2022年河北省石家莊市河正定中學高三最后一模數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．2．設為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知α，β是兩平面，l，m，n是三條不同的直線，則不正確命題是（）A．若m⊥α，n//α，則m⊥n B．若m//α，n//α，則m//nC．若l⊥α，l//β，則α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，則l//β4．已知實數(shù)滿足線性約束條件，則的取值范圍為（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]5．若,,,則下列結論正確的是()A． B． C． D．6．三棱柱中，底面邊長和側棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．設雙曲線的右頂點為，右焦點為，過點作平行的一條漸近線的直線與交于點，則的面積為（）A． B． C．5 D．68．已知定義在上的可導函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．9．如圖，在中，，且，則（）A．1 B． C． D．10．雙曲線：（，）的一個焦點為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．11．數(shù)列滿足：，，，為其前n項和，則（）A．0 B．1 C．3 D．412．如圖，正三棱柱各條棱的長度均相等，為的中點，分別是線段和線段的動點（含端點），且滿足，當運動時，下列結論中不正確的是A．在內(nèi)總存在與平面平行的線段B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．可能為直角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_______.14．若函數(shù)為奇函數(shù)，則_______.15．已知，則_____。16．（5分）在長方體中，已知棱長，體對角線，兩異面直線與所成的角為，則該長方體的表面積是____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和18．（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.19．（12分）為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡知識問卷調(diào)查，每一位學生家長僅有一次參加機會，現(xiàn)對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統(tǒng)計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.（1）請利用正態(tài)分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.20．（12分）已知兩數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的極值點；（2）當時，若恒成立，求的最大值．21．（12分）已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，點在拋物線上，直線與拋物線交于另一點.（1）設直線，的斜率分別為，，求證：常數(shù)；（2）①設的內(nèi)切圓圓心為的半徑為，試用表示點的橫坐標；②當?shù)膬?nèi)切圓的面積為時，求直線的方程.22．（10分）已知數(shù)列滿足（），數(shù)列的前項和，（），且，．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）求數(shù)列的通項公式．（3）設，記是數(shù)列的前項和，求正整數(shù)，使得對于任意的均有．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合即可得到結論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經(jīng)過點時最大，所以，故選D．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．2．A【解析】

利用復數(shù)的除法運算化簡，求得對應的坐標，由此判斷對應點所在象限.【詳解】，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點所在象限，屬于基礎題.3．B【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識，判斷A選項的正確性.由線面平行有關知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理，判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【詳解】A．若，則在中存在一條直線，使得，則，又，那么，故正確；B．若，則或相交或異面，故不正確；C．若，則存在，使，又，則，故正確．D．若，且，則或，又由，故正確．故選：B【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.4．B【解析】

作出可行域，表示可行域內(nèi)點與定點連線斜率，觀察可行域可得最小值．【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點與定點連線斜率，，，過與直線平行的直線斜率為－1，∴．故選：B．【點睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃．解題關鍵是理解非線性目標函數(shù)的幾何意義，本題表示動點與定點連線斜率，由直線與可行域的關系可得結論．5．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.6．B【解析】

設，，，根據(jù)向量線性運算法則可表示出和；分別求解出和，，根據(jù)向量夾角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【詳解】設棱長為1，，，由題意得：，，，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解，關鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉化為向量夾角的求解問題.7．A【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程求出右頂點、右焦點的坐標，再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程，通過解方程組求出點的坐標，最后利用三角形的面積公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知中：，因此右頂點的坐標為，右焦點的坐標為，雙曲線的漸近線方程為：，根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設點作平行的一條漸近線的直線與交于點，所以直線的斜率為，因此直線方程為：，因此點的坐標是方程組：的解，解得方程組的解為：，即，所以的面積為：.故選：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應用，考查了兩直線平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.8．A【解析】

構造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當時，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點睛】本小題主要考查構造函數(shù)法解不等式，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.9．C【解析】

由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關系，再由三點共線，又得到一個關于的關系，從而可求得答案【詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關知識，結合圖形尋找各向量間的關系，屬于中檔題.10．A【解析】

根據(jù)題意得到，化簡得到，得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：焦點到漸近線的距離為，故，故漸近線為.故選：.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，雙曲線的漸近線，意在考查學生的計算能力和轉化能力.11．D【解析】

用去換中的n，得，相加即可找到數(shù)列的周期，再利用計算.【詳解】由已知，①，所以②，①+②，得，從而，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用，在求時，先算出一個周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.12．D【解析】

A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項利用線面垂直的判定定理；C項三棱錐與三棱錐體積相等，三棱錐的底面積是定值，高也是定值，則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確；B項，如圖：當M、N分別在BB1、CC1上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正確；C項,當M、N分別在BB1、CC1上運動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確；D項,若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結構特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應用，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個，還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰?！驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽線的情況為3線全為陽線的一個，全為陰線的一個，1陰2陽的3個，1陽2陰的3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。∴從8個卦中任取2卦，共有種可能，兩卦中共2陽4陰的情況有，所求概率為。故答案為：?！军c睛】本題考查古典概型，解題關鍵是確定基本事件的個數(shù)。本題不能受八卦影響，我們關心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù)，這樣才能正確地確定基本事件的個數(shù)。14．-2【解析】

由是定義在上的奇函數(shù),可知對任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,,是奇函數(shù),則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.15．【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式與和角的正切公式。16．10【解析】

作出長方體如圖所示，由于，則就是異面直線與所成的角，且，在等腰直角三角形中，由，得，又，則，從而長方體的表面積為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）由化為，利用數(shù)列的通項公式和前n項和的關系，得到是首項為，公差為的等差數(shù)列求解.（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.【詳解】（1）可以化為，，，，又時，數(shù)列從開始成等差數(shù)列，，代入得是首項為，公差為的等差數(shù)列，，.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關系和錯位相減法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18．（1）平均數(shù)為360，眾數(shù)為330；（2）見詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加，再除以總的天數(shù)10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)．從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多，故為眾數(shù)；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對應的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學期望；（3）利用（1）（2）的結果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.（2）設乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機變量，則當時，當時，當時，當時，當時，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元)由（2）估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元).【點睛】本題考查頻率分布表的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題.19．（1）；（2）估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】

（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.（2）設某家長參加活動可獲贈話費為元，利用題設條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數(shù)額.【詳解】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，結合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據(jù)題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10，20，30，40元，且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費；得分不低于平均值，2次均獲贈10元話費，概率，得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈10元話費，另一次獲贈20元話費，其概率為，得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機會均獲20元話費，概率為.所以變量的分布列為：某家長獲贈話費的期望為.所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.【點睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，注意與正態(tài)分布有關的計算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對稱性來進行，本題屬于中檔題.20．（1）唯一的極大值點1，無極小值點．（2）1【解析】

（1）求出導函數(shù)，求得的解，確定此解兩側導數(shù)值的正負，確定極值點；（2）問題可變形為恒成立，由導數(shù)求出函數(shù)的最小值，時，無最小值，因此只有，從而得出的不等關系，得出所求最大值．【詳解】解：（1）定義域為，當時，，令得，當所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點，無極小值點．（2）當時，．若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，則，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以，所以，故的最大值為1．【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)極值，研究不等式恒成立問題．在求極值時，由確定的不一定是極值點，還需滿足在兩側的符號相反．不等式恒成立深深轉化為求函數(shù)的最值，這里分離參數(shù)法起關鍵作用．21．（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】

（1）設過的直線交拋物線于，，聯(lián)立，利用直線的斜率公式和韋