2024-2025學(xué)年江蘇無(wú)錫市錫山中學(xué)高考模擬最后十套：數(shù)學(xué)試題（七）考前提分仿真卷含解析

2024-2025學(xué)年江蘇無(wú)錫市錫山中學(xué)高考模擬最后十套：數(shù)學(xué)試題（七）考前提分仿真卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知i是虛數(shù)單位，則1+iiA．-12+32i2．已知集合，，，則（）A． B． C． D．3．若命題p：從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一；命題q：在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M，則∠AMB>90°的概率為π8A．p∧qB．(?p)∧qC．p∧(?q)D．?q4．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．1605．如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是1036．設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)位于第一象限），過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．8．已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車(chē)一次（假定費(fèi)用只可能為、、元）．甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、，甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為（）A． B． C． D．9．若，則，，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．10．中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱(chēng)“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂(lè)”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門(mén)課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）種.A．408 B．120 C．156 D．24011．一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖），則這個(gè)四棱錐中最最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是（）．A． B． C． D．12．函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn)，且在軸上，則下列說(shuō)法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.14．已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，，則__________．15．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)偶函數(shù)圖象，則________．16．已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，18．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求證：在上存在唯一的極大值；（Ⅲ）直接寫(xiě)出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，在銳角中，E是邊PD上一點(diǎn)，且.（1）求證：平面ACE；（2）當(dāng)PA的長(zhǎng)為何值時(shí)，AC與平面PCD所成的角為？20．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設(shè)拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)游戲得分為時(shí)，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當(dāng)時(shí)，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.21．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.22．（10分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2．D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解：，，，則故選：D.本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16，即命題p是錯(cuò)誤，則?p是正確的；在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛：本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假（含或、且、非等連接詞）的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起，旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。4．A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式，是基礎(chǔ)題.5．D【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無(wú)法計(jì)算，錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因?yàn)榧住⒁覂砂嗟娜藬?shù)不知道，所以兩班的總平均分無(wú)法計(jì)算，故D錯(cuò)誤.故選：.本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.6．A【解析】

設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出，從而可利用表示出；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，其中，，即關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)故選：本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.7．C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．8．B【解析】

甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得．【詳解】由題意甲、乙租車(chē)費(fèi)用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為．故選：B．本題考查獨(dú)立性事件的概率．掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ)．9．D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所?.綜上；故選D.10．A【解析】

利用間接法求解，首先對(duì)6門(mén)課程全排列，減去“樂(lè)”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的情況，最后還需加上“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的情況；【詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)有（種），當(dāng)“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)有（種），當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)有（種），則滿足“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門(mén)課程不相鄰的排法有（種），故選：．本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂(lè)”的排列對(duì)“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的影響，屬于中檔題．11．A【解析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長(zhǎng)即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴這個(gè)四棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是．故選．本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)．故選B．本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo)，再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，直徑為，又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標(biāo)為，又B、D中點(diǎn)是E，所以D的橫坐標(biāo)為，故.故答案為：.本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14．【解析】由題意可得，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.15．【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)可知關(guān)于對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而利用特殊值構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于對(duì)稱(chēng)即：本題正確結(jié)果：本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸求解參數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)平移后的對(duì)稱(chēng)軸得到原函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而利用特殊值的方式來(lái)進(jìn)行求解.16．【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.本題考查切線斜率的求解問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，所以給出與的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)．【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，寫(xiě)出切線方程；（Ⅱ）二次求導(dǎo)，判斷單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，判斷即可；（Ⅲ），數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ），，，故在點(diǎn)，處的切線方程為，即；（Ⅱ）證明：，，，故在遞減，又，，由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減，故在只有唯一的一個(gè)極大值；（Ⅲ）函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)．本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，AC與平面PCD所成的角為.【解析】

（1）連接交于，由相似三角形可得，結(jié)合得出，故而平面；（2）過(guò)作，可證平面，根據(jù)計(jì)算，得出的大小，再計(jì)算的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，，，又平面ACE，平面ACE，平面ACE.（2），，平面PAD作，F(xiàn)為垂足，連接CF平面PAD，平面PAD.，有，，平面就是AC與平面PCD所成的角，，，，，，時(shí)，AC與平面PCD所成的角為.本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．20．（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為6；（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可求出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進(jìn)而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當(dāng)且時(shí)，，結(jié)合，可推出，從而可證明數(shù)列為常數(shù)列；結(jié)合，可推出，進(jìn)而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8.每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率也為，則，.所以變量的分布列為：45678故變量的數(shù)學(xué)期望為.（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為.②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，故且時(shí)，有，則時(shí)，，所以，故數(shù)列為常數(shù)列；又，，所以數(shù)列為等比數(shù)列.本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.21．（1）；（2）證明見(jiàn)詳解，【解析】

（1）根據(jù)，可得，然后作差，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，用取代，得到新的式子，然后作差，可得結(jié)果，最后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.【詳解】（1