新高考數(shù)學二輪復(fù)習解答題培優(yōu)練習專題01 空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型題型歸類訓練)原卷版

專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：內(nèi)切球等體積法 3題型二：內(nèi)切球獨立截面法 3題型三：外接球公式法 4題型四：外接球補型法 4題型五：外接球單面定球心法 5題型六：外接球雙面定球心法 6三、專項訓練 7一、必備秘籍1．球與多面體的接、切定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是多面體的外接球。定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是多面體的內(nèi)切球。類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）例如：在四棱錐SKIPIF1<0中，內(nèi)切球為球SKIPIF1<0，求球半徑SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.類型二球的外接問題1、公式法正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點2、補形法（補長方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個垂直）題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）②對棱相等模型（補形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐SKIPIF1<0中，選中底面SKIPIF1<0，確定其外接圓圓心SKIPIF1<0（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心SKIPIF1<0）；②過外心SKIPIF1<0做（找）底面SKIPIF1<0的垂線，如圖中SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,則球心一定在直線（注意不一定在線段SKIPIF1<0上）SKIPIF1<0上；③計算求半徑SKIPIF1<0:在直線SKIPIF1<0上任取一點SKIPIF1<0如圖：則SKIPIF1<0，利用公式SKIPIF1<0可計算出球半徑SKIPIF1<0.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐SKIPIF1<0中：①選定底面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0②選定面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0③分別過SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂線，和SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂線，兩垂線交點即為外接球球心SKIPIF1<0.二、典型題型題型一：內(nèi)切球等體積法1．（22·23·全國·專題練習）正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）A．1：3 B．1：SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（22·23下·朔州·階段練習）正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為．3．（23·24上·萍鄉(xiāng)·期末）已知球O是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點P為正四面體表面上的一個動點，則SKIPIF1<0的取值范圍為.4．（22·23上·張家口·期中）球O為正四面體SKIPIF1<0的內(nèi)切球，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是球O的直徑，點M在正四面體SKIPIF1<0的表面運動，則SKIPIF1<0的最大值為．5．（22·23上·河南·階段練習）已知正四面體SKIPIF1<0的棱長為12，球SKIPIF1<0內(nèi)切于正四面體SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上關(guān)于球心SKIPIF1<0對稱的兩個點，則SKIPIF1<0的最大值為.6．（22·23上·揚州·期中）中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”的底面是邊長為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為4，則該“陽馬”的內(nèi)切球表面積為，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為．題型二：內(nèi)切球獨立截面法1．（23·24上·淮安·開學考試）球SKIPIF1<0是圓錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球，若球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則圓錐SKIPIF1<0體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（22·23下·咸寧·期末）已知球SKIPIF1<0內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑SKIPIF1<0，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<03．（22·23·全國·專題練習）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為SKIPIF1<0，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為.4．（23·24上·佛山·開學考試）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為SKIPIF1<0，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐的表面積為．5．（22·23下·成都·階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為SKIPIF1<0，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.題型三：外接球公式法1．（16·17·全國·單元測試）若長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為3,4,5,則該長方體的外接球表面積為()A．50π B．100π C．150π D．200π2．（22·23·全國·專題練習）設(shè)球SKIPIF1<0是棱長為4的正方體的外接球，過該正方體的棱的中點作球SKIPIF1<0的截面，則最小截面的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（14·15上·佛山·階段練習）正方體的外接球（正方體的八個頂點都在球面上）與其內(nèi)切球（正方體的六個面都與球相切）的體積之比是．題型四：外接球補型法1．（23·24上·成都·開學考試）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（22·23下·揭陽·期中）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（23·24上·成都·開學考試）已知四面體SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（22·23下·黔西·階段練習）正三棱錐SKIPIF1<0的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為.5．（22·23下·黔西·期中）如圖，已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求該三棱錐外接球的表面積是．

題型五：外接球單面定球心法1．（23·24上·漢中·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓的圓心，SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的表面積為．

2．（23·24上·秦皇島·開學考試）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在底面的射影SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為.3．（22·23下·石家莊·階段練習）已知球SKIPIF1<0是正四面體SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0與四面體SKIPIF1<0的體積比為.4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，側(cè)面SKIPIF1<0為等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為.題型六：外接球雙面定球心法1．（22·23上·撫州·期中）已知菱形SKIPIF1<0的各邊長為SKIPIF1<0.如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點SKIPIF1<0到達點SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的外接球上運動，且始終保持SKIPIF1<0則點SKIPIF1<0的軌跡的面積為.

2．（22·23·贛州·模擬預(yù)測）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點，其中SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0沿著DE翻折至SKIPIF1<0的位置，得到四棱錐SKIPIF1<0，則當四棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距離為.

3．（22·23下·湖南·期末）為加強學生對平面圖形翻折到空間圖形的認識，某數(shù)學老師充分利用習題素材開展活動，現(xiàn)有一個求外接球表面積的問題，活動分為三個步驟，第一步認識平面圖形：如圖（一）所示的四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.第二步：以SKIPIF1<0為折痕將SKIPIF1<0折起，得到三棱錐SKIPIF1<0，如圖（二）.第三步：折成的二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則活動結(jié)束后計算得到三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為.

三、專項訓練一、單選題1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測）已知直六棱柱的所有棱長均為2，且其各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（22·23下·寧德·期中）正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（23·24上·河北·開學考試）長方體的一個頂點上三條棱長是3，4，5，且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（22·23下·臨夏·期末）已知四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（23·24上·廣東·階段練習）如圖，在邊長為2的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起，使得SKIPIF1<0三點重合于點SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點均在球SKIPIF1<0的球面上，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（23·24上·安徽·開學考試）在封閉的等邊圓錐（軸截面為等邊三角形）內(nèi)放入一個球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（23·24上·莆田·階段練習）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點且SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（22·23·九江·一模）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題9．（23·24·柳州·模擬預(yù)測）已知圓錐的底