高等數(shù)學(xué)(上)復(fù)習(xí)指導(dǎo)及要點(diǎn)解答

第1章函數(shù)

內(nèi)容提要

[主要內(nèi)容]

變量、集合、區(qū)間及鄰域的概念，集合的運(yùn)算，映射與函數(shù)的概念，函數(shù)的表示法，函

數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、基本初等函數(shù)、分段函數(shù)的性

質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)的概念。

1.變量、集合、區(qū)間

在整個(gè)考察過程中始終保持不變的量，稱為常量；在考察過程中能取不同數(shù)值的量稱為

變量。

一組對(duì)象的匯集或總體，稱為集合或集，常用大寫英文字母A、3、C等表示；集合

中的每一個(gè)對(duì)象稱為集合的元素，常用小寫字母”、〃、。,等表示。若“是集合A中的元

素，稱a屬于A,記為aeA,否則稱a不屬于A,記為aeA。

集合的表示法常用的有列舉法和表示法。列舉法是將所有元素?一列于一個(gè)大括號(hào)內(nèi)，

描述法-一般寫成{*I。},期%是元素的一般形式，2表示集合中的每個(gè)1都具有的性質(zhì)。

空集記為°。常用集合有實(shí)數(shù)集R,有理數(shù)集0,非整數(shù)集N,自然數(shù)集正實(shí)

數(shù)集R+。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)集R亦稱為數(shù)直線Ro

區(qū)間是一種特殊的集合。閉區(qū)間,開區(qū)間

(a,b^{x\a<x<b}(左開右閉區(qū)間(a/]={xla<xK6},左閉右開區(qū)間

[a,b)^[x\a<x<b}無窮區(qū)間(一8,+8)={x1-8<x<+8}=R,半無窮區(qū)間

(-8,加，，[a,+8)，(a,+oo)。

N(H)表示包含點(diǎn)孔的任一開區(qū)間，稱為點(diǎn)方。的鄰域；

N(x0)=N(x0)-{x0}表示點(diǎn)飛的去心鄰域；

N(Xo?)={xHx—41<3}=(4—S,Xo+S),稱為點(diǎn)X。的3鄰域；

舟(x(),b)={xlO<lx—Xo1<6}=(%-3,Xo)U(x(),Xo+b),稱為點(diǎn)％的去心

3鄰域。

2.集合運(yùn)算

子集：對(duì)于兩個(gè)給定的集合A和B,若4的任何一個(gè)元素x,者晡XGB,則稱集合A

是集合3的子集，記作4<=3或3n4。

相等：對(duì)于兩個(gè)集合A和3,如果4u3與8uA同時(shí)成立，就稱兩個(gè)集合A與8相

等，記作4=3。

交集：對(duì)于兩個(gè)給定的集合4和5,由同時(shí)屬于這兩個(gè)集合的元素組成的集合，叫作

集合A和3的交集，記作AC8或A3,即AnB={xlxe4,且xeB}。

性質(zhì)：AC\B=BC\Af4nA=A,AD0=0

并集：對(duì)于兩個(gè)給定的集合A和B,由這兩個(gè)集合的所有元素組成的集合，叫作集合4

和3的并集，記作AU3或A+B,即AU3={xlxwA或xeB}。

性質(zhì).A\JB=B[_)AA\JA=AA\J0=A

差集：對(duì)于兩個(gè)給定的集合4和5,由屬于A但不屬于8的元素組成的集合，稱為A

與5的差集，記作4—5,即4—8={xlxeA,且了e8}。

3.映射、函數(shù)

映射：設(shè)A和3是兩個(gè)非空集合，如果按照某種規(guī)則了,使對(duì)于集合A中的任一元素

a,可在3中確定唯一的元素〃與它對(duì)應(yīng)，就稱/是從A到3映射或映照，記為了：

A-8。元素人稱為元素。在映射/下的像，記為對(duì)于元素be8,稱

{x"（x）=b,xeA}為元素beB在映射f下的原像。

函數(shù)：設(shè)E是一個(gè)實(shí)數(shù)的集合，若根據(jù)某個(gè)確定的規(guī)則/，使對(duì)于E中的每一個(gè)x,

都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，就說在E上給定了一個(gè)單值函數(shù)，記作>=/（為，

（xeE）。規(guī)則/是函數(shù)的記號(hào)；稱x為自變量，集合E為函數(shù)/（0的定義域；稱》為因

變量，集合用={>0=/（幻，犬€后}為函數(shù)/（外的值域，也可記為g=/0）。

函數(shù)的兩要素:定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則。只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則都完全相同時(shí),

這兩個(gè)函數(shù)才是相同的函數(shù)。

4.函數(shù)的表示、分段函數(shù)、絕對(duì)值與三角不等式

函數(shù)的表示法：圖形表示法、列表表示法和解析表示法。

分段函數(shù)：在自變量的不同范圍內(nèi)用不同運(yùn)算式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

絕對(duì)值：實(shí)數(shù)X的絕對(duì)值51是?個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，其定義為

基本不等式：

（1）-刀斗|6

（2）\x\<ao-a<x<a（a>0）

（3）lx+yl<lxl+lyl（三角不等式）

（4）lx-yl>|lxl-lyl|

5.函數(shù)的性質(zhì)

（1）有界性

設(shè)函數(shù)/（X）在集合X上有定義，若存在正數(shù)M,使對(duì)集合X內(nèi)任意一值x,對(duì)應(yīng)的

函數(shù)值/（X）都有,則稱函數(shù)/（無）在X上有界；若這樣的M不存在，即對(duì)任

一正數(shù)"，集合X內(nèi)總存在點(diǎn)％,使"（"。）1>加成立，則稱函數(shù)/（幻在X上無界。

（2）單調(diào)性

如果對(duì)于區(qū)間X內(nèi)任意兩點(diǎn)為<々，總成立著/（勺）</（%2）（或/（再）>/（/）,

則稱函數(shù)/（幻在區(qū)間X內(nèi)（嚴(yán)格）單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。

如果對(duì)于區(qū)間X內(nèi)任意兩點(diǎn)玉</，總成立著/（X|）W/（X2）（或/區(qū)）”/（了2）,

則稱函數(shù)/（X）在區(qū)間X內(nèi)非嚴(yán)格單調(diào)增加（或非嚴(yán)格單調(diào)減少）。

（3）奇偶性

設(shè)函數(shù)/（幻在區(qū)間（T，/）內(nèi)有定義，若對(duì)（T，/）內(nèi)任意一了,都有”—x）=/（x）成

立,則稱函數(shù)八幻是（T"）內(nèi)的偶函數(shù)；若對(duì)內(nèi)任意一工,都有/（-"）=_/（X）成

立，則稱函數(shù)"X）是（T,1）內(nèi)的奇函數(shù)。

（4）周期性

若存在非零實(shí)數(shù)T,使對(duì)定義域X內(nèi)的一切X,等式/（尤+T）=/（x）總成立，則稱

/（X）為X上的周期函數(shù)，并稱T為/（X）的周期。通常所說的周期為其最小正周期，當(dāng)不

是所有的周期函數(shù)都有最小正周期。

6.初等函數(shù)

（1）反函數(shù)：對(duì)于以x為定義域，丫為值域的函數(shù)y=/o）,若對(duì)集合丫中的任意

一個(gè)在集合x中可唯一確定一個(gè)滿足y=/（x）的數(shù)x與之對(duì)應(yīng)，則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系確

定了?個(gè)以＞為自變量，尤為因變量的函數(shù)x=e（y）。這個(gè)函數(shù)就稱為'=/（幻

的反函數(shù)。

（2）復(fù)合函數(shù):設(shè)y是〃的函數(shù)＞=/（"）,其定義域?yàn)閡；而"是8的函數(shù)“二g（x）,

其定義域?yàn)閄,做為U*,且U*uU,則對(duì)于X中的每一個(gè)工值，經(jīng)過中間值"=g（x）,

唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的y值。于是因變量y經(jīng)過中間變量”而成為自變量尤的函數(shù)，記為

y=/[g（x）]（XWX）,稱為函數(shù)）'=/3）和"=g（x）的復(fù)合函數(shù)。

（3）基本初等函數(shù)：幕函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。

（4）初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合所得到的函

數(shù)稱為初等函數(shù)。

復(fù)習(xí)指導(dǎo)

一元函數(shù)的概念，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形在中學(xué)

數(shù)學(xué)中早已熟悉了，這里不再贅述。下列僅對(duì)值得提醒的內(nèi)容作一復(fù)述。

1.函數(shù)的有界性

設(shè)八幻的定義域?yàn)镈,數(shù)集XuO,

（1）如果存在數(shù)k,對(duì)于所有xeX,恒有f（x）＜k（則稱函數(shù)f（x）在

X上有上界（下界）。數(shù)%稱為函數(shù)/*）在X上的一個(gè)上界（下界）。

（2）如果存在一個(gè)數(shù)M＞0,對(duì)于任何工€乂，使得"（x）K”成立，則稱函數(shù)/（幻

在X上有界，數(shù)〃為函數(shù)/（X）在X上的一個(gè)界。否則稱函數(shù)/（幻在X上無界。

（3）界不唯一。如果用〉°為函數(shù)“X）在X上的一個(gè)界，則任何比M大的正數(shù)也

是它在X上的界，所以個(gè)有界函數(shù)必有無窮多個(gè)界。

（4）函數(shù)/（外在X上有界的充分必要條件為了（X）在X上既有上界又有下界。

2.反函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域是。，值域是z。如果對(duì)于每一個(gè)yez,存在惟一的

滿足函數(shù)/（x）=y,把函數(shù)y看作自變量，把x看作因變量，則》是一個(gè)定義在

）‘eZ上的函數(shù)，記此函數(shù)為

工=尸（＞）（JGZ）

并稱之為y=/（X）（Xe°）的反函數(shù)。

習(xí)慣上常以X表示自變量，y表示因變量，故常將函數(shù)y=/（x）（X€。）的反函數(shù)

表示成

y=f~}W

（xez）

它與x=（yeZ）表示同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)槎呔哂邢嗤亩x域和相同的對(duì)應(yīng)規(guī)

則。因而，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)函數(shù)＞=/（x）（xeO）的圖形與其反函數(shù)

y=/T（x）（XGZ）的圖形關(guān)于直線＞對(duì)稱。

函數(shù)y=/（x）=，在（-℃,+8）上不具有反函數(shù)。如果考慮函數(shù)）'=力（》）=/

（xeD,=［0,+00））或函數(shù)y=人⑴=/（xe￡>2=（-co,0］）。這時(shí)常使用術(shù)語：稱函

數(shù)力（x）（或?yàn)棰牛椤榜?在A（或上的限制”或“函數(shù)/限制在R（或。2）

上”，且記作“反（或"0?）,其本質(zhì)上一個(gè)新的函數(shù)。于是，就本例>=/（%）=/在

。2=（~0°，0］上的限制兒2就具有反函數(shù)'—‘13一—"，'€［0，+8）。同樣，

反正切函數(shù)）'=arctanx是正切函數(shù)y=tanx在22上的限制的反函數(shù)，所以

tan（arctanx）=xxG（一OO,+oo）

，o

3.復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)>=/（"）的定義域是值域是Zj函數(shù)"=ga）的定義域是值域是

z*。如果9nZg0°,則稱函數(shù)

y=/lg（x）］,x€D={xlg（x）e￡>f}

是由函數(shù)>=/（"）和函數(shù)"=g。）復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，變量u稱為中間變量。

4.初等函數(shù)

常值函數(shù)、累函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)這六類函數(shù)是研究其

它各種函數(shù)的基礎(chǔ)，統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算

所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

初等函數(shù)有很多好的性質(zhì)，它們是微積分的重要研究對(duì)象。

5.分段函數(shù)

在自變量的不同變化范圍中，自變量與因變量的對(duì)應(yīng)規(guī)則用不同的表達(dá)式來表示的函數(shù)

稱為分段函數(shù)。?般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但并不是說分段函數(shù)就一定不是初等函

數(shù)。如函數(shù)/（x）Txl與/。）=而是同一個(gè)函數(shù)但前者是分段函數(shù)，后者是初等函數(shù)。

分段函數(shù)在微積分中有非常特殊的地位，尤其是在基本概念的說明方面，需重視。

第2章第2章導(dǎo)數(shù)與極限

內(nèi)容提要

（-）極限

1.概念

（1）自變量趨向于有限值的函數(shù)極限定義（￡一5定義）

!吧/（"）=4。V￡>0,3J>0（當(dāng)0<山一。1<5時(shí)，有l(wèi)/（x）—AI<￡。

（2）單側(cè)極限

左極限：/（。一°）=鴛一"=V￡>0,36>0,當(dāng)0<a-x<3時(shí)，有

\f（x）-A\<s

右極限：/（4+0）=鴛"*）_A=V￡>0,SJ>0,當(dāng)0<x-a<3時(shí)，有

"（X）-41<8

O

（3）自變量趨向于無窮大的函數(shù)極限

定義1：V￡>0「X>0,當(dāng)|x|>X,成立Y（X）T<￡,則稱常數(shù)A為函數(shù)/CO在x

lim/(x)=A

趨于無窮時(shí)的極限，記為18o

y=A為曲線y=/(x)的水平漸近線。

定義2：Ve>°，mx>°,當(dāng)x〉X時(shí)，成立"(X)-A|<￡,則有如"X)="。

定義3：>0,mX〉O,當(dāng)x<-X時(shí)，成立則有如

運(yùn)算法則：

1)1)若lim/(x)=4,limg(x)=oo,則lim[/(x)+g(x)]=oo。

2)2)若lim/(x)=4(H0,但可為8),limg(x)=oo,則lim/(x)?g(x)=oo。

(、lim—=0

3)3)若hm/(x)=8,則/(x)。

注：上述記號(hào)lim是指同一變化過程。

(4)無窮小的定義

V￡>0,3^>0,當(dāng)°<lx—al<5時(shí)，有l(wèi)/(x)l<￡,則稱函數(shù)/*)在x-a時(shí)

lim/(x)=0

的無窮小(量)，即a

(5)無窮大的定義

VM>0,>0,當(dāng)0〈Ix-〃l<b時(shí),有"(x)l>M,則稱函數(shù)/(X)在xfa時(shí)

lim/(x)=oo

的無窮大(量)，記為x-^a

直線X=a為曲線y=/(X)的垂直漸近線。

2.無窮小的性質(zhì)

定理1有限多個(gè)無窮小的和仍是無窮小。

定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。

推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。

推論2有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。

無窮小與無窮大的關(guān)系

1

若曰"乃一00,且/(x)不取零值，則"X)是xr。時(shí)的無窮小。

3.極限存在的判別法

⑴1吧/⑴=Ao/(a_o)=/(Q+o)=A。

lim/(x)=Alim/(x)=limf(x)=A

(2)即,")一"o"x)=A+a,其中a是m時(shí)的無窮小。

夾逼準(zhǔn)則：設(shè)在點(diǎn)。的某個(gè)去心鄰域席①宿)內(nèi)有且已知

(3)g(x)</(x)</z(x)；

limg(x)=AIim/i(x)=Alim/(x)=A

XT”和XTa,則必有XT”

4.極限的性質(zhì)

lim/(x)=Alimf(x)=B

(1)極限的唯一性若X-且

⑵局部有界性若1叩，則封>°,在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域"伍》)內(nèi)有

"(x)l<M。

(3)局部保號(hào)性

⑴若叫且A>°(或A<°),則必存在。的某個(gè)去心鄰域~當(dāng)

xeNgb)時(shí),有y(x)>o(或/(幻<0)。

(H)若在點(diǎn)。的某個(gè)去心鄰域*35)內(nèi)有/UR°(或/(x)4°),且即

則42°(或AV°)。

5.極限的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算

lim/(x)=A,limp(x)=5,

設(shè),是常數(shù)，……則

hm[f(x)±g(x)]=A±B；

(1)…

lim"(x)?g(x)]=A?氏

(2)I”

lim[c-/(J:)]=c-A；

(3)…

=BRO；

(4)fg(尤)B

A

若limg(x)=%lim/(〃)=A,且Vx￡U(a,b)(b〉0),有g(shù)(x)w〃()，

(5)x—>aM—>M0

limf[g(x)]=lim/(〃)=A

則XT"“T”0.

6.兩個(gè)重要極限

「sinx1

lim------=1

⑴3。X；

lim(l+x)x=elim(l+—)A=e

(2)i。或―00xo

7.無窮小的階的比較

若。和月都是在同一自變量變化中的無窮小量，且夕工0,則

l「im—a=0八

(1)若B，則稱a關(guān)于,是高階無窮小量，記作°=。(￡)：

lim—=1

(2)若°，則稱a和,是等價(jià)無窮小量，記作&~￡；

lim—=c(cw0)

(3)若B，則稱a和尸是同階無窮小量，記作a=°(〃)；

a

一般情況下，若存在常數(shù)A>°,8>0,使成立P，就稱。和〃是同階

無窮小量。

(4)若以x作為x->°時(shí)的基本無窮小量，則當(dāng)a=°(/)(女為某一正數(shù))忖，稱

a是左階無窮小量。

定理］夕?a=￡=a+o(a)

「a'「a「a'

,lim—；lim—=lim—；

定理2設(shè)。~優(yōu)，6~夕，且夕存在，則BB'。

常用的等價(jià)無窮小

x_>0nJ-x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln（l+x）~e*-1

1—COSX—x~

2。

（二）函數(shù)的連續(xù)性

1.定義

若函數(shù)>'=/（幻在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則/（X）在點(diǎn)a處連續(xù)o

lim/（x）-/（a）olimAy=0

XT"AI0。

2.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）均為連續(xù)函數(shù)；

連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)；

一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)。

3.間斷點(diǎn)

（1）間斷點(diǎn)的概念

不連續(xù)的點(diǎn)即為間斷點(diǎn)。

（2）間斷點(diǎn)的條件

若點(diǎn)/滿足下述三個(gè)條件之一，則”。為間斷點(diǎn)：

（a）/（X）在“。沒有定義；

lim/（x）

（b）1“不存在；

門limf（x）lim/（x）^/（x0）

（c）八X）在。有定義，a*也存在，但2即。

（3）間斷點(diǎn)的分類：

（i）第一類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)與處左右極限存在。它又可分為下述兩類：

可去間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)與處左右極限存在且相等；

跳躍間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)與處左右極限存在但不相等；

（ii）第二類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)X。處的左右極限至少有一個(gè)不存在。

4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）概念

若函數(shù)/（X）在區(qū)間（°力）上每一點(diǎn)都連續(xù)，在a點(diǎn)右連續(xù)，在匕點(diǎn)左連續(xù)，則稱/（X）

在區(qū)間［a,。1上連續(xù)。

（2）幾個(gè)定理

最值定理：如果函數(shù)/（X）在閉區(qū)間［凡們上連續(xù)，則/（X）在此區(qū)間上必有最大和最小值。

有界性定理：如果函數(shù)/（X）在閉區(qū)間［明們上連續(xù)，則/（X）在此區(qū)間上必有界。

介值定理：如果函數(shù)"外在閉區(qū)間［凡切上連續(xù)，則對(duì)介于f（a）和/（?之間的任一值J

必有Xia，們，使得八用=\

零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)/（幻在閉區(qū)間1人們上連續(xù)，若則必有xw（a/）,

使得/（X）=o。

（三）導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)的概念

（1）定義設(shè)函數(shù)＞=/（*）在點(diǎn)。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)。處取得改變量

位（工°）時(shí)，函數(shù)/（X）取得相應(yīng)的改變量=+若極限

..Ay/（a+Ax）-/（iz）

lim—=lim-------------

°Ax心—。Ar

存在，則稱此極限值為函數(shù)y=/a）在點(diǎn)。處的導(dǎo)數(shù)（或微商），記作

導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式有

廣⑷=隔―/（"）

xraX-a

o

（2）左、右導(dǎo)數(shù)

f'（a）=lim"X）一-/（"）

左導(dǎo)數(shù)x*x—a

H（a）=lim"x）-/（a）

右導(dǎo)數(shù)一，x-a

廣⑷存在。￡（。）=單嘰

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=〃x）在點(diǎn)a處的導(dǎo)數(shù)/（a）在兒何上表示曲線y=/（X）在點(diǎn)M（a,/（。））處

的切線的斜率，即k=/'（a）,從而曲線丁=/（幻在點(diǎn)“（a，/（a））處的

切線方程為y—/（"）=/'（a）（x—"）

y-f（a）=-——（x-a）

法線方程為了（幻

3.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系

函數(shù)＞在點(diǎn)a處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)，但反之未必。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是

函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。

因此，若函數(shù)/（X）點(diǎn)。處不連續(xù)，則/*）點(diǎn)。處必不可導(dǎo)。

4.求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式

（1）四則運(yùn)算若〃、丫、卬均為可導(dǎo)函數(shù)，則

（〃±U）'=〃'土/（〃u）'=〃，+uvf

，，

（uvw\=u'vw+uv'w+uvw'（cu\=cu'（其中c/0為常數(shù)），

（勺（1）-4

VV,VV（V0）o

（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

設(shè)y=/5）,〃=g（x）,且/（“）和g（x）都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/[g（x）]的導(dǎo)數(shù)為

dy__dydu

dxdudx

（3）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若x=e（y）是y=/a）的反函數(shù)，則.d（y）0

（4）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

由一個(gè)方程尸“，田=°所確定的隱函數(shù)＞=/a）的求導(dǎo)法,就是先將方程兩邊分別對(duì)

dy

x求導(dǎo)，再求出口即可。

（5）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

先對(duì)函數(shù)求對(duì)數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法。

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于鼎指函數(shù)、連乘除函數(shù)。

（6）參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

x=夕⑺

若參數(shù)方程U=〃⑺確定了一個(gè)函數(shù)y=/a）,且夕、〃均可導(dǎo)，則有

dy

dr7(0

（7）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(c)'=0(x")'="T

(sinx)f=cosx(cosx)'=

(tanx)'=sec2x(cotx)r=-CSCX

(secx)'=secxtanx(cscx)’=-cscxcotx

=優(yōu)In。(a>0(ex)f=ex

(lnx)z=—

aw1)

(arcsinx)r=(arccosx),

71-x\ll-x

-1

(arctanx)r=(arccotx)'=

5.高階導(dǎo)數(shù)

（1）高階導(dǎo)數(shù)的概念：

函數(shù)/（X）的..階導(dǎo)數(shù)尸（無）的導(dǎo)數(shù)稱為/（X）的二階導(dǎo)數(shù)，/（X）的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱

為了（X）的三階導(dǎo)數(shù)，……,/（X）的1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為/（X）的〃階導(dǎo)數(shù)，分別記為

d2yd3yd4y

34

WHy，……4,或必2drdxdx"o二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為

高階導(dǎo)數(shù)。

（2）常用的〃階導(dǎo)數(shù)公式

（x"嚴(yán)=加(1嚴(yán)=e

(sinx)(,,)(cosx)'=cos(x+——)

1)!

[ln(l+x)]*n)㈠尸。

(1+x)"

（3）萊布尼茨公式

設(shè)M(X)和v(x)都是n次可微函數(shù),則有

(哂(")=￡/…山)

4=ol的

復(fù)習(xí)指導(dǎo)

重點(diǎn)：求函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)。

難點(diǎn)：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限存在、連續(xù)性、可導(dǎo)性。

1.求極限的方法：

(1)利用定義語言)證明。

(2)利用極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求極限的方法求初等函數(shù)的極限。

rz、limf(x)=f(x)

(3)初等函數(shù)八九)在定義區(qū)間上求極限：1"0o

X2-2X+302-2X0+3Q

lRim----------=-------------=3

例：XT。X+10+1o

(4)分解因式，約去使分母極限為零的公因式。

..%2~4x—3..(x—l)(x—3)x—3

lim----；------=lim-------------=lim-----=-1

例.x-1n(工一l)(x+l)Ix+1

(5)利用兩個(gè)重要極限，此時(shí)需注意自變量的變化趨勢(shì)。

sin2x「sin2x_

lim-----=lim-------2=2

例：7X32x

府(2彳)4

「sin2x

lim-----

x—?—丸人X.71

4

但4

(6)利用等價(jià)無窮小替換(條件：在乘積的條件下)。

..tan3x[.3x.

lim--------=lim—=3

例：ioln(l+x)iox

(7)利用無窮大和無窮小的互為倒數(shù)關(guān)系。

Jx+2

lim

例：求XT2x—2

..x—2八Jx+2

hm一.?=0lim-----

因?yàn)門4X+2,所以12x-2

limw(x)=1limv(x)=oo

(8)事指函數(shù)求極限：若,IX。則

,、limv(x)[u(x)-\]

lim〃(x嚴(yán)=e『

*7夙。

(9)利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。

2.無窮?。?/p>

(1)理解無窮小是自變量在趨向于某點(diǎn)時(shí)函數(shù)極限趨向于零的過程，它與自變量的變化

趨勢(shì)密切相關(guān)。

(2)半握利用求兩個(gè)無窮小的商的極限比較它們的階的方法。

(3)注意在求極限時(shí)，如果兩個(gè)無窮小做加減法，則不能做等價(jià)無窮小的替換。

3.連續(xù)性的判斷：

重點(diǎn)是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處連續(xù)性的判斷，此時(shí)需利用左右連續(xù)的概念進(jìn)行判斷。

4.間斷點(diǎn)

（1）掌握間斷點(diǎn)的分類規(guī)則，以及如何求解函數(shù)的間斷點(diǎn)并對(duì)其分類。對(duì)于初等函數(shù)，首

先找出無定義的點(diǎn)，然后通過計(jì)算它的左右極限得出其類型。對(duì)于分段函數(shù)，還要討論它的

分段點(diǎn)。

（2）注意對(duì)于可去間斷點(diǎn)，可以通過重新定義該點(diǎn)的函數(shù)值使得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。

5.閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

掌握利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)來證明某個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上滿足一些特殊性質(zhì)的方法。

例如要證明某個(gè)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上可以取到個(gè)特定數(shù)值時(shí),通常的方法是在這個(gè)閉區(qū)間

內(nèi)找兩個(gè)函數(shù)值（一般是計(jì)算區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值或者假設(shè)出函數(shù)在該區(qū)間上的最大和最

小值），使得它們一大一小，恰好分布在這個(gè)特殊值的兩邊，而后利用介值定理得出結(jié)論。

當(dāng)要證明方程/（幻=°在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有根時(shí)，可以在此區(qū)間內(nèi)找兩個(gè)點(diǎn)，使得，（無）在這兩

點(diǎn)的函數(shù)值-正一負(fù)，從而利用零點(diǎn)定理得出結(jié)論。

5.可導(dǎo)、連續(xù)和極限三個(gè)概念的關(guān)系：

八處在點(diǎn)/可導(dǎo)=>/*）在點(diǎn)/連續(xù)n/（X）在點(diǎn)與有極限；

但上述關(guān)系反之均不成立。

6.可導(dǎo)的判斷：

（1）若函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，則必不可導(dǎo)。

（2）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)的判斷，需利用左右導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行判斷。

7.求導(dǎo)數(shù)的方法：

（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)。

（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（3）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。

（4）利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。此時(shí)需注意若在方程中出現(xiàn)了的函數(shù)項(xiàng)，則在對(duì)自變量x求導(dǎo)

時(shí)，對(duì)這一項(xiàng)需利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則。

dy

例：設(shè)/+y_2x=0,求心。

解：方程兩邊同時(shí)對(duì)工求導(dǎo)，有

d0)dy?dyd(2x)2

dydxdrdx,所以)-e>'+1。

（5）利用反函數(shù)求導(dǎo)法則。

（6）利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。此時(shí)需注意得到的）'對(duì)》的導(dǎo)數(shù)實(shí)際上仍然由一個(gè)參數(shù)方程

所確定。

（7）利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則。它主要在如下兩種情況中應(yīng)用：

（i）幕指函數(shù)求導(dǎo)；

（ii）需求導(dǎo)的函數(shù)由許多因式利用乘除法結(jié)合得到。

（8）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處需利用左右導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)。

第3章微分學(xué)的基本定理

內(nèi)容提要

(一)微分

1.概念

微分的定義：設(shè)函數(shù)>=/(")在點(diǎn)/處可微，給定自變量％的增量從=、一%,稱對(duì)應(yīng)

的函數(shù)增量修'"0)=/(X)―/(X。)的線性主部廣(/)—為函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處的微分，

記作可(/)或Si。

2.常用的微分公式

d(c)=O(C為常數(shù))d(xz)=3一dx

dsinx=cosxdrdcosx=-sinxdx:

dtanx=sec2xdxdcotx=-esc2xdx

dsecx=secxtanxdrdcscx=-cscxcotxdx

dax=ax\nadx(〃>0,。w1)de'=e'dr

d「log”x=----1--d」rdInIx1=—dx

x\na(a>0f。。1)x

auarcsinx=/1d.rd?arccosx=/-1a?r

i」」-i」

dJarctanxdrdarccotx=-------dr

1+x21+x2

3.微分運(yùn)算法則

(1)四則運(yùn)算

d[k]u(x)+k2v(x)]=k]du(x)+k2dv(x).

d[w(x)v(x)]=v(x)dw(x)+w(x)dv(x).

d〃(x)_v(x)dw(x)-w(x)dv(x)

V(x)V2(x)

o

(2)復(fù)合函數(shù)微分

若>=/(〃)，〃=g(x),則dy=/'(“)g'(x)dx。

4.微分形式的不爰性

若y=/(〃)，"=g(x),則有dy=/'(")g'(x)dx=/'(")d"。

5.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

當(dāng)1Axi很小時(shí)，有:AX》=/5)>,

f(x+Ax)?/(x)+/'(Xo)Ax

00o

(-)微分中值定理

i.羅爾定理：設(shè)函數(shù)y=/a)在閉區(qū)間[也們上連續(xù)，在開區(qū)間(“力)上可導(dǎo)，且

/(“)=/(”),則必存在H"力),使得/⑹=0。

2.拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù)y="幻在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(外”)上可導(dǎo),

/⑸")一/(。)

則必存在Je(a，〃)，使得成立b-a。

推論1設(shè)函數(shù))'=/(")在閉區(qū)間［“回上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若對(duì)任意

有/卜)二°則“X)在，上恒為常數(shù)。

推論2若在(”力)內(nèi)恒有/(x)=g'(x)，則存在常數(shù)c,使導(dǎo)/(x)=g(x)+C,xe(a,b)

3.柯西中值定理：設(shè)函敢/(X)和g(x)均在閉區(qū)間［。，們上連續(xù)，在開區(qū)間(。為)上可導(dǎo)，

且它們的導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零，又gS)-g(a)H°,則必存在Je(a,b),使得成立

廣⑹/(b)-/⑷

g'C)g(b)-g(a)。

4.有限增量公式

若函數(shù)＞=/(*)在力］上連續(xù)，在(“”)上可導(dǎo)，則

/(b)=/(。)+/'4)("a)—a,b)

，o

或

其中△y=/(6)_/(a),Ax=b-a。

7三)洛必達(dá)法則

0

1.6型的洛必達(dá)法則：

若/(X)和g(x)滿足

lim/(x)=limg(x)=0

(1)Xf與XT%.

(2)/(x)和g(x)在N(A)，5)內(nèi)可導(dǎo)，且g〈x)H0；

lim"^存在(或?yàn)?)lim4^=limg^

(3)一廂g(x),則,fog(x)x?og(x)。

(把“。改為8等，法則仍然成立)。

00

2.8型的洛必達(dá)法則：

若/(X)和g(x)滿足

lim/(x)=oo,limg(x)=oo

(J)XT%.

⑵/(x)和g(x)在N(￡o⑹內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)HO；

lim于H存在(或?yàn)閛o)limg^=lim4^

(3),則xT&gQ)。

(把與改為00等，法則仍然成立)。

(,

3.其他待定型：°，8,oo-ao,r,0(co°o

(四)泰勒公式

1.泰勒多項(xiàng)式：

若＞在點(diǎn)a處有〃階導(dǎo)數(shù)，則稱多項(xiàng)式

。。)=/⑷+牛(x-a)+務(wù)(廠4+…+勺0”

I9In!

為函數(shù)/（X）在X=a處的〃階泰勒多項(xiàng)式。

2.幾個(gè)定理：

定理1設(shè)函數(shù)/和它的直到〃階（包括〃階）的導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間［外們上連續(xù)，而且/（X）在

開區(qū)間（“泊）內(nèi)有（〃+1）階導(dǎo)數(shù)，則成立

'SEW…?片部"―

定理2若/（幻在包含X。在內(nèi)的某一區(qū)間有直到（〃+1）階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)此區(qū)間內(nèi)的任7都

成立

小)=1;普(…。|就(…。嚴(yán)

k=oK?S十"?

r（?+l）/ex

R“（x）J——早（x-q嚴(yán)

其中自介于X和x°之間。并稱（〃+1"為泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)。

定理3若/“）在點(diǎn)a有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，則可以將其展開為

/（x）=2——-^（x-d）k+o［（x-a）”］

A=Ok!

稱上式為函數(shù)/（X）在*=。處的帶佩亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式。

3.常用的泰勒公式：

x3x52/71—1

sinx=x----H-------+o(x2m)

3!5!(2m-1)

丫242m

cosx=l--+-?…一+(-l)w——+o(x2m+l)

2!4!(2m)!

ln(l+x)=x——+——……+(—1)2—+0?！?

23n

n

/=1+1+二尸+……+x—+o(xn)

2!n\

“、加1m(m-1)機(jī)(加-1)???(團(tuán)一〃+1)〃/八

(14-x)=1+wx+-------%2+.....+------------------x+(?(%)

2!〃！

復(fù)習(xí)指導(dǎo)

重點(diǎn)：微分計(jì)算，中值定理的應(yīng)用，利用洛必達(dá)法則求極限，泰勒公式。

難點(diǎn)：中值定理的應(yīng)用。

1.中值定理的應(yīng)用

(1)注意中值定理的條件只是充分條件，不是必要條件。

(2)中值定理的這些條件缺一不可。

(3)中值定理經(jīng)常運(yùn)用在等式和不等式的證明中。例如在證明時(shí)，可以構(gòu)造

一個(gè)輔助函數(shù)歹。)，將等式轉(zhuǎn)化為/'(*)=°的形式，而后驗(yàn)證尸(X)在某個(gè)閉區(qū)間上滿足

中值定理的條件，從而得出結(jié)論。在證明一個(gè)不等式時(shí).，可以考慮將其和一個(gè)函數(shù)及此函數(shù)

在某個(gè)閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值聯(lián)系起來，從而可以利用拉格朗日中值定理得出結(jié)論。

2.泰勒公式

(1)使用泰勒公式時(shí).，一定要注意兩種余項(xiàng)(拉格朗日余項(xiàng)與皮亞諾余項(xiàng))使用的前提條

件不同。

(2)常利用帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式計(jì)算極限。

(3)證明命題時(shí)，經(jīng)常利用帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。

3.洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則是解決待定型極限問題時(shí)的一種簡(jiǎn)便而有效的方法，但使用時(shí)注意以下幾點(diǎn):

(1)每次使用前必須判斷是否屬于七種待定型：

—,—,O-oo,00-00,00,000,V

000。

盲目使用將導(dǎo)致錯(cuò)誤。

續(xù)inn44

(2)洛必達(dá)法則的條件是充分的而非必要的，遇到g(X)不存在時(shí)，不能斷定g(M

不存在。

x+sinx(,sinx、,

hm-------=lim1+----=1

例：Xf8XTxJ,

x+sinx1+cosx

hm-------豐lim-------

但%—01不存在。

(3)有些極限問題雖然滿足洛必達(dá)法則的條件，但用此法無法求出極限

x

lim

例：…

但事實(shí)上

(4)洛必達(dá)法則對(duì)待定型°,8的極限有特效，但并不是萬能的，有時(shí)也并非為最佳的解

題方法。

.x

sinx-xcos—

V3

rlim-----；-------

入TO—工

例：xe6-sinx用泰勒公式展開較簡(jiǎn)便。

Hmarctan(sin3尤)-arctan(3sinx)

例：1°v4+sin3x-j4+3sinx用微分中值定理較簡(jiǎn)便。

第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

內(nèi)容提要

本章以導(dǎo)數(shù)和微分學(xué)的一些基本結(jié)論為工具，討論了函數(shù)性態(tài)的研究，最值計(jì)算，相關(guān)

變化率，平面曲線曲率，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用等五個(gè)問題，其主要內(nèi)容和結(jié)論可歸為以下

幾個(gè)方面。

（-）函數(shù)性態(tài)的研究

1.函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間［則上連續(xù),開區(qū)間（"⑼可導(dǎo)，若在（"⑼上有r（x）＞°

（或r（x）＜°）,則,a）在［凡可上嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單減）。

注意：保證"X）嚴(yán)格單調(diào)增加的條件/（力＞°可以放寬為/（x）'O,且使

/"）=°的點(diǎn)不形成區(qū)間，對(duì)嚴(yán)格單調(diào)減的情形，條件/（“）＜°可放寬為‘且

使的點(diǎn)不形成區(qū)間。

2.函數(shù)的局部極值

A

（1）極值點(diǎn)的定義：若函數(shù)＞=/（*）在點(diǎn)X。的某鄰域N（x。）有定義，且對(duì)一切xeN（Xo）

成立/（尤）＜/（%）（或/（元）＞/（Xo））,則稱/（x）在/取得嚴(yán)格］極大值（或極小值），

稱X。為了（X）的嚴(yán)格］極大點(diǎn)（或極小點(diǎn)）。若將或“＞"）用”《”或“2”）代替，

則稱為非嚴(yán)格意義下的極值。

（2）極值點(diǎn)的必要條件：函數(shù)/（X）的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)或不可微點(diǎn)。

（3）判別極值得充分條件

A

一階充分條件：設(shè)/（X）在/處連續(xù)，并且在X。的某b去心鄰域N（x。）內(nèi)可導(dǎo)，則有以下

結(jié)論成立：

⑴X€（X。—3，入0）時(shí)，/（X）＞°；當(dāng)X€（%0，入0+b）時(shí)，/（X）＜°,則/（X）在

處取得極大值。

（ii）若當(dāng)xe（x。一&X。）時(shí)，/（x）＜0；當(dāng)xe（x°,x°+b）時(shí)，/（力＞0,則在

“。處取得極小值。

（iii）若在毛的兩旁，/（“）不變號(hào)，則人力在/處不取得極值。

二階充分條件：設(shè)"x）在點(diǎn)七的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，,（與）=°,/“（/）存在，則有以下結(jié)

論成立：若/“卜°）（°,則玉＞是函數(shù)的極大值點(diǎn)。若/“（/）＞°,則%是函數(shù)的極小值點(diǎn)。

若/“（/）=。,則對(duì)X。無明確結(jié)論。

3.3.函數(shù)的凹凸性和拐點(diǎn)

（1）函數(shù)的凹凸性的定義

如果在可上，曲線始終位于區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)處切線的上方（或下方），則稱

該曲線在上是凸