2024年中考數(shù)學模擬試題全等三角形

2024年中考數(shù)學模擬試題全等三角形

一、選擇題

1、（2024蘇州二模）如圖，AABC和AEFG均是邊長為2的等邊三角形，點。是邊

的中點，直線4G、FC相交于點當AEFG繞點。旋轉時，線段80長的最小值是

（）

A.2--^3B.*^3+1C.>/2D.>/3—1

答案.：D

2、（2024青島一模）如圖，在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=4cm,點D在AC上，將^

BCD沿著BD所在直線翻折，使點C落在斜邊AB上的點E處，則DC的長為（）

A.cmB.cmC.2cmD.2cm

【考點】翻折變換（折疊問題）.

【分析】首先由勾股定理求出BC,由折疊的性質可得/BED=NC=90°,BE=BC=3cm,得出AE=AB

-BE=2cm,設DC=xcm,則DE=xcm,AD=（4-x）cm,由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：VZC=90°,AB=5cm,AC=4cm,

/

，=3cm,

?.?將aBCD沿著直線BD翻折，使點C落在斜邊AB上的點E處，

.二△BED絲ZXBCD,

.".ZBED=ZC=90°,BE=BC=3cm,

AE=AB-BE=2cm,

設DC=xcm,則DE=xcm,AD=（4-x）cm,

由勾股定理得：AE2+DE2=AD2,

即2?+X2=（4-x）2,

解得：x=.

故選：B.

3.（2024?新疆烏魯木齊九十八中?一模）如圖，邊長為2a的等邊三角形ABC中，M是高CH

所在直線上的一個動點，連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接HN.則

在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（）

VsM1

A.aB.aC.2D.2

【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.

【分析】取CB的中點G,連接MG,根據等邊三角形的性質可得BH=BG,再求出NHBN=4IBG,

根據旋轉的性質可得MB=NB,然后利用“邊角邊”證明g△NBH,再根據全等三角形

對應邊相等可得HN=MG,然后根據垂線段最短可得MG±CII時最短，再根據NBCH=30°求解

即可.

【解答】解：如圖，取BC的中點G,連接MG,

?.?旋轉角為60°,

AZMBH+ZHBN=60°,

又：NMBH+NMBC=NABC=60°,

ZHBN=ZGBM,

VCH是等邊AABC的對稱軸，

1

;.HB=2AB,

；.HB=BG,

又：MB旋轉到BN,

；.BM=BN,

在△MBG和△NBH中，

-NMBG=NNBH

,IB=NB

.,.△MBG^ANBH(SAS),

AMG=NH,

根據垂線段最短，MGJ_CH時，MG最短，即HN最短，

111

此時,.?/BCH=》X60°=30°,CG=2AB=2x2a=a,

Ila

.?.MG=2cG=2xa=2,

a

.?.HN=2,

故選:D.

A，―^<8

V

【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最

短的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.

4.（2024?上海市閘北區(qū)?中考數(shù)學質量檢測4月卷）如圖，已知NBDA=NCDA,則不二

定能使△ABDg^ACD的條件是.....（▲）

（A）BD=DC（B）AB=AC

（C）ZB=ZC（D）ZBAD=ZCAD

—“I

Bill蒯

答案：B

5.（2024?湖南湘潭?一模）如，圖，在A43C和ADEC中，已知AB=OE,還需添加兩

個條件才能使A48C三ADEC,不能添加的一組條件是

A.BC=EC,D

B.BC=EC,AC=DC

C.BC=DC,ZA=ZD\

D.ZB=ZE,ZA=Z￡>/

答案：CZ----------sl

D「

6.（2024?廣東東莞?聯(lián)考）如圖，過。ABCD的對角線BD上一點M分別作平行四邊形兩邊

的平行線EF與GH,那么圖中的。AEMG的面積，與。HCFM的面積&的大小關系是（）

wC

A.Si>SzB.S1VS2C.Si=S2D.2sl二S2

【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質.

【分析】根據平行四邊形的性質和判定得出平行四邊形GBEP、GPFD,證△ABDZZ\CDB,得

出△ABD和aCDB的面積相等；同理得出aBEM和△MHB的面積相等，4GMD和△FDM的面積

相等，相減即可求出答案.

【解答】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，EF〃BC,HG〃AB,

；.AD=BC,AB=CD,AB〃GH〃CD,AD〃EF〃BC,

四邊形HBEM、GMFD是平行四邊形，

在4ABD和ACDB中；

rAB=CD

<BD=DB

..DA=CB

?，

AAABD^ACDB（SSS）,

即aABD和4CDB的面積相等；

同理△BEM和的面積相等，ACMD和AEDM的面積相等,

故四邊形AEMG和四邊形HCFM的面積相等，即S,=S2.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，解此題的

關鍵是求出aABD和4CDB的面積相等，^BEP和aPGB的面積相等，△HPD和aEDP的面積

相等，注意：如果兩三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等

7.（2024?廣東深圳?一模）如圖，過邊長為3的等邊4ABC的邊AB上一點P,作PEXAC

于E,Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連接PQ交邊AC于點D,則DE的長為（）

A.B.C.D.不能確定

【考點】全等三角形的判定與性質；平行線的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；

等邊三角形的判定與性質.

【專題】證明題.

【分析】過P作PF〃BC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根據等腰三角形

：PF〃BC,AABC是等邊三角形，

.?.ZPFD=ZQCD,ZAPF=ZB=60°,ZAFP=ZACB=60°,ZA=60°,

/.△APF是等邊三角形，

.?.AP=PF=AF,

VPE1AC,

.*.AE=EF,

VAP=PF,AP=CQ,

；.PF=CQ,

在4PFD和△QCD中

rZPFD=ZQCD

■ZPDF=ZCDQ

PF=OO

.?.△PFD^AQCD,

，F(xiàn)D=CD,

VAE=EF,

JEF+FD=AE+CD,

.,.AE+CD=DE=AC,

VAC=3,

.,.DE=,

故選B.

【點評】本題綜合考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形

的性質，平行線的性質等知識點的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，通過做

此題培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中.

填空題

1.（2024?天津市和平區(qū)?一模）如圖，AABC和都是等邊三角形，且NEBD=66°,

則NAEB的大小=126°.

<ZB=ZEDF

范訓

【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.

【分析】由等邊三角形的性質得出BC=AC,ZABC=ZACB=ZBAC=ZDCE=60°,CD=CE,得出

ZBCD=ZACE,由SAS證明4BCD會ZXACE,得出NCBD=NCAE,再證明NCBD-6°=ZABE,得

出NABE=/CAE-6°,求出/ABE+NBAE=/BAC-6°,即可求出NAEB的大小.

【解答】解：:△ABC和4CDE都是等邊三角形，

.*.BC=AC,ZABC=ZACB=ZBAC=ZDCE=60°,CD=CE,

.".ZBCD=ZACE,

'BC=AC

-ZBCD=ZACE

CD=CE

在4BCD和4ACE中，，

/.△BCD^AACE(SAS),

.,.ZCBD=ZCAE,

VZEBD=66°,

AZCBD=ZABE+（66°-60°）

AZABE=ZCAE-6°,

,：ZABE+ZBAE=ZCAE+ZBAE-60=ZBAC-6°=54°,

AZAEB=180°-54°=126。；

故答案為：126°.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握等邊三角形的

性質，證明三角形全等得出對應角相等是解決問題的關鍵.

2.（2024?天津五區(qū)縣?一模）如圖，AB=AC,要使△ABEg^ACD,應添加的條件是/B=

NC或AE=AD（添加一個條件即可）.

【考點】全等三角形的判定.

【專題】開放型.

【分析】要使aABE絲4ACD,已知AB=AC,ZA=ZA,則可以添加一個邊從而利用SAS來判

定其全等，或添加一個角從而利用AAS來判定其全等.

【解答】解：添加NB=/C或AE=AD后可分別根據ASA、SAS判定aABE鄉(xiāng)AACD.

故答案為：/B=/C或AE=AD.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據已知結

合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵.

三、解答題

1.（2024?重慶巴蜀?一模）如圖，點C,D在線段BF上，AB〃DE,AB=DF,BC=DE.求證:

AC=FE.

【分析】首先由AB〃DE,可以得到/B=NEDF,然后利用SAS證明AABC與aDEF全等，最

后利用全等三角形的性質即可解決問題.

【解答】證明：；AB〃DE,

.".ZB=ZEDF,

在AABC與4DEF中，

/.△ABC^ADEF(SAS),

；.AC=FE.

2.(2024?重慶巴南?一模)已知：ZD=ZE,AD=AE,Z1=Z2.求證：BD=CE.

【分析】先證出NBAD=/CAE,再由ASA證明aABD且Z\ACE,得出對應邊相等即可.

【解答】證明：；N1=N2,

.?.ZBAD=ZCAE,

'ND=/E

AD=AE

ZBAD=ZCAE

在aABD與aACE中,

.,.△ABD^AACE(ASA),

ABD=CE

3.（2024?重慶銅梁巴川?一模）如圖，點C,E,F,B在同一直線上，點A,D在BC異側,

AB〃CD,AE=DF,ZA=ZD.求證：AB=CD.

【分一析】根據平行線的性質得出NB=NC,再根據AAS證出AABE絲△DCF,從而得出AB=CD.

【解答】解：：AB〃CD,

.?.ZB=ZC,

在AABE和4DCF中，

'/A=ND

-NB=/C

AE=DF

.".△ABE^ADCF,

.*.AB=CD.

4.（2024?重慶巴南?一模）如.圖，DABCD中，點E是BC邊上的一點，且DE=BC,過點A

作AF_LCD于點F,交DE于點G,連結AE、EF.

（1）若AE平分NBAF,求證：BE=GE；

（2）若/B=70°,求/CDE的度數(shù).

（3）若點E是BC邊上的中點，求證：ZAEF=2ZEFC.

,D

BEC

【分析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，DE=BC,易證得NAEB二NAEG,又由AE平分N

BAF,可證得△ABEgaAGE,即可證得BE=GE；

(1)由(1)可知aABE義Z\AGE,故此可知NDGF=NAGE=70°,在RtZkDGF中，利用直角三

角形兩銳角互余可求得NCDE=20°；

(3)延長AE,交DC的延長線于點M,易證得△ABE0Z\MCE,又由AFLCD,可得EF是Rt

△AFM的斜邊上的中線，繼而證得結論.

【解答】解：(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AD/7BC,AD=BC.

NDAE二NAEB.

VDE=BC,

AAD=DE.

AZDAE=ZAED.

AZAEB=ZAED.

TAE平分NBAF,

???ZBAE=ZGAE.

'/BAE二NGAE

<AE=AE

…工人占NAEB=/AEG

在AABE和aAGE中，

A△ABEAAGE(ASA).

ABE=GE.

(2)由(1)可知：△ABEZ^AGE,

???NB二NEGA=70°.

.\ZDGF=ZEGA=70°.

VAF±CD,

.\ZGFD=90°.

AZGDF+ZDGF=90°.

AZCDE=90°-70°=20°.

(3)延長AE,交DC的延長線于點M.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AB〃CD.

AZBAF=ZAFD,ZM=ZBAE.

,?,點E是BC邊上的中點，

ABE=CE.

W

2BAE=NM

ZAEB=ZMEC

BE=CE

在AABE和AMCE中，，

AAABE^AMCE（AAS）.

.*.AE=ME.

VAF±CD,

1

.*.EF=AE=EM=2AM.

ZM=ZEFC.

ZAEF=ZBAE+ZEFC=2ZEFC.

5、（2024齊河三模）如圖1：在四邊形中，AB=AD,N胡片120°,NB=/ADC=9Q

°.E、廠分別是比;切上的點.且/皮/=60°.探究圖中線段6區(qū)EF、川之間的數(shù)量關

系.

小王同學探究此問題的方法是，延長加到點G,使DG=BE.連結/G,先證明△/膜△/〃G,

再證明可得出結論，他的結論應是EF=BE+DF；

探索延伸：

如圖2,若在四邊形/靦中，AB=AD,Z5+ZZ?=180o.E、b分別是8（7、切上的點，且

NEAF=LNEAD,上述結論是否仍然成立，并說明理由；

2

實際應用:

如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30°的1處，艦艇乙在指揮

中心南偏東70。的6處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向

正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度

前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達反尸處，且兩艦艇之間的夾角為

70°,試求此時兩艦艇之間的距離？

答案:

解：問題背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.

證明如下：如圖，延長FD到G,使DG=BE,連接AG,

VZB+ZADC=180",ZADC+ZADG=180°,，/B=NADG,.

，DG=BE

在AABE和AADG中，./B=/ADG，/.△ABE^AADG(SAS),

AB=AD

；.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

VZEAF=ZBAD,

/GAF=ZDAG+/DAF=ZBAE+/DAF=ZBAD-/EAF=ZEAF,Z.ZEAF=ZGAF,

'AE=AG

在aAEF和AGAF中，<ZEAF=ZGAF>/.△AEF^AGAF(SAS),；.EF=FG,

,AF=AF

：FG=DG+DF=BE+DF,；.EF=BE+DF；

實際應用：如圖，連接EF,延長AE、BF相交于點C,

；NA0B=30°+90°+(90°-70°)=140°,NE0F=70°,二NEAF=/AOB,

又；OA=OB,Z0AC+Z0BC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,符合探

索延伸中的條件，

二結論EF=AE+BF成立,BPEF=1.5X(60+80)=210海里.

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.

6、（2024青島一模）已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC上，且

AE=CF,作EG〃FH,分別與對角線BD交于點G、H,連接EH,FG.

（1）求證：ABEH^ADEG；

（2）連接DF,若BF=DF,則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結論.

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定.

【分析】（1）由平行四邊形的性質得出AD〃BC,AD=BC,OB=OD,由平行線的性質得出NFBH=

ZEDG,Z0HF=Z0GE,得出/BHF=/DGE,求出BF=DE,由AAS即可得出結論；

（2）先證明四邊形EGFH是平行四邊形，再由等腰三角形的性質得出EFLGII,即可得出四

邊形EGF.H是菱形.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,AD=BC,OB=OD,

.\ZFBH=ZEDG,

VAE=CF,

，BF=DE,

VEG//FH,

Z0HF=Z0GE,

ZBHF=ZDGE,

在△BFH和4DEG中，

.,.BFH^ADEG(AAS)；

(2)解：四邊形EGFH是菱形；理由如下:

連接DF,如圖所示：

由(1)得：BFH絲2XDEG,

；.FH=EG,

又；EG〃FH,

四邊形EGFH是平行四邊形，

VBF=DF,OB=OD,

AEFIBD,

，EF_LGH,

四邊形EGFH是菱形.

7、(2024青島一模)把RtZXABC和Rt^DEF按如圖(1)擺放(點C與E重合)，點B、C

(E)、F在同一條直線上.已知:ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如

圖(2),ADEF從圖(1)的位置出發(fā)，以lcm/s的速度沿CB向AABC勻速移動，在ADEF

移動的同時，點P從aABC的頂點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P

移動到點B時，點P停止移動，^DEF也隨之停止移動.DE與AC交于點Q,連接PQ,設移

動時間為t(s).

(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；

(2)連接PE,設四邊形APEQ的面積為y(cm2),試探究y的最大值；

(3)當t為何值時，△APQ是等腰三角形.

【考點】相似三角形的判定與性質；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質.

【專題】動點型.

【分析】(D根據題意以及直角三角形性質表達出CQ、AQ,從而得出結論,

(2)作PGJ_X軸，將四邊形的面積表中為Sz\ABC-SzkBPE-S/iQCE即可求解，

(3)根據題意以及三角形相似對邊比例性質即可得出結論.

【解答】(1)解：AP=2t

VZEDF=90°,ZDEF=45°,

AZCQE=45°=ZDEF,

/.CQ=CE=t,

AQ=8-19

t的取值范圍是：0WtW5；

(2)過點P作PGJ_x軸于G,可求得AB=10,SinB=,PB=10-2t,EB=6-t,

???PG二PBSinB=(10-2t)

y=S△ABC-S△PBES△

lx6X8--1(6-t)X-|(10-2t)-1t2

KE二乙乙。乙

_8

(3)若AP=AQ,則有2t=8-t解得:-3(s)

8-t

-~2~

若AP=PQ,如圖①：過點P作PHLAC,則AH=QH=,PH〃BC

.,?△APH^AABC,

2t10

8-t^8~

即2,

_40

t-

解得：21(s)

若AQ=PQ,如圖②：過點Q作QI_LAB,則AI=PI=AP=t

VZAIQ=ZACB=90°ZA=ZA,

AAQI^AABC

AI_ACt=8

AQ^AB8-1=10

,即，

_32

解得：'9(s)

綜上所述，當'—3或21或9時，AAPQ是等腰三角形.

8.(2024?浙江杭州蕭山區(qū)?模擬)在AABC中,AB=AC,點E,F分別在AB,AC上,AE=AF,

BF與CE相交于點P.求證：PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段.

A

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質.

【專題】幾何圖形問題.

【分析】可證明△ABF^^ACE,則BF=CE,再證明4BEP四△CFP,則PB=PC,從而可得出PE=PF,

BE=CF.

【解答】解：在aABF和4ACE中，

'AB=AC

-ZBAF=ZCAE

AF=AE

.,.△ABF^AACE（SAS）,

AZABF=ZACE（全等三角形的對應角相等），

??.BF=CE（全等三角形的對應邊相等），

VAB=AC,AE=AF,

；.BE=CF,

^EABEPffACFP中，

rZBPE=ZCPF

<ZPBE=ZPCF

BE=CF

.,.△BEP^ACFP（AAS）,

.".PB=PC,

VBF=CE,

，PE=PF,

圖中相等的線段為PE=PF,BE=CF,BF=CE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，是基礎題，難度不大.

9.（2024?云南省?一模）在4ABC中，AB=AC,點E,F分別在AB,AC上，AE=AF,BF與CE

相交于點P.求證：/XEBC絲AFCB.

【考點】全等三角形的判定.

【專題】證明題.

【分析】首先根據等邊對等角可得NABC=NACB,再根據等式的性質可得BE=CF,然后再利

用SAS判定AEBC絲Z\FCB.

【解答】證明：；AB=AC,

ZABC=ZACB,

VAE=AF,

AAB-AE=AC-AF

即BE=CF,

'EB=CF

-ZABC=ZACB

…T上BC=BC

在AEBC和aAFCB中，,

.,.△EBC^AFCB（SAS）.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的

結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.

10.（2024?吉林長春朝陽區(qū)?一模）探究：如圖①，4ABC是等邊三角形，在邊AB、BC

的延長線上截取BM=CN,連結MC、AN,延長MC交AN于點P.

（1）求證:AACN^ACBM；

（2）ZCPN=120°.

應用：將圖①的aABC分別改為正方形ABCD和正五邊形ABCDE,如圖②、③，在邊AB、BC

的延長線上截取BM=CN,連結MC、DN,延長MC交DN于點P,則圖②中NCPN=90°；圖

③中/CPN=72°.

拓展：若將圖①的AABC改為正n邊形，其它條件不變，則/CPN=°（用含n的代

數(shù)式表示）.

【考點】四邊形綜合題.

【分析】探究：（1）利用等邊三角形的性質得到BC=AC,ZACB=ZABC,從而得到4ACN會/XCBM.

（2）利用全等三角形的性質得到NCAN=/BCM,再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內

角之和，即可求解.

應用：利用正方形（或正五邊形）的性質得到BC=DC,ZABC=ZBCD,從而.判斷出aDCN絲ZXCBM,

再利用全等三角形的性質得到NCDN=NBCM,再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角

之和（或者三角形的內角和），即可.

拓展：利用正n五邊形的性質得到BC=DC,ZABC=ZBCD,從而判斷出4DCN絲aCBM,再利

用全等三角形的性質得到/CDN=NBCM,再利用三角形的內角和，即可.

【解答】探究：（1）解：???△ABC是等邊三角形，

；.BC=AC,ZACB=ZABC=60".

AZACN=ZCBM=60°.

在AACN和aCBM中，

AAACN^ACBM.

(2)解:VADCN^ACBM,

ZCAN=ZBCM,

???NABONBMC+NBCM,ZBAN=ZBAC+ZCAN,

???ZCPN=ZBMC+ZBAN=ZBMC+ZBAC+ZCAN=ZBMC+ZBAC+ZBCM=ZABC+ZBAC=600+60°=1

20°,

故答案為120.

應用：將等邊三角形換成正方形，

解：四邊形ABCD是正方形，

ABC=DC,ZABC=ZBCD=90°.

AZMBC=ZDCN=120°.

在z\DCN和aCBM中，

AADCN^ACBM.

JZCDN=ZBCM,

???ZBCM=ZPCN

，ZCDN=ZPCN

在Rtz^DCN中，NCDN+NCND=90°,

AZPCN+ZCND=90°,

???ZCPN=90,

將等邊三角形換成正五邊形，

五邊形ABCDE是正五邊形，

ABC=D￡=108°.

???NMBC=NDCN=72°.

在4DCN和ZkCBM中，

AADCN^ACBM.

???NBMC二NCND,ZBCM=ZCDN,

?/ZABC=ZBMC+ZBCM=1080

.\ZCPN=180°-(NCND+NPCN)=180°-(ZCND+ZBCM)=180°-(ZBCM+ZBMC)=180°

-108°=72°.

故答案為90,72.

拓展

解：方法和上面正五邊形的方法一樣，得到NCPN=1800-(ZCND+ZPCN)=180°-

(ZCND+ZBCM)=180°-(ZBCM+ZBMC)=180°-108°=72°

故答案為

【點評】本題是四邊形的綜合題，也是一道規(guī)律題，主要考查了正n邊形的性質，涉及知識

點比較多，如等邊三角形、正方形、正五邊形的性質，如由四邊形ABCD是正方形，得到BC=DC,

ZABC=ZBCD=90°,全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，對頂角相等，解題的

關鍵是充分利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和(或者三角形的內角和).

11.(2024?湖南省岳陽市十二校聯(lián)考?一模)數(shù)學活動：擦出智慧的火花——由特殊到

一般的數(shù)學思想.

數(shù)學課上，李老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的點，過點

E作EF_LAE,過點F作FGLBC交BC的延長線于點G..

(1)求證：ZBAE=ZFEG.

(2)同學們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖2,四邊形ABCD是正方形，

點E是邊BC的中點.ZAEF=90°,且EF交正方形外角NDCG的平分線于點F,求證：AE=EF.

經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,易證

△AME^AECF,所以AE=EF.請借助圖1完成小明的證明；

在(2)的基礎上，同學們作了進一步的研究：

(3)小聰提出：如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B,C外)

的任意一點”，其它條件不變，那么結論"AE=EF”仍然成立，你認為小聰?shù)挠^點正確嗎？

如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.

【考點】四邊形綜合題.

【分析】(1)根據NAEF=90°,即可得到NAEB+NFEG=90°,在直角^ABE中，利用三角

形內角和定理得到/BAE+/AEB=90°,然后根據同角的余角相等，即可證得；

(2)作AB的中點M,連接ME,根據ASA即可證明AAME名aECF,然后根據全等三角形的對

應邊相等即可證得；

(3)在AB上取一點M,使AM=EC,連接ME,同(2)根據ASA即可證明△AME絲△ECF,然

后根據全等三角形的對應邊相等即可證得.

【解答】解：(1)VZAEF=90°,

.,.ZAEB+ZFEG=90°,

又?.,直角4ABE中，ZBAE+ZAEB=90°,

.,.ZBAE=ZFEG；

(2)作AB的中點M,連接ME.

?.?正方形ABCD中,AB=BC,

又：AM=MB=AB,BE=CE=BC,

，MB=BE,

/.△ABE是等腰直角三角形，

AZBME=45°,

/AME=135°,

又?；/ECF=180°-ZFCG=180°-45°=135°.

NAME=NECF,

Z.SAAME和AECF中，

AAAME^AECF,

???AE二EF；

(3)在AB上取一點M,使AM=EC,連接ME.

???BM=BE,

/.ZBME=45°,

AZAME=135°,

VCF是外角平分線，

AZDCF=45°,

AZECF=135°

???NAME二NECF

VZAEB+ZBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°

???NBAE二NCEF

，在△AME和4ECF中，

/.AAME^AECF(ASA),

AAE=EF.

【點評】本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質，要注意題目之間的聯(lián)系，正

確作出輔助線構造全等的三角形是本題的關鍵.

12.(2024?湖北襄陽-一模)(本題11分)如圖，在正方形ABCD中，AB=5,P是BC邊

上任意一點，E是BC延長線上一點，連接AP,作PF_LAP,使PF=PA,連接CF,AF,AF

交CD邊于點G,連接PG.

(1)求證：ZGCF=ZFCE；

(2)判斷線段PG,PB與DG之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；

(3)若BP=2,在直線AB上是否存在一點M,使四

邊形DMPF是平行四邊形，若存在，求出BM的

長度，若不存在，說明理由.

答案：(1)證明：過點F作FHLBE于點H,

???四邊形ABCD是正方形，

???NABC=NPHF=ZDCB=90°,AB=BC,

AZBAP+ZAPB=90°

VAP±PF,

AZAPB+ZFPH=90o

???NFPH=NBAP

又YAP=PF

/.△BAP^AIIPFj

APH=AB,BP=FH

???PH=BC

ABP+PC=PC+CH

???CH=BP=FH

而NFHC=900..,?NFCH=CFH=45°

.,.ZDCF=90°-45°=45°

，NGCF=NFCE

(2)PG=PB+DG□

證明：延長PB至K,使BK=DG,

???四邊形ABCD是正方形

AAB=AD,ZABK=ADG=90°

AAABK^AADG

AAK=AG,ZKAB=ZGAD,

而NAPF=90°,AP=PF

，NPAF=NPFA=450

AZBAP+ZKAB=ZKAP=45°=ZPAF

AAKAP^AGAP.

，KP二PG,

AKB+BP=DG+BP=PG

即，PG=PB+DG；

（3）存在.

如圖，在直線AB上取一點M,使四邊形DMPF是平行四邊形,

則虬D〃PF,且MD=FP,

又,；PF=AP,

；.MD=AP

?.?四邊形ABCD是正方形，

.\AB=AD,ZABP=ZDAM

AAABP^ADAM

；.AM=BP=2,

.*.BM=AB-AM=5-2=3.

...當BM=3,BM+AM=AB時，四邊形DMPF是平行四邊形.

13..（2024?廣東?一模）（本題滿分10分）定義：數(shù)學活動課上，樂老師給出如下定義：

有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形.

理解：（1）如圖1,已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點

為頂點，AB、BC為邊的兩個對等四邊形ABCD；

（2）如圖2,在圓內接四邊形ABCD中，AB是。。的直徑，AC=BD.求證：四邊形ABCD是對

等四邊形；

⑶如圖3,在RtAPBC中，ZPCB=90°,BC=11,tanNPBC=l^,點A在BP邊上,且AB=13.用

5

圓規(guī)在PC上找到符合條件的點D,使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長.

(2)如圖2,連接AC,BD,；AB是。。的直徑，...NADB=/ACB=90°,

在RtZ\ADB和RtZiACB中,

lBD=ACARtAADB^RtAACB,.\AD=BC,

又「AB是。0的直徑，，ABWCD,...四邊形ABCD是對等四邊形.

(3)如圖3,點D的位置如圖所示：

①若CD=AB,此時點D在Eh的位置,CDFAB=13;

②若AD=BC=11,此時點D在D2、D：；的位置，AD2=AD3=BC=11,

過點A分別作AELBC,AF±PC,垂足為E,F,

1212

設BE=x,VtanZPBC^,；.AE=5

2+(12)22

222

在Rt^ABE中，AE+BE=AB,即"5"一"，解得：x)=5,x2-5(舍去)，

；.BE=5,AE=12,.*.CE=BC-BE=6,

由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6,CF=AE=12，在Rt△AFD2中，

222林修⑵倔，

FD?=7AD2-AP=V11-ACD2<7-FDrl2-V?,CBfCF

綜上所述，CD的長度為13、12-/武或12+J話.

13.(2024?廣東河源?一模)已知一張矩形紙片0ACB,將該紙片放置在平面直角坐標系

中，點A(11,0),B(0,6),點P為BC邊上的動點(點P不與點B,C重合)，經過點0、

P折疊該紙片，得點B'和折痕OP.設BP=t。

(1)如圖①，當/B0P=30°時，求點P的坐標；

(2)如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB'上，得點C'和折痕PQ,若

AQ=m,試用含有t的式子表示m；

(3)在(2)的條件下，當點C'恰好落在邊0A上時，求點P的坐標。(直接寫出結果即可)

解：(1)根據題

Z0BP=90°,

6,

在RtZXOBP中,

BOP=30°,BP

OP=2t.

222222

V0P=OB+BP,B|J(2t)=6+t,解得t】=2t2=-2V3(舍去).

，點P的坐標r為(26,6).

(2)VA0B,P,△QC7P分別是由△OBP,Z\QCP折疊得到的，

???△OB'P絲AOBP,AQCZP絲AQCP.

???ZOPB'=ZOPB,ZQPC/=ZQPC.

VZOPBz+Z0PB+ZQPCz+ZQPC=180°,：.ZOPB+ZQPC=90°.

VZBOP+Z0PB=90°,AZBOP=ZCPQ.

OBBp

又?.?/0BP=NC=90°,.,.△OBP^APCQ.A——=——

PCCQ

由題意知，BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,則PC=11—t,CQ=6—m.

———=---./.m——t2———t+6(OVtVll).

11-t6-m66

(3)點P的坐標為(止巫，6)或(匕叵，6).

33

三角形的邊與角

一、選擇題

L（2024?天津南開區(qū)?二模）如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,/B=90°,E為AB上一點,

分別以ED,EC為折痕將兩個角（NA,ZB）向內折起，點A,B恰好落在CD邊的點F處.

若AD=3,BC=5,則EF的值是(

A.)/15B.2V1SC.^/17D.2>/17

考點：三角形中的角平分線、中線、高線

答案：A

試題解析：；分別以ED,EC為折痕將兩個角（/A,ZB）向內折起，點A,B恰好落在CD

邊的點F處，；.EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,.\AB=2EF,DC=DF+CF=8,

作DH_LBC于H,VAD/7BC,NB=90°,.,.四邊形ABHD為矩形,

，DH=AB=2EF,HC=BC.-BH=BC-AD=5-3=2,

在RtZ\DHC中，DH=JDC2-HCZ2WM,...EF=DH=VI^.故選：A.3

2.（2024?天津五區(qū)縣?一模）如圖，在△ABC中，已知AB=7,BC=4,AC=5,依次連

接△ABG三邊中點，得△A2B2G,再依次連接△AzBC的三邊中點得△ABQ,…，則aAsB5G

的周長為1.

A?C?Bi

【考點】三角形中位線定理.

【專題】壓軸題；規(guī)律型.

【分析】由三角形的中位線定理得:AB、BC、C血分別等于AB、BC、CA的一半，所以

△A2B2a的周長等于△ABG的周長的一半，以此類推可求出△ABC.的周長為△ABG的周.長

1

F

的.

【解答】M：VA2B2,B2C2、C血分別等于AB、BC、CA的一半,

1

7

，以此類推:aAsB心的周長為△ABG的周長的，

.?.則4A565cs的周長為（7+4+5）4-16=1.

故答案為：1

【點評】本題主要考查了三角形的中位線定理，關鍵是根據三角形的中位線定理得：AzB?、

B2c2、C2A2分別等于AB、BC、CA的一半,所以△AzBC的周長等于△ABG的周長的一半.

3.2024泰安一模）將一副三角板按圖中的方式疊放，則Na.等于（）

【考點】三角形內角和定理.

【分析】首先根據三角板可知：ZCBA=60°,ZBCD=45°,再根據三角形內角和為180°,

可以求出/a的度數(shù).

【解答】解：?.,NCBA=60°,NBCD=45°,

AZa=180°-60°-45°=75°,

故選：A

4..（2024?廣東?一模）若三角形的兩邊長分別為6cm,9cm,則其第三邊的長可能為

（）

A.2cmB..3cmC.7cmD.16cm

答案：C

5.（2024?廣東河源?一模）如圖，在RtAABC中，ZA=30°,DE

垂直平分斜邊AC,E為垂足，且交AB于點D,連接CD,若BD=1,則

AC的長是（）

A.273B.2C.4-X/3D.4

答案：A

6.（2024?河北石家莊一模）下列圖形中，/1一定大于22的是（.）

【考點】三角形的外角性質；對頂角、鄰補角；平行線的性質；圓周角定理.

【分析】根據對頂角、內錯角、外角、圓周角的性質，對選項依次判斷即可得出答案.

【解答】解：A、根據對頂角相等，Z1=Z2,故本選項錯誤；

B、根據兩直線平行、內錯角相等，N1=N2,故本選項錯誤；

C、根據外角等于不相鄰的兩內角和，Z1>Z2,故本選項正確；

D、根據圓周角性質，N1=N2,故本選項錯誤.

故選C.

【點評】本題主要考查了對頂角、內錯角、外角、圓周角的性質，難度適中.

7..（2024?吉林長春朝陽區(qū)?一模）己知如圖，Z\ABC為直角三角形，ZC=90°,若沿

圖中虛線剪去NC,則N1+/2等于（）

【考點】三角形的外角性質.

【分析】利用三角形內角與外角的關系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和

解答.

【解答】解：’..Nl、N2是4CDE的外角，

.,.Z1=Z4+ZC,Z2=Z3+ZC,

即N1+N2=2NC+（Z3+Z4）,

VZ3+Z4=180°-ZC=90°,

/.Zl+Z2=2X90o+90°=270°.

故選：B.

【點評】此題主要考查了三角形內角與外角的關系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的

兩個內角之和.

8.（2024?山東棗莊?模擬）從長度分別為1、3、5、7的四條線段中任選三條作邊，能構

成三角形的概率為（）

A.B.C.D.

【考點】列表法與樹狀圖法；三角形三邊關系.

【分析】從四條線段中任意選取三條，找出所有的可能，以及能構成三角形的情況數(shù)，即可

求出所求的概率.

【解答】解：從四條線段中任意選取三條，所有的可能有：1,3,5；1,3,7；1,5,7；3,

5,7共4種，

其中構成三角形的有3,5,7共1種，

則P（構成三角形）=.

故選C.

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及三角形的三邊關系，用到的知識點為：概率=

所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、填空題

1.（2024?天津北辰區(qū)?一摸）如圖，在ABCD中,對角線/G加相交于點0,P是BC邊

AD

O

中點，4。交劭于點Q.則型的值為

0B

答案:|

2..（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）從長度分別為x（x為正整數(shù)）4、6、8的四條線段中

任選三條作邊，能構成三角形的概率為一，若長為X的線段在四條線段中最短，則X可取

4

的值為.

答案：1或2

3.（2024?江蘇常熟?一模）如圖，RtaABC中，ZACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使

點A落在邊CB上A'處，折痕為CD,則/A'DB為