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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生,獲得了他們的身高數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)頻率分布直方圖,可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為A. B.C. D.2.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.3.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.4.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.5.的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.636.若集合,,則A. B. C. D.7.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.8.?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實(shí)數(shù)λ的最大值為()A. B. C. D.9.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為,天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為()A. B. C. D.10.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計(jì)劃維修費(fèi)用超過15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年11.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國(guó)古代四大發(fā)明,此說法最早由英國(guó)漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國(guó)的歷史學(xué)家所繼承,普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治,經(jīng)濟(jì),文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生500名,隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問中國(guó)古代四大發(fā)明,能說出兩種發(fā)明的有45人,能說出3種及其以上發(fā)明的有32人,據(jù)此估計(jì)該校三級(jí)的500名學(xué)生中,對(duì)四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人12.《九章算術(shù)》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,,,當(dāng)陽(yáng)馬體積的最大值為時(shí),塹堵的外接球的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則滿足的的取值范圍為_______.14.已知,則的值為______.15.三棱錐中,點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題:①若平面,則三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形;②若,,,平面,則三棱錐的外接球體積為;③若,,,在平面上的射影是內(nèi)心,則三棱錐的體積為2;④若,,,平面,則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號(hào)是__________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)16.給出下列等式:,,,…請(qǐng)從中歸納出第個(gè)等式:______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,且過點(diǎn).求橢圓的方程;已知是橢圓的內(nèi)接三角形,①若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),原點(diǎn)為的垂心,求線段的長(zhǎng);②若原點(diǎn)為的重心,求原點(diǎn)到直線距離的最小值.20.(12分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.21.(12分)已知橢圓:()的左、右頂點(diǎn)分別為、,焦距為2,點(diǎn)為橢圓上異于、的點(diǎn),且直線和的斜率之積為.(1)求的方程;(2)設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,過坐標(biāo)原點(diǎn)作交橢圓于點(diǎn),試探究是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.22.(10分)已知函數(shù)的最大值為2.(Ⅰ)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)中,,角所對(duì)的邊分別是,且,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
由題可得,解得,則,,所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為,故選C.2.A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計(jì)算.【詳解】,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.3.A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
解出集合,利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋?,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算,同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出,則出,該項(xiàng)為:;②出,則出,該項(xiàng)為:;③出,則出,該項(xiàng)為:;綜上所述:合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí),考查理解能力,計(jì)算能力,分類討論和應(yīng)用意識(shí).6.C【解析】
解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?,,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于容易題.7.C【解析】
判斷函數(shù)的性質(zhì),和特殊值的正負(fù),以及值域,逐一排除選項(xiàng).【詳解】,函數(shù)是奇函數(shù),排除,時(shí),,時(shí),,排除,當(dāng)時(shí),,時(shí),,排除,符合條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,屬于基礎(chǔ)題型,一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性,零點(diǎn),特殊值的正負(fù),以及單調(diào)性,極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).8.D【解析】
利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ,由d∈[1,2],能求出實(shí)數(shù)λ取最大值.【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是減函數(shù),∴d=1時(shí),實(shí)數(shù)λ取最大值為λ.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.9.A【解析】
列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種,其中2類元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.10.D【解析】
根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計(jì)第年維修費(fèi)用超過15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
先求得名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的人數(shù),由此利用比例,求得名學(xué)生中對(duì)四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的有人,設(shè)對(duì)四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人,則,解得人.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用樣本估計(jì)總體,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
利用均值不等式可得,即可求得,進(jìn)而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又陽(yáng)馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點(diǎn)睛】本題以中國(guó)傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
將f(x)寫成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.14.【解析】
先求,再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.15.①②③【解析】
對(duì)①,由線面平行的性質(zhì)可判斷正確;對(duì)②,三棱錐外接球可看作正方體的外接球,結(jié)合外接球半徑公式即可求解;對(duì)③,結(jié)合題意作出圖形,由勾股定理和內(nèi)接圓對(duì)應(yīng)面積公式求出錐體的高,則可求解;對(duì)④,由動(dòng)點(diǎn)分析可知,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),直線與平面所成的角最大,結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯(cuò)誤;【詳解】對(duì)于①,因?yàn)槠矫?,所以,,,又,所以平面,所以,故四個(gè)面都是直角三角形,∴①正確;對(duì)于②,若,,,平面,∴三棱錐的外接球可以看作棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球,∴,,∴體積為,∴②正確;對(duì)于③,設(shè)內(nèi)心是,則平面,連接,則有,又內(nèi)切圓半徑,所以,,故,∴三棱錐的體積為,∴③正確;對(duì)于④,∵若,平面,則直線與平面所成的角最大時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,在中,,∴,即直線與平面所成的最大角為,∴④不正確,故答案為:①②③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用,線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解,線面角的求解,屬于中檔題16.【解析】
通過已知的三個(gè)等式,找出規(guī)律,歸納出第個(gè)等式即可.【詳解】解:因?yàn)椋?,,,等式的右邊系?shù)是2,且角是等比數(shù)列,公比為,則角滿足:第個(gè)等式中的角,所以;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理,注意已知表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析,(2)【解析】
(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫出的通項(xiàng)即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.(2)由(1)知,數(shù)列的通項(xiàng)為:,故.【點(diǎn)睛】考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法;中檔題.18.(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)連接,由菱形的性質(zhì)以及中位線,得,由平面平面,且交線,得平面,故而,最后由線面垂直的判定得結(jié)論.(2)以為原點(diǎn)建平面直角坐標(biāo)系,求出平面平與平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解:(1)連結(jié)∵,且是的中點(diǎn),∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又為菱形,且為棱的中點(diǎn),∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由題意有,∵四邊形為菱形,且∴分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則設(shè)平面的法向量為由,得,令,得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】處理線面垂直問題時(shí),需要學(xué)生對(duì)線面垂直的判定定理特別熟悉,運(yùn)用幾何語(yǔ)言表示出來方才過關(guān),一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直,才可以證得線面垂直,其次考查了學(xué)生運(yùn)用空間向量處理空間中的二面角問題,培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象力.19.;①;②.【解析】
根據(jù)題意列出方程組求解即可;①由原點(diǎn)為的垂心可得,軸,設(shè),則,,根據(jù)求出線段的長(zhǎng);②設(shè)中點(diǎn)為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為的重心,則,設(shè):,,,則,當(dāng)斜率不存在時(shí),則到直線的距離為1,,由,則,,,得出,根據(jù)求解即可.【詳解】解:設(shè)焦距為,由題意知:,因此,橢圓的方程為:;①由題意知:,故軸,設(shè),則,,,解得:或,,不重合,故,,故;②設(shè)中點(diǎn)為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為的重心,則,當(dāng)斜率不存在時(shí),則到直線的距離為1;設(shè):,,,則,,則,則:,,代入式子得:,設(shè)到直線的距離為,則時(shí),;綜上,原點(diǎn)到直線距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的知識(shí)點(diǎn),結(jié)合運(yùn)用向量,韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離的知識(shí),屬于難題.20.(1)(2)32【解析】
利用絕對(duì)值不等式的解法求出不等式的解集,得到關(guān)于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式,構(gòu)造和是定值即可求出的最大值.【詳解】(1)∵,,所以不等式的解集為,即為不等式的解集為,∴的解集為,即不等式的解集為,化簡(jiǎn)可得,不等式的解集為,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立,即,,時(shí),等號(hào)成立,∴的最大值為3
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