高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.6 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 理 蘇教版

2.7對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、填空題1．函數(shù)f(x)＝eq\r(lgx－1)的定義域是________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0,lgx－1≥0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,x－1≥1.))所以x≥2.答案{x|x≥2}2．用“＜”“＞”填空：log0.27________log0.29；log35________log65；(lgm)1.9________(lgm)2.1(其中m>10)．解析對(duì)于log0.27與log0.29的大小比較，可利用函數(shù)y＝log0.2x在定義域內(nèi)單調(diào)減；對(duì)于log35與log65的大小比較，可先利用y＝log5x單調(diào)增，再結(jié)合倒數(shù)法則；而對(duì)于(lgm)1.9與(lgm)2.1的大小比較，要對(duì)lgm與1的大小關(guān)系進(jìn)行討論，因?yàn)閙>10，所以填“＜”．答案＞＞＜3.函數(shù)log在上的最大值與最小值之和為，則的值為.解析∵與y=log單調(diào)性相同且在上的最值分別在兩端點(diǎn)處取得.最值之和:f(0)loglog∴l(xiāng)og.∴.答案4．已知直線x＝2及x＝4與函數(shù)y＝log2x圖象的交點(diǎn)分別為A，B，與函數(shù)y＝lgx圖象的交點(diǎn)分別為C，D，則直線AB與CD的位置關(guān)系是________．解析由題意，得A(2,1)，B(4,2)，C(2，lg2)，D(4,2lg2)，所以直線AB與CD都經(jīng)過(0,0)，從而AB與CD相交于原點(diǎn)．答案相交且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)5．已知函數(shù)對(duì)任意的x∈R有f(x)＝f(－x)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ln(x＋1)，則函數(shù)f(x)的圖象大致為________．解析由f(x)＝f(－x)得f(x)是偶函數(shù)，得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．再由x＞0時(shí)，f(x)＝ln(x＋1)的圖象沿y軸翻折可得．答案6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)))，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x＜0.))若f(3－2a2)＞f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析畫圖象可得f(x)是(－∞，＋∞)上連續(xù)的單調(diào)減函數(shù)，于是由f(3－2a2)＞f(a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－eq\f(3,2)或a＞1.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪(1，＋∞)7．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2008)＋f(2009)的值為________．解析f(－2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.答案18.若函數(shù)f(x)=log在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.解析定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)因?yàn)樵O(shè)log在(0,1)上大于0恒成立,所以0<a<1.所以函數(shù)f(x)=log的單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕的遞減區(qū)間,即.答案【點(diǎn)評(píng)】本題采用了等價(jià)轉(zhuǎn)化法(換元法)，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，但應(yīng)注意定義域的限制．9．已知表中的對(duì)數(shù)值有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的.x35689lgx2a－a＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b試將錯(cuò)誤的對(duì)數(shù)值加以改正________．解析由2a－b＝lg3，得lg9＝2lg3＝2(2a－b)從而lg3和lg9正確，假設(shè)lg5＝a＋eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a－b－c＝lg6＝lg2＋lg3，,31－a－c＝lg8＝3lg2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg2＝1－a－c，,lg3＝2a－b，))所以lg5＝1－lg2＝a＋c.因此lg5＝a＋c－1錯(cuò)誤，正確結(jié)論是lg5＝a＋c.答案lg5＝a＋c10．若函數(shù)f(x)＝log(a2－3)(ax＋4)在[－1,1]上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析首先由a2－3>0，可得a>eq\r(3)或a<－eq\r(3).當(dāng)a>eq\r(3)時(shí)，函數(shù)g(x)＝ax＋4在[－1,1]上是增函數(shù)，則需a2－3>1，故a>2.又函數(shù)g(x)＝ax＋4>0在[－1,1]上恒成立，故g(－1)＝4－a>0，即2<a<4.當(dāng)a<－eq\r(3)時(shí)，函數(shù)g(x)＝ax＋4在[－1,1]上是減函數(shù)，則需0<a2－3<1，故－2<a<－eq\r(3).又函數(shù)g(x)＝ax＋4>0在[－1,1]上恒成立，故g(1)＝a＋4>0，即a>－4.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－2，－eq\r(3))∪(2,4)．答案(－2，－eq\r(3))∪(2,4)11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx＋1，x＞0.))若f(2－x2)＞f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．解析畫圖象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，于是由f(2－x2)＞f(x)，得2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.答案(－2,1)12．設(shè)min{p，q}表示p，q兩者中的較小者，若函數(shù)f(x)＝min{3－x，log2x}，則滿足f(x)＜eq\f(1,2)的集合為________．解析畫出y＝f(x)的圖象，且由log2x＝eq\f(1,2)，得x＝eq\r(2)；由3－x＝eq\f(1,2)，得x＝eq\f(5,2).從而由f(x)＜eq\f(1,2)，得0＜x＜eq\r(2)或x＞eq\f(5,2).答案(0，eq\r(2))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10.))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是________．解析a、b、c互不相等，不妨設(shè)a<b<c，由f(a)＝f(b)＝f(c)，及圖象可知0<a<1,1<b<10,10<c<12.因?yàn)閒(a)＝f(b)，所以|lga|＝|lgb|，所以lga＝－lgb，即lga＝lgeq\f(1,b)?a＝eq\f(1,b)，所以ab＝1,10<abc＝c<12.答案(10,12)二、解答題14．(1)若logaeq\f(4,5)<1(a>0且a≠1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若loga2<logb2<0，求a、b、1三數(shù)的大小關(guān)系．解析(1)當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，logaeq\f(4,5)<logaa，∴a>eq\f(4,5)，∴a>1.當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，logaeq\f(4,5)<logaa，∴0<a<eq\f(4,5)，∴0<a<eq\f(4,5).綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))∪(1，＋∞)．(2)用倒數(shù)法則將不等式loga2<logb2<0改寫成0>log2a>log2b，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得0＜b＜a15．已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)若方程f(x)－m＝0有解，求m的取值范圍．解析(1)由函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函數(shù)，可知f(x)＝f(－x)．所以log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx，即log4eq\f(4x＋1,4－x＋1)＝－2kx.所以log44x＝－2kx.所以x＝－2kx對(duì)x∈R恒成立．所以k＝－eq\f(1,2).(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－eq\f(1,2)x，所以m＝log4eq\f(4x＋1,2x)＝log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2x))).因?yàn)?x＋eq\f(1,2x)≥2，所以m≥eq\f(1,2).故要使方程f(x)－m＝0有解，m的取值范圍是m≥eq\f(1,2).16．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性，并給出證明；(3)當(dāng)a＞1時(shí)，求使f(x)＞0的x的取值范圍．解析(1)因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,1－x＞0，))所以－1＜x＜1，所以f(x)的定義域?yàn)?－1,1)．(2)f(x)為奇函數(shù)．因?yàn)閒(x)定義域?yàn)?－1,1)，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．(3)因?yàn)楫?dāng)a＞1時(shí)，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，所以f(x)＞0?eq\f(x＋1,1－x)＞1，解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的取值范圍是(0,1)．17．已知函數(shù)f(x)＝x＋log3eq\f(x,4－x).(1)求f(x)＋f(4－x)的值；(2)猜想函數(shù)f(x)的圖象具有怎樣的對(duì)稱性，并證明你的結(jié)論．解析(1)f(x)＋f(4－x)＝x＋log3eq\f(x,4－x)＋4－x＋log3eq\f(4－x,4－4－x)＝4＋log3eq\f(x,4－x)＋log3eq\f(4－x,x)＝4.(2)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)P(2,2)對(duì)稱．證明設(shè)Q(x，y)為函數(shù)f(x)＝x＋log3eq\f(x,4－x)圖象上任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)P(2,2)的對(duì)稱點(diǎn)為Q1(x1，y1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋x1＝4，,y＋y1＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝4－x，,y1＝4－y，))所以f(x1)＝x1＋log3eq\f(x1,4－x1)＝4－x＋log3eq\f(4－x,x)＝4－x－log3eq\f(x,4－x)＝4－y＝y(tǒng)1，所以函數(shù)y＝f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)P(2,2)對(duì)稱．18．函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x＋1)＝f(x－1)成立．已知當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．(1)求x∈[－1,1]時(shí)，函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)求x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式；(3)若函數(shù)f(x)的最大值為eq\f(1,2)，在區(qū)間[－1,3]上，解關(guān)于x的不等式f(x)>eq\f(1,4).解析(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是R上的偶函數(shù)得f(x＋2)＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＋x，x∈[－1，0]，,loga2－x，x∈0，1].))(2)當(dāng)x∈[2k－1,2k]時(shí)，f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)．同理，當(dāng)x∈(2k,2k＋1]時(shí)，f(x)＝lo