關于大學生數(shù)學競賽的練習題

大學生數(shù)學競賽練習題一、高等數(shù)學1.計算極限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$。2.求函數(shù)$f(x)=x^33x$在區(qū)間$[1,2]$上的最大值和最小值。3.設函數(shù)$g(x)=e^{x^2}$，求$g''(x)$。4.判斷函數(shù)$f(x)=|x|$在$x=0$處是否可導。5.計算不定積分$\int(3x^22x+1)\,dx$。二、線性代數(shù)6.解線性方程組：\[\begin{cases}2x+3yz=5\\x2y+4z=3\\3x+y2z=7\end{cases}\]7.求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣。8.計算行列式$D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$。9.求向量組$\alpha_1=(1,2,3)$，$\alpha_2=(2,3,4)$，$\alpha_3=(3,4,5)$的秩。10.判斷矩陣$B=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$是否可逆。三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計11.拋擲一枚硬幣三次，求恰好出現(xiàn)兩次正面的概率。12.設隨機變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，求$P(X=2)$。13.計算隨機變量$X$和$Y$的協(xié)方差$Cov(X,Y)$，已知$E(X)=2$，$E(Y)=3$，$D(X)=1$，$D(Y)=4$，$Corr(X,Y)=0.5$。15.已知一組數(shù)據(jù)的均值為50，中位數(shù)為45，眾數(shù)為40，求這組數(shù)據(jù)的方差。四、離散數(shù)學16.設集合$A=\{1,2,3,4,5\}$，求$A$的所有子集。18.證明：對于任意實數(shù)$x$，$x^2\geq0$。19.求圖$G$的度數(shù)序列，已知$G$是一個有5個頂點的無向圖，邊集為$\{(1,2),(1,3),(2,4),(3,4),(4,5)\}$。20.設函數(shù)$f(x)$是單調遞增的，證明：對于任意實數(shù)$x_1,x_2$，若$x_1<x_2$，則$f(x_1)\leqf(x_2)$。五、復變函數(shù)21.計算復數(shù)$z=1+i$的模。22.求復數(shù)$z=3+4i$的共軛復數(shù)。23.設$f(z)=z^2+2z+1$，求$f(1+i)$。24.判斷復變函數(shù)$g(z)=e^{iz}$是否為全純函數(shù)。25.求解復變積分$\int_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+1}$。六、常微分方程26.求解微分方程$y''2y'+y=e^x$。27.解初值問題$y'+y=x^2$，其中$y(0)=1$。28.求解齊次線性微分方程組：\[\begin{cases}x'=2xy\\y'=x+2y\end{cases}\]29.判斷微分方程$y'''+3y''+3y'+y=0$的通解是否包含任意常數(shù)。30.求解伯努利方程$y'+2xy=x^2y^3$。七、實變函數(shù)31.證明：函數(shù)序列$f_n(x)=\frac{n}{n^2+x^2}$在區(qū)間$[1,1]$上一致收斂。32.求函數(shù)$f(x)=\sqrt{1x^2}$在區(qū)間$[1,1]$上的不定積分。33.設$E$是區(qū)間$[0,1]$上的勒貝格可測集，證明：若$m(E)=0$，則$f(x)=0$在$E$上勒貝格可積。34.證明：函數(shù)$f(x)=x^2$在區(qū)間$[0,1]$上黎曼可積。35.求函數(shù)$f(x)=e^{x^2}$在區(qū)間$[0,+\infty)$上的最大值。八、數(shù)值分析36.用二分法求解方程$e^xx^2=0$在區(qū)間$[1,2]$上的根。37.用牛頓迭代法求解方程$x^32x5=0$的一個根。38.給定矩陣$A=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}$，用雅可比迭代法求解線性方程組$Ax=b$，其中$b=\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}$。39.求多項式$f(x)=x^36x^2+11x6$在$x=2$處的插值多項式。40.用辛普森公式計算定積分$\int_{0}^{1}e^{x^2}\,dx$。九、運籌學41.求解線性規(guī)劃問題：\[\begin{cases}\maxz=2x+3y\\\text{s.t.}\quadx+2y\leq8\\2x+y\leq8\\x,y\geq0\end{cases}\]42.給定運輸表如下，求最小成本運輸方案：|供應地/需求地|A|B|C|供應量||||||||1|2|3|4|100||2|4|1|3|200||3|1|3|2|150||需求量|120|180|150|43.設某項目的網(wǎng)絡圖如下，求關鍵路徑和項目總工期。A2B3D4F\//112\//C2E3G44.某公司有5個工廠，3個倉庫，工廠到倉庫的運輸成本如下表所示，求初始調運方案。|工廠/倉庫|倉庫1|倉庫2|倉庫3|產量||||||||工廠1|2|3|4|100||工廠2|4|1|3|200||工廠3|1|3|2|150||工廠4|3|4|2|180||工廠5|2|2|3|120||倉庫需求量|120|180|150|45.設有5個任務分配給4個工人，每個工人完成每個任務的答案一、高等數(shù)學1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$2.$f(x)=x^33x$在區(qū)間$[1,2]$上的最大值為4，最小值為4。3.$g''(x)=4xe^{x^2}$4.$f(x)=|x|$在$x=0$處不可導。5.$\int(3x^22x+1)\,dx=x^3x^2+x+C$二、線性代數(shù)6.$x=2,y=1,z=1$7.$A^{1}=\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$8.$D=0$9.秩為210.不可逆三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計11.$\frac{3}{8}$12.$P(X=2)=\frac{e^{\lambda}\lambda^2}{2!}$13.$Cov(X,Y)=6$14.約為84.13%15.無法確定，需要更多信息四、離散數(shù)學16.$A$的所有子集為：$\{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,3,4\},\{1,3,5\},\{1,4,5\},\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,4,5\},\{3,4,5\},\{1,2,3,4\},\{1,2,3,5\},\{1,2,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\},\{1,2,3,4,5\}$17.真命題18.證明略19.度數(shù)序列為：2,2,3,3,120.證明略五、復變函數(shù)21.$|z|=\sqrt{2}$22.$z^=34i$23.$f(1+i)=4+4i$24.是全純函數(shù)25.$\int_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+1}=\frac{\pi}{2}i$六、常微分方程26.$y=c_1e^x+c_2xe^xx$27.$y=\frac{1}{3}(x^31)+e^x$28.$x=c_1e^t+c_2e^{t}$，$y=c_1e^tc_2e^{t}$29.是的，包含三個任意常數(shù)30.$y=\frac{1}{x^2}$七、實變函數(shù)31.證明略3