2024-2025學(xué)年江蘇省淮海中學(xué)新高考數(shù)學(xué)試題適應(yīng)性訓(xùn)練（二）含解析

2024-2025學(xué)年江蘇省淮海中學(xué)新高考數(shù)學(xué)試題適應(yīng)性訓(xùn)練（二）考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．2．在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說法不正確的是（）A．點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值3．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．4．若雙曲線的焦距為，則的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．5．已知，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．6．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．7．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則（）A． B．C． D．9．中，點(diǎn)在邊上，平分，若，，，，則（）A． B． C． D．10．設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．11．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．12．某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān)，且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”．現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)，該命題不成立，那么（）A．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 B．當(dāng)時(shí)，該命題成立C．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 D．當(dāng)時(shí)，該命題成立二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，若向量與共線，則________.14．若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____15．曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為，則實(shí)數(shù)=____。16．設(shè)集合，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，（1）證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明：對任意的有．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，且平面平面.（1）求證：平面.（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）設(shè)函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.20．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)21．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）設(shè)平面與交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn).22．（10分）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐，表面積為,故選D．2．C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷．【詳解】對于，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面內(nèi)的相交直線平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，即點(diǎn)是線段上上的動點(diǎn)．正確．對于，平面平面，和平面相交，與是異面直線，正確．對于，由知，平面平面，與不可能平行，錯誤．對于，因?yàn)椋瑒t到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以正確；故選：．本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3．A【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉(zhuǎn)化為，再與一起代入解析式，利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，，，.故選：A.本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.4．B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，故可得，解得，不妨取；又焦點(diǎn)，其中一條漸近線為，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的.故選：B.本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.5．D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最小；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.6．A【解析】

根據(jù)或，驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，.故選A.本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.8．A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對應(yīng)的概率的大小，再者就是對隨機(jī)變量的值要分清，對應(yīng)的概率要算對，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球，有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán)，對應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對應(yīng)的期望的問題，在解題的過程中，需要對其對應(yīng)的事件弄明白，對應(yīng)的概率會算，以及變量的可取值會分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.9．B【解析】

由平分，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得，再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得，又，，，，..故選：.本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù).所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，故有，解?故選：D.本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力，是一道中檔題.11．A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋愠闪?，排除，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，，排除，故選：．本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12．C【解析】

寫出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立，則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”，由于當(dāng)時(shí)，該命題不成立，則當(dāng)時(shí)，該命題也不成立，故選：C.本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用，解題時(shí)要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

計(jì)算得到，根據(jù)向量平行計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得，因?yàn)榕c共線，所以有，即，解得.故答案為：.本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14．【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式去掉對數(shù)符號，再依據(jù)分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問題，進(jìn)而求得的取值范圍?！驹斀狻坑傻茫瑑蛇呁裕玫?，，，設(shè)，，由函數(shù)在上遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是。本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。15．或1【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，以及切線方程，求得切線與軸和的交點(diǎn)，由三角形的面積公式可得所求值．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為3，切線方程為，可得，可得切線與軸的交點(diǎn)為，，切線與的交點(diǎn)為，可得，解得或。本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，以及直線方程的運(yùn)用，三角形的面積求法。16．【解析】

可看出，這樣根據(jù)即可得出，從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1．【詳解】解：，或，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，由圖可知與無交點(diǎn)，無解，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為．故答案為：．考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方程無解，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）首先證，令，求導(dǎo)可得單調(diào)遞增，由即可證出；再令，再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，由即可證出.【詳解】（1）顯然時(shí)，，故在單調(diào)遞減．（2）首先證，令，則單調(diào)遞增，且，所以再令，所以單調(diào)遞增，即，∴本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于難題.18．（1）見解析（2）【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；（2）過點(diǎn)做平面的垂線，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角；【詳解】解：（1）∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）過點(diǎn)做平面的垂線，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵，∴，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用空間向量法求線面角，屬于中檔題.19．（1）當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間時(shí)，無遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間時(shí)，遞減區(qū)間時(shí)；（2）或.【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn)，若不恒成立，求解，即可得出結(jié)論；（2）有解，即，令，轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間時(shí)，無遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間時(shí)，遞減區(qū)間時(shí)；（2），令，原方程只有一個(gè)解，只需只有一個(gè)解，即求只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，由（1）得當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，且，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，原方程只有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，原方程只有一個(gè)解，當(dāng)且遞增區(qū)間時(shí)，遞減區(qū)間時(shí)；，當(dāng)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)解，不合題意，所以的取值范圍是或.本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到單調(diào)性、零點(diǎn)、極值最值，考查分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)椋?，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進(jìn)而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，對任意的，，此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、且，，，構(gòu)造函數(shù)，其中，，令，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，即，即，，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，.本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.21．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）要做證明，只需證明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥，從而獲得證明【詳解】證明：（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)?，平面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，所以平面.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥.又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?又因?yàn)槠矫妫?/p>