高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練六十二圓錐曲線中的探究性問(wèn)題課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練六十二圓錐曲線中的探究性問(wèn)題一、選擇題(每小題5分，共25分)1.(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為 ()A.4 B.5 C.6 D.7〖解析〗選A.由題意,圓心到點(diǎn)(3,4)的距離為1,所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為QUOTE-1=4.2．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1，設(shè)直線l：y＝kx＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈R))交橢圓E所得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng).則下列直線中，交橢圓E所得的弦長(zhǎng)不可能等于L的是()A．mx＋y＋m＝0B．mx＋y－m＝0C．mx－y－1＝0D．mx－y－2＝0〖解析〗選D.當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，取m＝－1，直線l和選項(xiàng)A中的直線重合，故排除A；當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，取m＝－1，直線l和選項(xiàng)B中的直線關(guān)于y軸對(duì)稱，被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相同，故排除B；當(dāng)k＝0時(shí)，取m＝0，直線l和選項(xiàng)C中的直線關(guān)于x軸對(duì)稱，被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相同，故排除C；直線l的斜率為k，且過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，選項(xiàng)D中的直線的斜率為m，且過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－2))，這兩條直線不關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱，故被橢圓E所截得的弦長(zhǎng)不可能相等．3．雙曲線C：12x2－4y2＝1上有兩個(gè)點(diǎn)D，E，滿足直線OD和OE的斜率之積為1，則判斷＋的值()A．不是定值，與點(diǎn)D，E在雙曲線上的位置有關(guān)B．是定值，這個(gè)定值為12C．是定值，這個(gè)定值為8D．是定值，這個(gè)定值為4〖解析〗選C.設(shè)直線OD的斜率為k，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為xD，顯然k≠±eq\f(\r(3),3)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12x2－4y2＝1，,y＝kx))得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(D))＝eq\f(1,12－4k2)，＝|OD|2＝(1＋k2)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(D))＝eq\f(1＋k2,12－4k2)，＝eq\f(1＋\f(1,k2),12－4\f(1,k2))＝eq\f(k2＋1,12k2－4)，＋＝eq\f(12－4k2,1＋k2)＋eq\f(12k2－4,1＋k2)＝8.4．(2019·株洲模擬)點(diǎn)F為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A使△AOF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為正三角形，則橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(3)－1,2)B．eq\r(3)－1C．eq\f(\r(2)－1,2)D．eq\r(2)－1〖解析〗選B.由題意，可設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c，0)，因?yàn)椤鰽OF為正三角形，則點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))在橢圓上，代入得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，即e2＋eq\f(3e2,1－e2)＝4，得e2＝4－2eq\r(3)，解得e＝eq\r(3)－1.5.(2020·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為QUOTE.P是C上一點(diǎn),且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,則a= ()A.1 B.2 C.4 D.8〖解析〗選A.設(shè)PF1=m,PF2=n,m>n,QUOTE=QUOTEmn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e=QUOTE=QUOTE,所以a=1.二、填空題(每小題5分，共15分)6．(2020·沈陽(yáng)模擬)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l1與過(guò)F2的直線l2交于點(diǎn)M，設(shè)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))，若l1⊥l2，則下列結(jié)論序號(hào)正確的有________.①eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),3)＜1，②eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),3)＞1，③eq\f(x0,4)＋eq\f(y0,3)＜1，④4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＞1.〖解析〗F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，F(xiàn)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，因?yàn)閘1⊥l2，＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－x0))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y0))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y0))＝0，即xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1，M在圓x2＋y2＝1上，它在橢圓的內(nèi)部，故eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),3)＜1，故①正確，②錯(cuò)誤；O到直線eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1的距離為eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)＞1，O在直線eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1的下方，故圓x2＋y2＝1在其下方，即eq\f(x0,4)＋eq\f(y0,3)＜1，故③正確；4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))≥xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1，但4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))，3yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝y(tǒng)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))不同時(shí)成立，故4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＞xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1，故④成立．〖答案〗①③④7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以O(shè)F2為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)O，P，記雙曲線C的左頂點(diǎn)為M，若∠PMF2＝∠PF2M，則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_______________．〖解析〗依題意，圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))\s\up12(2)＋y2＝\f(c2,4),y＝\f(b,a)x))，解得x＝eq\f(a2,c)，而∠PMF2＝∠PF2M，故eq\f(a2,c)＝eq\f(c－a,2)，解得eq\f(c,a)＝2，故eq\f(b,a)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))\s\up12(2)－1)＝eq\r(3)，即所求漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.〖答案〗y(tǒng)＝±eq\r(3)x8．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線AC，BC的斜率都存在時(shí)，它們的斜率之積為定值，這個(gè)定值為_(kāi)___________．〖解析〗由題意可設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，C(x2，y2)，則kAC·kBC＝eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(－y1－y2,－x1－x2)＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))，因?yàn)閑q\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),3)＝1，eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),3)＝1，所以兩個(gè)式子相減得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),3)＝0，所以eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝－eq\f(3,4).所以kAC·kBC＝－eq\f(3,4).〖答案〗－eq\f(3,4)1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l和橢圓C：eq\f(x2,9)＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，關(guān)于問(wèn)題：“是否存在直線l，使弦AB的垂直平分線過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)”的〖答案〗是()A．不存在任何直線l，滿足條件B．只存在垂直于x軸的直線l，滿足條件C．存在不垂直于x軸的直線l，滿足條件D．存在直線l：y＝x，滿足條件〖解析〗選B.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，橢圓C的右焦點(diǎn)為F(2eq\r(2)，0)，(1)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可得y0＝0，此時(shí)弦AB的垂直平分線為x軸，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，滿足條件．(2)設(shè)直線l的斜率為k(k＜0)，直線FP的斜率為k′，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋9yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝9,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋9yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝9))，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋9(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,9（y1＋y2）)＝－eq\f(x0,9y0)，k′＝eq\f(y0,x0－2\r(2))，所以kk′＝－eq\f(x0,9（x0－2\r(2)）)＝－1，即x0＝eq\f(9\r(2),4)?(－3，3)，所以不存在有斜率的直線l滿足條件．綜上所述，只存在垂直于x軸的直線滿足條件．2．直線l：y＝kx＋m與橢圓E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，與直線x＝－4相交于Q點(diǎn)，P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足＝＋(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，在x軸上______(填“存在”或“不存在”)一點(diǎn)T，使得·為定值，則T點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．〖解析〗設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－eq\f(8km,4k2＋3)，則y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\f(6m,4k2＋3)，因?yàn)椋?x1＋x2，y1＋y2)＝(－eq\f(8km,4k2＋3)，eq\f(6m,4k2＋3))，即點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8km,4k2＋3)，\f(6m,4k2＋3)))，由于點(diǎn)P在橢圓E上，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8km,4k2＋3)))eq\s\up12(2)·eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6m,4k2＋3)))2·eq\f(1,3)＝1，化簡(jiǎn)得4m2＝4k2＋3，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,x＝－4))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝m－4k))，則點(diǎn)Q(－4，m－4k)，設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)T(t，0)，使得·為定值，＝(－4－t，m－4k)，·＝eq\f(8km（t＋4）＋6m（m－4k）,4k2＋3)＝eq\f(8ktm＋8km＋6m2,4m2)＝eq\f(2k（t＋1）,m)＋eq\f(3,2)為定值，則t＋1＝0，得t＝－1，因此在x軸上存在定點(diǎn)T(－1，0)，使得·為定值．〖答案〗存在(－1，0)3．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其離心率為eq\f(\r(3),2)，以F1為圓心以1為半徑的圓與以F2為圓心以3為半徑的圓相交，兩圓交點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為1的直線與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為B，求△ABF2的面積．〖解析〗(1)由兩圓交點(diǎn)在橢圓上，得2a＝1＋3＝4，得a＝2，由離心率為eq\f(\r(3),2)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，得b＝1，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)直線AB：y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1聯(lián)立，消去y得：5x2＋16x＋12＝0，解得xB＝－eq\f(6,5)，代入直線AB方程可得yB＝eq\f(4,5)，且|AF2|＝a＋c＝2＋eq\r(3)，故△ABF2的面積為eq\f(1,2)×|AF2|×yB＝eq\f(1,2)×(2＋eq\r(3))×eq\f(4,5)＝eq\f(4＋2\r(3),5).4．如圖，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，A為拋物線上一點(diǎn)(A在x軸上方)，AF＝5，A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4.(1)求拋物線方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)是否存在y軸上的一個(gè)點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M有兩條直線l1，l2，滿足l1⊥l2，l1交拋物線C于D，E兩點(diǎn)．l2與拋物線相切于點(diǎn)B(B不為坐標(biāo)原點(diǎn))，有|MB|2＝|MD|·|ME|成立，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖解析〗(1)由拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，滿足AF＝5，A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4，由拋物線的定義，可得|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝5，且xA＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，代入xA＝4，解得yA＝±4，又由A在x軸上方，所以yA＝4，即A(4，4).(2)假設(shè)存在點(diǎn)M，可知直線l1，l2的斜率存在，設(shè)l2的方程為y＝kx＋t，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t,y2＝4x))，整理得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0，由Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，解得k＝eq\f(1,t)，此時(shí)切點(diǎn)B(t2，±2t)，可得|MB|＝eq\r(1＋k2)|xB|＝eq\r(t4＋t2)，因?yàn)閘1⊥l2，所以l1的方程為y＝－tx＋t，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－tx＋t,y2＝4x))，整理得t2x2－(2t2＋4)x＋t2＝0，所以xDxE＝1，|MD|＝eq\r(1＋t2)|xD|，|ME|＝eq\r(1＋t2)|xE|，由|MB|2＝|MD|·|ME|可得，t4＋t2＝1＋t2，解得t＝±1，所以存在點(diǎn)M(±1，0)，符合題意．〖加練備選·拔高〗如圖,已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1,F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(QUOTE+1).一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A,B和C,D.(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，證明k1·k2＝1；(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖解析〗(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(m＞0)，因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以m＝2，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則k1＝eq\f(y0,x0＋2)，k2＝eq\f(y0,x0－2).因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2－y2＝4上，所以x－y＝4.因此k1·k2＝eq\f(y0,x0＋2)·eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4)＝1，即k1·k2＝1.(3)由于PF1的方程為y＝k1(x＋2)，將其代入橢圓方程得(2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)x2＋8keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))x＋8keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－8＝0，顯然2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1≠0，Δ＞0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－eq\f(8keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)，x1x2＝eq\f(8keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－8,2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1).所以|AB|＝eq\r(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)))\s\up12(2)－4×\f(8keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－8,2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1))＝4eq\r(2)eq\f(keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1,2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1).同理可得|CD|＝4eq\r(2)eq\f(keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1,2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1).則eq\f(1,|AB|)＋eq\f(1,|CD|)＝eq\f(1,4\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)＋\f(2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1)))，又k1·k2＝1，所以eq\f(1,|AB|)＋eq\f(1,|CD|)＝eq\f(1,4\r(2))(eq\f(2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)＋eq\f(\f(2,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋1,\f(1,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋1))＝eq\f(\r(2),8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)＋\f(keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋2,keq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)))＝eq\f(3\r(2),8).故|AB|＋|CD|＝eq\f(3\r(2),8)|AB|·|CD|.因此存在λ＝eq\f(3\r(2),8)，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練六十二圓錐曲線中的探究性問(wèn)題一、選擇題(每小題5分，共25分)1.(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為 ()A.4 B.5 C.6 D.7〖解析〗選A.由題意,圓心到點(diǎn)(3,4)的距離為1,所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為QUOTE-1=4.2．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1，設(shè)直線l：y＝kx＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈R))交橢圓E所得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng).則下列直線中，交橢圓E所得的弦長(zhǎng)不可能等于L的是()A．mx＋y＋m＝0B．mx＋y－m＝0C．mx－y－1＝0D．mx－y－2＝0〖解析〗選D.當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，取m＝－1，直線l和選項(xiàng)A中的直線重合，故排除A；當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，取m＝－1，直線l和選項(xiàng)B中的直線關(guān)于y軸對(duì)稱，被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相同，故排除B；當(dāng)k＝0時(shí)，取m＝0，直線l和選項(xiàng)C中的直線關(guān)于x軸對(duì)稱，被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相同，故排除C；直線l的斜率為k，且過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，選項(xiàng)D中的直線的斜率為m，且過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－2))，這兩條直線不關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱，故被橢圓E所截得的弦長(zhǎng)不可能相等．3．雙曲線C：12x2－4y2＝1上有兩個(gè)點(diǎn)D，E，滿足直線OD和OE的斜率之積為1，則判斷＋的值()A．不是定值，與點(diǎn)D，E在雙曲線上的位置有關(guān)B．是定值，這個(gè)定值為12C．是定值，這個(gè)定值為8D．是定值，這個(gè)定值為4〖解析〗選C.設(shè)直線OD的斜率為k，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為xD，顯然k≠±eq\f(\r(3),3)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12x2－4y2＝1，,y＝kx))得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(D))＝eq\f(1,12－4k2)，＝|OD|2＝(1＋k2)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(D))＝eq\f(1＋k2,12－4k2)，＝eq\f(1＋\f(1,k2),12－4\f(1,k2))＝eq\f(k2＋1,12k2－4)，＋＝eq\f(12－4k2,1＋k2)＋eq\f(12k2－4,1＋k2)＝8.4．(2019·株洲模擬)點(diǎn)F為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A使△AOF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為正三角形，則橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(3)－1,2)B．eq\r(3)－1C．eq\f(\r(2)－1,2)D．eq\r(2)－1〖解析〗選B.由題意，可設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c，0)，因?yàn)椤鰽OF為正三角形，則點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))在橢圓上，代入得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，即e2＋eq\f(3e2,1－e2)＝4，得e2＝4－2eq\r(3)，解得e＝eq\r(3)－1.5.(2020·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為QUOTE.P是C上一點(diǎn),且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,則a= ()A.1 B.2 C.4 D.8〖解析〗選A.設(shè)PF1=m,PF2=n,m>n,QUOTE=QUOTEmn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e=QUOTE=QUOTE,所以a=1.二、填空題(每小題5分，共15分)6．(2020·沈陽(yáng)模擬)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l1與過(guò)F2的直線l2交于點(diǎn)M，設(shè)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))，若l1⊥l2，則下列結(jié)論序號(hào)正確的有________.①eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),3)＜1，②eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),3)＞1，③eq\f(x0,4)＋eq\f(y0,3)＜1，④4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＞1.〖解析〗F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，F(xiàn)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0))，因?yàn)閘1⊥l2，＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－x0))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y0))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y0))＝0，即xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1，M在圓x2＋y2＝1上，它在橢圓的內(nèi)部，故eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),3)＜1，故①正確，②錯(cuò)誤；O到直線eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1的距離為eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)＞1，O在直線eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1的下方，故圓x2＋y2＝1在其下方，即eq\f(x0,4)＋eq\f(y0,3)＜1，故③正確；4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))≥xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1，但4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))，3yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝y(tǒng)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))不同時(shí)成立，故4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＞xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝1，故④成立．〖答案〗①③④7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以O(shè)F2為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)O，P，記雙曲線C的左頂點(diǎn)為M，若∠PMF2＝∠PF2M，則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_______________．〖解析〗依題意，圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))\s\up12(2)＋y2＝\f(c2,4),y＝\f(b,a)x))，解得x＝eq\f(a2,c)，而∠PMF2＝∠PF2M，故eq\f(a2,c)＝eq\f(c－a,2)，解得eq\f(c,a)＝2，故eq\f(b,a)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))\s\up12(2)－1)＝eq\r(3)，即所求漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.〖答案〗y(tǒng)＝±eq\r(3)x8．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線AC，BC的斜率都存在時(shí)，它們的斜率之積為定值，這個(gè)定值為_(kāi)___________．〖解析〗由題意可設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，C(x2，y2)，則kAC·kBC＝eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(－y1－y2,－x1－x2)＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))，因?yàn)閑q\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),3)＝1，eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),3)＝1，所以兩個(gè)式子相減得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),3)＝0，所以eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝－eq\f(3,4).所以kAC·kBC＝－eq\f(3,4).〖答案〗－eq\f(3,4)1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l和橢圓C：eq\f(x2,9)＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，關(guān)于問(wèn)題：“是否存在直線l，使弦AB的垂直平分線過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)”的〖答案〗是()A．不存在任何直線l，滿足條件B．只存在垂直于x軸的直線l，滿足條件C．存在不垂直于x軸的直線l，滿足條件D．存在直線l：y＝x，滿足條件〖解析〗選B.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，橢圓C的右焦點(diǎn)為F(2eq\r(2)，0)，(1)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可得y0＝0，此時(shí)弦AB的垂直平分線為x軸，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，滿足條件．(2)設(shè)直線l的斜率為k(k＜0)，直線FP的斜率為k′，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋9yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝9,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋9yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝9))，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋9(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,9（y1＋y2）)＝－eq\f(x0,9y0)，k′＝eq\f(y0,x0－2\r(2))，所以kk′＝－eq\f(x0,9（x0－2\r(2)）)＝－1，即x0＝eq\f(9\r(2),4)?(－3，3)，所以不存在有斜率的直線l滿足條件．綜上所述，只存在垂直于x軸的直線滿足條件．2．直線l：y＝kx＋m與橢圓E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，與直線x＝－4相交于Q點(diǎn)，P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足＝＋(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，在x軸上______(填“存在”或“不存在”)一點(diǎn)T，使得·為定值，則T點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．〖解析〗設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－eq\f(8km,4k2＋3)，則y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\f(6m,4k2＋3)，因?yàn)椋?x1＋x2，y1＋y2)＝(－eq\f(8km,4k2＋3)，eq\f(6m,4k2＋3))，即點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8km,4k2＋3)，\f(6m,4k2＋3)))，由于點(diǎn)P在橢圓E上，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8km,4k2＋3)))eq\s\up12(2)·eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6m,4k2＋3)))2·eq\f(1,3)＝1，化簡(jiǎn)得4m2＝4k2＋3，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,x＝－4))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝m－4k))，則點(diǎn)Q(－4，m－4k)，設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)T(t，0)，使得·為定值，＝(－4－t，m－4k)，·＝eq\f(8km（t＋4）＋6m（m－4k）,4k2＋3)＝eq\f(8ktm＋8km＋6m2,4m2)＝eq\f(2k（t＋1）,m)＋eq\f(3,2)為定值，則t＋1＝0，得t＝－1，因此在x軸上存在定點(diǎn)T(－1，0)，使得·為定值．〖答案〗存在(－1，0)3．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其離心率為eq\f(\r(3),2)，以F1為圓心以1為半徑的圓與以F2為圓心以3為半徑的圓相交，兩圓交點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為1的直線與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為B，求△ABF2的面積．〖解析〗(1)由兩圓交點(diǎn)在橢圓上，得2a＝1＋3＝4，得a＝2，由離心率為eq\f(\r(3),2)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，得b＝1，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)直線AB：y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1聯(lián)立，消去y得：5x2＋16x＋12＝0，解得xB＝－eq\f(6,5)，代入直線AB方程可得yB＝eq\f(4,5)，且|AF2|＝a＋c＝2＋eq\r(3)，故△ABF2的面積為eq\f(1,2)×|AF2|×yB＝eq\f(1,2)×(2＋eq\r(3))×eq\f(4,5)＝eq\f(4＋2\r(3),5).4．如圖，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，A為拋物線上一點(diǎn)(A在x軸上方)，AF＝5，A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4.(1)求拋物線方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)是否存在y軸上的一個(gè)點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M有兩條直線l1，l2，滿足l1⊥l2，l1交拋物線C于D，E兩點(diǎn)．l2與拋物線相切于點(diǎn)B(B不為坐標(biāo)原點(diǎn))，有|MB|2＝|MD|·|ME|成立，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖解析〗(1)由拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，滿足AF＝5，A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4，由拋物線的定義，可得|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝5，且xA＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，代入xA＝4，解得yA＝±4，又由A在x軸上方，所以yA＝4，即A(4，4).(2)假設(shè)存在點(diǎn)M，可知直線l1，l2的斜率存在，設(shè)l2的方程為y＝kx＋t，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t,y2＝4x))，整理得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0，由Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，解得k＝eq\f(1,t)，此時(shí)切點(diǎn)B(t2，±2t)，可得|MB|＝eq\r(1＋k2)|xB|＝eq\r(t4＋t2)，因?yàn)閘1⊥l2，所以l1的方程為y＝－tx＋t，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－tx＋t,y2＝4x))，整理得t2x2－(2t2＋4)x＋t2＝0，所以xDxE＝1，|MD|＝eq\r(1＋t2)|xD|，|ME|＝eq\r(1＋t2)|xE|，由|MB|2＝|MD|·|ME|可得，t4＋t2＝1＋t2，解得t＝±1，所以存在點(diǎn)M(±1，0)，符合題意．〖加練備選·拔高〗如圖,已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1,F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(QUOTE+1).一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A,B和C,D.(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，證明k1·k2＝1；(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖解析〗(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.由題意設(shè)等