福建省龍巖市高三下學期教學質(zhì)量檢查（4月）數(shù)學（理）試題

福建省龍巖市2018屆高三下學期教學質(zhì)量檢查(4月)數(shù)學（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，則的共軛復數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：利用復數(shù)的乘法運算法則及共軛復數(shù)的定義即可得結果.詳解：，，故選C.點睛：本題主要考查的是復數(shù)的乘法運算及共軛復數(shù)的定義，屬于簡單題．解題時一定要注意和運算的準確性，否則很容易出現(xiàn)錯誤.2.已知集合，，若有3個真子集，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化簡集合，再由真子集個數(shù)判斷元素個數(shù)，利用交集的定義可得結果.詳解：，，由有個真子集，可得有個元素，，即的取值范圍是，故選B.點睛：本題主要考查了解一元二次不等式，集合的交集子集，屬于容易題，在解題過程中要注意在求補集與交集時要考慮端點是否可以取到，這是一個易錯點.3.《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用面積公式以及梯形的面積公式，以及幾何概型能求出在邪田內(nèi)隨機種植一株茶樹，該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率.詳解：邪田的廣分別為十步和二十步，正從為十步，圭田廣為八步，正從為五步的，在邪田內(nèi)隨機種植一株茶樹，所以利用面積公式，算出圭田的面積面積，利用梯形的面積公式，算出邪田的面積，根據(jù)幾何概型概率公式可得，該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為：，故選A.點睛：本題題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本裏件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤.4.已知實數(shù)滿足，則的最大值為（）A.B.2C.4D.【答案】D【解析】分析：畫出可行域，變?yōu)椋揭浦本€，可得直線經(jīng)時，有最大值，從而可得結果.詳解：畫出表示的可行域，如圖，由，得，變?yōu)?，平行直線，當直線經(jīng)過時，的最大值為，故選D.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值分別為6，5，1，則輸出的結果為（）A.B.C.D.方程沒有實數(shù)根【答案】C【解析】分析：閱讀程序框圖可知，該程序框圖的功能是求方程的解，從而可得結果.詳解：閱讀程序框圖可知，該程序框圖的功能是求方程的解，方程變?yōu)?，解得或，輸出的結果為，故選C.點睛：解決算法的交匯性問題的方：（1）讀懂程序框圖、明確交匯知識，(2）根據(jù)給出問題與程序框圖處理問題即可.6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根據(jù)三視圖可得，該幾何體由一個半球與一三棱柱組成，分別求出球面積的一半，圓面積、棱柱的側面積求和即可.詳解：由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，左邊是一個半球，球的半徑為，右邊是一個三棱柱，三棱柱底面是斜邊長為的等腰直角三角形，高為，組合的體表面由球面積的一半，圓面積、棱柱的側面積組成，其值為：，故選D.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.7.，則的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出的范圍，從而可得結果.詳解：，，，，，，故選D.點睛：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用.8.已知二項式，則展開式的常數(shù)項為（）A.B.C.D.49【答案】B【解析】分析：首先變形為，按二項式展開，分別得到展開式中的常數(shù)項，求和即可得結果.詳解：二項式二項式中的常數(shù)項產(chǎn)生在中，分別是,它們的和為，故選B.點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.9.已知以圓的圓心為焦點的拋物線與圓在第一象限交于點，點是拋物線：上任意一點，與直線垂直，垂足為，則的最大值為（）A.1B.2C.D.8【答案】A【解析】分析：由圓的標準方程求得圓心，可得拋物線方程，利用運用拋物線的定義可得，從而可得結果.詳解：因為的圓心所以，可得以為焦點的拋物線方程為，由，解得，拋物線的焦點為，準線方程為，即有，當且僅當在之間）三點共線，可得最大值，故選A.點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，以及平面向量的數(shù)量積公式，屬于難題.與焦點、準線有關的問題一般情況下都與拋物線的定義有關，解決這類問題一定要注意點到點的距離與點到直線的距離的轉化：（1）將拋線上的點到準線距離轉化為該點到焦點的距離；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，使問題得到解決.10.已知滿足，且，對于定義域內(nèi)滿足的任意，，當取最小值時，的值為（）A.或B.或C.D.【答案】B【解析】分析：由，可求得函數(shù)的周期，從而的的值，由可得函數(shù)的對稱軸，從而可得的值，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得，進而可得，代入解析式可得結果.詳解：，周期為，由，得是的對稱軸，時，，，由，得，，時，，時，，時，，故選B.點睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式及函數(shù)的周期性，屬于難題.對函數(shù)周期性的考查主要命題方向由兩個，一是三角函數(shù)，可以用公式求出周期；二是抽象函數(shù)，往往需要根據(jù)條件判斷出周期，抽象函數(shù)給出條件判斷周期的常見形式為:(1)；（2）；（3）.11.設函數(shù).若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：函數(shù).若存在唯一的整數(shù)，使得，等價于有唯一整數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)圖象與零點存在定理，列不等式組求解即可.詳解：設，，函數(shù).若存在唯一的整數(shù)，使得，等價于有唯一整數(shù)，即在唯一的整數(shù)，使得，，由，得，由，得，所以在上遞增，在上遞減，只有一個整數(shù)，，，得，即實數(shù)的取值范圍為，故選A.點睛：本題主要考查不等式有解問題以及方程根的個數(shù)問題，屬于難題.不等式有解問題不能只局限于判別式是否為正，不但可以利用一元二次方程根的分布解題，還可以轉化為有解（即可）或轉化為有解（即可），也可以利用數(shù)形結合，根據(jù)零點存在定理列不等式（組）求解.12.如圖所示，正方形的邊長為2，切去陰影部分圍成一個正四棱錐，則當正四棱錐的側面積取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：設三棱錐一個側面為三角形，，正四棱錐的表面積可表示為，化簡后，利用基本不等式求解即可.詳解：設三棱錐一個側面為三角形，，則，，，，（當且僅當，即時取等號），而，故，時，三角形是等腰直角三角形，頂角，陰影部分不存在，折疊后與重合，構不成棱錐，的范圍為，故選D.點睛：求范圍問題往往轉化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求表面積范圍的.二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知向量與的夾角為，且，則_______.【答案】4【解析】分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積公式可得，對，兩邊平方，得到關于的方程，解方程即可得結果.詳解：，向量與的夾角為，，，解得，故答案為.點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.14.已知點在直線上，則圓錐曲線：的離心率為_______.【答案】【解析】分析：由點在直線上，求出的值，從而確定的值，進而可得結果.詳解：在上，，，化為，，，故答案為.點睛：本題主要考查雙曲線的離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．15.在中，若，則的外接圓的面積的最小值為_______.【答案】【解析】分析：由余弦定理結合基本不等式可得，再利用正弦定理可得，利用圓的面積公式可得結果.詳解：由余弦定理可得，，可得，，，即外接圓面積最小值為，故答案為.點睛：本題主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.16.已知是函數(shù)的導函數(shù)，在定義域內(nèi)滿足，且，若，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】分析：由，得，利用，可求得，利用導數(shù)證明在上遞增，等價于，由單調(diào)性可得結果.詳解：由，得，，令，，，令，在上遞減，在上遞增，，在上遞增，，，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為.點睛：本題出題意圖在于通過構造函數(shù)，并判斷其單調(diào)性，進而比較代數(shù)式的大小.其中恰當?shù)臉嬙旌瘮?shù)是本題的關鍵，也是本題的難點，至于函數(shù)的單調(diào)性常用判斷方法有定義法，求導法，基本函數(shù)的單調(diào)性法，復合函數(shù)的單調(diào)性法，圖像法等.三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知數(shù)列的前項和是，且.（1）若，求的通項公式；（2）在（1）的條件下，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)見解析;(2).【解析】分析：（1）由，得，整理得，所以是一個公差為2的等差數(shù)列，可得，由可得結果；（2）由（1）可知，，利用裂項相消法可得數(shù)列的前項和.詳解：（1）當時，，即，整理得，所以所以是一個公差為2的等差數(shù)列，又，所以，所以，此時符合題意所以－＝．當時，上式不成立，所以（2）由（1）可知，，所以．點睛：本題主要考查等差數(shù)列的定義、公式的應用以及裂項相消法求和，屬于難題.已知求的一般步驟：（1）當時，由求的值；（2）當時，由，求得的表達式；（3）檢驗的值是否滿足（2）中的表達式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達式.18.支付寶自助付款可以實現(xiàn)人像識別身份認證和自動支付業(yè)務，于是出現(xiàn)了無人超市.無人超市的出現(xiàn)大大方便了顧客，也為商家節(jié)約了人工成本.某超市對隨機進入無人超市的100名顧客的付款時間與購物金額進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示：（時間單位：秒，付款金額RMB：元）（1）用統(tǒng)計中的頻率代表一位顧客隨機進店消費付款時間的概率，試求該顧客進店購物結算時所用時間的期望；（2）若一位顧客在結算時，前面恰有3個人正在排隊，求該顧客等候時間不少于2分鐘的概率.【答案】(1)26秒;(2)該顧客等候時間不少于2分鐘的概率為．【解析】分析：（1）設一位顧客進店購物結算時間為，根據(jù)統(tǒng)計圖表可知，的可能值為10，20，40，60，根據(jù)古典概型概率公式可得隨機變量的概率利用期望公式可得結果；（2）分三種情況，分別利用獨立事件的概率公式求出概率，然后利用互斥事件的概率公式即可結果.詳解：（1）設一位顧客進店購物結算時間為，根據(jù)統(tǒng)計圖表可知，的可能值為10，20，40，60，所以所以該顧客進店購物結算時所用時間的期望為（秒）．（2）依題意可知，每個顧客各自的付款時間是相互獨立的，若3位顧客付款時間總計不少于2分鐘，則3人的付款時間可能有如下情況：①3個60秒；②2個60秒和另一個可以是10秒，20秒，40秒中任意一個；③一個60秒，另外兩個付款時間可以是20秒，40秒或40秒，40秒；④三40秒．所以對應的概率為．答：該顧客等候時間不少于2分鐘的概率為．點睛：本題主要考查互斥事件、獨立事件以及離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題.解答這類綜合性的概率問題一定要把事件的獨立性、互斥性結合起來，要會對一個復雜的隨機事件進行分析，也就是說能把一個復雜的事件分成若干個互斥事件的和，再把其中的每個事件拆成若干個相互獨立的事件的積，這種把復雜事件轉化為簡單事件，綜合事件轉化為單一事件的思想方法在概率計算中特別重要.19.已知四棱錐中，平面，，，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析;(2)...............................詳解：（1）證明：過點在平面內(nèi)作，交于點，因為，，所以四邊形為一個底角是60°的等腰梯形，所以，所以為中點，由題知，在中，，又，所以，而，所以為的三等分點，連接，所以，又在中，，，所以，所以，所以，又平面，所以，因為，所以平面．（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，所以平面的一個法向量為，又由（Ⅰ）知，所以在中，，所以，，，，所以，設平面的法向量為，所以即令，所以，設二面角的平面角為，且為銳角，所以．點睛：本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.20.橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于兩點，若的傾斜角為時，是等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）若，求中邊上中線長的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由焦點分別為得，由，結合，可得，從而可得橢圓的方程；（2）設直線，聯(lián)立得，根據(jù)中點坐標公式，結合韋達定理，利用兩點間距離公式，可得，換元后，由可得結果.詳解：（1）由已知得：，，所以，，解得橢圓的方程（2）①當直線的斜率為0時，顯然不成立．②設直線，，聯(lián)立得則中邊上的中線長為令則得由，得，，，中邊上中線長的取值范圍是.點睛：本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據(jù)上述判斷設方程或；③找關系：根據(jù)已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值點；（2）當時，恒有成立，求的取值范圍.【答案】(1)見解析;(2).【解析】分析：（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可求得函數(shù)的極值；（2）設,分四種情況討論的范圍，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分別求出函數(shù)最小值，利用最小值大于零，可篩選出符合條件的的取值范圍.詳解：（1）由題意，，得（i）當時，在上，，在上，（ii）當時，令，解得或．①若，，恒成立；②若，，在上，；在，，③若，，在上，；在（,與上，．綜上，當時，極小值點為，無極大值點；當時，極小值點為，極大值點為；當時，極小值點為，極大值點為；當時，無極值點（2）設,因為，得,且函數(shù)在上單調(diào)遞增（i）當時，有，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，①若即時，有函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，符合題意；②若即時，存在滿足，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意；（ii）當時，有，存在滿足，此時在上單調(diào)遞減，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意．綜上，實數(shù)的取值范圍是．點睛：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，篩選出符合題意的范圍.請考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.（1）求圓的直角坐標方程；（2）設，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），已知與圓交于兩點，且，求的普通方程.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1)利用代入，即可得圓的直角坐標方程；(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程中，化簡得，利用韋達定理以及直線參數(shù)