新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)2-5 利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)與隱零點(diǎn)（7題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（原卷版）

重難點(diǎn)2-5利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)與隱零點(diǎn)導(dǎo)數(shù)綜合問題中的零點(diǎn)問題在高考中常以解答壓軸題的形式出現(xiàn)。主要包含函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷與證明。主要考查：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍、與零點(diǎn)相關(guān)的不等式恒成立或證明問題等，在高考中難度偏大?！绢}型1判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】滿分技巧1、判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法（1）直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖。函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是函數(shù)圖象與SKIPIF1<0軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．（2）分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)SKIPIF1<0在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值，畫出草圖．函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．只需要用a與函數(shù)SKIPIF1<0的極值和最值進(jìn)行比較即可．2、處理函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖像的交點(diǎn)問題的常用方法（1）數(shù)形結(jié)合，即分別作出兩函數(shù)的圖像，觀察交點(diǎn)情況；（2）將函數(shù)交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程SKIPIF1<0根的個(gè)數(shù)問題，也通過構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，把交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，并作出草圖，根據(jù)草圖確定根的情況.【例1】（2023·湖北荊門·高三荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）SKIPIF1<0的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【變式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【變式1-2】（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．4B．5C．6D．7【變式1-3】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考一模）已知定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．4B．5C．3或4D．4或5【題型2討論證明函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】滿分技巧證明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法與判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法相似，多在解答題中進(jìn)行考察。利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。注意：?jiǎn)握{(diào)性+零點(diǎn)存在=唯一零點(diǎn)【例2】（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)是函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：SKIPIF1<0有唯一零點(diǎn)．【變式2-1】（2023·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線；（2）若對(duì)任意SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，證明函數(shù)SKIPIF1<0存在兩個(gè)零點(diǎn)．【變式2-2】（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0單調(diào)增區(qū)間；（2）討論SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【變式2-3】（2023·全國·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極值點(diǎn)，求SKIPIF1<0；（2）討論函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】滿分技巧1、分離參數(shù)SKIPIF1<0后，將原問題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的值域（最值）問題或轉(zhuǎn)化為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題（優(yōu)先分離、次選分類）求解；2、利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)造不等式求解；3、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解?！纠?】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個(gè)不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-1】（2024·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0有3個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-2】（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程SKIPIF1<0（2）若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍【變式3-3】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若SKIPIF1<0有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍.【題型4max、min函數(shù)的零點(diǎn)問題】【例4】（2022·江蘇徐州·高三期末）設(shè)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-1】（2022·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0.（1）若過點(diǎn)SKIPIF1<0可作SKIPIF1<0的兩條切線，求SKIPIF1<0的值.（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0中的最小值，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【變式4-2】（2022·福建龍巖·高三福建省龍巖第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）用SKIPIF1<0表示m，n的最大值，記SKIPIF1<0，討論函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【變式4-3】（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的最大值，記函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，討論函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【題型5導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】滿分技巧有關(guān)三角函數(shù)的零點(diǎn)問題處理主要手段有：（1）分段處理；（2）討論好單調(diào)性與端點(diǎn)（特殊點(diǎn)），注意高階函數(shù)的應(yīng)用，直接能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性；（3）關(guān)注有關(guān)三角函數(shù)不等式放縮，有時(shí)候可優(yōu)化解題，避免繁雜的找點(diǎn)過程：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【例5】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；（2）討論SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求證：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0．【變式5-2】（2023·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間;（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，試判斷函數(shù)SKIPIF1<0零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并加以證明.【變式5-3】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求證：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恰有兩個(gè)零點(diǎn).【題型6不含參函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題】滿分技巧1、不含參函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題的解策略：已知不含參函數(shù)SKIPIF1<0，導(dǎo)函數(shù)方程SKIPIF1<0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程SKIPIF1<0的根為SKIPIF1<0，則有：①關(guān)系式SKIPIF1<0成立；②注意確定SKIPIF1<0的合適范圍.2、“虛設(shè)零點(diǎn)”的具體操作方法：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程SKIPIF1<0，并結(jié)合SKIPIF1<0的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；這里應(yīng)注意，確定隱性零點(diǎn)范圍的方式是多種多樣的，可以由零點(diǎn)的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設(shè)直接得到，等等；至于隱性零點(diǎn)范圍精確到多少，由所求解問題決定，因此必要時(shí)盡可能縮小其范圍；第二步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0的正負(fù)，進(jìn)而得到SKIPIF1<0的最值表達(dá)式；這里應(yīng)注意，進(jìn)行代數(shù)式的替換過程中，盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對(duì)數(shù)函數(shù)式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入的關(guān)鍵；第三步：將零點(diǎn)方程SKIPIF1<0適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明；有時(shí)候第一步中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮?。畬?dǎo)函數(shù)零點(diǎn)雖然隱形，但只要抓住特征(零點(diǎn)方程)，判斷其范圍(用零點(diǎn)存在性定理)，最后整體代入即可．（即注意零點(diǎn)的范圍和性質(zhì)特征）【例6】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；（2）記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【變式6-1】（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；（2）證明：SKIPIF1<0．【變式6-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0恒成立，求整數(shù)SKIPIF1<0的最大值．【變式6-3】（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若函數(shù)SKIPIF1<0只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值所構(gòu)成的集合；（2）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值域.【題型7含參函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題】滿分技巧含參函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題解題策略：已知含參函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程SKIPIF1<0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程SKIPIF1<0的根為SKIPIF1<0，則有①有關(guān)系式SKIPIF1<0成立，該關(guān)系式給出了SKIPIF1<0的關(guān)系；②注意確定SKIPIF1<0的合適范圍，往往和SKIPIF1<0的范圍有關(guān).【例7】（2024·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程，（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，判斷SKIPIF1<0是否存在極值，并說明理由；（3）SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【變式7-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）討論SKIPIF1<0的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【變式7-2】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；（2）若SKIPIF1<0，證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【變式7-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，證明：SKIPIF1<0.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）若函數(shù)SKIPIF1<0恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·廣東中山·高三校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPI