電動(dòng)力學(xué)題庫(kù)

1、半徑為R的均勻磁化介質(zhì)球,磁化強(qiáng)度為瘋，則介質(zhì)球的總磁矩為

3府

A.MB、3C、4成3D、0

答案:B

2、下列函數(shù)中能描述靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的就是

C、6冷a+3/引D、阻（以為非零常

A2xex+3yey+xezR、8cos。

數(shù)）

答案：D

3、充滿電容率為￡的介質(zhì)平行板電容器，當(dāng)兩極板上的電量g=0osm戲（。很小），若電容器的電容

為C,兩極板間距離為d,忽略邊緣效應(yīng),兩極板間的位移電流密度為：

卻0。%）。.

cosCDtsin號(hào)sin戲D、g“cos成

A.dCB、dCC、

答案:A

4、下面矢量函數(shù)中哪一個(gè)不能表示磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度?式中的。為非零常數(shù)

A.（柱坐標(biāo)）B、一徵外+口麻,C、axe^-ay&y口、々尸，

答案:A

5、變化磁場(chǎng)激發(fā)的感應(yīng)電場(chǎng)就是

A、有旋場(chǎng)，電場(chǎng)線不閉與B、無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線閉與C、有旋場(chǎng)，電場(chǎng)線閉與D、

無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線不閉與

答案：C

6、在非穩(wěn)恒電流的電流線的起點(diǎn)、終點(diǎn)處，電荷密度戶滿足

C、Q=oD、筌°

A、PB、

答案：D

7、處于靜電平衡狀態(tài)下的導(dǎo)體，關(guān)于表面電場(chǎng)說(shuō)法正確的就是:

A、只有法向分量；B、只有切向分量；C、表面外無(wú)電場(chǎng)；D、既有法向分量，又有

切向分量

答案:A

8、介質(zhì)中靜電場(chǎng)滿足的微分方程就是

N?E=—,VxE=—一一▽.京=￡,vx/=。；

A^備公B、VD=^Vx￡=0；c、%

V5=p,Vx￡=

D、?

答案:B

9、對(duì)于鐵磁質(zhì)成立的關(guān)系就是

A、B=pHB月=〃o巨C、B=+M)D、B=+M)

答案:C

10、線性介質(zhì)中，電場(chǎng)的能量密度可表示為

答案:B

11、已知介質(zhì)中的極化強(qiáng)度聲=/蜃，其中/為常數(shù),介質(zhì)外為真空，介質(zhì)中的極化電荷體密度

%=—；與巨垂直的表面處的極化電荷面密度G分別等于

與。答案：0,A,-A

12、已知真空中的的電位移矢量力=(5xy久+z2e,)cos500t,空間的自由電荷體密度為——答案：

5ycos500Z

_dB_

13、變化磁場(chǎng)激發(fā)的感應(yīng)電場(chǎng)的旋度等于。答案：一瓦’

14、介電常數(shù)為￡的均勻介質(zhì)球，極化強(qiáng)度巨/N為常數(shù)，則球內(nèi)的極化電荷密度為一表面

極化電荷密度等于答案0,4cos6

P=K^r,電容率為￡

15、一個(gè)半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為r，則介質(zhì)中的自由電荷體密度

為，介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度等于、

Kr

答案：2

p,=或"一外?e0r

22、有一內(nèi)外半徑為泳亦空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為%使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自蠅麗，求(1)空間額的蜥(2)極雌蛹和避面蛹分瓶

解：(1)由于電荷體系的電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ(chēng)性，作半徑為r的同心球面為高斯面,利用高斯定理

山ZXHs=\Pfdv

5V

DJEMTIZ2=Jp^dv=O,Dj=0,51I=0

當(dāng)OVrV々時(shí)，v

鼻串加。=0畤川1

勺<r<4時(shí)，與-F~P*4---33「

2串初"2=巧耳神'I)

r>“時(shí),

(2)介質(zhì)內(nèi)的極化電荷體密度

TTT->

Pp——▽p,而。=無(wú)―E)=(￡一格)為

所以今=-(~鏟用=-七普▽.孕；

32r

3sr

3T

由于y.；=3,C4=43y.：=o；wO

rj

所以P產(chǎn)-濘PLQ-予,

界面上的極化電荷面密度4=二宿-南

設(shè)介質(zhì)為T(mén)',介質(zhì)殼外的真空為“2"，則有自=0,叼

對(duì)r=勺的表面0k=一"夕1=0

對(duì)廠=々的表面口血=%PaIf=(2-0濕If(1-

24內(nèi)外半徑分別為三和r：的無(wú)窮長(zhǎng)空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流

導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為俘求魅感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。

TT

解：（1）由于磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱(chēng)性,在半徑為r的同軸圓環(huán)上,磁場(chǎng)2耳大小處處相等,方向沿環(huán)的切

線方向，并與電流方向服從右手螺旋關(guān)系,應(yīng)用

山分出；=月田;

當(dāng)r>弓時(shí),有

2M=叫（蠟-4），&=㈠”）〃

考慮方向，矢量式為:宓二竺苧）,，；，其中；是有軸線志向場(chǎng)點(diǎn)

2rJ

并垂直軸線的矢量4=/屬=

2r

當(dāng)勺<r<4時(shí)，

->尸2_尸2T->->T4]r2一尸21TT

2nrH2=7rJf^-r^,H2=^^J/xr,B2=^H2=^-^T^Jfxr

當(dāng)r〈G時(shí),

2m出=0,京=0,身=0

⑵由磁化電流1與磁化強(qiáng)度k的關(guān)系[=vxi?

得jl=VxM=（^r-l）VxH+V（/zr-lXH

對(duì)穩(wěn)恒電流，VxiU匕由于介質(zhì)均勻，故V（4-1）=0。

于是，得

（1--）￡

氏（4<「<弓）

在r=q的表面，利用磁化電流線密度N=[x（區(qū)-看1）,并規(guī)定導(dǎo)體為介質(zhì)“2

導(dǎo)體外的真空為介質(zhì)“1

從而峪=0,得到%i=?XM2|f=務(wù)*（4-1）H21

—>—>—>

(47%x(J/Xr)=0(r=q)

2勺

在r=勺表面%=型％If=-%x(%-1)為高

=一(4一1).；勺L,x(%X廣)=一(△-1)*F己(廣=勺)

2G網(wǎng)24

27.試由麥克斯韋方程組之一及電荷守恒導(dǎo)出疝=Q

->

解：對(duì)場(chǎng)方程Vx節(jié)亍+空，兩邊取散度

dt

—>

V0(VxH)=vtv+vd^

dt

—>

由于▽□(▽xib=0,所以把=0

dt

VO7+—(V[￡)=0

再將電荷守恒定律疝=一半代入，得

Tot

嘴+豕VED)=0即VED=Q

29.求一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)(v?c)的電荷的電磁場(chǎng)。

解以電荷q為原點(diǎn)，選取運(yùn)動(dòng)方向；為z軸，如圖1-29,由于電荷運(yùn)動(dòng)速度v?c,

圖1-29

q產(chǎn)生的電場(chǎng)可用靜電場(chǎng)表示。

E

《汝。爐

以軸為軸做一圓形環(huán)路，半徑為，圓周上各點(diǎn)磁場(chǎng)相同。由麥克斯韋方程

^Hdl=\^dZ=—[bdZ

(1)

Lsa%s

而穿過(guò)圓面的!I的通量

fT-rraZ

\Dds=\"Ecos&ds=]0----------y—27irdr⑵

sso4陽(yáng)*R

其中r為圓心到圓面上任意點(diǎn)的距離，R為由q到該點(diǎn)的距離，由于RJ^+r*于是

向二口上「當(dāng)--三=）

!2J+R2，歷”，(3)

玄

1dz

-----—+——(4)

+/dt（丁+/戶

因畤『，代入⑷式，因

初2歷7q二J(5)

將6）式代入（1）式中得，L上各點(diǎn)磁場(chǎng)為

2

TTcaav..aavavRsin&

H-2>ra=——----VrH=--------------r=-------

-47東3

2(z20+a20y4?r(z20+a2)02

寫(xiě)為矢量式，即五=懣,3=%五=維單

4激AJTPJ

由結(jié)果可以看出，勻速運(yùn)動(dòng)的電荷的電場(chǎng)E與3之間滿足,B=lvx￡.

C

41在圖1.4中，有電容器，內(nèi)半徑為a,夕泮徑為c,在ac間充滿兩層電介質(zhì)，其分界面

為我為半徑的球面，Ab之間介質(zhì)1及b,次間介質(zhì)2的電容率分別為

"&）=苔，鼻（玲=7/戶

其中遂從球心算起的距離，試計(jì)算：

（1）電容器的電容；

（2）若電容器兩端加以恒定電壓U,求出電場(chǎng)的表達(dá)式，并計(jì)算束縛電荷分布密度。

解：Q）在介質(zhì)中做一半徑為r的同心球面，根據(jù)高斯定理

圖1-41

山D.ds=Jpdv

—>

當(dāng)avr<曲，有烏口6？=Q,D=-^—eEx=—=―

Am-￡i4福a'

當(dāng)b<r<^,D=,024/電容器兩極之間的

2W4加TIW=4得以r

ttQ

電壓為E3+|E?田廣:"g一"+上/_)

U=J1\24陽(yáng)/3c3/

電容器的電容為C=W4陽(yáng)/

~c^

b—a+

女％3

⑵如果電容器兩端加一恒定電壓U,則由（1）中結(jié)果得電容

器極板帶電量Q=CU=4宏呼

,c-b

b-a+—--

女3b3

；_UT盤(pán)_UT

廣；―KF"?="―7T3;

~+而加"加如

束縛電荷的分布可由q,=-：KJ-J）及QJ-VtJ得到:

r=a的界面上：1=-1成=-（￡1-￡口即々=-Q

4陽(yáng)，

r=b的界面上：%=-3血一3）=-（22-④瑪LM與一@4L

(0-&Q_(0_QQ_Q『g_￡_

]

4陽(yáng)/4痛a%'4痛10

(22QQ

r=c的界面上：cr3=1^=(f2-S2=

在介質(zhì)1中，束縛電荷體密度

一冠—唱U-

在介質(zhì)2中，束縛電荷體密度

-70^-+-^-_0_

%=-演=-

魂4啊）C4〃rA?la2私2r5

42有一半徑為b,電導(dǎo)率為b,電容率為斑大球內(nèi)部有一半徑為a的同心小球，兩球

由同種物質(zhì)組成，設(shè)在t=0時(shí)，小球上有電荷%,均勻分布于球面上，求

（1）t時(shí)刻小球面上的電量；

（2）在放電過(guò)程中的焦耳熱損失。

解：設(shè)t時(shí)刻小球上的電量為Q,作一同心球面剛剛將小球包圍住，利用電荷守恒定律

及高斯定理

好/=一祟，（1）

S

區(qū)雇=0,（2）

5

T

->TTT

又因?yàn)?Z）=eE,E=上代入（1）,（2）,得

b

學(xué)+級(jí)=0,解得。=八門(mén)

dtE

可見(jiàn)小球的電量是按指數(shù)規(guī)律衰減的，電導(dǎo)率。越大，￡越小，

衰減得越快。

（2）根據(jù)能量守恒定律，放電過(guò)程中的焦耳熱損失就等干放

電前后的電場(chǎng)能量之差，放電前

W1=ljmd,=工卜遙2QUr2赤+2j郵考

22ac2<A>

=3式懸）2口療力+；卜卷）皿加亦

=4（1二）+/

8宏ab8痛S

放電后，小球上的電量。=0,電荷Q全部分布于大球表面，此時(shí)

電場(chǎng)能量為明=:［辦由d,=島（7%）2中不產(chǎn)小,=

22J2\04痛產(chǎn)g痛3

所以焦耳熱損失為△取=跖-%=輿（1-3

8mab

43設(shè)有一半徑為盤(pán)介質(zhì)圓球，置于一均勻磁場(chǎng)3之中，且繞通過(guò)其球臺(tái)的某一固定

軸，以角速度奉動(dòng)，磁場(chǎng)方向平行于瓣蚌由，如圖1Y3所示，試求其感應(yīng)電荷的面密

圖1-43

解：如圖19作用于電荷q上的洛侖茲力為

TTTTTTTA

式中w為單位矢量，方向垂直于軸線.此力F相當(dāng)于有一等效電場(chǎng)作用福上，等效

T

―八

電場(chǎng)為Eo=—=sin.

根據(jù)：=無(wú)區(qū)m=(￡一/值得

p=（2-0）E=sin0rQ

利用邊值關(guān)系o-f=-n-(p2-pj

介質(zhì)球面上的束縛電荷面密度為

<j=附生=/?sin8=(￡-s^BcDasm23

第二章靜電場(chǎng)

vV=--

1、泊松方程￡適用于

A、任何電場(chǎng)B、靜電場(chǎng)；C、靜電場(chǎng)而且介質(zhì)分區(qū)均勻；D、高頻電場(chǎng)

答案：C

2、下列標(biāo)量函數(shù)中能描述無(wú)電荷區(qū)域靜電勢(shì)的就是

A.3X3+6/B、2X2+3/-5Z2&5x2+8/+z3口、7x2+3z2

答案：B

3、真空中有兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷肉與心，相距為a,它們之間的相互作用能就是

q曲

A.4叫UB、8”c、2加D、32府決

答案:A

4、線性介質(zhì)中，電場(chǎng)的能量密度可表示為

11一一

-p（f）-DE

A、2；B、2；C、P0D、DE

答案:B

5、兩個(gè)半徑為舄，尺=4為帶電量分別就是砧國(guó)2,且％=敢導(dǎo)體球相距為a（a〉＞M，鳥(niǎo)），將她

們接觸后又放回原處,系統(tǒng)的相互作用能變?yōu)樵瓉?lái)的

答案：A

6、電導(dǎo)率分別為5,5,電容率為6，0的均勻?qū)щ娊橘|(zhì)中有穩(wěn)恒電流,則在兩導(dǎo)電介質(zhì)分界面上電

勢(shì)的法向微商滿足的關(guān)系就是

A.dndnB、.我

岫_岫1勉_1淞

C、巧前一石防D、5沏0dn

答案:C

7、電偶極子戶在外電場(chǎng)片中的相互作用能量就是

A、尸.瓦B、"瓦C、一尸紇D、尸紇

上a、、

0=—+b,a,b

8、若一半徑為R的導(dǎo)體球外電勢(shì)為「為非零常數(shù),球外為真空,則球面上的電荷密度

為.

例

答案：記

E史

。=一4rcos9-\——cos0

9、若一半徑為兄的導(dǎo)體球外電勢(shì)為尸，a為非零常數(shù)，球外為真空，則球

面上的電荷密度為.球外電場(chǎng)強(qiáng)度為、

答案：3qacos6產(chǎn)=-4[3州+（1-蠢即寵0]

2、均勻各向同通介質(zhì)中靜電勢(shì)滿足的微分方程就是；介質(zhì)分界面上電勢(shì)的邊值關(guān)系就是

與；有導(dǎo)體時(shí)的邊值關(guān)系就是與。

▽*=一￡，。1=肉,￡2等一馬獸=-b,4=C,￡1^=—b

答案：2dndn

n、設(shè)某一靜電場(chǎng)的電勢(shì)可以表示為狼=a/y一左，該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度就是

答案：-20*-公每+場(chǎng)

12.真空中靜場(chǎng)中的導(dǎo)體表面電荷密度。

dcp

答案：加

13.均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度心總就是等于體自由電荷密度白的倍。

￡o_

答案：-（「T）

J7=—f處.戊*）

14、電荷分布。激發(fā)的電場(chǎng)總能量而7」r的適用于情形、

答案:全空間充滿均勻介質(zhì)

15.無(wú)限大均勻介質(zhì)中點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度等于o

q京

答案：4年我

16、接地導(dǎo)體球外距球心a處有一點(diǎn)電荷q,導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電勢(shì)為等

于、

答案：4陽(yáng)）a

17.無(wú)電荷分布的空間電勢(shì)極值、（填寫(xiě)“有”或“無(wú)”）

答案:無(wú)

18.鏡象法的理論依據(jù)就是,象電荷只能放在_____區(qū)域。

答案:唯一性定理，求解區(qū)以外空間

19.當(dāng)電荷分布關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí),體系的電偶極矩等于。

答案:零

20、一個(gè)內(nèi)外半徑分別為艮、＜,SPANlang=EN-US〉R2的接地導(dǎo)體球殼,球殼內(nèi)距球心a處有一個(gè)

點(diǎn)電荷，點(diǎn)電荷q受到導(dǎo)體球殼的靜電力的大小等于。

及洶加

答案：4福（K：/a-a）

21.一個(gè)半徑為R的電質(zhì)介球,極化強(qiáng)度為P=戶，電容率為￡,

（1）計(jì)算束縛電荷的體密度與面密度；

（2）計(jì)算自由電荷體密度；

（3）計(jì)算球內(nèi)與球外的電勢(shì)；

（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量。

解:⑴根據(jù)凸=一呵

廣k

4=-7［察7）=-/

球面上的極化電荷面密度

4=一亞萬(wàn)2-瓦）|…=/P\r-a=

⑵在球內(nèi)自由電荷密度巧與弓的關(guān)系為

PL.?成2

得1一0/￡（￡一0），

（3）球內(nèi)的總電荷為

由于介質(zhì)上極化電荷的代數(shù)與為零,上式中后兩項(xiàng)之與等于零。

A碓kR

Q=[Q*，=J：)?串

~匕0*

球外電勢(shì)相當(dāng)于將Q集中于球心時(shí)的電勢(shì)

QekR

q\=-^=-------------

4%EJ）0（￡一(r>R)

球內(nèi)電勢(shì)

例=L用田廣+我|%史

①

根據(jù),=無(wú)，下2=（￡-無(wú)）瓦得

.=上="2

￡一0（￡一￡（）＞②

將②代入①式,得

sk

的=

無(wú)（￡一絡(luò)）

k?RE、

-----(In—+—)

二2—E。r%

（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量：

由用/電々匕得：

2v

1f求Re.,

TWTZ=-\----Qn—nH）A渭Adr2

210—城胃,r?

=2Q+￡）（―）3

22、真空中靜電場(chǎng)的電勢(shì)為0乂￡。））（“為常數(shù)），求產(chǎn)生該電場(chǎng)的電荷分布

vV=-—

解：由靜電勢(shì)的方程翊，得

0(?r>0)

P=-^V2＜p=-￡b^7=

1。"＜。），因此電荷只能分布在x=0面上，設(shè)電荷面密度為仃，根據(jù)邊

值關(guān)系

b=9(2-￡\)=一胡(等一組)1_o=2a

\dxdx)

28.在均勻外場(chǎng)中置入半徑為凡的導(dǎo)體球,試用分離變量法求下列兩種情況的電勢(shì):

(1)導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢(shì)差愈；

(2)導(dǎo)體球上帶總電荷Q。

解：(1)選導(dǎo)體球球心為坐標(biāo)原點(diǎn),E。方向?yàn)闃O軸Z,建立球坐標(biāo)系,并設(shè)

未放入導(dǎo)體前原點(diǎn)電勢(shì)為的，球外電勢(shì)為巴則。滿足

vV=o(氏>4)①

閡②

的郎-E。Reos8③

由于電勢(shì)。具有軸對(duì)稱(chēng)性,通解為

/=￡(%*+備)々(cos?

R(T)

將④代入②、③式比較Px的系數(shù)，得

&=用,%=-*0,%=。伽=°,1)

b。=(①o—%)M=&瓊，4-0(加。0,1)

cp=-EQRcos6+郎+（①?gòu)S?）4+零c°sd

所以RR（R〉Ro）

o的第一、二項(xiàng)就是均勻外電場(chǎng)的電勢(shì)，第三項(xiàng)就是導(dǎo)體接上電源后使球均勻帶電而產(chǎn)生的球

對(duì)稱(chēng)電勢(shì),最后一項(xiàng)就是導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷在球外產(chǎn)生的點(diǎn)勢(shì)。

(2)若使導(dǎo)體球帶電荷Q,則球外電勢(shì)滿足

V『=0(&>4)

①

如史多二①。(待定常量)

②

/I￡-9=好一E0Rcos@

山一格霧?f曲=」

同時(shí)滿足要求④

由于前三個(gè)關(guān)系與①中相同，故

q）=-E忠eqs。+銖+

RR⑤

將⑤式代入④式中，得

「二3穌穌cos8+式①&sin9d9do=0

可=6）+7■邑二

4福一

解得

cp-—E°Rcos0+"+——--+cos3

于就是,得4陽(yáng)）氏R⑥

31.空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為與與耳，球中心置一偶極子P,球殼上帶電Q,求空間各點(diǎn)電勢(shì)與

電荷分布。

解:選球心為原點(diǎn)，令萬(wàn)=召引，電勢(shì)等于球心電偶極子的電勢(shì)與球殼內(nèi)外表面上電荷的電勢(shì),之

與，即殼內(nèi)外電勢(shì)

①

pR.

的二礪”

②

電勢(shì)滿足的方程邊界條件為

▽%=-2“（x-x；）-g5（x-x；）］

%③

④

.屋有限

⑤

%|g9=0

⑥

6kbY=用（待定）

⑦

喻翳晨去=-。

由于電勢(shì)具有軸對(duì)稱(chēng)性,并考慮5,6兩式,所以設(shè)

或’=2%K>*（cos?（氏<舄）

b

Q=Z廬P<cos<跖

將上式代入①,②兩式后再利用⑦式解心

%=^^at=~~Jr，％=°（/?！?，1）

4福五；

%=用坳，瓦=丁，b*—0（?。0,1）

4陽(yáng)

于就是,得

萬(wàn)曲pRCOS&/n門(mén)、

<

%=4痛加人6+用一心4福風(fēng)Q舄）

4痛爐R4痛舄R

將仍代入⑧式可確定導(dǎo)體殼的電勢(shì)

4痛為

最后得到

=1萬(wàn)笈_(tái)反女+。］

我一^^丁一彳+可，（R<R。

的=萬(wàn)器’出<4)

球殼內(nèi)外表面的電荷面密度分別為

"察最=-哥。

T=F翳鼠=一會(huì)

球外電勢(shì)僅就是球殼外表面上的電荷Q產(chǎn)生，這就是由于球心的電偶極子及內(nèi)表面的5在殼

外產(chǎn)生的電場(chǎng)相互抵消,其實(shí)球外電場(chǎng)也可直接用高斯定理求得：

用此=

E2=或=jQ

4陽(yáng)&14福&

34.半徑為耳的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)J導(dǎo)體球接地,離球心為a處(a>&)置一點(diǎn)電荷Q7，

試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢(shì),證明所得結(jié)果與鏡像法結(jié)果相同。

解：(1)分離變量法:選球心為坐標(biāo)原點(diǎn),球心到°』的連線方向?yàn)閦軸,設(shè)球外電勢(shì)為?它滿足

720=_°a(f)

同=°

伊「T9=0①

由于電勢(shì)具有軸對(duì)稱(chēng)性,考慮③式,①式的解為

$=+交MKP*(C°S8)

4mM氏④

其中就是到場(chǎng)點(diǎn)P的距離，將④代入②式，得

r“°N⑤

(1+2XZ+Z2)-5=^z%(x)H<1-LAfan.

利用公式x，將74用A(cosd)展開(kāi)，由于凡<a,故有

J

r…雙鵬范荔T如⑶戶

4S(T)/颯")

代入⑤式確定出系數(shù)

_eV+1

'_=一例z&*“

于就是,得

*=黑-褪號(hào)”“”。)⑥

⑵鏡像法

在球內(nèi)球心與的連線上放一像電荷代替球面上感應(yīng)電荷在球外的電場(chǎng)，設(shè)距球心為B,則

的電勢(shì)滿足①?③式，于就是

-L隹+T

4開(kāi)5(rr，,

r=Ja2+氏2-2即cose

r=-Jb2+R2-2brcos&

利用邊界條件②式可得

b=^-,Q,

a

QfQjR。，a

4開(kāi)于4TFG'⑦

—=~JW----------------=萬(wàn)'Z萬(wàn)"(cos0),b<R.

式中'y/b2+R2-2brcos0代入⑦式結(jié)果與⑥式完全相同。

35.接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為舄與耳，在球內(nèi)離球心為a(a〈當(dāng))處置一點(diǎn)電荷Q。用鏡像

法求電勢(shì)。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還就是外表面？

解:取球心為原點(diǎn),原點(diǎn)與Q連線為z軸建立坐標(biāo)系,并設(shè)球內(nèi)電勢(shì)為巴它滿足

2

V<P=--6(x-aez)

無(wú)①

4有限②

九=。③

由于電勢(shì)具有軸對(duì)稱(chēng)性,故在Z軸上z=b(b>R2)處放一像電荷Q,代替球面感應(yīng)電荷在球殼內(nèi)

的電勢(shì),則

^=—^―(-+—)

4陽(yáng)rr④

式中r、r?分別就是Q、Q'到場(chǎng)點(diǎn)的距離

1

~Ja2+R2-2aRcos6

1

r'=---

J川+爐—2Mcos6

將④代入③,兩邊平方，比較系數(shù),得

b=4@=$Q

于就是，球殼內(nèi)電勢(shì)

________Q_____________________a__________

雙凡8)=42a.eos,值+.一2K(&.)cosd

4痛LYaa

此解顯然滿足②式。

設(shè)導(dǎo)體球殼表面感應(yīng)電荷總量為q\由于導(dǎo)體內(nèi)D=0,作一半徑為r(Ri<r<%)的同心球面s、

gz)ds=/+0=O

根據(jù)高斯定理，，，所以1'=一。

37.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部(如圖2-37)半球的球心在導(dǎo)體平面上,點(diǎn)電荷Q

位于系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)軸上,并與平面相距為b(b>a),試用電象法求空間電勢(shì)。

【q

T

第2-37題圖

解:如圖2、1,以球心為原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為Z軸,設(shè)上半空間電勢(shì)為巴它滿

足

。；=-2。

為了使邊界條件1,2滿足，在導(dǎo)體界面下半部分空間Z軸放置三個(gè)像電荷：b，位于

為一了處；0—位于馬一一三處；△=-。，位于z=-b處、于就是，導(dǎo)體上半空間界面電勢(shì)

為

由,「Q，廠/，廠/,「一Q_

4卞+八32+上守曰+八0+學(xué)再詢2

38.有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為

a與b,求空間電勢(shì)。

解:設(shè)Q位于xOy平面內(nèi)，設(shè)x>0且y>0的直角區(qū)域?yàn)椤?其它區(qū)域電勢(shì)為0,中滿足

V2<p=-—6(x-a,y-b,z)

4-o=OO>0)

同*=0(x>0)

MJ?T9=0

tt

為使以上邊界條件全部滿足，需要三個(gè)像電荷，她們就是Qi=一。，位于(飛也0)；烏=一°、于

就是x>o，v>°空間電勢(shì)為

Q111

Cp=------[r,/---H—/=

4”0—?）'+。一占）。+Z*Jx+以9+3—小）‘+Z*J（X+?）*+8+3），+Z*

____________1__________

&X_a）2+0+8）2+z2]

46、不帶電無(wú)窮長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體,置于均勻外電場(chǎng)穌中,軸取為z方向,外電場(chǎng)垂直于z軸,沿x方向,

圓柱半徑為a,求電勢(shì)分布及導(dǎo)體上的電荷分布。

解:選圓柱軸線處電勢(shì)為零,則柱內(nèi)電勢(shì)色=0,在柱坐標(biāo)系中柱外電勢(shì)

0=一穌尸85@+/⑴

其中心協(xié)為場(chǎng)點(diǎn)的柱坐標(biāo)，舔方向?yàn)閤周，如圖2、14,6就是極化電荷的電勢(shì)，與上題同樣的方

法得

3p-RdzP,

-------=---------cos@

r04x?與2.尸

P

6--Eorcos夕+----cos夕

代入⑴式得，2g3r

根據(jù)邊值關(guān)系,在片a處，我=網(wǎng)=°，即

P

一穌rcos0+--------cos^=0

2宏。廣

尸=2陽(yáng)）1穌

代入⑵式，得n「

b=-——■Lk2￡"n&COS。

導(dǎo)體柱面上電荷密度務(wù),

47、半徑為的導(dǎo)體球置于均勻外電場(chǎng)或中，求空間的電勢(shì)分布，導(dǎo)體的電偶極矩及表面電荷分布,

導(dǎo)體的電偶極矩及表面電荷分布。

解：一球心為坐標(biāo)原點(diǎn),并設(shè)得方向?yàn)橹?，建立球坐?biāo)系,則導(dǎo)體球的電偶極矩P應(yīng)與方向一

致,設(shè)導(dǎo)體球電勢(shì)，球外電勢(shì)

一一AK

^=-EoOR+-一行（r>4）

4福區(qū)

在R=R球面上，電勢(shì)滿足

=0

即一穌&儂外套冷。

P=4咫閾3穌

*=一禹京+雪里（r>風(fēng)）

解得°爐I小，

球面上電荷密度

b=一島3eoEoCOS0

R

+q+<7

圖2-49

48、（1）兩等量點(diǎn)電荷+q間相距為2d,在她們中間放置一接地導(dǎo)體球,如圖2-48所示,證明點(diǎn)電荷

不受力的條件與q大小無(wú)關(guān)，而只與球的半徑有關(guān),給出不受力時(shí)半徑舄滿足的方程；（2）設(shè)導(dǎo)體

望半徑為風(fēng)，但球不再接地,而其電勢(shì)為°,求此時(shí)導(dǎo)體球所帶電量Q及這就是每一個(gè)點(diǎn)電荷所

受的力。

解：（1）選取球心為原點(diǎn)，兩點(diǎn)電荷連線為Z軸，求外空間電勢(shì)為。滿足的邊界條件為

/'-A=SOL=0

z=+a=±^-q；=q；=-&q

為了使上述條件滿足，在球內(nèi)d處放置兩個(gè)像電荷id，空間任意一點(diǎn)

電場(chǎng)就就是兩個(gè)點(diǎn)電荷及4引共同產(chǎn)生的,所以q受的力為

%敢

Fq=qE=a4陽(yáng),(2d)2+4^(￡5?-(2)2+4陽(yáng)13+a尸>z

由題意知，當(dāng)4=°時(shí),上式變?yōu)?/p>

q%

=0

4d2(d-a)2(d+a)2

]_____區(qū)______&

Ad1~dtd-a'f~a)2

顯而易知,上式與q無(wú)關(guān),只與當(dāng)有關(guān),進(jìn)一步整理得g不受力時(shí)&滿足的方程為

點(diǎn)-8d3篇-2d4哥-+r=0

⑵若導(dǎo)體球不接地，邊界條件變?yōu)榛?』=",設(shè)此時(shí)導(dǎo)體球帶電量為Q,由⑴知，放置的

%'%’只能使球的電勢(shì)為零，4所受的力為零，因此還要在球心

0放一電荷

&=。一（&+<?；）=。+學(xué)鞏…口人4.上田

d則導(dǎo)體球的電勢(shì)

一吟

笫=

4幅國(guó)4f與

堯

0=4陽(yáng)與翱-

解得

此時(shí)點(diǎn)電荷4所受的力為

_y「y+0r1i.矽F2+Q_1

4漏4屋(d-a)2(d+a)2d2

根據(jù)⑵式,前三項(xiàng)之與等于零,于就是

F_Qq_2&g

’4股黯d24得了

49、一導(dǎo)體球殼不接地也不帶電，內(nèi)半徑為舄，外半徑為耳，內(nèi)外球心。'與。不重合，球形空腔內(nèi)

離?！癁閍處有一點(diǎn)電荷%（。<&）,殼外離。為b處有一點(diǎn)電荷外，如圖2-49,且殼內(nèi)外分別充滿

圖2-49

電容率為6與X的介質(zhì)，球殼內(nèi)外電勢(shì)及殼外電荷所受的力。

解:設(shè)球殼內(nèi)外電勢(shì)為色，殼外電勢(shì)為外，它們滿足邊界條件

6|a&=中0明星弱=9（待定）

?R&g舄*

先來(lái)計(jì)算球外電勢(shì)仍，在&<&區(qū)域。的連線上放像電荷的=一了的'距球心=~

九Q2）=%-4=%+?效I.工部」=!?+?■+?■）

；在。處放b，可使"la弱W。，于就是4啊r2r2艮

式中小片分別就是矽14到場(chǎng)點(diǎn)的距離,R為球心。到場(chǎng)點(diǎn)的距離。球殼電勢(shì)

%

的+技烈

①0=例1A?4=.?

4痛&

球內(nèi)空腔中的電勢(shì)我可表示為8=領(lǐng)+①。

我。=/—（冬+紅）

其中8?？梢暈榍驓そ拥貢r(shí)的電勢(shì)，由鏡像法知4密勺勺

，一冬，—火

其中&就是紜關(guān)于內(nèi)球面（半徑為舄）的像電荷的=一1‘"距為"="，于就是

耳

1aa%+丁電

我=A---T+'）+0---n-

4啊勺44宏2&

式中勺力,分別就是生4到腔內(nèi)場(chǎng)點(diǎn)的距離。

矽所受的力等于矽效對(duì)它的矢量與。即

-此用

4羽2十_%_m___+____包_

4碼（8-Up4和#24啊

50、一無(wú)限長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體，半徑為&，將圓柱導(dǎo)體接地，離圓柱軸線d處口>扁）有一與它平行的

無(wú)限長(zhǎng)帶電直線,線電荷密度為"求電勢(shì)分布與作用在帶電直線單位長(zhǎng)度上的力。

解：設(shè)距離圓柱軸線為“處（此處為像電荷與原電荷垂線的中點(diǎn)）的電勢(shì)為零，則帶電直線外在

^=-T^-ln-

空間的電勢(shì)2痛為，則像電荷與原電荷共同產(chǎn)生的電勢(shì)為

（p=-In--/?—

式中。弓分別為場(chǎng)點(diǎn)到線電荷A及象電荷/的垂直距離,下面確定下與b、

勺=+d2-2Rdcos6,弓=JK2+-2Rbcos6

由于電勢(shì)在圓柱面上滿足*顯&二郎（已選"處電勢(shì)為零則導(dǎo)體圓柱電勢(shì)務(wù)工°）,即

3,—2Rdcos&N.—2Rbcos&

-----In-------------------_----In--------------------=明

2陽(yáng)為2福勺

將上式對(duì)e求微商，得

_然_Td_0

R2+d2-2Rdcos^爐+U_2劭cos6

露=一九￡>=0:

解得d

于就是，任意一點(diǎn)電勢(shì)