必考題型高考數(shù)學(xué)：如何用好基本不等式

1、第5練如何用好基本不等式題型一利用基本不等式求解最大值、最小值問題例1(1)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)eq f(z,xy)取得最小值時，x2yz的最大值為()A0 B.eq f(9,8) C2 D.eq f(9,4)(2)函數(shù)yeq f(r(x1),x3r(x1)的最大值為_題型二利用基本不等式求最值的綜合性問題例2如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，eq f(1,2)到拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線的距離為eq f(5,4).點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m，n)在直線OM上(1)求曲線C的方程及t的值；(2)記deq

2、f(|AB|,r(14m2)，求d的最大值整理得y22my2m2m0，1小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()Aaveq r(ab) Bveq r(ab) C.eq r(ab)v2)在xa處取最小值，則a等于()A1eq r(2)B1eq r(3) C3D43設(shè)a0，b0，若eq r(3)是3a與3b的等比中項，則eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值為()A8 B4 C1 D.eq f(1,4)4已知maeq f(1,a2)(a2)，nx2(xeq f(1,2)，則m與n之間的大小關(guān)系為()Amn Cmn Dmn5已知正數(shù)x，y滿足x2eq r(2

3、xy)(xy)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為()A1 B2 C3 D46已知a0，b0，若不等式eq f(m,3ab)eq f(3,a)eq f(1,b)0恒成立，則m的最大值為()A4 B16 C9 D37若正實(shí)數(shù)x，y滿足2xy6xy，則xy的最小值是_8已知a0，b0，函數(shù)f(x)x2(aba4b)xab是偶函數(shù)，則f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為_9若對任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，則a的取值范圍是_10(1)已知0 x1)的最小值11如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykxe

4、q f(1,20)(1k2)x2 (k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由12為了響應(yīng)國家號召，某地決定分批建設(shè)保障性住房供給社會首批計劃用100萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元已知建筑第5層樓房時，每平方米建筑費(fèi)用為800元(1)若建筑第x層樓時，該樓房綜合費(fèi)用為y萬元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和)，

5、寫出yf(x)的表達(dá)式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)把樓層建成幾層？此時平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元？第5練如何用好基本不等式題型一利用基本不等式求解最大值、最小值問題例1(1)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)eq f(z,xy)取得最小值時，x2yz的最大值為()A0 B.eq f(9,8) C2 D.eq f(9,4)(2)函數(shù)yeq f(r(x1),x3r(x1)的最大值為_破題切入點(diǎn)(1)利用基本不等式確定eq f(z,xy)取得最小值時x，y，z之間的關(guān)系，進(jìn)而可求得x2yz的最大值(2)可采用換元法，將函數(shù)解析式進(jìn)行變形，利用基本不等式求解最值答

6、案(1)C(2)eq f(1,5)解析(1)eq f(z,xy)eq f(x23xy4y2,xy)eq f(x,y)eq f(4y,x)32eq r(f(x,y)f(4y,x)31，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時等號成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.故選C.(2)令teq r(x1)0，則xt21，所以yeq f(t,t213t)eq f(t,t2t4).當(dāng)t0，即x1時，y0；當(dāng)t0，即x1時，yeq f(1,tf(4,t)1)，因?yàn)閠eq f(4,t)2eq r(4)4(當(dāng)且僅當(dāng)t2時取等號)，所以yeq f(1,tf(4,t)1)eq f(1,5)，即y的最

7、大值為eq f(1,5)(當(dāng)t2，即x5時y取得最大值)題型二利用基本不等式求最值的綜合性問題例2如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，eq f(1,2)到拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線的距離為eq f(5,4).點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m，n)在直線OM上(1)求曲線C的方程及t的值；(2)記deq f(|AB|,r(14m2)，求d的最大值破題切入點(diǎn)(1)依條件，構(gòu)建關(guān)于p，t的方程；(2)建立直線AB的斜率k與線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，并表示弦AB的長度，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求d的最大值解(1)y22px(p0)的準(zhǔn)線xeq f

8、(p,2)，1(eq f(p,2)eq f(5,4)，peq f(1,2)，拋物線C的方程為y2x.又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，t1.(2)由(1)知，點(diǎn)M(1,1)，從而nm，即點(diǎn)Q(m，m)，依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的斜率為k(k0)且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由eq blcrc (avs4alco1(yoal(2,1)x1，,yoal(2,2)x2，)得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直線AB的方程為ymeq f(1,2m)(xm)，即x2my2m2m0.由eq blcrc (avs4alco1(x2my2m2m0，,y2x)消去x，整

9、理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.從而|AB|eq r(1f(1,k2)|y1y2|eq r(14m2)eq r(4m4m2)2eq r(14m2mm2)deq f(|AB|,r(14m2)2eq r(m1m)m(1m)1，當(dāng)且僅當(dāng)m1m，即meq f(1,2)時，上式等號成立又meq f(1,2)滿足4m4m20，d的最大值為1.總結(jié)提高(1)利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最大值、最小值時，注意觀察其是否具有“和為定值”或“積為定值”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)在具體題目中，一般很少直接考查基本不等式的應(yīng)用，而是需要將式子進(jìn)行變形，尋求其中的內(nèi)在關(guān)系，然后利用基本不等

10、式求出最值(2)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件若連續(xù)使用基本不等式求最值，必須保證兩次等號成立的條件一致，否則最值就取不到1小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()Aaveq r(ab)Bveq r(ab)C.eq r(ab)veq f(ab,2)Dveq f(ab,2)答案A解析設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s.ab，veq f(2s,f(s,a)f(s,b)eq f(2sab,abs)eq f(2ab,ab)eq f(a

11、2a2,ab)0，va.2若函數(shù)f(x)xeq f(1,x2) (x2)在xa處取最小值，則a等于()A1eq r(2)B1eq r(3)C3D4答案C解析x2，f(x)xeq f(1,x2)x2eq f(1,x2)22eq r(x2f(1,x2)24，當(dāng)且僅當(dāng)x2eq f(1,x2)，即x3時等號成立，即a3，f(x)min4.3設(shè)a0，b0，若eq r(3)是3a與3b的等比中項，則eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值為()A8B4C1D.eq f(1,4)答案B解析因?yàn)?a3b3，所以ab1.eq f(1,a)eq f(1,b)(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f

12、(1,a)f(1,b)2eq f(b,a)eq f(a,b)22eq r(f(b,a)f(a,b)4，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(b,a)eq f(a,b)，即abeq f(1,2)時等號成立4已知maeq f(1,a2)(a2)，nx2(xeq f(1,2)，則m與n之間的大小關(guān)系為()AmnCmnDmn答案C解析maeq f(1,a2)(a2)eq f(1,a2)24(a2)，當(dāng)且僅當(dāng)a3時，等號成立由xeq f(1,2)得x2eq f(1,4)，nx2eq f(1,x2)4即n(0,4，mn.5已知正數(shù)x，y滿足x2eq r(2xy)(xy)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為()A1B2C3D4答案B解析x

13、0，y0，x2y2eq r(2xy)(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時取等號)又由x2eq r(2xy)(xy)可得eq f(x2r(2xy),xy)，而eq f(x2r(2xy),xy)eq f(xx2y,xy)2，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時，eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2r(2xy),xy)max2.的最小值為2.6已知a0，b0，若不等式eq f(m,3ab)eq f(3,a)eq f(1,b)0恒成立，則m的最大值為()A4B16C9D3答案B解析因?yàn)閍0，b0，所以由eq f(m,3ab)eq f(3,a)eq f(1,b)0恒成立得m(eq f(3,a)eq f(1,b)(3ab)10e

14、q f(3b,a)eq f(3a,b)恒成立因?yàn)閑q f(3b,a)eq f(3a,b)2eq r(f(3b,a)f(3a,b)6，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，所以10eq f(3b,a)eq f(3a,b)16，所以m16，即m的最大值為16，故選B.7若正實(shí)數(shù)x，y滿足2xy6xy，則xy的最小值是_答案18解析x0，y0,2xy6xy，2eq r(2)eq r(xy)6xy，即xy2eq r(2)eq r(xy)60，解得xy18.xy的最小值是18.8已知a0，b0，函數(shù)f(x)x2(aba4b)xab是偶函數(shù)，則f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為_答案16解析根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函

15、數(shù)可得aba4b0，函數(shù)f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為ab.由aba4b0，得aba4b4eq r(ab)，解得ab16(當(dāng)且僅當(dāng)a8，b2時等號成立)，即f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為16.9若對任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，則a的取值范圍是_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(1,5)，)解析aeq f(x,x23x1)eq f(1,xf(1,x)3)對任意x0恒成立，設(shè)uxeq f(1,x)3，只需aeq f(1,u)恒成立即可x0，u5(當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號)由u5知0eq f(1,u)eq f(1,5)，aeq f(1,5).10(1)已知0

16、 x1)的最小值解(1)y2x5x2x(25x)eq f(1,5)5x(25x)0 xeq f(2,5)，5x0，5x(25x)(eq f(5x25x,2)21，yeq f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)5x25x，即xeq f(1,5)時，ymaxeq f(1,5).(2)設(shè)x1t，則xt1(t0)，yeq f(t127t110,t)teq f(4,t)52eq r(tf(4,t)59.當(dāng)且僅當(dāng)teq f(4,t)，即t2，且此時x1時，取等號，ymin9.11如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykxeq f(1

17、,20)(1k2)x2 (k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由解(1)令y0，得kxeq f(1,20)(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x0，又k0，故xeq f(20k,1k2)eq f(20,kf(1,k)eq f(20,2)10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時取等號所以炮的最大射程為10千米(2)因?yàn)閍0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k0，使3.2kaeq f(1,20)(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka264

18、0有正根判別式(20a)24a2(a264)00a6.所以當(dāng)a不超過6千米時，可擊中目標(biāo)12為了響應(yīng)國家號召，某地決定分批建設(shè)保障性住房供給社會首批計劃用100萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元已知建筑第5層樓房時，每平方米建筑費(fèi)用為800元(1)若建筑第x層樓時，該樓房綜合費(fèi)用為y萬元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和)，寫出yf(x)的表達(dá)式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)把樓層建成幾層？此時平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元？解(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為720元，建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為7201000720000(元)72(萬元)，樓房每升高一層，整層樓建筑