2025屆高三天樞杯第二屆線上聯(lián)考數(shù)學(xué)試題+答案

第二次天樞杯線上聯(lián)考一試未提交，不計(jì)人成績(jī). 7．已知：若a,b,c均為非負(fù)實(shí)數(shù)，則a+b+c≥33abc．取等當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c下形式化命題中和哥德巴赫猜想不等價(jià)的是()2∈P，p1+p20B．}C．2∈P,x=p1+p2且?N}=2．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+0.2i，w=z8．那么如下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()C．若f2，那么f=2iD.n+an+1?anbn+1?bnnn4．已知平面上四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D，其中任意三個(gè)不共線．若AB.AD=AC.AD，則直線AD一定經(jīng)過(guò)三角形ABC的()5．已知橢圓過(guò)點(diǎn)其右頂點(diǎn)A，上頂點(diǎn)B．那么以下說(shuō)法正確的是()），B．O到直線AB的距離dO?AB不是定值2+y2+xy=沒(méi)有交點(diǎn)6．如下圖所示，邊長(zhǎng)為A的正方體成周期性排列，在正方體的各個(gè)角以及每個(gè)面的中心有原子分布的晶體結(jié)構(gòu)，我們稱之為面心立方結(jié)構(gòu)．Ca和Al等部分金屬就屬于這種結(jié)構(gòu)．若將原子認(rèn)為是如此分布的等大分的體積是()兩個(gè)點(diǎn)不能染上同一種色，那么不同染色方案的種數(shù)是（旋轉(zhuǎn)和鏡像對(duì)稱后重合的視為同一種）()8．已知：a=，b=2.8，c=e1.02，那么a,b,c三者的關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．c<b<aD．b<c<a1τ4τ5τ7τA．cosB．cosC．cosD．cos法錯(cuò)誤的是()12．已知在平面xOy上y=sinx和單位圓交 D．以2an?1，2an+1?2，2an+1?1為三邊的三角形是直角三角形信息熵描述了一個(gè)事情的不確定度，或者說(shuō)我知道某個(gè)信息所減少的不確定度．此處“度”代表我們度量不同的信息中“信息”的含量多少，熵的以X作為隨機(jī)變量，則這些事件可以分別認(rèn)為是X=1,…，X=n．則對(duì)于這些基本事件的總體的熵，我們用公式H(X)=?(P(X=1)log2P(X=1)+…+P(X=n)log2P(X=n)計(jì)算.（2）假設(shè)一枚硬幣，其拋出正面的概率是p，請(qǐng)計(jì)算當(dāng)p取值為何時(shí)其熵最大（3）在上一問(wèn)中，假設(shè)．若A想將多次拋擲硬幣的信息通過(guò)一串“0”和“1”構(gòu)“0”、“11011”、“1010110”傳（a）Es（b）E≤2并證明你不需要分別給出方案，b的方案自動(dòng)滿足a)已知一個(gè)平行六面體的最長(zhǎng)體對(duì)角線長(zhǎng)度是l，證明：:x證明：arccos當(dāng)且僅當(dāng)n=1,2,4 :x?y6=4均相切D是常量，并計(jì)算其正切值.2020分）設(shè)f(x)=ex3?x?ax（2）分析f(x)的零點(diǎn)數(shù)量和a的關(guān)系.第二次天樞杯線上聯(lián)考一試數(shù)學(xué)答案A的意思是不存在偶數(shù)2n0是哥猜的反例D的意思是要么一個(gè)偶數(shù)不大于2，要么存在一個(gè)質(zhì)數(shù)使得該偶數(shù)減去質(zhì)數(shù)之后還是一綜上，只有C和哥猜無(wú)關(guān)，而且C實(shí)際上是錯(cuò)的，因?yàn)?+3=5是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，但不是偶數(shù)，和命題矛盾.44w=z2=1.0444B注意到z2=0.96+0.4i，z4=0.7616+0.768i，從而設(shè)z4=a+ai+bi，則z8=2a2i?b2+2abi?2ab，從而在第二象限．B正確.A注意到兩個(gè)數(shù)列都是單調(diào)遞增的，從而兩個(gè)差都是正的B考慮an=n和c=?1，注意到其積是—1，和“同增減”矛盾．B正確.首先，考慮BE和CF分別垂直直線AD于E和F，注意到題設(shè)等價(jià)于AE=AF，也就是E,F重合，從B從而直線?1=0，計(jì)算dO?AB=B錯(cuò)誤.解答題目創(chuàng)意和部分描述來(lái)自《暗殺教室》122話，有改動(dòng).，若將可以恰好染完整個(gè)正方體．而當(dāng)b色固定的時(shí)候通過(guò)旋轉(zhuǎn)就可以得到ac互換的正方體．從而只有三種不同的方案，也就是將面的中間分別染上紅黃藍(lán)三種顏色.解答先比較a和b，注意到214=16384，75=16807，從而a>b再比較b和c，注意到e<2.72，而又有從而只需要證明>0.02，這是顯然的，因?yàn)橛谐Ｓ貌坏仁綇亩鸢甘荂解答注意到帶入可以發(fā)現(xiàn)方程是=cos，其中a是答案中的選項(xiàng).A是因?yàn)閷?duì)于任意的奇質(zhì)數(shù)p，有φ=p?1>C是因?yàn)楫?dāng)n>2的時(shí)候1和n?1都和n互素，從而φ(n)至少是2D錯(cuò)誤是因?yàn)棣?m)=3是無(wú)解的．因?yàn)轱@然對(duì)于任意的m>2．若a和m互素則m?a也和m互素，反之x0從而x0>0，cos>0，從而結(jié)合x(chóng)>1可得x=ek,從而S100=取對(duì)數(shù)后就是ln(e101?e)?ln(e?1)注意到 14．43?6II’”的第275頁(yè)，有改動(dòng).c從而bc+(λ?1)b2x=bc(1?λ)+c2x，λbc=x(c2+(1?λ)b2)也就是3，解出也就是λ2+12λ?12=0，帶入得到 =±4?6．因?yàn)槿≌?，從而?4?6，此時(shí)注意到c2=(1?λ)b2仍然能取到，從 而答案就是43?6.A就是計(jì)算：a2=3，a3=7，a4=43，a5=1807．所以B注意到an顯然都是整數(shù)，從而an(an?1)必然是偶數(shù)，從而+1必然是奇數(shù)，B正確 16從而=?log2+log2，f 12 12fp)———f+□0?□f□1□從而p=時(shí)熵最大.（a我們的思路是盡量讓更可能的事件用更短的s表示．從而考慮在例子的基礎(chǔ)上作如三面正，100代表正正反，0001代表正反反，0000代表三面反.足要求.），117．解答首先，設(shè)三個(gè)邊是a,b,c，那么對(duì)于任意的體對(duì)角線l2=a2+b2+c2+2cos<a，b>ab+2cos<a，c<acac+2cos<b，c>bc4注意到），應(yīng)部分也是0，四個(gè)體對(duì)角線的平方和就是4(a2+b2+c2).方體），從而l2≥a2+b2+c2 注意到l2≥a2+b2+c2=2，從而l3≥3此處三邊相等的時(shí)候取等）取等立方體.+1=?Ck?1 也就是Ak+1=2Ak?nAk?1．因?yàn)锳0=cos0 )不是q的倍數(shù).若Ak?1，Ak不是q的倍數(shù)，那么2Ak不是q的倍數(shù)，從而Ak總不是q的倍數(shù)，從而總不是n的倍數(shù).若（其中s,t是整數(shù)），那么tτ=sφ,c\n若n=2p，p∈N，p≥3定義Bk而初始有B1=1是奇數(shù)從而cos2sφ=C2s=cos2tτ=1.更不可能是1，矛盾若Bk是奇數(shù)，那么Bk+1=Bk+2p?2Bk?1是偶數(shù)和奇數(shù)的和，從而是奇數(shù)從而B(niǎo)k當(dāng)k>0時(shí)總是奇數(shù).命題成立.19．第一問(wèn)：首先，注意到焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸頂點(diǎn)貢 2也就是c==，從而x2+2y2=a2，代入x=4+y，也就是16+6y2+8y+2y2=a2恰好有16?a2=0.代入x2+2y2=4得到x2+2k2(x?x0)2+2y+4ky0(x?x0)?4=0, x因?yàn)榻庵挥衳=x0，從而第二個(gè)因素的解也是x=x0，也就會(huì)2x0+4ky0=0，或者說(shuō)是k=? x2y0從而2yy0=?xx0+x+2y，也就是lP:xx0+2yy0=4+=+=從而xc=4?2y0，yc=4(x0?1)，zc=x0?2y0xd=4+2y0，yd=?4(x0?1d=x0+2y0)注意到因?yàn)閏=，從而F1,0．從而寫出所求角度θ的正切值表達(dá)式.tanθ（1）YXd??YdXc?)=Xc?2Xd?2)+YcYd（3）= (ycxd?xcyd)?(yczd?ydzc)xcxd+ycyd)+2zczd?2(xczd+xdzc)?2y00?1 0?1x0+2y0x0?2y02?x0?1+x0)+2y0?4(x0?1)0?1x0?2y0x0+2y0??2y0x0+2y0+4+2y0x0?2y0=?2+x0) 當(dāng)x0=1時(shí)候注意到能解出y0=，此時(shí)lP和lA重合，與它們只有交點(diǎn)相矛盾．而x?2不可能是0. 從而tanθ=2(?1)=??,又注意到通過(guò)畫(huà)圖可知該角度在P變化的時(shí)候θ恒為銳角，從而其是定角.2f3x2?1x)=3x2?1ex2?x2.x的正負(fù)只和 ?33(),|?,333f+0—0+fx)□ □ ?e9e□3a=0時(shí)注意到ex?x>0恒成立，從而沒(méi)有零點(diǎn).x)=3x2?1，h?1|?1,? ?·33|?0+++0 □0□ 239□00()|0,33|13 0+++0□ 23?9□0□ gx3>1，從而g(x)?h(x)單調(diào)遞增，零點(diǎn)若有則至多有一個(gè).注意到設(shè)x1=max時(shí)有，從而g>0>?1≥h設(shè)x2