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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列的首項,且,其中,,,下列敘述正確的是()A.若是等差數(shù)列,則一定有 B.若是等比數(shù)列,則一定有C.若不是等差數(shù)列,則一定有 D.若不是等比數(shù)列,則一定有2.設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面3.已知復數(shù)z滿足,則z的虛部為()A. B.i C.–1 D.14.設函數(shù)定義域為全體實數(shù),令.有以下6個論斷:①是奇函數(shù)時,是奇函數(shù);②是偶函數(shù)時,是奇函數(shù);③是偶函數(shù)時,是偶函數(shù);④是奇函數(shù)時,是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù);⑥對任意的實數(shù),.那么正確論斷的編號是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤5.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上,平面,,若球的表面積為,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.6.已知平面向量,滿足且,若對每一個確定的向量,記的最小值為,則當變化時,的最大值為()A. B. C. D.17.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.8.點為棱長是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動點,點為的中點,若滿足,則動點的軌跡的長度為()A. B. C. D.9.設數(shù)列是等差數(shù)列,,.則這個數(shù)列的前7項和等于()A.12 B.21 C.24 D.3610.若、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.11.已知為虛數(shù)單位,實數(shù)滿足,則()A.1 B. C. D.12.網(wǎng)絡是一種先進的高頻傳輸技術,我國的技術發(fā)展迅速,已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機,現(xiàn)調(diào)查得到該款手機上市時間和市場占有率(單位:%)的幾組相關對應數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中,橫軸1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根據(jù)數(shù)據(jù)得出關于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢,則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%(精確到月)()A.2020年6月 B.2020年7月 C.2020年8月 D.2020年9月二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是__.14.在直三棱柱內(nèi)有一個與其各面都相切的球O1,同時在三棱柱外有一個外接球.若,,,則球的表面積為______.15.設第一象限內(nèi)的點(x,y)滿足約束條件,若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為_____.16.如圖,在復平面內(nèi),復數(shù),對應的向量分別是,,則_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.18.(12分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.19.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點,且過的直線與橢圓交于兩點,設且.(1)求點的坐標;(2)求的取值范圍.20.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列前項的和.21.(12分)在中,為邊上一點,,.(1)求;(2)若,,求.22.(10分)在極坐標系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點,求兩交點間的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進行判斷即可.【詳解】A:當時,,顯然符合是等差數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;B:當時,,顯然符合是等比數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;C:當時,因此有常數(shù),因此是等差數(shù)列,因此當不是等差數(shù)列時,一定有,故本說法正確;D:當時,若時,顯然數(shù)列是等比數(shù)列,故本說法不正確.故選:C【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,考查了推理論證能力,屬于基礎題.2.B【解析】
本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類的錯誤.3.C【解析】
利用復數(shù)的四則運算可得,即可得答案.【詳解】∵,∴,∴,∴復數(shù)的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、虛部概念,考查運算求解能力,屬于基礎題.4.A【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當是偶函數(shù),則,所以,所以是偶函數(shù);當是奇函數(shù)時,則,所以,所以是偶函數(shù);當為非奇非偶函數(shù)時,例如:,則,,此時,故⑥錯誤;故③④正確.故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義,掌握奇偶性定義是解題的關鍵,屬于基礎題.5.B【解析】
由題意畫出圖形,設球0得半徑為R,AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設球的半徑為,,,由,得.如圖:設三角形的外心為,連接,,,可得,則.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.則三棱錐的體積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側面積、體積,基本不等式等基礎知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力,考查數(shù)學轉化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法,是中檔題.6.B【解析】
根據(jù)題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設,則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當與圓相切時,有最大值設切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理的應用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應用,綜合性強,屬于難題.7.B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應該要分類討論,有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.8.C【解析】
設的中點為,利用正方形和正方體的性質(zhì),結合線面垂直的判定定理可以證明出平面,這樣可以確定動點的軌跡,最后求出動點的軌跡的長度.【詳解】設的中點為,連接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以動點的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長為2,所以內(nèi)切球的半徑為,建立如下圖所示的以為坐標原點的空間直角坐標系:因此有,設平面的法向量為,所以有,因此到平面的距離為:,所以截面圓的半徑為:,因此動點的軌跡的長度為.故選:C【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應用,考查了立體幾何中軌跡問題,考查了球截面的性質(zhì),考查了空間想象能力和數(shù)學運算能力.9.B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,由等差數(shù)列求和公式可得結果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列,,所以,即,又,所以,,故故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,性質(zhì),等差數(shù)列的和,屬于中檔題.10.C【解析】
作出不等式組所表示的可行域,平移直線,找出直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解,代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線,當直線經(jīng)過點時,該直線在軸上的截距最大,此時取最大值,即.故選:C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標函數(shù)的最值,一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結合思想的應用,屬于基礎題.11.D【解析】,則故選D.12.C【解析】
根據(jù)圖形,計算出,然后解不等式即可.【詳解】解:,點在直線上,令因為橫軸1代表2019年8月,所以橫軸13代表2020年8月,故選:C【點睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實際應用,基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題,是中檔題.14.【解析】
先求出球O1的半徑,再求出球的半徑,即得球的表面積.【詳解】解:,,,,設球O1的半徑為,由題得,所以棱柱的側棱為.由題得棱柱外接球的直徑為,所以外接球的半徑為,所以球的表面積為.故答案為:【點睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題,考查球的表面積的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.15.【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分,當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(8,10)時,目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而當且僅當時取等號,則的最小值為.16.【解析】試題分析:由坐標系可知考點:復數(shù)運算三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項公式;(2)利用錯位相減求和法可求出數(shù)列的前項和.【詳解】解:(1)由是遞增等比數(shù)列,,聯(lián)立,解得或,因為數(shù)列是遞增數(shù)列,所以只有符合題意,則,結合可得,∴數(shù)列的通項公式:;(2)由,∴;∴;那么,①則,②將②﹣①得:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項公式,考查了利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.18.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知,只需證明平面即可.由為菱形可得,連接和與的交點,由等腰三角形性質(zhì)可得,即能證得平面;(2)由題意知,平面,可建立空間直角坐標系,以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,再分別求出平面的法向量,平面的法向量,即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值.【詳解】(1)如圖,設與相交于點,連接,又為菱形,故,為的中點.又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等邊三角形,可得,故平面,所以,,兩兩垂直.如圖以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系.不妨設,則,,則,,,,,,設為平面的法向量,則即可取,設為平面的法向量,則即可取,所以.所以二面角的余弦值為0.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的應用,以及利用向量法求二面角,意在考查學生的直觀想象能力,邏輯推理能力和數(shù)學運算能力,屬于基礎題.19.(1);(2).【解析】
(1)設出的坐標,代入,結合在拋物線上,求得兩點的橫坐標,進而求得點的坐標.(2)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,結合,求得的表達式,結合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】(1)可知,設則,又,所以解得所以.(2)據(jù)題意,直線的斜率必不為所以設將直線方程代入橢圓的方程中,整理得,設則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又,所以令,則所以【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查直線和橢圓的位置關系,考查向量數(shù)量積的坐標運算,考查向量模的坐標運算,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力,屬于難題.20.(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通項公
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