高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.2圓的方程(精練)(原卷版+解析)

8.2圓的方程【題型解讀】【題型一求圓的方程】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝12.(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝163.(2023·青島高三月考）若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝14.(2023·濟(jì)南高三期末）過點(diǎn)（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（

）A． B．C． D．5.過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．6.圓心在直線y＝－2x上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______．【題型二與圓有關(guān)的軌跡問題】1.(2023·青島高三模擬）已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．2.(2023·山東日照高三模擬）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡為___________．3.當(dāng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接它與定點(diǎn)Q(3,0)，則線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝14.(2023·全國(guó)高三模擬）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）A． B．C． D．5.(2023·浙江高三模擬）（多選題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列條件中使得點(diǎn)的軌跡為圓的有（

）A． B．C． D．6.直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，O為圓心，當(dāng)k變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．【題型三與圓有關(guān)的最值問題】1.(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7B．6C．5D．42.(2023·廣東深圳市·高三二模）已知A(－2,0)，B(2,0)，點(diǎn)P是圓C：(x－3)2＋(y－eq\r(7))2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|AP|2＋|BP|2的最小值為()A．9B．14C．16D．263．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)4.等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，且△ABC的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足|MN|＝1，則eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值為()A．－5－2eq\r(3) B．－5－4eq\r(3)C．－6－2eq\r(3) D．－6－4eq\r(3)【題型四點(diǎn)與圓】1.(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）圓的圓心在軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)，，若在圓內(nèi)，則的范圍為________.2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系（）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交3.已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則（

）A． B．C． D．4.(2023·山東青島高三月考）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）求圓的一般方程；（III）圓是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．8.2圓的方程【題型解讀】【題型一求圓的方程】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案：C【解析】到兩直線3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.2.(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16答案：B【解析】由直線x－by＋2b＋1＝0可得該直線過定點(diǎn)A(－1,2)，設(shè)圓心為B(0,1)，由題意可知要使所求圓的半徑最大，則rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2.3.(2023·青島高三月考）若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1答案：B【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)(a>0，b>0)，由圓與直線4x－3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝eq\f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化簡(jiǎn)得|4a－3b|＝5，①又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.4.(2023·濟(jì)南高三期末）過點(diǎn)（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，其中，設(shè)，則，解得：，故的中點(diǎn)，即圓心為，即，故該圓為故選：B5.過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．答案：A【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)與，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為．故選：A6.圓心在直線y＝－2x上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______．答案：【解析】因?yàn)樗髨A的圓心在直線y＝－2x上，所以可設(shè)圓心為，半徑為，由題意知，，又圓C與直線x＋y＝1相切，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，所以，解得，，所以所求圓C的方程為．故答案為：【題型二與圓有關(guān)的軌跡問題】1.(2023·青島高三模擬）已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.2.(2023·山東日照高三模擬）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡為___________．答案：【解析】，，化簡(jiǎn)得：，所以，點(diǎn)P的軌跡為圓：故答案為：3.當(dāng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接它與定點(diǎn)Q(3,0)，則線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1答案：C【解析】設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，因?yàn)镻Q的中點(diǎn)為M，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又因?yàn)镻在圓x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以M的軌跡方程即為(2x－3)2＋4y2＝1.4.(2023·全國(guó)高三模擬）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）A． B．C． D．答案：B【解析】圓即，半徑因?yàn)?，所以又是的中點(diǎn)，所以所以點(diǎn)的軌跡方程為故選：B5.(2023·浙江高三模擬）（多選題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列條件中使得點(diǎn)的軌跡為圓的有（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為則對(duì)于A：由得，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由得，整理得，即，故B正確；對(duì)于C：由得，即，故C正確；對(duì)于D：由得，即，故D正確；故選：BCD6.直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，O為圓心，當(dāng)k變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．【解析】設(shè)，易知直線恒過定點(diǎn)，再由，得，∴，整理得．∵點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)且不在x軸上，∴所求的軌跡為圓內(nèi)的部分且不在x軸上．解方程組得兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故所求軌跡方程為．【題型三與圓有關(guān)的最值問題】1.(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7B．6C．5D．4答案：B【解析】∵在Rt△APB中，原點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn)，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.2.(2023·廣東深圳市·高三二模）已知A(－2,0)，B(2,0)，點(diǎn)P是圓C：(x－3)2＋(y－eq\r(7))2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|AP|2＋|BP|2的最小值為()A．9B．14C．16D．26答案：D【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(x，y)，則|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.圓C的圓心為C(3，eq\r(7))，半徑為r＝1，OC＝4，所以|PO|2的最小值為(OC－r)2＝(4－1)2＝9，所以|AP|2＋|BP|2的最小值為26.3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)答案：B【解析】由x2＋y2－4x－2y－4＝0得(x－2)2＋(y－1)2＝9.eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq\f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，其中A(－3,1)為定點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)為圓上一點(diǎn)．設(shè)過定點(diǎn)A的直線l：y－1＝k(x＋3)與圓相切，則eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，解得k＝±eq\f(3,4)，所以－eq\f(3,4)≤kPA≤eq\f(3,4)，所以eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為2＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(17,4).4.等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，且△ABC的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足|MN|＝1，則eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值為()A．－5－2eq\r(3) B．－5－4eq\r(3)C．－6－2eq\r(3) D．－6－4eq\r(3)答案：A【解析】設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，則面積S＝eq\f(\r(3),4)a2＝9eq\r(3)，解得a＝6.以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．由M為△ABC的內(nèi)心，則M在OC上，且OM＝eq\f(1,3)OC，則A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq\r(3))，M(0，eq\r(3))，由|MN|＝1，則點(diǎn)N在以M為圓心，1為半徑的圓上．設(shè)N(x，y)，則x2＋(y－eq\r(3))2＝1，即x2＋y2－2eq\r(3)y＋2＝0，且eq\r(3)－1≤y≤1＋eq\r(3)，又eq\o(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq\o(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq\o(NA,