考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷1（共218題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷1（共9套）（共218題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)則f(x)有()A、兩條斜漸近線。B、兩條水平漸近線。C、一條斜漸近線，無(wú)水平漸近線。D、一條水平漸近線，一條斜漸近線。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)f(x)無(wú)間斷點(diǎn)，所以不存在垂直漸近線。當(dāng)x→∞時(shí)，所以y=0為函數(shù)f(x)的一條水平漸近線。又因?yàn)樗詙=2x為函數(shù)f(x)的一條斜漸近線。故本題選D。2、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則()A、若f(x)是偶函數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，必為奇函數(shù)。B、若f(x)是周期函數(shù)，則必為周期函數(shù)。C、若f’(x)是奇函數(shù)，則必為奇函數(shù)。D、若f’(x)是偶函數(shù)，則必為偶函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由函數(shù)f(x)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，可知f’(x)連續(xù)。若f’(x)是奇函數(shù)，則f(x)必為偶函數(shù)。令易知F(0)=0，則為奇函數(shù)。故本題選C。3、設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(=)=0是F(x)在x=0可導(dǎo)的()A、充分必要條件。B、充分非必要條件。C、必要非充分條件。D、既非充分也非必要條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：充分性：因?yàn)閒(0)=0，所以即F(x)在x=0可導(dǎo)。必要性：設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0可導(dǎo)，則F’(0－0)=F’(0+0)。又因?yàn)镕’(0－0)=f’(0)-f(0)，F(xiàn)’(0+0)=f’(0)+f(0)，即f(0)=－f(0)，所以f(0)=0。故本題選A。4、設(shè)數(shù)列{xn}與{yn}滿足則下列結(jié)論正確的是()A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散。B、若{xn}無(wú)界，則{yn}必?zé)o界。C、若{xn}有界，則{yn}必為無(wú)窮小。D、若為無(wú)窮小，則{yn}必為無(wú)窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槿n=n，yn=0，則可排除A、B；取xn=0，yn=n，則可排除C。故本題選D。5、函數(shù)在x=0處()A、不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在。B、偏導(dǎo)數(shù)不存在但連續(xù)。C、可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。D、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗院瘮?shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)連續(xù)。因?yàn)樗院瘮?shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)對(duì)戈的偏導(dǎo)數(shù)存在。同理可證函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)存在。所以函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)的偏導(dǎo)數(shù)存在。因?yàn)樗院瘮?shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)可微。因?yàn)榱顈=kx，則上述極限不存在，所以函數(shù)fx’(x，y)在點(diǎn)(0，0)不連續(xù)。故本題選C。6、設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)當(dāng)自變量x在x=－1處取得增量△x=－0．1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量△y的線性主部為0．1，則f’(1)=()A、－1B、0．1C、1D、0．5標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由微分的定義可知，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的增量△y的線性主部即為函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的微分所以有0．1=y’(－1)·△x=－0．1·y’(－1)，即有y’(－1)=－1。同時(shí)所以f’(1)=0．5。故本題選D。7、設(shè)A是m×n矩陣，B是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣C=AB的秩為r1，則()A、r=r1。B、r＞r1。C、r＜r1。D、r與r1的關(guān)系依B而定。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：C=AB=EAB，其中E為m階單位矩陣，因?yàn)镋與B均可逆，所以由矩陣等價(jià)的充分必要條件知C與A等價(jià)。由矩陣等價(jià)的性質(zhì)知r=r1。故本題選A。8、設(shè)2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D=()A、2na2B、na2C、a2D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：不妨設(shè)D=det(aij)，且aij=a(i=1，2，…，2n)，余子式Mij=a(i=1，2，…，2n)，其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式Aij=(－1)i+jMij=(－1)i+ja(i=1，2，…，2n)。由題意，行列式按第j列展開(kāi)，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，因?yàn)锳ij=(－1)i+jMij=(－1)i+ja(i=1，2，…，2n)，所以這2n個(gè)代數(shù)余子式中有n個(gè)等于a，n個(gè)等于－a，從而行列式的值為0。故本題選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知?jiǎng)ty’=_______________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則有等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得整理得10、曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榧辞€在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線斜率為又因?yàn)榍芯€和法線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，故曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為11、標(biāo)準(zhǔn)答案：－4π知識(shí)點(diǎn)解析：令則有12、設(shè)函數(shù)z=f(u)可微，且f’(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(diǎn)(1，1)處的全微分標(biāo)準(zhǔn)答案：4(dx+dy)知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，函數(shù)z=f(x2+y2)的全微分為dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，所以13、設(shè)z=xf(u)+g(u)，且f(u)及g(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)得因此14、設(shè)A=(x1，x2，x3)是三階矩陣，且|A|=5，若B=(x1+2x2+3x3，x2－3x3，2x2+x3)，則|B|=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：35知識(shí)點(diǎn)解析：方法一：由行列式的性質(zhì)可得|B|=|x1+2x2+3x3，x2－3x3，2x2+x3|=|x1+3x2，x2－3x3，7x3|=7|x1+3x2，x2，x3|=7|x1，x2，x3|=35。方法二：由分塊矩陣的乘法公式可得因此三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)已知函數(shù)記15、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x，則即a=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、若x→0時(shí)，f(x)一a與xk為同階無(wú)窮小，求常數(shù)k的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，有又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，所以由題設(shè)知，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)－a與xk為同階無(wú)窮小，所以k=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)上有定義，在區(qū)間[0，2]上f(x)=x(x2－4)，若對(duì)任意的x都滿足f(x)=kf(x+2)，其中k為常數(shù)。17、寫(xiě)出f(x)在[_2，2]上的表達(dá)式；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)-2≤x－0時(shí)，0≤x+2－2，則有f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2－4]=kx(x+2)(x+4)，所以f(x)在[-2，2]上的表達(dá)式為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、問(wèn)k為何值時(shí)，f(x)在x=0處可導(dǎo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知f(0)=0。若f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f+’(0)=f－’(0)，即－4=8k，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，以及該函數(shù)圖形的漸近線。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知得令y’=0，得駐點(diǎn)x1=0，x2=－1。列表如下由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(0，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)；為極小值，為極大值。由于所以此函數(shù)沒(méi)有水平漸近線；同理，此函數(shù)也沒(méi)有垂直漸近線。因此，令綜上可知，函數(shù)圖形的漸近線為y=a1x+b1=eπ(x－2)及y=a2x+b2=x－2，共2條。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分法得移項(xiàng)并整理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求曲線x3－xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離與最短距離。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造函數(shù)L(x，y)=x2+y2+λ(x3－xy+y3－1)，且令得唯一駐點(diǎn)x=1，y=1，即M1(1，1)?？紤]邊界上的點(diǎn)，M2(0，1)，M3(1，0)，距離函數(shù)在三點(diǎn)的取值分別為f(0，1)，f(1，0)=1，由此可知最長(zhǎng)距離為最短距離為1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)D={(x，y)|(x－1)2+(y－1)2=2)，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：其中同理同時(shí)所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、利用代換將方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：由得y’=u’secx+usecxtanx．y"=u"secx+2u’secxtanc+usecxtan2x+usec3x，代入原方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex，得u"+4u=ex。(1)先求其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解。由于其特征方程為λ2+4=0，則特征方程的根為λ=+2i。所以通解為=C1cos2x+C2sin2x，其中C1，C2為任意常數(shù)。再求非齊次線性微分方程的特解。設(shè)其特解為u*(x)=Aex，代入(1)式，得(Aex)"+4(Aex)=Aex+4Aex=ex，則因此所以(1)式的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)。因此，原方程的通解為方法二：由得u=ycosx，于是u’=y’cosx－ysinx，u"=y"cosx－2y’sinx－ycosx，于是原方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化為u"+4u=ex(以下求解過(guò)程同方法一)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知是矩陣的一個(gè)特征向量。24、求參數(shù)a，b及特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)λ是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值，根據(jù)特征值的定義，有(λ－AE)p=0，即從而有方程組解得a=0，b=3，且特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值λ=2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、問(wèn)A能否相似對(duì)角化，并說(shuō)明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為λ1=1，λ2=λ3=2。對(duì)應(yīng)單根λ1=1，可求得線性無(wú)關(guān)的特征向量恰有1個(gè)，故矩陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件為對(duì)應(yīng)重根λ2=λ3=2有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即方程(A－2E)x=0有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則系數(shù)矩陣A-2E的秩r(A－2E)=1。故r(A－2E)=1，所以矩陣A可相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二次型為f=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3。26、用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣；標(biāo)準(zhǔn)答案：用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+5x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2+x32。令即得f的標(biāo)準(zhǔn)形為f=y12+y22+y32，所用可逆線性變換為x=cy，其中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、證明二次型的對(duì)應(yīng)矩陣A為正定矩陣，并求可逆矩陣U，使得A=UTU。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題得，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f=y12+y22+y32，其系數(shù)全為正，所以二次型正定，即二次型的對(duì)應(yīng)矩陣A為正定矩陣。方法一：由上題知其中方法二：由題干得，二次型f=xTAx的對(duì)應(yīng)矩陣為由上題知，f=xTAx=yTCTACy=yTy，所以CTAC=E，A=(C－1)TC－1=UTU，其中U=C－1。故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與xm為同階無(wú)窮?。衷O(shè)當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫0xnf(t)dt與xk為同階無(wú)窮小，其中m與n為正整數(shù)．則k=()A、mn+n．B、n+m．C、m+n．D、mn+n－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與xm為同階無(wú)窮小，從而知存在常數(shù)A≠0，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)～Axm，從而，f(xn)～Axm．于是由題意可知，上式為不等于零的常數(shù)，故k=mn+n．2、設(shè)φ(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，f(x)=|x－a|φ(x)．則“φ(x)在x=a處連續(xù)”是“f(x)在x=a處可導(dǎo)”的()A、必要條件而非充分條件．B、充分條件而非必要條件．C、充分必要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明應(yīng)選D．①設(shè)φ(x)在x=0處連續(xù)，但f(x)=|x|φ(x)在x=0處不可導(dǎo)的例子如下：取φ(x)≡1，但f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)．②設(shè)φ(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有定義，但在x=0處不連續(xù)，而f(x)=|x|φ(x)在x=0處卻可導(dǎo)的例子如下：設(shè)φ(x)在x=0處不連續(xù)，但=－∞＜x＜+∞．所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，fˊ(0)=1．3、sin(x2+y2)dy=()A、(cos2－1)．B、(－cos2+1)．C、(cos2+1)．D、(－cos2－1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：積分區(qū)域D的邊界曲線為y=|x|與，其交點(diǎn)為(1，1)與(－1，1)．化為極坐標(biāo)：4、設(shè)f(x)在x=0處存在二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，fˊ(0)=0，f″(0)≠0．則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：先作積分變量代換，令x－t=u，則由二階導(dǎo)數(shù)定義，5、設(shè)下述命題成立的是()A、f(x)在[－1，1]上存在原函數(shù)．B、gˊ(0)存在．C、g(x)在[－1，1]上存在原函數(shù)．D、F(x)=∫－1xf(t)dt在x=0處可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A不正確．f(x)在點(diǎn)x=0處具有跳躍間斷點(diǎn)．函數(shù)在某點(diǎn)具有跳躍間斷點(diǎn)．那么往包含此點(diǎn)的區(qū)間上．該函數(shù)必不存在原函數(shù)．B不正確．按定義容易知道gˊ(0)不存存．C正確．g(x)為[－1，1]上的連續(xù)函數(shù)，故存在原函數(shù)．D不正確．可以具體計(jì)算出F(x)，容易看Fˊ－(0)=0．Fˊ+(0)=0．故Fˊ(0)不存在．6、設(shè)F(u，v)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=z(x，y)由方程所確定．又設(shè)題中出現(xiàn)的分母不為零，則()A、0．B、z．C、D、1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題意，得7、設(shè)ξ1(1，－2，3，2)T，ξ2(2，0，5，－2)T是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列向量中是齊次線性方程組Ax=0的解向量的是()A、α1=(1，－3，3，3)T．B、α2=(0，0，5，－2)T．C、α3=(－1，－6，－1，10)T．D、α4=(1，6，1，0)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：已知Ax=0的基礎(chǔ)解系為ξ1，ξ2，則αi，i=1，2，3，4是Ax=0的解向量〈=〉αi可由ξ1，ξ2線性表出〈=〉非齊次線性方程組ξ1y1+ξ2y2=αi有解．逐個(gè)判別αi較麻煩，合在一起作初等行變換進(jìn)行判別較方便．顯然因r(ξ1，ξ2)=r(ξ1，ξ2|α3)=2，ξ1y1+ξ2y2=α3有解，故α1，α2，α3是Ax=0的解向量．8、設(shè)α=(1，2，3)T，β1=(0，1，1)T，β2=(－3，2，0)T，β3=(－2，1，1)T，β4=(－3，0，1)T，記Ai=αβiT，i=1，2，3，4．則下列矩陣中不能相似于對(duì)角矩陣的是()A、A1．B、A2．C、A3．D、A4．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因Ai=αβiT≠O，r(Ai)=r(αβiT)≤r(α)=1，i=1，2，3，4．故λ=0至少是3階方陣Ai(i=1，2，3，4)的二重特征值．則Ai(i=1，2，3，4)的第3個(gè)特征值分別是故知A4的特征值λ1=λ2=λ3=0，是三重特征值，但A4≠O，故A4不能相似于對(duì)角矩陣．應(yīng)選D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面s的面積=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、曲線r=a(1+cosθ)(常數(shù)a>0)在點(diǎn)處的曲率k=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將極坐標(biāo)方程r=a(1+cosθ)化成參數(shù)式：于是有代入由參數(shù)式表示的曲率公式：并經(jīng)較復(fù)雜但初等的運(yùn)算，得12、在區(qū)間[0，1]上函數(shù)f(x)=nx(1－x)n(n為正整數(shù))的最大值記為M(n)，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－1知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=nx(1－x)n，fˊ(x)=n(1－x)n－n2x(1－x)n－1=n(1－x)n－1(1－x－nx)．令fˊ(x)=0，得由于f(0)=f(1)=0，f(x)>0(x∈(0，1))．在區(qū)間(0，1)內(nèi)求得唯一駐點(diǎn)所以f(x1)為最大值．所以13、設(shè)函數(shù)f與g可微，z=f[xy，g(xy)+1nx]，則______．標(biāo)準(zhǔn)答案：fˊ2知識(shí)點(diǎn)解析：由14、設(shè)二次型f(x1，x2，x3，x4)=x12+2x1x2－x22+4x2x3－x32－2ax3x4+(a－1)2x42的規(guī)范形為y12+y22－y32；則參數(shù)a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f是四元二次型，由規(guī)范形知，其正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1，且有一項(xiàng)為零．故知其有特征值λ=0，故該二次型的對(duì)應(yīng)矩陣A有|A|=0．因故應(yīng)有a=．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、(1)設(shè)0＜x＜+∞，證明存在η，0＜η＜1，使(2)求出(1)中η關(guān)于x的具體函數(shù)表達(dá)式η=η(x)，并求出當(dāng)0＜x＜+∞時(shí)，函數(shù)η(x)的值域．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令由拉格朗日中值定理有f(z+1)－f(x)=fˊ(ξ)(x+1－x)，即其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．(2)由上所以η(x)在區(qū)間(0，+∞)上嚴(yán)格單調(diào)增加．又所以η(x)的值域?yàn)椋R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)函數(shù)y(x)在區(qū)間[1，+∞)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足y(1)=及x2yˊ(x)+∫1x(2t+4)yˊ(t)dt+2∫1xy(t)dt=，求y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分∫1x(2t+4)yˊ(t)dt=(2t+4)y(t)|1x－2∫1xy(t)dt=(2x+4)y(x)－6y(1)－2∫1xy(t)dt=(2x+4)y(x)+1－2∫1xy(t)dt．則原方程化簡(jiǎn)為由一階線性微分方程通解公式，得通解再由初始條件故所求的特解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(x，y)=max{，1)，D={(x，y||x|≤y≤1}．求f(x，y)dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所不，將D分成三塊．中間一塊為D3，左右兩塊分別記為D1與D2，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)n為正整數(shù)，f(x)=xn+x－1．18、證明對(duì)于給定的n，f(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)xn；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，fˊ(x)=nxn－1+1>0，所以在區(qū)間(o，+∞)內(nèi)f(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，又f(0)=－1<0，f(1)=1>0，所以f(x)在(0，+∞)上存在唯一零點(diǎn)，記為xn，且xn∈(0，1)，此時(shí)f(xn)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、對(duì)于(I)中的xn，證明存在并求此極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：下面證數(shù)列{xn}單調(diào)增加．由xn+1n+1+xn+1－1=0與xnn+xn－1=0兩式相減，得xn+1n+1－xnn+(xn－1－xn)=0．但因0＜xn－1＜1，所以xn+1n＞xn+1n·xn+1=xn－1n－1，于是有0=xn+1n+1－xnn+(xn+1－xn)n+1n－xnn+(xn+1－xn)=(xn+1－xn)(xn+1n－1+xn+2n－2xn+…+xnn－1)+(xn+1－xn)=(xn+1－xn)(xn+1n－1+xn+2n－2xn+…+xnn－1+1)．上式第2個(gè)括號(hào)內(nèi)為正，所以xn+1－xn＞0，即數(shù)列{xn}嚴(yán)格單調(diào)增加且有上界1，所以用反證法，如果0＜a＜1，將1－xn=xn＜an兩邊令x→∞取極限，得1－a≤0，解得a≥1，與反證法的假設(shè)矛盾，所以a=1．證畢．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f(u)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)x>0，y>0時(shí)，，求z的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：記于是上式成為常微分方程其中C為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)連續(xù)，F(xiàn)(x)=∫－11|x－t|f(t)dt，x∈[－1，1]．21、若f(x)為偶函數(shù)，證明F(x)也是偶函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：因在區(qū)間[－1，1]上f(x)為連續(xù)的偶函數(shù)．則所以F(x)也是偶函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、若f(x)>0(－1≤x≤1)，證明曲線y=F(x)在區(qū)間[－1，1]上是凹的．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=∫－1x(x－t)f(t)dt+∫x1(t－x)f(t)dt=x∫－1xf(t)dt－∫－1xtf(t)dt+∫x1tf(t)dt－x∫x1f(t)dtFˊ(x)=∫－1xf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)－∫x1f(t)dt+xf(x)=∫－1xf(t)dt－∫x1f(t)dt，F(xiàn)″(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0．所以曲線y=F(x)在區(qū)間[－1，1]上是凹的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、(1)計(jì)算∫0nπ|sint|dt，其中n為正整數(shù)；(2)求∫0nπ|sint|dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)設(shè)n≤x＜n+1，有nπ≤xπ＜(n+1)π．于是當(dāng)x→∞時(shí)，n→∞，由夾逼定理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A3×3=(α1，α2，α3)，方程組Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，其中k是任意常數(shù)．證明：24、方程組(α1，α2)x=β有唯一解，并求該解；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件(α1，α2，α3)x=β有通解k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，知r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，(*)α1+2α2－3α3=0．(**)β=(k+2)α1+(2k－1)α2+(－3k+1)α3．(***)由(**)式得α3=(α1+2α2)，知α1，α2線性無(wú)關(guān)(若α1，α2線性相關(guān)，又α3=(α1+2α2)，得r(α1，α2，α3)=1．這和(*)式矛盾)．由(*)式知α1，α2是向量組α1，α2，α3及α1，α2，α3，β的極大線性無(wú)關(guān)組，從而有r(α1，α2)=r(α1，α2，β)=2，方程組(α1，α2)x=β有唯一解．由(***)式取α3的系數(shù)－3k+1=0，即取，即(α1，α2)x=β的唯一解為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、方程組(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有無(wú)窮多解，并求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：因r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，故方程組(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有無(wú)窮多解，且其通解形式為k1ξ1+k2ξ2+η*，其中ξ1，ξ2為對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系η*為方程組的特解，k1，k2為任意常數(shù)．由(**)式在(***)式中取k=0，有故方程組(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β的通解為k1ξ1+k2ξ2+η*=k1ξ1+k2(η1－η2)+η1=k1(0，1，2，－3)T+k2(－1，3，0，2)T+(0，2，－1，1)T，其中k1，k2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)，X是2階矩陣．26、求滿足AX－XA=O的所有X；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)系數(shù)矩陣解得x4=K，x3=3L，x2=2L，x1=K－3L．故其中K，L為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、問(wèn)AX－XA=E是否有解?其中E是2階單位矩陣，說(shuō)明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上一題易知tr(AX)=tr(XA)．故tr(AX－XA)=tr(AX)－tr(XA)=0≠tr(E)=2故方程組AX－XA=E無(wú)解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)則f{f[f(x)]}=()A、0B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閨f(x)|≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，從而f{f[f(x)]}=f(1)=1。故本題選B。2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，f(0)=0，f’(0)=2，則當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)是g(x)的()A、低階無(wú)窮小。B、高階無(wú)窮小。C、等價(jià)無(wú)窮小。D、同階但非等價(jià)無(wú)窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，所以故本題選D。3、設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，則g(1)=()A、ln3－1。B、－ln3－1。C、ln2－1。D、－ln2－1。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)h(x)=e1+g(x)對(duì)x求導(dǎo)，得h’(x)=e1+g(x)·g’(x)。在上述等式中令x=1，則有1=h’(1)=e1+g(1)·g’(1)=2e1+g(1)，所以g(1)=－ln2－1。故本題選D。4、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且f’(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增，則在(a，b]內(nèi)()A、有極大值。B、有極小值。C、單調(diào)遞減。D、單調(diào)遞增。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及拉格朗日中值定理得其中a＜ξ＜x≤b。因?yàn)閒’(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以f’(x)－f’(ξ)＞0，從而F’(x)＞0，即F(x)在(a，b]內(nèi)單調(diào)遞增。故本題選D。5、曲線r=aebθ(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧長(zhǎng)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：用極坐標(biāo)表示曲線的弧長(zhǎng)公式，有故本題選A。6、設(shè)函數(shù)z(x，y)由方程確定，其中F為可微函數(shù)，且f2’≠0，則A、xB、zC、－xD、－z標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)方程兩邊求全微分可得所以因此則有故本題選B。7、設(shè)A為n階方陣，且A+E與A—E均可逆，則下列等式中不成立的是()A、(A+E)2(A－E)=(A－E)(A+E)2。B、(A+E)－1(A－E)：(A－E)(A+E)－1。C、(A+E)T(A－E)=(A－E)(A+E)T。D、(A+E)(A－E)*=(A－E)*(A+E)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由A與E可交換得，A+E與A－E可交換，進(jìn)而可得(A+E)2(A－E)=(A+E)(A－E)(A+E)=(A－E)(A+E)2，所以(A+E)2與A－E可交換，故A項(xiàng)成立。由A+E與A－E可交換得，(A－E)(A+E)=(A+E)(A－E)。在等式兩邊同時(shí)左、右乘(A+E)－1得，(A+E)－1(A－E)=(A－E)(A+E)－1；在等式兩邊同時(shí)左、右乘(A－E)－1得，(A+E)(A－E)－1=(A－E)－1(A+E)，再在所得等式兩邊同時(shí)乘|A－E|得，(A+E)(A－E)*=(A－E)*(A+E)。故B、D兩項(xiàng)成立。事實(shí)上，只有當(dāng)ATA=AAT時(shí)，(A+E)T(A－E)=(A－E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如因此ATA≠AAT。故本題選C。8、設(shè)矩陣矩陣B滿足AB+B+A+2E=O，則|B+E|=()A、－12B、－24C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：用因式分解法化簡(jiǎn)矩陣方程，使其出現(xiàn)B+E的因式，則有AB+B+A+2E=A(B+E)+(B+E)+E=(A+E)(B+E)+E=D，所以(A+E)(B+E)=－E，對(duì)上式兩邊取行列式，由行列式的乘法公式可得|A+E||B+E|=1，所以又因?yàn)樗怨时绢}選D。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所求極限為和式極限的形式，則可利用夾逼準(zhǔn)則進(jìn)行求解。其中由夾逼準(zhǔn)則可知10、已知?jiǎng)tf’(2)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所以11、交換積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D，如下圖陰影部分所示，則有交換積分次序12、曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式可得13、實(shí)對(duì)稱矩陣A與矩陣合同，則二次型xTAx的規(guī)范形為_(kāi)__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y12+y22－y32知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A與矩陣B合同，說(shuō)明二次型xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。矩陣B的特征多項(xiàng)式為所以矩陣B的特征值為1，1，－2，則二次型xTBx的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1。故二次型xTAx的規(guī)范形為y12+y22－y32。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式得所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求函數(shù)f(x，y)=e2x(x+y2+2y)的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：解如下方程組求得駐點(diǎn)坐標(biāo)為又因?yàn)閒xx"(x，y)=4e2x(x+y2+2y+1)，fxy"(x，y)=4e2x(y+1)，fyy"(x，y)=2e2x，所以因?yàn)锳＞0，且AC—B2=4e2＞0，所以函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，極小值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、證明：(I)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得(Ⅱ)若函數(shù)φ(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足φ(2)＞φ(1)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)設(shè)M和m分別為連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，即m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。根據(jù)定積分的性質(zhì)，有根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理得，至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得即有(Ⅱ)由(I)的結(jié)論可知，至少存在一點(diǎn)η∈[2，3]，使得又因?yàn)樗驭恰?2，3]。對(duì)函數(shù)φ(x)在[1，2]，[2，1，7]上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，并結(jié)合φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)得在[ξ1，ξ2]上對(duì)導(dǎo)函數(shù)φ’(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)V(t)是曲線在x∈[0，t]的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，求常數(shù)c使得標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線在x∈[0，t]的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為所以因?yàn)榧此詂=1(因?yàn)閏＞0，所以c=－1不合題意)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、計(jì)算二重積分其中D為平面區(qū)域{(x，y)|x2+y2≤2x，x≥1}。標(biāo)準(zhǔn)答案：二重積分的積分區(qū)域D如下圖陰影部分所示。由于積分區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，且被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，所以選用極坐標(biāo)求二重積分，令x=rcosθ，y=rsinθ，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)奇函數(shù)f(x)在[－1，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1。證明：19、存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)－x，則F’(x)=f’(x)－1，且F(0)=f(0)=0，f(1)=f(1)－1=0，由羅爾定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、存在η∈(－1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：令G(x)=ex[f’(x)－1]，由(I)知，存在ξ∈(0，1)，使得G(ξ)=0。又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，則G(－ξ)=0，因此存在η∈(－ξ，ξ)(－1，1)，使得G’(η)=0，即e2[f’(η)－1]+eηf"(η)=0，則有f"(η)+f’(η)=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)其中f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=f’(0)=0，且求f(u)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗酝韺⑸鲜鼋Y(jié)果代入方程得則有f"(u)－f(u)=u。求解上述二階微分方程可得其通解為f(u)=C1e－u+C2eu－u，其一階導(dǎo)數(shù)為f’(u)=－C1e-u+C2eu－1，將f(0)=f’(0)=0代入上述兩式得故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3。22、求二次型矩陣的所有特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型的對(duì)應(yīng)矩陣為則其特征方程為則所有特征值為λ1=a，λ2=a+1，λ3=a－2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、若二次型的規(guī)范形為y12+y22，求實(shí)數(shù)a的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：若二次型的規(guī)范形為y12+y22，說(shuō)明二次型有兩個(gè)特征值為正數(shù)，一個(gè)特征值為0。又因?yàn)閍－2≤a≤a+1，所以a－2=0，即a=2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)四元齊次線性方程組(1)為另一四元齊次線性方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(2，－1，a+2，1)T，α2=(－1，2，4，a+8)T。24、求方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有則n－r(A)=2，基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成。取x3，x4為自由變量，則其基礎(chǔ)解系為β1=(5，－3，1，0)T，β2=(－3，2，0，1)T。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(1)與方程組(2)有非零公共解，并求出所有非零公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)η是方程組(1)與方程組(2)的非零公共解，則η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2與l1，l2均是不全為0的常數(shù)。由k1β1+k2β2－l1α1－l2α2=0，得齊次線性方程組對(duì)方程組(3)的系數(shù)矩陣作初等行變換，則有當(dāng)a≠－1時(shí)，方程組(3)的系數(shù)矩陣為則方程組(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，則η=0，不合題意。當(dāng)a=－1時(shí)，方程組(3)的系數(shù)矩陣為解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2，于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。因此當(dāng)a=－1時(shí)，方程組(1)與方程組(2)有非零公共解，且公共解為l1(2，－1，1，1)T+l2(－1，2，4，7)T，其中l(wèi)1，l2為任意常數(shù)，且l1，l2不同時(shí)為0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)＝，g(χ)＝∫01-cosχtant2dt，則χ→0時(shí)f(χ)是g(χ)的A、高階無(wú)窮?。瓸、低階無(wú)窮?。瓹、同階而非等價(jià)無(wú)窮小．D、等價(jià)無(wú)窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是考察如下的型極限，由洛必達(dá)法則與等價(jià)無(wú)窮小因子替換得其中用了下面的等價(jià)無(wú)窮小因子替換：χ→0時(shí)ln(1＋sin2χ2)～sin2χ2～χ4，tan(1－cosχ)2～(1－cosχ)2～．故應(yīng)選B．2、設(shè)f(χ)是以3為周期的可導(dǎo)的奇函數(shù)，且f′(－1)＝1，則I＝＝A、－4．B、4．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：注意f′(χ)也以3為周期且為偶函數(shù)，f′(－1)＝f′(2)＝f′(－2)，利用導(dǎo)數(shù)可求得極限故應(yīng)選C．3、設(shè)f(χ)＝，F(xiàn)(χ)＝∫0χ(t)dt，則F(χ)在[0，2]上A、有界，不可積．B、可積，有間斷點(diǎn)．C、連續(xù)，有不可導(dǎo)點(diǎn)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：不必求出F(χ)．這里f(χ)在[0，2]上有界，除χ＝1外連續(xù)，χ＝1是f(χ)的跳躍間斷點(diǎn)．由可積性的充分條件f(χ)在[0，2]上可積，再由基本定理F(χ)在[0，2]上連續(xù)．故A，B不對(duì)．進(jìn)一步考察F(χ)的可導(dǎo)性．當(dāng)χ≠1時(shí)F′(χ)＝f(χ)，又χ＝1是f(χ)的跳躍間斷點(diǎn)，則F(χ)在點(diǎn)χ＝1處不可導(dǎo)．故應(yīng)選C．4、設(shè)，則A、I2＞1＞I1．B、I2＞I1＞1．C、1＞I2＞I1．D、1＞I1＞I2．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：將1也寫(xiě)成區(qū)間[0，]上的一個(gè)定積分1＝從而為比較I1，I2，1的大小，只要比較的大?。捎诋?dāng)χ＞0時(shí)，χ＞sinχ，，所以I2＝＝I1．再比較當(dāng)0＜χ＜，的大小即sinχ與χ的大?。上聢D可知于是，I2＞I1＞1．故選B．5、設(shè)f(χ)，g(χ)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足f(0)＞0，f′(0)＝0，g(0)＝0，則函數(shù)u(χ，y)＝f(χ)∫1yg(t)dt在點(diǎn)(0，0)處取極小值的一個(gè)充分條件是A、f〞(0)＞0，g′(χ)＜0(0≤χ≤1)．B、f〞(0)＜0，g′(χ)＞0(0≤χ≤1)．C、f〞(0)＞0，g′(χ)＞0(0≤χ≤1)．D、f〞(0)＜0，g′(χ)＜0(0≤χ≤1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用極值點(diǎn)的充分判別法．由u＝f(χ)∫1yg(t)dy得若g′(χ)＞0(0≤χ≤1)g(χ)在[0，1]g(χ)＞g(0)＝0(0＜χ≤1)∫10g(t)dt＜0，又f〞(0)＜0時(shí)AC－B2＞0．因此(0，0)是u(χ，y)的極小值點(diǎn)．故選B．6、已知累次積分，I＝f(rcosθ，rsinθ)rdr,其中a＞0為常數(shù)，則I可寫(xiě)成A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是把極坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)換成Oχy直角坐標(biāo)系下的累次積分的問(wèn)題．先將I表示成I＝f(χ，y)dσ．由D的極坐標(biāo)表示，0≤r≤acosθ，即r2＝χ2＋y2≤arcosθ＝aχ，可知D：，如下圖．若是先y后χ的積分順序，則D：0≤χ≤a，，于是I＝f(χ，y)dy．故應(yīng)選C．7、設(shè)A是5×4矩陣，r(A)＝4，則下列命題中錯(cuò)誤的為A、Aχ＝0只有零解．B、AATχ＝0有非零解．C、對(duì)任何5維向量β，Aχ＝β都有解．D、對(duì)任何4維向量β，ATχ＝β都有無(wú)窮多解．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A對(duì)，因?yàn)閞(A)＝未知數(shù)個(gè)數(shù)4．選項(xiàng)B對(duì)，因?yàn)锳AT是5階矩陣，而r(AAT)＜5．選項(xiàng)C錯(cuò)，因?yàn)榇嬖?維向量β不可用A的列向量組表示，使得AX＝β無(wú)解．選項(xiàng)D對(duì)，因?yàn)閞(AT)＝方程個(gè)數(shù)4，對(duì)任何4維向量β，r(AT｜β)不會(huì)大于4．8、設(shè)A＝，則下列矩陣中與A合同但不相似的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先可排除A，因?yàn)閞(A)＝2，而A矩陣的秩為1，所以它與A不合同．兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是它們的特征值的正負(fù)性一樣．(即正，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等．)而相似的充分必要條件是它們的特征值相同．因此應(yīng)該從計(jì)算特征值下手．求出｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)，A的特征值為0，－3，3．顯然(C)中矩陣的特征值也是0，－3，3，因此它和A相似，可排除．剩下選項(xiàng)B、D兩個(gè)矩陣中，只要看一個(gè)．D中矩陣的特征值容易求出，為0，－1，1，因此它和A合同而不相似．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、數(shù)列極限I＝n2[arctan(n＋1)－arctann]＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：屬∞.0型的數(shù)列極限，轉(zhuǎn)化為型的函數(shù)極限后再用洛必達(dá)法則，即有故原數(shù)列極限的值為1．10、微分方程(3y－2χ)dy＝y(tǒng)dχ的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χy2－y3＝C，其中C是任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：題設(shè)的方程是齊次微分方程，令y＝χu或χ＝y(tǒng)u，可把方程化為關(guān)于χ，u或y，u的可分離變量的方程求解．方程又可改寫(xiě)成＝3的形式，這是以χ為未知函數(shù)，以y為自變量的一階線性微分方程．令χ＝y(tǒng)u，代入方程后整理化簡(jiǎn)并積分可得＝0，ln｜y3(u－1)｜＝C1．去對(duì)數(shù)即得通解y3(u－1)＝Cy2(χ－y)＝C，其中C是任意常數(shù)．11、曲線y＝的斜漸近線方程為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝±χ知識(shí)點(diǎn)解析：因此斜漸近線方程為y＝±χ．12、設(shè)f(χ)＝(1＋χ＋χ2)esinχ，則f〞(0)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：f(χ)＝u(χ)v(χ)，u(χ)＝1＋χ＋χ2，則u(0)＝1，u′(0)＝1，u〞(0)＝2v(χ)＝esinχ，v(0)＝1，v′(0)＝cosχesinχ｜χ＝0＝1，v〞(0)＝(－sinχesinχ＋esinχcos2χ)｜χ＝0＝1又f′(χ)＝u′(χ)v(χ)＋u(χ)v′(χ)f〞(χ)＝u〞(χ)v(χ)＋2u′(χ)v′(χ)＋u(χ)v〞(χ)于是f〞(0)＝2×1＋2×1×1＋1×1＝5．13、設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(χ，y)在曲線9y＝4χ2上運(yùn)動(dòng)，且坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)是1cm．如果P點(diǎn)橫坐標(biāo)的速率是30cm／s，則當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)時(shí)，從原點(diǎn)到P點(diǎn)間距離r的變化率是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：82(cm／s)知識(shí)點(diǎn)解析：這是相關(guān)變化率的問(wèn)題．χ，y以及原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離r＝都是時(shí)間t的函數(shù)，已知9y＝4χ2，χ＝3，y＝4，＝30，求在等式9y＝4χ2和r＝兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得用χ＝3，y＝4，dχ＝30代入以上兩式，即可解出＝82(cm／s)．14、已知α1＝(1，2，－1)T，α2＝(1，－3，2)T，α3＝(4，11，－6)T．矩陣A滿足Aα1＝(0，2)T，Aα2＝(5，2)T，Aα3＝(－3，7)T，則A＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：用條件可建立一個(gè)關(guān)于A的矩陣方程：用初等變換法解此矩陣方程：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(χ)在χ＝0的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足＝0，求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(χ)＝，則g(χ)＝0．為求出，我們先導(dǎo)出與g(χ)的關(guān)系．由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)D是曲線y＝2χ－χ2與χ軸圍成的平面圖形，直線y＝kχ把D分成為D1和D2兩部分(如圖)，滿足D1的面積S1與D2的面積S2之比S1：S2＝1：7．(Ⅰ)求常數(shù)k的值及直線y＝kχ與曲線y＝2χ－χ2的交點(diǎn)．(Ⅱ)求平面圖形D1的周長(zhǎng)以及D1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由方程組，可解得直線y＝kχ與曲線y，＝2χ－χ2有兩個(gè)交點(diǎn)(0，0)和(2－k，k(2－k))，其中0＜k＜2．于是S1＝∫02-k(2χ－χ2－kχ)dχ＝(2－k)3．又S1＋S2＝∫02(2χ－χ2)dχ＝，由題設(shè)S1：S2：1：7，知于是k＝1，相應(yīng)的交點(diǎn)是(1，1)．(Ⅱ)注意這時(shí)D1的邊界由y＝χ上0≤χ≤1的線段與曲線y＝2χ－χ2上0≤χ≤1的弧構(gòu)成，從而D1的周長(zhǎng)于是D1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)函數(shù)f(χ)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(χ)＞0，，且(Ⅰ)求f(χ)；(Ⅱ)定義數(shù)列χn＝∫0nπf(t)dt，證明數(shù)列{χn}收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)題設(shè)中等式左端的極限為1∞型，先轉(zhuǎn)化成由導(dǎo)數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得積分得lnf(χ)＝＝lnsin2χ－lnχ2＋C1，即f(χ)＝，χ∈(0，＋∞)．由得C＝1．因此f(χ)＝．(Ⅱ)χn＝記F(χ)＝在(0，＋∞)χn＝F(nπ)是單調(diào)上升的．又于是χn有界．因此{(lán)χn}單調(diào)有界，{χn}必收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、計(jì)算二重積分[cosχ2siny2＋sin(χ＋y)]dσ，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤a2，常數(shù)a＞0}．標(biāo)準(zhǔn)答案：[cosχ2siny2＋sin(χ＋y)]dσ＝cosχ2siny2dσ＋sin(χ＋y)dσ，將D中的χ與y交換，所以I1cosχ2siny2dσ中，將被積函數(shù)中的χ與y交換，該積分的值亦不變．于是有由于sinχ是χ的奇函數(shù)，siny是y的奇函數(shù)，且D既對(duì)稱于y軸，又對(duì)稱于χ軸，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)z＝z(χ，y)是由9χ2－54χy＋90y2－6yz－z2＋18＝0確定的函數(shù)，(Ⅰ)求z＝z(χ，y)一階偏導(dǎo)數(shù)與駐點(diǎn)；(Ⅱ)求z＝z(χ，y)的極值點(diǎn)和極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用一階全微分形式不變性，將方程求全微分即得18χdχ－54(ydχ＋χdy)＋180ydy－6zdy－6ydz一2zdz＝0，即(18χ－54y)dχ＋(180y－54χ－6z)dy－(6y＋2z)dz＝0．從而為求隱函數(shù)z＝z(χ，y)的駐點(diǎn)，應(yīng)解方程組②可化簡(jiǎn)為χ＝3y，由③可得z＝30y－9χ＝3y，代入①可解得兩個(gè)駐點(diǎn)χ＝3，y＝1，z＝3與z＝－3，y＝－1，z＝－3．(Ⅱ)z＝z(χ，y)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn)．為判定z＝z(χ，y)在兩個(gè)駐點(diǎn)處是否取得極值，還需求z＝z(χ，y)在這兩點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)．注意，在駐點(diǎn)P＝(3，1，3)，Q＝(－3，－1，－3)處，＝0由(3y＋z)＝9χ－27則在駐點(diǎn)P，Q處再由(3y＋z)=＝90y－27χ－3z在駐點(diǎn)P，Q處(3y＋z)＝90．于是可得出在P點(diǎn)處3y＋z＝6，因AC－B2＝＞0，且A＝＞0，故在點(diǎn)(3，1)處z＝z(χ，y)取得極小值z(mì)(3，1)＝3．在Q點(diǎn)處3y＋z＝－6．因AC－B2＝＞0，且A＝－＜0，故在點(diǎn)(－3，－1)處z＝z(χ，y)取得極大值z(mì)(－3，－1)＝－3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)χOy平面第一象限中有曲線г：y＝y(tǒng)(χ)，過(guò)點(diǎn)A(0，－1)，y′(χ)＞0．又M(χ，y)為г上任意一點(diǎn)，滿足：弧段的長(zhǎng)度與點(diǎn)M處г的切線在χ軸上的截距之差為－1．(Ⅰ)導(dǎo)出y＝y(tǒng)(χ)滿足的積分、微分方程；(Ⅱ)導(dǎo)出y(χ)滿足的微分方程和初始條件；(Ⅲ)求曲線г的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求出г在點(diǎn)M(χ，y)處的切線方程Y－y(χ)＝y(tǒng)′(χ)(X－χ)，其中(X，Y)是切線上點(diǎn)的坐標(biāo)．在切線方程中令Y＝0，得χ軸上的截距又弧段的長(zhǎng)度為，按題意得這是y(χ)滿足的積分、微分方程．(Ⅱ)兩邊對(duì)χ求導(dǎo)，就可轉(zhuǎn)化為二階微分方程：又由條件及①式中令χ＝0得y(0)＝－1，y′(0)＝1．因此得y(χ)滿足的二階微分方程的初值問(wèn)題問(wèn)題①與②是等價(jià)的．(Ⅲ)下面求解②．這是不顯含χ的二階方程，作變換P＝y(tǒng)′，并以y為自變量得由y＝－1時(shí)將上面兩式相減再積分得χ＝＋C，其中C＝．則③就是所求曲線г的表達(dá)式．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(χ)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝2．求證：至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，2)使得f〞(ξ)＝－4．標(biāo)準(zhǔn)答案：轉(zhuǎn)化為證明某函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在(0，2)零點(diǎn)．設(shè)g〞(χ)＝－4．令F(χ)＝f(χ)－g(χ)則ξ∈(0，2)，使f〞(ξ)＝－4F〞(ξ)＝0．注意g(χ)＝－2χ2＋c1χ＋c2，于是F(0)＝f(0)－g(0)＝－c2F(1)＝f(1)－g(1)＝4－c1－c2F(2)＝f(2)－g(2)＝8－2c1－c2為使F(0)＝F(1)＝F(2)，取c1＝4，c2＝0，F(xiàn)(χ)＝f(χ)－g(χ)＝f(χ)－(－2χ2×4χ)滿足F(0)＝F(1)＝F(2)＝0．由于函數(shù)F(χ)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，因而可在區(qū)間[0，1]與[1，2]上分別對(duì)函數(shù)F(χ)應(yīng)用羅爾定理，從而知分別存在η1∈(0，1)與η2∈(1，2)使得F′(η1)＝F′(η2)＝0，由題設(shè)知F′(χ)在區(qū)間[η1，η2]上也滿足羅爾定理的條件，再在區(qū)間[η1，η2]上對(duì)導(dǎo)函數(shù)F′(χ)應(yīng)用羅爾定理，又知存在ξ∈(η1，η2)(0，2)使得F〞(ξ)＝f〞(ξ)－g〞(ξ)＝0，f〞(ξ)＝gξ(ξ)＝－4成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)4階矩陣A＝(α1，α2，α3，α4)，方程組Aχ＝β的通解為(1，2，2，1)T＋c(1，－2，4，0)T，c任意．記B＝(α3，α2，α1，β－α4)．求方程組Bχ＝α1－α2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先從AX＝β的通解為(1，2，2，1)T＋c(1，－2，4，0)T可得到下列訊息：①Aχ＝0的基礎(chǔ)解系包含1個(gè)解，即4－r(A)＝1，得r(A)＝3．即r(α1，α2，α3，α4)＝3．②(1，2，2，1)T是Aχ＝β解，即α1＋2α2＋2α3＋α4＝β．③(1，－2，4，0)T是Aχ＝0解，即α1－2α2＋4α3＝0．α1，α2，α3線性相關(guān)，r(α1，α2，α3)＝2．顯然B(0，－1，1，0)T＝α1－α2，即(0，－1，1，0)T是Bχ＝α1－α2的一個(gè)解．由②，B＝(α1，α2，α1，β－α4)＝(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)，于是r(B)＝r(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)＝r(α1，α2，α3)＝2．則Bχ＝0的基礎(chǔ)解系包含解的個(gè)數(shù)為4－r(B)＝2個(gè)．α1－2α2＋4α4＝0說(shuō)明(4，－2，1，0)T是Bχ＝0的解；又從B＝(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)容易得到B(－2，－2，－1，1)T＝0，說(shuō)明(－2，－2，－1，1)T也是Bχ＝0的解．于是(4，－2，1，0)T和(－2，－2，－1，1)T構(gòu)成Bχ＝0的基礎(chǔ)解系．Bχ＝α1－α2的通解為：(0，－1，1，0)T＋c1(4，－2，1，0)T＋c2(－2，－2，－1，1)T，c1，c2任意．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，滿足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n．①求二次型χTAχ的規(guī)范形．②證明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩陣，并求｜B｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：①由于A2＝E，A的特征值λ應(yīng)滿足λ2＝1，即只能是1和－1．于是A＋E的特征值只能是2和0．A＋E也為實(shí)對(duì)稱矩陣，它相似于對(duì)角矩陣∧，∧的秩等于r(A＋E)＝k．于是A＋E的特征值是2(k重)和0(n－k重)，從而A的特征值是1(k重)和－1(n－k重)．A的正，負(fù)關(guān)系慣性指數(shù)分別為k和n－k，χTAχ的規(guī)范形為y12＋y22＋…＋yk2－yk+12－…－yn2．②B是實(shí)對(duì)稱矩陣．由A2＝E，有B＝3E＋2A，B的特征值為5(k重)和1(n－k重)都是正數(shù)．因此B是正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，g(χ)連續(xù)，且f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(χ－t)dt，＝－2，則()．A、f(0)為f(χ)的極大值B、f(0)為f(χ)的極小值C、(0，f(0))為y＝f(χ)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(χ)的極值，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然f′(0)＝0，＝－2得g(0)＝0，g′(0)＝－2．由∫0χg(χ－t)dt∫0χg(u)du得f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(u)du．故(0，f(0))為y＝f(χ)的拐點(diǎn)，選C．2、當(dāng)χ＞0時(shí)，f(lnχ)＝，則∫-22χf′(χ)dχ為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(lnχ)＝得f(χ)＝，故選C．3、設(shè)z＝z(χ，y)由F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0確定，其中函數(shù)F連續(xù)可偏導(dǎo)且af′1－cf′2≠0，則＝()．A、aB、bC、cD、a＋b＋c標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0兩邊對(duì)χ求偏導(dǎo)得＝0，解得；F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得，故，因此選B．4、設(shè)函數(shù)f(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(χ)有()．A、一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B、兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)C、兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D、三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖形與χ軸的交點(diǎn)從左至右依次為A，B，C，在點(diǎn)A左側(cè)f′(χ)＞0，右側(cè)f′(χ)＜0．所以點(diǎn)A為f(χ)的極大值點(diǎn)，同理可知點(diǎn)B與C都是f(χ)的極小值點(diǎn)．關(guān)鍵是點(diǎn)0處，在它左側(cè)f′(χ)＞0，右側(cè)f′(χ)＜0，而f(χ)在點(diǎn)O連續(xù)，所以點(diǎn)O也是f(χ)的極大值點(diǎn)(不論在χ＝0處f(χ)是否可導(dǎo)，見(jiàn)極值第一充分條件)，選C．5、設(shè)D為y＝χ，χ＝0，y＝1所圍成區(qū)域，則arctanydχdy＝()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因此選B．6、設(shè)函數(shù)u＝f(χz，yz，χ)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則＝()．A、0B、χzf〞11＋yzf〞22＋z2f〞12C、z2f〞12＋zf〞32D、χzf〞11＋yzf〞22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因此選C．7、設(shè)矩陣B的列向量線性無(wú)關(guān)，且BA＝C，則()．A、若矩陣C的列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣A的列向量線性相關(guān)B、若矩陣C的列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣A的行向量線性相關(guān)C、若矩陣A的列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣C的列向量線性相關(guān)D、若矩陣C的列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣A的列向量線性無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B為m×n矩陣，A為n×s矩陣，則C為m×s矩陣，且r(B)＝n．因?yàn)锽A＝C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)＝s，則r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)＝s，A的列向量組線性無(wú)關(guān)，A項(xiàng)不對(duì)；若r(C)＝s，則r(A)＝s，所以A的行向量組的秩為s，故n≥s．若n＞s，則A的行向量組線性相關(guān)，若n＝s，則A的行向量組線性無(wú)關(guān)，B項(xiàng)不對(duì)；若r(A)＝s，因?yàn)閞(C)≤s，所以不能斷定C的列向量組線性相關(guān)還是無(wú)關(guān)，C項(xiàng)不對(duì)；若r(C)＝s，則r(A)＝s，故選D．8、設(shè)n階方陣A的n個(gè)特征值全為0，則()．A、A＝OB、A只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量C、A不能與對(duì)角陣相似D、當(dāng)A與對(duì)角陣相似時(shí)，A＝O標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若A的全部特征值皆為零且與對(duì)角矩陣相似，則存在可逆矩陣P，使得P-1AP＝，于是A＝O，選D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)y＝f(χ)與y＝sin2χ在(0，0)處切線相同，其中f(χ)可導(dǎo)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由y＝f(χ)與y＝sin2χ在(0，0)處切線相同得f(0)＝0，f′(0)＝2．由∫0χf(χ－t)dt∫0χf(u)du11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：10π知識(shí)點(diǎn)解析：12、由方程χ＋2y＋z－2＝0所確定的函數(shù)z＝z(χ，y)在點(diǎn)(1，1，2)處的全微分dz＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：dχ－2dy知識(shí)點(diǎn)解析：χ＋2y+z－2＝0兩邊對(duì)χ求偏導(dǎo)得1＋＝0，則，z＋2y＋z－2＝0兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得2＋＝0，則＝－2，于是dz＝dχ－2dy．13、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)在(0，＋∞)上滿足△y＝(＋χsinχ)△χ＋o(△χ)，且，則y(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ(1－cosχ)知識(shí)點(diǎn)解析：由可微的定義，函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)在(0，＋∞)內(nèi)可微，且y′＝＋χsinχ或y′－＝χsinχ，由一階非齊次線性微分方程的通解公式得y＝＝(－cosχ＋C)χ由得C＝1，所以y＝χ(1－cosχ)．14、設(shè)矩陣A＝不可對(duì)角化，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0或4知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE－A｜＝＝λ(λ－a)(λ－4)＝0，得λ1＝0，λ2＝，λ3＝4．因?yàn)锳不可對(duì)角化，所以A的特征值一定有重根，從而a＝0或a＝4．當(dāng)a＝0時(shí)，由r(OE－A)＝r(A)＝2得λ1＝λ2＝0只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則A不可對(duì)角化，a＝0合題意；當(dāng)a＝4時(shí)，4E－A＝，由r(4E－A)＝2得λ2＝λ3＝4只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故A不可對(duì)角化，a＝4合題意．三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、計(jì)算極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ→0時(shí)，1－，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)u＝f(χ＋y，χ－y，z)由χ＝∫χ+zy+zP(t)dt確定z為χ，y的函數(shù)，又f連續(xù)可偏導(dǎo)，P可導(dǎo)，且p(y＋χ)－p(χ＋z)＝1≠0，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：將u＝f(χ＋y，χ－y，z)及z＝∫χ+zy+zp(t)dt兩邊對(duì)χ求偏導(dǎo)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(χ)在[0，2]上二階可導(dǎo)，且f〞(χ)＜0，f′(0)＝1，f′(2)＝－1，f(0)＝f(2)＝1．證明：2≤∫02f(χ)dχ≤3．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先f(wàn)〞(χ)＜0，所以f(χ)在(0，2)內(nèi)不可能取到最小值，從而f(0)＝f(2)＝1為最小值，故f(χ)≥1(χ∈[0，2])，從而∫02(χ)dχ≥0．因?yàn)閒〞(χ)＜0，所以有所以∫02f(χ)dχ＝∫01f(χ)dχ＋∫12f(χ)dχ≤∫01(1＋χ)dχ＋∫(3－χ)dχ＝3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)拋物線y＝χ2與它的兩條相互垂直的切線所圍成的平面圖形的面積為S，其中一條切線與拋物線相切于點(diǎn)A(a，a2)(a＞0)．(Ⅰ)求S＝S(a)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)a取何值時(shí)，面積S(a)最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)另一個(gè)切點(diǎn)為(χ0，χ02)，則拋物線y＝χ2的兩條切線分別為L(zhǎng)1：y＝2aχ－a2，L2：y＝2χ0χ－χ02．因?yàn)長(zhǎng)1⊥L2，所以χ0＝－，兩條切線L1，L2的交點(diǎn)為χ1＝，y1＝aχ0，L1，L2及拋物線y＝χ2。所圍成的面積為(Ⅱ)S′(a)＝＝0，得a＝．因?yàn)楫?dāng)a∈(0，)時(shí)，S′(a)＜0，當(dāng)a＞時(shí)，S′(a)＞0，所以當(dāng)a＝時(shí)，面積S(a)取最小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)曲線y＝y(tǒng)(χ)位于第一卦限且在原點(diǎn)處的切線與χ軸相切，P(χ，y)為曲線上任一點(diǎn)，該點(diǎn)與原點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)為l1，點(diǎn)P處的切線與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A，P之間的距離為l2，又滿足χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2，求曲線y＝y(tǒng)(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件得y(0)＝0，y′(0)＝0，l1＝∫0χdχ；P(χ，y)處的切線為y－y＝y(tǒng)′(X－χ)，令X＝0，則Y＝y(tǒng)－χy′，A的坐標(biāo)為(0，y－χy′)，l2＝，由χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2得兩邊對(duì)χ求導(dǎo)整理得1＋y′2＝2(χ＋1)y′y〞．令y′＝p，y〞＝，代入得1＋p2－2(χ＋1)p，變量分離得，積分得ln(1＋P2)＝ln(χ＋1)＋lnC1，即1＋P2＝C1(χ＋1)，由初始條件得C1＝1，即p＝±，從而y＝＋C2，再由y(0)＝0得C2＝0，故所求的曲線為y2＝χ3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)曲線y＝y(tǒng)(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一個(gè)特解，此曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且在原點(diǎn)處的切線平行于χ軸．(Ⅰ)求曲線y＝y(tǒng)(χ)的表達(dá)式；(Ⅱ)求曲線y＝y(tǒng)(χ)到χ軸的最大距離；(Ⅲ)計(jì)算積分∫0＋∞y(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)微分方程的特征方程為2λ2＋λ－1—0，特征值為λ1＝－1，λ2＝，則微分方程2y〞＋y′－y＝0的通解為y＝C1e-χ＋C2．令非齊次線性微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的特解為y0(χ)＝χ(aχ＋b)e-χ，代入原方程得a＝1，b＝0，故原方程的特解為y0(χ)＝χ2e-χ，原方程的通解為y＝C1e-χ＋C2＋χe-χ，由初始條件y(0)＝y(tǒng)′(0)＝0得C1＝C2＝0，故y＝χ2e-χ．(Ⅱ)曲線y＝χ2e-χ到χ軸的距離為d＝χ2e-χ，令d′＝2χe-χ－χ2e-χ＝χ(2－χ)e-χ＝0，得χ＝2．當(dāng)χ∈(0，2)時(shí)，d′＞0；當(dāng)χ＞2時(shí)，d′＜0，則χ＝2為d＝χ2e-χ的最大值點(diǎn)，最大距離為d(2)＝．(Ⅲ)∫0＋∞y(χ)dχ＝∫0＋∞χ2e-χdχ＝2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)非齊次線性方程組有三個(gè)線性無(wú)關(guān)解α1，α2，α3．(Ⅰ)證明系數(shù)矩陣的秩r(A)＝2；(Ⅱ)求常數(shù)a，b的值及通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令r(A)＝r，因?yàn)橄禂?shù)矩陣至少有兩行不成比例，所以r(A)≥2．α1－α2，α1－α3為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的兩個(gè)解．令k1(α1－α2)＋k2(α1－α3)＝0，即(k1＋k2)α1－k1α2－k2α3＝0．因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以k1＝k2＝0，即α1－α2，α1－α3線性無(wú)關(guān)，于是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系至少含兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)＝2．因?yàn)閞(A)＝r()＝2，所以解得a＝2，b＝－3，于是通解為X＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3＝XTAX，其中AT＝A．又B且AB＝O．求正交矩陣Q，使得XTAX在正交變換X＝QY下化為標(biāo)準(zhǔn)二次型．標(biāo)準(zhǔn)答案：A＝，由AB＝O得B的列為AX＝0的解，令，由Aα1＝0α1，Aα2＝0α2得λ1＝λ2＝0為A的特征值，α1，α2為λ1＝λ2＝0對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量．又由λ1＋λ2＋λ3＝tr(A)＝6得λ3＝4，令α3＝為λ3＝4對(duì)應(yīng)的特征向量，由AT＝A得λ3＝4對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為α3＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)＝，g(χ)在χ＝0連續(xù)且滿足g(χ)＝1＋2χ＋o(χ)(χ→0)．又F(χ)＝f[g(χ)]，則F′(0)＝A、4e．B、4．C、2D、2e．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：先求g′(0)．由g(χ)在χ＝0連續(xù)及g(χ)＝1＋2χ＋0(χ)(χ→0)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法及變限積分求導(dǎo)法故應(yīng)選A．2、下列反常積分中收斂的是A、①②．B、①③．C、②④．D、③④．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：找出其中兩個(gè)收斂的．③收斂．因此選B．3、設(shè)函數(shù)f(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，且分別在(－∞，0)與(0，＋∞)上二次可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)f′(χ)的圖像如圖(1)所示，則f(χ)在(－∞，＋∞)有A、一個(gè)極大值點(diǎn)與兩個(gè)拐點(diǎn)．B、一個(gè)極小值點(diǎn)與兩個(gè)拐點(diǎn)．C、一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)與兩個(gè)拐點(diǎn)．D、一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)與三個(gè)拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)a，b，c，d各點(diǎn)如圖(2)所示，由題設(shè)可得下表：(注意，表中對(duì)應(yīng)于χ＝χ0處注有“拐點(diǎn)”是指對(duì)應(yīng)的(χ0，f(χ0))為曲線y＝f(χ)的一個(gè)拐點(diǎn)．)這表明函數(shù)f(χ)有一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)極小值點(diǎn)以及三個(gè)拐點(diǎn)，結(jié)論D正確．4、微分方程y〞－4y′＝2cos22χ的特解可設(shè)為_(kāi)______．A、Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．B、A＋B1cos4χ＋B2sin4χ．C、B1cos2χ＋B2sin22χ．D、B1cos4χ＋B2sin4χ．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：方程右端的非齊次項(xiàng)f(χ)＝2cos2χ＝1＋cos4χ，相應(yīng)齊次方程的特征方程是λ2－4λ＝0，特征根λ1＝0，λ2＝4．利用解的疊加原理：相應(yīng)于非齊次項(xiàng)f1(χ)＝1，有形式為y1*(χ)＝Aχ(λ1＝0為單特征根)的特解，A為待定常數(shù)；相應(yīng)于非齊次項(xiàng)f2(χ)＝cos4χ，有形式為y2*(χ)＝B1cos4χ＋B2sin4χ的特解，B1，B2為待定常數(shù)．因此，原方程的特解可設(shè)為Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．應(yīng)選A．5、設(shè)D是由直線χ＝0，y＝0，χ＋y＝1在第一象限所圍成的平面區(qū)域，則J＝＝_______．A、e＋1．B、e－1．C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選用極坐標(biāo)變換．D的極坐標(biāo)表示：于是因此選D．6、設(shè)函數(shù)F(χ，y)在(χ0，y0)某鄰域有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且F(χ0，y0)＝F′χ(χ0，y0)＝0，F(xiàn)′y(χ0，y0)＞0，F(xiàn)〞χχ(χ0，y0)＜0．由方程F(χ，y)＝0在χ0的某鄰域確定的隱函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)，它有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且y(χ0)＝y(tǒng)0，則A、y(χ)以χ＝χ0為極大值點(diǎn)．B、y(χ)以χ＝χ0為極小值點(diǎn)．C、y(χ)在χ＝χ0不取極值．D、χ0，y(χ0))是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：按隱函數(shù)求導(dǎo)法，y′(χ)滿足令χ＝χ0，相應(yīng)地y＝y(tǒng)0由F′χ(χ0，y0)＝0，F(xiàn)′y(χ0，y0)≠0得y′(χ0)＝0．將上式再對(duì)χ求導(dǎo)并注意y＝y(tǒng)(χ)即得再令χ＝χ0，相應(yīng)地y＝y(tǒng)0，y′(χ0)＝0得因此χ＝χ0是y＝y(tǒng)(χ)的極小值點(diǎn)．故選B．7、設(shè)η1，η2，η3為3個(gè)n維向量，AX＝0是n元齊次方程組。則()正確．A、如果η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且線性無(wú)關(guān)，則η1，η2，η3為AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．B、如果η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且r(A)＝n－3，則η1，η2，η3為AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．C、如果η1，η2，η3等價(jià)于AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．則它也是AX＝0的基礎(chǔ)解系．D、如果r(A)＝n－3，并且AX＝0每個(gè)解都可以用η1，η2，η3線性表示，則η1，η2，η3為AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A缺少n－r(A)＝3的條件．選項(xiàng)B缺少η1，η2，η3線性無(wú)關(guān)的條件．選項(xiàng)C例如η1，η2是基礎(chǔ)解系η1＋η2＝η3，則η1，η2，η3和η1，η2等價(jià)，但是η1，η2，η3不是基礎(chǔ)解系．要說(shuō)明選項(xiàng)D的正確，就要證明η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且線性無(wú)關(guān)．方法如下：設(shè)α1，α2，α3是AX＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則由條件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3線性表示，于是3≥r(η1，η2，η3)＝r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)＝3，則r(η1，η2，η3＝r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)＝r(α1，α2，α3)＝3，于是η1，η2，η3線性無(wú)關(guān)，并且和α1，α2，α3等價(jià)，從而都是AX＝0的解．8、下列矩陣中不相似于對(duì)角矩陣的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A矩陣的3個(gè)特征值兩兩不同，選項(xiàng)D是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此它們都相似于對(duì)角矩陣．選項(xiàng)C矩陣的秩為1，它的特征值都為0，其重?cái)?shù)3＞3－C矩陣的秩．因此C不相似于對(duì)角矩陣．選項(xiàng)B矩陣的秩也為1，它的特征值為0，0，6，0的重?cái)?shù)2＝3－B矩陣的秩．因此相似于對(duì)角