泰勒公式與極值問題市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

§4泰勒公式與極值問題就本節(jié)本身而言，引入高階偏導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)出泰勞公式需要；而泰勞公式除了用于近似計算外,又為建立極值判別準則作好了準備.三、極值問題

一、高階偏導(dǎo)數(shù)二、中值定理和泰勒公式第1頁一、高階偏導(dǎo)數(shù)假如它們關(guān)于x與y偏導(dǎo)數(shù)也導(dǎo)數(shù)有以下四種形式:存在,說明含有二階偏導(dǎo)數(shù)．二元函數(shù)二階偏第2頁類似地能夠定義更高階偏導(dǎo)數(shù),比如三階偏導(dǎo)數(shù)共有八種情形:第3頁解因為例1

第4頁所以有第5頁數(shù)為例2

第6頁注意在上面兩個例子中都有第7頁數(shù)為混合偏導(dǎo)數(shù)).不過這個結(jié)論并不對任何函數(shù)都成立，比如函數(shù)它一階偏導(dǎo)數(shù)為數(shù)相等(稱這種現(xiàn)有關(guān)于x,又有關(guān)于y高階偏導(dǎo)第8頁混合偏導(dǎo)數(shù):第9頁由此看到,這兩個混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序相關(guān).那么在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)呢?為此式.因為第10頁所以有第11頁類似地有這兩個累次極限相等.下述定理給出了使(1)與(2)相等一個充分條件．連續(xù)，則第12頁證令于是有(4)(3)第13頁由(4)則有(5)假如令第14頁則有用前面相同方法,又可得到(6)第15頁在且相等，這就得到所要證實(3)式．合偏導(dǎo)數(shù)都與求導(dǎo)次序無關(guān)．注2

這個定理對n元函數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)也成立.例

由定理假設(shè)都在點連續(xù),故當時,(7)式兩邊極限都存如三元函數(shù)以下六個三階混合偏導(dǎo)數(shù)第16頁若在某一點都連續(xù)，則它們在這一點都相等．今后在牽涉求導(dǎo)次序問題時,除尤其指出外,普通都假設(shè)對應(yīng)階數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)數(shù)一樣存在二階連續(xù)第17頁偏導(dǎo)數(shù).詳細計算以下:第18頁第19頁同理可得第20頁例3

改寫成以下形式:第21頁由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有自變量復(fù)合函數(shù)．所以第22頁第23頁二、中值定理和泰勒公式二元函數(shù)中值公式和泰勒公式,與一元函數(shù)拉

也有相同公式，只是形式上更復(fù)雜一些．先介紹凸區(qū)域若區(qū)域D上任意兩點連線都含于

D,則稱D為凸區(qū)域(圖17-6).這就是說,若D為一切恒有第24頁上連續(xù),在D全部內(nèi)點都可微,則對D內(nèi)任意兩定理17.8

(

中值定理)

設(shè)在凸區(qū)域圖17-6凸

非凸

第25頁一元連續(xù)函數(shù),且在(0,1)內(nèi)可微.依據(jù)一元函數(shù)其中中值定理，，使得(10)第26頁(9),(10)兩式即得所要證實(8)式．注若

D為嚴格凸區(qū)域，即，都有第27頁式成立(為何?)．公式(8)也稱為二元函數(shù)(在凸域上)中值公式.它與定理17.3中值公式(12)相比較,差異在于這請讀者作為練習(xí)自行證實此推論．第28頁分析將上式改寫成例4對應(yīng)用微分中值定理，證實存在某個第29頁之間應(yīng)用微分中值定理．計算偏導(dǎo)數(shù):證首先,當,有再第30頁定理17.9(泰勒定理)若在點內(nèi)任一點內(nèi)有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則對第31頁其中第32頁證類似于定理17.8證實，先引入輔助函數(shù)(11)式稱為

n階泰勒公式,并稱其中而首項也可看作情形.第33頁件，于是有由假設(shè)，上滿足一元函數(shù)泰勒公式條應(yīng)用復(fù)合求導(dǎo)法則,可求得各階導(dǎo)數(shù)以下:

(12)第34頁公式(11)．將(13),(14)兩式代入(12)式,就得到所求之泰勒時特殊情形.第35頁此時n階泰勒公式可寫作則僅需內(nèi)存在n階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)即可,第36頁將它們代入泰勒公式(15)，即有第37頁與§1例7結(jié)果(1.32)相比較，這是更靠近于真微分近似相當于現(xiàn)在一階泰勒公式．第38頁三、極值問題多元函數(shù)極值問題是多元函數(shù)微分學(xué)主要應(yīng)用,這里仍以二元函數(shù)為例進行討論.有定義.若極大值點、極小值點統(tǒng)稱極值點．極大

(或極小)

值點.極大值、極小值統(tǒng)稱極值;極第39頁注意這里討論極值點只限于定義域內(nèi)點．點,是g極大值點,但不是h極值點．這是因第40頁同極值;

也取相同極值.于是

得到二元函數(shù)取極值必要條件以下:定理17.10(極值必要條件)

若函數(shù)在點

值(注由定義可見,若在點取極值,則當固存在偏導(dǎo)數(shù),且在取得極值,則必有第41頁穩(wěn)定點.上述定理指出:偏導(dǎo)數(shù)存在時,極值點必是穩(wěn)定點.

但要注意:穩(wěn)定點并不都是極值點．在例6

中之所以只討論原點,就是因為原點是那三個函數(shù)惟一穩(wěn)定點；而對于函數(shù)h,原點雖為其穩(wěn)定點,但卻不是它極值點.與一元函數(shù)情形相同,多元函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在原點沒有偏導(dǎo)數(shù),但第42頁(17)定點,則有以下結(jié)論:第43頁于是有證由在二階泰勒公式，并注意到條件第44頁二次型連續(xù)函數(shù)(仍為一正定二次型)首先證實:當正定時，在點取得極小值．這是因為，此時對任何恒使第45頁極大值．因為所以在此有界閉域上存在最小值，于是有即在點取得極小值．第46頁亦取

則沿著過任何直線最終證實:當為不定矩陣時,在點不第47頁極小值,則將造成必須是正半定.也就是

或負半定，這與假設(shè)相矛盾．這表明必須是負半定.同理,倘若取系，定理17.11又可寫成以下比較實用形式——依據(jù)對稱矩陣定號性與其主子行列式之間關(guān)若如定理17.11所設(shè)，則有以下結(jié)論:第48頁是否取得極值．解由方程組例7取得極小值;取得極大值;第49頁例8

討論是否存在極值．第50頁得極值?因，故原點不是

極值點.又因處處可微，所以沒有極值點.

解輕易驗證原點是穩(wěn)定點,且故由定理17.11無法判斷在原點是否取得極值．但因為在原點任意小鄰域內(nèi),當時

第51頁由極值定義知道,極值只是函數(shù)一個局部性概念.想求出函數(shù)在有界閉域上最大值和最小值,方法與一元函數(shù)問題一樣：需先求出在該區(qū)域上全部穩(wěn)定點、無偏導(dǎo)數(shù)點處函數(shù)值,還有在區(qū)域邊界上這類特殊值；然后比較這些值,其中最大(小)者即為問題所求最大(小)值．以f(0,0)=0

不是極值(參見圖17-7)．第52頁例10

證實:圓全部外切三角形中,以正三角形

面積為最?。C如圖17-8所表示,設(shè)圓半徑為a,任一外切三角圖

17-8

圖17-7

第53頁式為其中.為求得穩(wěn)定點,令形為ABC,三切點處半徑相夾中心角分別為第54頁在定義域內(nèi),上述方程組僅有惟一解:二階偏導(dǎo)數(shù):第55頁此穩(wěn)定點處取得極小值．因為,面積函數(shù)S在定義域中處處存在偏正三角形面積為最小．解(i)

求穩(wěn)定點：解方程組導(dǎo)數(shù)，而詳細問題存在最小值，故外切三角形中以第56頁所以得穩(wěn)定點(ii)

求極值：因為黑賽矩陣為(iii)

求在上特殊值:當?shù)?7頁當，當，第58頁算出單調(diào)增,算出兩端值第59頁圖形,上面討論都能在圖中清楚地反應(yīng)出來．一點與一元函數(shù)是不相同，務(wù)請讀者注意！注本例中上即使只有惟一極值,且為極小值，但它并不所以成為上最小值．這第60頁圖17-9第61頁例12(最小二乘法問題)設(shè)經(jīng)過觀察或試驗得到一

上，即大致上可用直線方程來反應(yīng)變量x與y之間對應(yīng)關(guān)系(參見圖17-10).現(xiàn)要確定一直線,使得與這n個點偏差平方之和為最小(最小二乘方)．圖17-10第62頁解設(shè)所求直線方程為為此令第63頁把這組關(guān)于a,b線性方程加以整理并求解，得第64頁第