2.2 基本不等式（第1課時）（教學課件）-2024-2025學年高一數(shù)學人教版

人教版2019高一數(shù)學（必修一）第一章一元二次函數(shù)、方程和不等式第一課時基本不等式2.2

基本不等式1.基本不等式的概念重要不等式：一般地，?a，b∈R，有a2+b2≥2ab當且僅當a=b時，等號成立.

當且僅當a=b時，等號成立.通常把上式稱為基本不等式.

基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).概念歸納上面通過考察的特殊情形獲得了基本不等式.能否直接利用不等式的性質(zhì)推導出基本不等式呢？下面我們來分析一下.

課本例題口訣簡記一正、二定、三相等1.利用基本不等式求最值的步驟概念歸納1.A、B必須為正數(shù)2.（1）在A+B為定值時，便可以知道A·B的最大值2.（2）在A·B為定值時，便可以知道A+B的最大值3.當且僅當A、B相等時，等式成立.即

解：練一練

解：練一練

課本例題

2.基本不等式的使用條件和定積最大，積定和最小.【例1】若0<a<1,0<b<1,且a≠b.試比較出a+b,a2+b2,,2ab中的最大者.解:∵0<a<1,0<b<1,a≠b,∴a+b>,a2+b2>2ab,∴四個數(shù)中最大的應從a+b,a2+b2中選擇.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大.典例剖析探究一

利用基本不等式比較代數(shù)式的大小1.運用基本不等式比較大小時應注意成立的條件,即a+b≥成立的條件是a>0,b>0,等號成立的條件是a=b;a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,等號成立的條件是a=b.2.本題在比較a+b與a2+b2的大小時使用了作差法.概念歸納1.設0<a<b,且a+b=1,則下列四個數(shù)中最大的是(

)∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.練一練B典例剖析探究二用基本不等式求簡單的最值練一練練一練典例剖析探究三利用基本不等式證明不等式練一練練一練1.此題多次使用,要注意等號能否成立,最后利用不等式性質(zhì)累加的應用,此時也要注意等號成立的條件.2.在解決不能直接利用基本不等式證明的問題時,要重新組合,構造運用基本不等式的條件.若條件中有一個多項式的和為1,要注意“1”的代換.3.培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學運算素養(yǎng).概念歸納隨堂練D2.設a≥0,b≥0,且a+b=2,則下列不等式正確的是(

)A.ab≤1 B.ab≥1C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4隨堂練A3.已知x>0,y>0,且xy=100,則x+y的最小值為

.

20隨堂練4.已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值為

;如果a+b=1,那么ab的最大值為

.

隨堂練2隨堂練課本練習課本練習課本練習課本練習5.已知直角三角形的面積等于50cm2，當兩條直角邊的長度各為多少時，兩條直角邊的和最小?最小值是多少?課本練習忽視基本不等式成立的條件致錯提示:上述解答中應用了基本不等式,卻忽略了應用基本不等式的條件——兩個數(shù)應都大于零,因而導致錯誤.錯因分析∴函數(shù)值的取值范圍為y≥2.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?錯因分析1.由于

中x的取值范圍為x>0或x<0,故要對x的符號加以討論,否則不能用基本不等式.2.培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng).錯因分析下列各式能用基本不等式直接求得最值的是(

)解析:選項A,B,D都不一定滿足是正數(shù),只有C滿足基本不等式求最值的條件“一正、二定、三相等”.C錯因分析分層練習-基礎AB分層練習-基礎ABD分層練習-基礎C分層練習-基礎C分層練習-基礎BBC分層練習-基礎5

10分層練習-基礎1.基本不等式的應用新知探究

（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

課本例題

課本例題典例剖析探究一

利用基本不等式求最值典例剖析概念歸納1.應用基本不等式求最值,必須按照“一正,二定,三相等”的條件進行,若具備這些條件,則可直接運用基本不等式,若不具備這些條件,則應進行適當?shù)淖冃?2.利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件,解題時應對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設應用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定,應湊出定和或定積;三不等,一般用函數(shù)的圖象或性質(zhì).練一練典例剖析探究二

兩個變量的最值問題分析:從形式上看不具備用基本不等式求最值的條件,但根據(jù)已知變形,消去一個變量,可構造成能使用基本不等式的形式,也可使用“1”的代換嘗試解決.練一練練一練概念歸納1.本題給出的方法,用到了均值不等式,并且對式子進行了變形,配湊出滿足基本不等式的條件,這是經(jīng)常使用的方法,要學會觀察、學會變形.2.常見的變形技巧有:(1)配湊系數(shù);(2)變符號;(3)拆補項.常見形式有

型和y=ax(b-ax)型.典例剖析探究三

基本不等式的實際應用【例3】圍建一個面積為360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口,如下圖所示.已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m.設利用的舊墻長度為x(單位:m),修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位:元).(1)將y表示為x的函數(shù);(2)試確定x的值,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小,并求出最小總費用.典例剖析概念歸納應用基本不等式解決實際問題的方法一般分四步:(1)先理解題意,設出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù);(2)構造相應的函數(shù)解析式,把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;(3)求出函數(shù)的最大值或最小值;(4)正確寫出答案.某單位用2160萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算,若將樓房建為x(x≥10)層,則每平方米的平均建筑費用為560+48x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為多少層?(注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用練一練因此,當x=15時,y取最小值2

000,即為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應建為15層.練一練隨堂練AC隨堂練隨堂練大-1隨堂練隨堂練

故當矩形的長為15m，寬為7.5m時，菜園的面積最大，最大面積為112.5m2．當且僅當a＝2b＝15時取等號．則由題意得a＋2b＝30，所以

，1.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m．當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？課本練習

則由題意得2ab＝32，即ab＝16．當且僅當a＝b＝4時取等號．即當?shù)酌娴拈L和寬均為4時，用紙最少．所以用紙面積為S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋

＝64

，2.做一個體積為32m3，高為2m的長方體紙盒，當?shù)酌娴倪呴L取什么值時，用紙最少？解：設底面的長為a，寬為b，課本練習

則由題意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18．所以要求側面積最大，即求ab的最大值，因為旋轉形成的圓柱的側面積為：

，故當矩形的長寬都為9時，旋轉形成的圓柱的側面積最大．由基本不等式得：

，當且僅當a＝b＝9時取等號．3.已知一個矩形的周長為36cm，矩形繞它的一條邊旋轉形成一個圓柱．當矩形的邊長為多少時，旋轉形成的圓柱的側面積最大？解：設矩形的長為a，寬為b，課本練習以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?錯因分析忽視基本不等式求最值的條件致錯