=6,所以球O的表面積S=4πR2答案:C7.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取線(xiàn)段AB=4,AC,BD分別在平面α和平面β內(nèi),且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,則CD的長(zhǎng)度為()A.13 B.151 C.123 D.解析:如圖,連接AD.由題意知AC⊥β,DB⊥α.在Rt△ABD中,AD=A在Rt△CAD中,CD=AC2+答案:A8.已知平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32C.33解析:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1的上方接一個(gè)同等大小的正方體ABCD-A2B2C2D2,則過(guò)點(diǎn)A與平面CB1D1平行的是平面AB2D2,即平面α就是平面AB2D2,平面AB2D2∩平面ABB1A1=AB2,即直線(xiàn)n就是直線(xiàn)AB2,易知平面ABCD∥平面A2B2C2D2,由面面平行的性質(zhì)定理知直線(xiàn)m平行于直線(xiàn)B2D2,故m,n所成的角就等于AB2與B2D2所成的角,在等邊三角形AB2D2中,∠AB2D2=60°,故其正弦值為32.答案:A二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體,得到的截面是圓面,則這個(gè)幾何體可能是()A.圓錐 B.圓柱C.球 D.棱柱解析:對(duì)于A,圓錐的底面是圓,則用一個(gè)平面去截,得到的截面可能是圓面;對(duì)于B,圓柱的底面是圓,則用一個(gè)平面去截,得到的截面可能是圓面;對(duì)于C,用隨意的平面去截球,得到的截面均為圓面;對(duì)于D,用隨意的平面去截棱柱,得到的截面都不行能是圓面.答案:ABC10.已知直線(xiàn)l⊥平面α,直線(xiàn)m?平面β.則下列結(jié)論正確的是()A.α∥β?l⊥m B.α⊥β?l∥mC.l∥m?α⊥β D.l⊥m?α∥β解析:A項(xiàng)中,∵l⊥α,α∥β,∴l(xiāng)⊥β.又m?β,∴l(xiāng)⊥m,故A正確.B項(xiàng)中,由l⊥α,α⊥β可得l∥β或l?β,再由m?β得不到l∥m,故B錯(cuò)誤.C項(xiàng)中,∵l⊥α,m∥l,∴m⊥α,又m?β,∴α⊥β,故C正確.D項(xiàng)中,若α∩β=m,也可滿(mǎn)意l⊥α,l⊥m,故D錯(cuò)誤.答案:AC11.一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等,則下列結(jié)論正確的是()A.圓柱的側(cè)面積為2πR2B.圓錐的側(cè)面積為2πR2C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶2解析:依題意得球的半徑為R,則圓柱的側(cè)面積為2πR·2R=4πR2,∴A錯(cuò)誤;圓錐的側(cè)面積為πR·5R=5πR2,球的表面積為4πR2,∵圓柱的側(cè)面積為4πR2,∴C正確;∵V圓柱=πR2·2R=2πR3,V圓錐=13πR2·2R=23πR3,V球=∴V圓柱∶V圓錐∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3∴D正確.故選CD.答案:CD12.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論正確的是 ()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBDC.直線(xiàn)BC∥平面PAED.直線(xiàn)PD與平面ABC所成的角為45°解析:∵PB在底面的射影為AB,AB與AD不垂直,∴AD與PB不垂直,故A不正確;又BD⊥AB,BD⊥PA,AB∩PA=A,∴BD⊥平面PAB.又BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAB.故B正確;∵BD∥AE,∴BD∥平面PAE,∴BC與平面PAE不平行,故C不正確;∵PD與平面ABC所成的角為∠PDA,且在Rt△PAD中,AD=2AB=PA,∴∠PDA=45°,故D正確.答案:BD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.現(xiàn)有用橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為.

解析:設(shè)新的圓錐和圓柱的底面半徑均為r,則13π×52×4+π×22×8=13πr2×4+即283πr2=1003π+32答案:714.在四面體A-BCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),EF=3,則異面直線(xiàn)AD與BC所成角的大小為.

解析:如圖①,取AC的中點(diǎn)M,連接EM,FM.因?yàn)镕為DC的中點(diǎn),M為AC的中點(diǎn),所以FM∥AD,且FM=12AD=1同理EM∥BC,且EM=12BC=1故∠EMF或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AD與BC所成的角.圖①圖②如圖②,在△EMF中,作MN⊥EF于點(diǎn)N,則N為EF的中點(diǎn).在Rt△MNE中,EM=1,EN=32所以sin∠EMN=32,從而∠EMN=60°,∠EMF=120°故AD與BC所成角為60°.答案:60°15.已知在四面體P-ABC中,PA=PB=4,PC=2,AC=25,PB⊥平面PAC,則四面體P-ABC外接球的體積為.

解析:∵PA=4,PC=2,AC=25,∴在△PAC中,PA2+PC2=20=AC2,可得AP⊥PC.又PB⊥平面PAC,PA,PC?平面PAC,∴PB⊥PA,PB⊥PC.以PA,PC,PB分別為長(zhǎng)、寬、高,作長(zhǎng)方體如圖所示,則該長(zhǎng)方體的外接球就是四面體P-ABC的外接球.∵長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為42+∴長(zhǎng)方體外接球的直徑2R=6,則R=3.因此,四面體P-ABC外接球的體積為V=43πR3=36答案:36π16.如圖,P是邊長(zhǎng)為22的正方形ABCD外一點(diǎn),PA⊥AB,PA⊥BC,且PC=5,則直線(xiàn)BD與平面PAC的位置關(guān)系為,二面角P-BD-A的余弦值為.

解析:∵PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,∴PA⊥平面ABCD.又BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.∵四邊形ABCD為正方形,∴BD⊥AC.∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.如圖,設(shè)AC∩BD=O,連接PO,則BD⊥PO.∴∠POA為二面角P-BD-A的平面角.又AB=22,∴AC=4,∴AO=2.∴PA=PC2-∴PO=PA∴cos∠POA=AO答案:垂直2四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)如圖,求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積(單位:cm).解:由題意知,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成:圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一半球面.S半球=8π,S圓臺(tái)側(cè)=35π,S圓臺(tái)底=25π.故所求幾何體的表面積為68πcm2.由V圓臺(tái)=13×(π×22+π×22×π×52+π×52)×4=52π,V所以所求幾何體的體積為V圓臺(tái)-V半球=52π-163π=1403π18.(12分)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是線(xiàn)段AB上的兩點(diǎn),且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.現(xiàn)將△ADE,△CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G,得到多面體CDEFG.(1)求證:平面DEG⊥平面CFG;(2)求多面體CDEFG的體積.(1)證明:由已知可得AE=3,BF=4,則折疊完后EG=3,GF=4,又因?yàn)镋F=5,所以可得EG⊥GF.因?yàn)镃F⊥EF,CF⊥GF,且EF∩GF=F,所以CF⊥平面EGF,所以可得CF⊥EG.因?yàn)镚F∩CF=F,所以EG⊥平面CFG.又因?yàn)镋G?平面DEG,所以平面DEG⊥平面CFG.(2)解:過(guò)點(diǎn)G作GO垂直于EF,垂足為O,則GO=EG由(1)知CF⊥平面EGF,CF?平面CDEF,所以平面EGF⊥平面CDEF,且交線(xiàn)為EF.所以GO⊥平面CDEF,即GO為四棱錐G-CDEF的高.所以所求體積為13S長(zhǎng)方形CDEF·GO=13×4×5×19.(12分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線(xiàn)DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因?yàn)镈E?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線(xiàn)DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1,因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因?yàn)锳1C1⊥A1B1,AA1?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,且A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因?yàn)锽1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)锽1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.20.(12分)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1,B'C∩BC'=O,求:(1)AO與A'C'所成角的度數(shù);(2)AO與平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB與平面AOC所成二面角的大小.解:(1)由題意得A'C'∥AC,∴∠OAC或其補(bǔ)角即為AO與A'C'所成的角.∵在正方體A'C中,AB⊥平面BC',∴OC⊥AB.又OC⊥OB,且AB∩OB=B,∴OC⊥平面ABO.∵OA?平面ABO,∴OC⊥OA.∵在Rt△AOC中,OC=22,AC=2∴sin∠OAC=OCAC∴∠OAC=30°.即AO與A'C'所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E,連接AE.∵平面BC'⊥平面ABCD,且交線(xiàn)為BC,∴OE⊥平面ABCD,從而∠OAE即為AO與平面ABCD所成的角.在Rt△OAE中,OE=12,AE=12+(12)即AO與平面ABCD所成角的正切值為5(3)由(1)知,OC⊥平面AOB.又OC?平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC,即平面AOB與平面AOC所成二面角的大小為90°.21.(12分)如圖所示,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.證明:(1)AA1⊥BD;(2)CC1∥平面A1BD.證明:(1)∵AB=2AD,∠BAD=60°,∴BD⊥AD.∵D1D⊥平面ABCD,∴D1D⊥DB.又AD∩D1D=D,∴BD⊥平面A1ADD1,∴AA1⊥BD.(2)如圖,連接AC,A1C1,AC交BD于點(diǎn)O,連接A1O.∵四棱臺(tái)底面ABCD是平行四邊形,∴OC=12AC由棱臺(tái)定義,AB=2A1B1及平面與平面平行的性質(zhì)定理得A1C1∥OC,且A1C1=OC.∴四邊形A1OCC1為平行四邊形.∴CC1∥A1O.又A1O?平面A1BD,CC1?平面A1B