高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)3.3.1導(dǎo)數(shù)的恒能成立問(wèn)題、零點(diǎn)問(wèn)題、不等式證明問(wèn)題(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第三章導(dǎo)數(shù)3.3.1導(dǎo)數(shù)的恒能成立問(wèn)題、零點(diǎn)問(wèn)題、不等式證明問(wèn)題（題型戰(zhàn)法）題型戰(zhàn)法一對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．4、問(wèn)題：對(duì)任意，均存在，使得成立，可轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的取值范圍。二對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略：1、研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，要通過(guò)數(shù)的計(jì)算(函數(shù)性質(zhì)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等)和形的輔助，得出函數(shù)零點(diǎn)的可能情況；2、函數(shù)可變零點(diǎn)(函數(shù)中含有參數(shù))性質(zhì)的研究，要抓住函數(shù)在不同零點(diǎn)處函數(shù)值均為零，建立不同零點(diǎn)之間的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，把多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，再使用一元函數(shù)的方法進(jìn)行研究．三對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的求解策略：不含參的不等式證明過(guò)程：移項(xiàng)，構(gòu)造新函數(shù)，求函數(shù)的最值。2、含n的不等式證明：觀察問(wèn)題形式（或由前面的問(wèn)題），得出所需構(gòu)造的不等式，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的最值證明所構(gòu)造的不等式成立，從而證明原不等式成立。題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問(wèn)題典例1．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式1-1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍．變式1-2．已知函數(shù)（是正常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，，求的取值范圍；變式1-3．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：時(shí)，當(dāng)恒成立.變式1-4．已知函數(shù)（1）求的極值點(diǎn)；（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．題型戰(zhàn)法二利用導(dǎo)數(shù)處理能成立問(wèn)題典例2．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的極小值為，當(dāng)時(shí)，有極大值．(1)求函數(shù)；(2)存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式2-1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式2-2．已知函數(shù)，設(shè)在點(diǎn)處的切線為（1）求直線的方程；（2）求證：除切點(diǎn)之外，函數(shù)的圖像在直線的下方；（3）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍變式2-3．已知函數(shù)．（1）若在點(diǎn)處的切線斜率為．①求實(shí)數(shù)的值；②求的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若存在，使得成立，求的取值范圍．變式2-4．已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線在x=1處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若存在，使得，求a的取值范圍.題型戰(zhàn)法三利用導(dǎo)數(shù)處理恒、能成立結(jié)合問(wèn)題典例3．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;(2)若對(duì)任意的，均存在，使得，求a的取值范圍．變式3-1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)．若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式3-2．已知函數(shù)(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍．變式3-3．已知函數(shù)，f'x為的導(dǎo)函數(shù)．(1)求的定義域和導(dǎo)函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)，都有成立，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式3-4．已知函數(shù)，其中.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在，使得對(duì)任意恒成立？若存在，請(qǐng)求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型戰(zhàn)法四利用導(dǎo)數(shù)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)典例4．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式4-1．已知(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．變式4-2．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式4-3．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式4-4．設(shè)函數(shù).(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).題型戰(zhàn)法五根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)典例5．已知，函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值：(2)若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍．變式5-1．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式5-2．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式5-3．已知函數(shù)（）(1)求在處的切線方程；(2)當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．變式5-4．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求在上的最小值；(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.題型戰(zhàn)法六利用導(dǎo)數(shù)證明一般不等式典例6．已知函數(shù)，，函數(shù)與函數(shù)的圖象在交點(diǎn)處有公共切線.（1）求、的值；（2）證明：.變式6-1．已知函數(shù)，．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．變式6-2．已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．變式6-3．已知函數(shù)在處的極值為2，其中．（1）求，的值；（2）對(duì)任意的，證明恒有．變式6-4．已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．題型戰(zhàn)法七利用導(dǎo)數(shù)證明含n的不等式典例7．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的極值；(2)①若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：當(dāng)時(shí)，．變式7-1．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的最大值為，求證：.變式7-2．已知函數(shù).(1)若在處的切線與直線平行，求的極值；(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的下方.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有.變式7-3．已知函數(shù)，.(1)試討論f（x）的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意，均有，求a的取值范圍；(3)求證:.變式7-4．已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；(2)若對(duì)于恒成立，求正整數(shù)的最大值；(3)求證：．第三章導(dǎo)數(shù)3.3.1導(dǎo)數(shù)的恒能成立問(wèn)題、零點(diǎn)問(wèn)題、不等式證明問(wèn)題（題型戰(zhàn)法）題型戰(zhàn)法一對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．4、問(wèn)題：對(duì)任意，均存在，使得成立，可轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的取值范圍。二對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略：1、研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，要通過(guò)數(shù)的計(jì)算(函數(shù)性質(zhì)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等)和形的輔助，得出函數(shù)零點(diǎn)的可能情況；2、函數(shù)可變零點(diǎn)(函數(shù)中含有參數(shù))性質(zhì)的研究，要抓住函數(shù)在不同零點(diǎn)處函數(shù)值均為零，建立不同零點(diǎn)之間的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，把多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，再使用一元函數(shù)的方法進(jìn)行研究．三對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的求解策略：不含參的不等式證明過(guò)程：移項(xiàng)，構(gòu)造新函數(shù)，求函數(shù)的最值。2、含n的不等式證明：觀察問(wèn)題形式（或由前面的問(wèn)題），得出所需構(gòu)造的不等式，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的最值證明所構(gòu)造的不等式成立，從而證明原不等式成立。題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問(wèn)題典例1．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系即可得單調(diào)區(qū)間；（2）利用分離參數(shù)思想，求出的最小值即可得結(jié)果；(1)函數(shù)的定義域?yàn)橛?，得；由，得．∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以∵對(duì)任意的，都有成立即對(duì)任意的，都有成立∴∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為變式1-1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負(fù)，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若對(duì)任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當(dāng)時(shí)，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿足對(duì)任意的恒成立.所以綜上所述：.變式1-2．已知函數(shù)（是正常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，，求的取值范圍；【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值是，無(wú)極小值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得解；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，解得，令，解得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值是，無(wú)極小值.（2）因?yàn)?，，即恒成立，?設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.變式1-3．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：時(shí)，當(dāng)恒成立.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即可.（2）由分析法：只需證即可，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，∴，，∴當(dāng)或時(shí)，，在，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）要證，只需證，∵，，∴，設(shè)，則，∴在單調(diào)遞增，，∴，得證.變式1-4．已知函數(shù)（1）求的極值點(diǎn)；（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）是的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)；（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn).（2）由題設(shè)知：在上恒成立，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最小值，即可求的范圍．【詳解】（1）由題設(shè)，，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增減；∴是的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).（2）由題設(shè)，對(duì)恒成立，即在上恒成立，令，則，∴時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增；∴，故.題型戰(zhàn)法二利用導(dǎo)數(shù)處理能成立問(wèn)題典例2．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的極小值為，當(dāng)時(shí)，有極大值．(1)求函數(shù)；(2)存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)和，解得即可得解；（2）轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，然后解不等式可得結(jié)果.(1)∵，由，得且，解得，，又，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿足題意,∴；(2)存在，使得，等價(jià)于，∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，在上遞增，又，，∴在上的最小值為，∴，解得或，所以的取值范圍是．變式2-1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2).【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，得出的定義域并對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出的單調(diào)區(qū)間；（2）將題意等價(jià)于在內(nèi)有解，設(shè)，即在上，函數(shù)，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，令，得出，分類討論與區(qū)間的關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)和最小值，結(jié)合，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)解：當(dāng)時(shí)，，可知的定義域?yàn)?，則，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)解：由題可知，存在，使得成立，等價(jià)于在內(nèi)有解，可設(shè)，即在上，函數(shù)，，令，即，解得：或（舍去），當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，得，又，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，得，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，即，不符合題意；綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式成立的綜合問(wèn)題：（1）利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，否則，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò)；利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，要注意分類討論和化歸思想的應(yīng)用；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的綜合問(wèn)題的一般步驟是：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間和最值，再進(jìn)行相應(yīng)證明.變式2-2．已知函數(shù)，設(shè)在點(diǎn)處的切線為（1）求直線的方程；（2）求證：除切點(diǎn)之外，函數(shù)的圖像在直線的下方；（3）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）y＝x﹣1；（2）見(jiàn)詳解；（3）（﹣∞，1）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義k切＝f′（1），進(jìn)而可得答案．（2）設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求導(dǎo)得h′（x），分析h（x）的單調(diào)性，最值，進(jìn)而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，則除切點(diǎn)（1，0）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max．【詳解】（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義k切＝f′（1）＝1，所以直線m的方程為y＝x﹣1．（2）證明：設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，p′（x）＝﹣﹣2x＜0，所以p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又p（1）＝0，所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以h（x）≤h（1）＝0，所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，若除切點(diǎn)（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，所以除切點(diǎn)（1，0）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，則若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，g′（x）＝＝，令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）?，令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，所以在（1，+∞）上，q（x）單調(diào)遞減，又q（1）＝0，所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）單調(diào)遞減，所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，又，所以a＜1，所以a的取值范圍為（﹣∞，1）．變式2-3．已知函數(shù)．（1）若在點(diǎn)處的切線斜率為．①求實(shí)數(shù)的值；②求的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】（1）①；②減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；（2）.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，①根據(jù)題意得到，即可求得的值；②由①知，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，以及極值的概念與計(jì)算，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)存在，使得成立，得到成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，①因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線斜率為，可得，解得.②由①得，令，即，解得；令，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，無(wú)極大值，綜上可得，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.（2）因?yàn)椋?，即，即，設(shè)根據(jù)題意知存在，使得成立，即成立，由，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式2-4．已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線在x=1處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若存在，使得，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）時(shí)，在單增；，在單增，在單減；（3）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，將切線橫坐標(biāo)代入得到斜率，再求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后寫(xiě)出切線方程；（2）求導(dǎo)后，通分，分兩種情況討論得到單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，代特值驗(yàn)證即可，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值大于0，解出即可.【詳解】由題意，所以所以切線方程為：.（2），若，則，在單增；若，則時(shí)，，單增；時(shí)，，單減.（3）由（2），若，則，滿足題意；若，，則，綜上：.題型戰(zhàn)法三利用導(dǎo)數(shù)處理恒、能成立結(jié)合問(wèn)題典例3．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;(2)若對(duì)任意的，均存在，使得，求a的取值范圍．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2).【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的區(qū)間單調(diào)性，進(jìn)而確定端點(diǎn)值和極值，比較它們的大小，即可得最值；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為、上，利用二次函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，即可得結(jié)果.(1)由題設(shè)，則，所以在上，遞增，在上，遞減，則，極大值，綜上，最大值為，最小值為.(2)由在上，根據(jù)題意，只需即可，由且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞增且值域?yàn)镽，所以滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，上，遞增；上，遞減；所以，此時(shí)，可得，綜上，a的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為、上求參數(shù)范圍.變式3-1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)．若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；(2).【解析】【分析】（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)的取值情況判斷的正負(fù)情況，進(jìn)而得到的增減情況；（2）對(duì)任意，存在，使得成立，等價(jià)于，然后對(duì)進(jìn)行討論，分別求函數(shù)的最值，進(jìn)而得到結(jié)論.(1)因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，與的變化情況如表所示：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為偶函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，,所以函數(shù)的最大值為．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，．對(duì)任意，存在，使得成立，等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，不合題意．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則，解得或，所以．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則，解得，所以.綜上所述，的取值范圍是．變式3-2．已知函數(shù)(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍．【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）求出，由得，再利用由、可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為時(shí)，，容易求出，所以只須，，討論、可得答案.(1)，由得，，由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)若要命題成立，只須當(dāng)時(shí)，，由可知當(dāng)時(shí)，所以只須對(duì)來(lái)說(shuō)，，（1）當(dāng)時(shí)，在上有，∴這時(shí)，由得；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，∴在遞減，，∴當(dāng)時(shí)，，綜上所述，滿足題意的.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)任意，均存在，使得，轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力.變式3-3．已知函數(shù)，f'x為的導(dǎo)函數(shù)．(1)求的定義域和導(dǎo)函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)，都有成立，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)，(2)在單減，也單減，無(wú)增區(qū)間(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)分母不等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及商的導(dǎo)數(shù)公式即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出答案；（3）若對(duì)，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.(1)解：的定義域?yàn)椋?2)解：當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以在和上遞減；(3)解：若對(duì)，都有成立，即，即，令，，則，對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故恒成立，在為減函數(shù)，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域?yàn)椋驗(yàn)榇嬖?，使成立，所以，，所以，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了不等式恒成立問(wèn)題，考查了計(jì)算能力及數(shù)據(jù)分析能力，對(duì)不等式恒成立合理變形轉(zhuǎn)化為求最值是解題關(guān)鍵.變式3-4．已知函數(shù)，其中.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在，使得對(duì)任意恒成立？若存在，請(qǐng)求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，，分，，由，求解；（2）將，對(duì)任意恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，令（），用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.(1)解：因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)由已知得，對(duì)任意恒成立，即為對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令（），則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，即，矛盾，故舍去；當(dāng)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以（），所以（）恒成立，令，則，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，又，，所以不存在整?shù)使得成立，綜上所述，不存在滿足條件的整數(shù)題型戰(zhàn)法四利用導(dǎo)數(shù)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)典例4．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合上，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得，分、，兩種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，得到結(jié)論.(1)解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得.當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，，f（x）的變化如下表：x00+0-f（x）極小值1極大值-1所以的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為.(2)解：由題意，函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以f（x）在上有0個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，可得.由可知存在唯一的使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，①?dāng)，即時(shí)，在上有0個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn).綜上可得，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn).變式4-1．已知(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或，1個(gè)零點(diǎn)；，2個(gè)零點(diǎn)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可求出的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，當(dāng)時(shí)顯然不成立，當(dāng)時(shí)，參變分離可得，令，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解；(1)解：因?yàn)?，，所以，令，，所以在單增，且，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)解：因?yàn)榱?，易知在上單調(diào)遞增，且，故的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為即，當(dāng)時(shí)無(wú)解，當(dāng)時(shí)，令，，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以的大致圖象如下：①當(dāng)即時(shí)，與沒(méi)有交點(diǎn)，故函數(shù)有0個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)或即或時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)即時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；變式4-2．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，分、討論得的單調(diào)性；（2）由題意得的解析式，求導(dǎo)，分當(dāng)、、、討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得答案.(1)由題意得的定義域?yàn)?，由，得，①若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)，定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，易知，取，則，又，所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，在上有唯一零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值，且，令，解得.則當(dāng)時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)?，，所以由零點(diǎn)存在定理知，在上有唯一零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.【點(diǎn)睛】本題求零點(diǎn)問(wèn)題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出在處有最小值并判斷的正負(fù)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理說(shuō)明存在零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.變式4-3．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則求出，利用導(dǎo)數(shù)分別研究當(dāng)、時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)，利用分類討論的思想方法和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)當(dāng)、時(shí)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.(1)由題意，得當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上有1個(gè)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以此時(shí)在上有2個(gè)零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)在上有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)在上無(wú)零點(diǎn).變式4-4．設(shè)函數(shù).(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由條件可知在（0，+∞）上恒成立，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2），參變分離后，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)和圖象，轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)由題意，函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.∵g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴在（0，+∞）上恒成立，.即當(dāng)，恒成立，∴，∵當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).∴當(dāng)時(shí)，∴.∴a的取值范圍為（-∞，2](2)顯然不是f（x）的零點(diǎn)，∴f（x）=，令，且則（x）=，..，，∴h（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，1），（1，+∞）單調(diào)遞增，∴在（0，1）時(shí)，h（x）有極小值；在（1，+∞）時(shí)，..∴h（x）的圖象如圖：∴時(shí)，f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；，f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；時(shí)，f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，..題型戰(zhàn)法五根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)典例5．已知，函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值：(2)若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可得的單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）根據(jù)單調(diào)性可知，則只需，解不等式即可.(1)由題意得：定義域?yàn)?，；令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.(2)由（1）知：的極小值即為的最小值，即；若無(wú)零點(diǎn)，則，即，，解得：，則的取值范圍為.變式5-1．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為，，減區(qū)間為；(2)﹒【解析】【分析】(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷f(x)單調(diào)性即可；(2)，根據(jù)(1)問(wèn)f(x)單調(diào)性作出f(x)近似圖像，問(wèn)題轉(zhuǎn)為為函數(shù)y＝－a與函數(shù)y＝f(x)圖像至多有兩個(gè)交點(diǎn).(1)依題意：，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；(2)令，得.∵，，結(jié)合f(x)單調(diào)性，作出f(x)圖像：∴至多有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與至多有兩個(gè)交點(diǎn).結(jié)合圖像可知，或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.變式5-2．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由（1）中所得函數(shù)的單調(diào)性，得極值，可結(jié)合函數(shù)的圖象得其與直線三個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的范圍．(1)由已知可得：，令，即，解得，，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由（1）可知的圖象的大致走勢(shì)及走向，如圖所示，又，，所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，方程有三個(gè)不等實(shí)根.變式5-3．已知函數(shù)（）(1)求在處的切線方程；(2)當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（2）首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.(1)，切點(diǎn)為.，，所以切線方程為：.(2)，令，解得，.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以的極大值為，極小值為.因?yàn)橛袀€(gè)零點(diǎn)時(shí)，所以，解得.變式5-4．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求在上的最小值；(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，即可求出函數(shù)解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最小值；（2）依題意有唯一解，即函數(shù)與只有1個(gè)交點(diǎn)，由（1）可得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍；(1)解：因?yàn)?，所以，在處取得極值，，即解得，，所以，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上的最小值為.(2)解：由（1）知，，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則方程有唯一解，即有唯一解，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，函數(shù)圖象如下所示：或，得或，即b的取值范圍為.題型戰(zhàn)法六利用導(dǎo)數(shù)證明一般不等式典例6．已知函數(shù)，，函數(shù)與函數(shù)的圖象在交點(diǎn)處有公共切線.（1）求、的值；（2）證明：.【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，所以有，又在交點(diǎn)處有公共切線，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，聯(lián)立即可求解.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性并根據(jù)單調(diào)性求出最大值，求得即可證明.【詳解】解：（1），，由題意得解得，；（2）證明：令，則，令，得，令，得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，所以，即.變式6-1．已知函數(shù)，．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而證得不等式成立.(1)，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即．(2)設(shè)，則．由（1）知，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，，．變式6-2．已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分類討論求解函數(shù)的極值即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為．令，即證：，再構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即可證明.(1)，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無(wú)極小值.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．(2)顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以，從而有．故，即．變式6-3．已知函數(shù)在處的極值為2，其中．（1）求，的值；（2）對(duì)任意的，證明恒有．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合極值存在條件即可求解.（2）由于，要證不等式成立，轉(zhuǎn)化為求解在時(shí)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】（1），由題意可得，解得.（2），令，，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減且，所以時(shí)，，所以，即證.變式6-4．已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）極大值為，沒(méi)有極小值；（2）證明見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)在時(shí)恒成立.【詳解】（1）,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減因此,當(dāng)時(shí),有極大值,并且極大值為，沒(méi)有極小值.（2）令函數(shù),由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.又故在存在唯一零點(diǎn).設(shè)為,則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減又，所以，當(dāng)時(shí),.故.題型戰(zhàn)法七利用導(dǎo)數(shù)證明含n的不等式典例7．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的極值；(2)①若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；極大值為，極小值為(2)①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用可求得的值，進(jìn)而得到，由導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）①當(dāng)和時(shí)，由導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，知，滿足題意；當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，可知，不合題意；由此可得的取值范圍；②由①可得，令，可得，采用裂項(xiàng)相消法可取得不等式右側(cè)的前項(xiàng)和，由此可得結(jié)論.(1)，又在處取得極值，，解得：，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，的極大值為；極小值為；綜上所述：；極大值為，極小值為.(2)①，令，則；（i）.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，，則在上單調(diào)遞增，又，恒成立，滿足題意；（ii）.當(dāng)，即或時(shí)，令，解得：，；當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，又，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.②由①知：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即；令，則，；，，即當(dāng)時(shí)，.變式7-1．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的最大值為，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)之后，按和分類討論即可（2）利用（1）的結(jié)論，先求得，從而得到不等式，再賦值累加，求和之后放縮即可證明(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上恒