第2章 因子分析課件

第二章因子分析第一節(jié)引言第二節(jié)因子分析模型

第三節(jié)因子載荷矩陣求解

第四節(jié)公因子重要性的分析

第五節(jié)實(shí)例分析與計算機(jī)實(shí)現(xiàn)

第2章_因子分析第一節(jié)引言一般認(rèn)為因子分析是從CharlesSpearman在1904年發(fā)表的文章《對智力測驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計分析》開始，他提出這種方法用來解決智力測驗(yàn)得分的統(tǒng)計方法。目前因子分析在心理學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中都取得了成功的應(yīng)用，是多元統(tǒng)計分析中典型方法之一。因子分析(factoranalysis)也是一種降維、簡化數(shù)據(jù)的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個“抽象”的變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而因子一般是不可觀測的潛在變量。第2章_因子分析例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評價中，消費(fèi)者可以通過一系列指標(biāo)構(gòu)成的一個評價指標(biāo)體系，評價百貨商場的各個方面的優(yōu)劣。但消費(fèi)者真正關(guān)心的只是三個方面：商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。這三個方面除了價格外，商店的環(huán)境和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測量，只能通過其它具體指標(biāo)進(jìn)行間接反映。因子分析就是一種通過顯在變量測評潛在變量，通過具體指標(biāo)測評抽象因子的統(tǒng)計分析方法。又比如，在研究區(qū)域社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，描述社會與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)很多，過多的指標(biāo)容易導(dǎo)致分析過程復(fù)雜化。一個合適的做法就是從這些關(guān)系錯綜復(fù)雜的社會經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中提取少數(shù)幾個主要因子，每一個主要因子都能反映相互依賴的社會經(jīng)濟(jì)指標(biāo)間共同作用，抓住這些主要因素就可以幫助我們對復(fù)雜的社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展問題進(jìn)行深入分析、合理解釋和正確評價。第2章_因子分析因子分析的內(nèi)容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子分析和Q型因子分析。R型的因子分析是對變量作因子分析，Q型因子分析是對樣品作因子分析。本章側(cè)重討論R型因子分析。第2章_因子分析第二節(jié)因子分析模型一因子分析的數(shù)學(xué)模型

二因子載荷陣的統(tǒng)計意義

第2章_因子分析一、因子分析的數(shù)學(xué)模型第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析無論是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m<p，m<n，因此，因子分析與主成分分析一樣，也是一種降低變量維數(shù)的方法。我們下面將看到，因子分析的求解過程同主成分分析類似，也是從一個協(xié)方差陣出發(fā)的。因子分析與主成分分析有許多相似之處，但這兩種模型又存在明顯的不同。主成分分析的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上是一種線性變換，是將原始坐標(biāo)變換到變異程度大的方向上去，相當(dāng)于從空間上轉(zhuǎn)換觀看數(shù)據(jù)的角度，突出數(shù)據(jù)變異的方向，歸納重要信息。而因子分析從本質(zhì)上看是從顯在變量去“提練”潛在因子的過程。正因?yàn)橐蜃臃治鍪且粋€提練潛在因子的過程，因子的個數(shù)m取多大是要通過一定規(guī)則確定的，并且因子的形式也不是唯一確定的。一般說來，作為“自變量”的因子F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m是不可直接觀測的。這里我們應(yīng)該注意幾個問題。第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析二、因子載荷陣的統(tǒng)計意義前面的因子分析模型中出現(xiàn)了一個概念叫因子載荷矩陣，實(shí)際上因子載荷矩陣存在明顯的統(tǒng)計意義。為了對因子分析過程和計算結(jié)果做詳細(xì)的解釋，我們對因子載荷矩陣的統(tǒng)計意義加以說明。第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第三節(jié)因子載荷矩陣求解一因子載荷矩陣的求解二約相關(guān)陣的估計

第2章_因子分析一、因子載荷矩陣的求解

第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析這樣在模型上就解決了從約相關(guān)陣R*出發(fā)求載荷矩陣A第2章_因子分析二、約相關(guān)陣的估計

第2章_因子分析

第2章_因子分析

第2章_因子分析第2章_因子分析2024/8/15

主成分法

用主成分法確定因子載荷是在進(jìn)行因子分析之前先對數(shù)據(jù)進(jìn)行一次主成分分析，然后把前面幾個主成分作為未旋轉(zhuǎn)的公因子。相對于其它確定因子載荷的方法而言，主成分法比較簡單。但是由于用這種方法所得的特殊因子之間并不相互獨(dú)立，因此，用主成分法確定因子載荷不完全符合因子模型的假設(shè)前提，也就是說所得的因子載荷并不完全正確。但是當(dāng)共同度較大時，特殊因子所起的作用較小，因而特殊因子之間的相關(guān)性所帶來的影響就幾乎可以忽略。事實(shí)上，很多有經(jīng)驗(yàn)的分析人員在進(jìn)行因子分析時，總是先用主成分法進(jìn)行分析，然后再嘗試其他的方法。第2章_因子分析2024/8/15中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心式中，為隨機(jī)向量的相關(guān)矩陣的特征值所對應(yīng)的特征向量的分量，因?yàn)樘卣飨蛄恐g彼此正交，從到的轉(zhuǎn)換關(guān)系是可逆的，很容易得出由到的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

用主成分法尋找公因子的方法如下：假定從相關(guān)陣出發(fā)求解主成分，設(shè)有個變量，則我們可以找出個主成分。將所得的個主成分按由大到小的順序排列，記為，則主成分與原始變量之間存在如下關(guān)系式:第2章_因子分析(1)我們對上面每一等式只保留前個主成分而把后面的部分用代替，則（1）式變?yōu)椋?/p>

(2)第2章_因子分析這與因子模型完全一致，這樣，就得到了載荷矩陣和一組初始公因子（未旋轉(zhuǎn)）。

式（2）在形式上已經(jīng)與因子模型相一致，且（）之間相互獨(dú)立，且與之間相互獨(dú)立，為了把轉(zhuǎn)化成合適的公因子，現(xiàn)在要做的工作只是把主成分變?yōu)榉讲顬?的變量。為完成此變換，必須將除以其標(biāo)準(zhǔn)差，由上一章主成分分析的知識知其標(biāo)準(zhǔn)差即為特征根的平方根。于是，令，，則(2)式變?yōu)椋旱?章_因子分析2024/8/15中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心一般設(shè)為樣本相關(guān)陣的特征根，為對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量。設(shè)，則因子載荷矩陣的一個解為：共同度的估計為：

那么如何確定公因子的數(shù)目呢？一般而言，這取決于問題的研究者本人，對于同一問題進(jìn)行因子分析時，不同的研究者可能會給出不同的公因子數(shù)；當(dāng)然，有時候由數(shù)據(jù)本身的特征可以很明確地確定出因子數(shù)目。當(dāng)用主成分法進(jìn)行因子分析時，也可以借鑒確定主成分個數(shù)的準(zhǔn)則，如所選取的公因子的信息量的和達(dá)到總體信息量的一個合適比例為止。但對這些準(zhǔn)則不應(yīng)生搬硬套，應(yīng)按具體問題具體分析，總之要使所選取的公因子能夠合理地描述原始變量相關(guān)陣的結(jié)構(gòu)，同時要有利于因子模型的解釋。第2章_因子分析第四節(jié)公因子重要性的分析一因子旋轉(zhuǎn)

二因子得分第2章_因子分析一、因子旋轉(zhuǎn)因子分析的目標(biāo)之一就是要對所提取的抽象因子的實(shí)際含義進(jìn)行合理解釋。有時直接根據(jù)特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。例如，可能有些變量在多個公共因子上都有較大的載荷，有些公共因子對許多變量的載荷也不小，說明它對多個變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對因子的實(shí)際背景進(jìn)行合理的解釋。這時需要通過因子旋轉(zhuǎn)的方法，使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小，至多達(dá)到中等大小。這時對于每個公共因子而言（即載荷矩陣的每一列），它在部分變量上的載荷較大，在其它變量上的載荷較小，使同一列上的載荷盡可能地向靠近1和靠近0兩極分離。這時就突出了每個公共因子和其載荷較大的那些變量的聯(lián)系，矛盾的主要方面顯現(xiàn)出來了，該公共因子的含義也就能通過這些載荷較大變量做出合理的說明，這樣也顯示了該公共因子的主要性質(zhì)。第2章_因子分析

第2章_因子分析第2章_因子分析

第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析當(dāng)m>2時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進(jìn)行上述旋轉(zhuǎn)。對公因子Fl和Fk進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，就是對A的第l和k兩列進(jìn)行正交變換，使這兩列元素平方的相對方差之和達(dá)到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析二、因子得分

第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第五節(jié)實(shí)例分析與計算機(jī)實(shí)現(xiàn)一利用SPSS進(jìn)行因子分析二因子分析在市場研究中的應(yīng)用第2章_因子分析一、利用SPSS進(jìn)行因子分析

第2章_因子分析

（一）操作步驟

1.在SPSS窗口中選擇Analyze→DataReduction→Factor，調(diào)出因子分析主界面圖(7.1)，并將變量X1—X13移入Variables框中。圖7.1因子分析主界面第2章_因子分析 2.點(diǎn)擊Descriptives按鈕，展開相應(yīng)對話框，見圖7.2。選擇Initialsolution復(fù)選項(xiàng)。這個選項(xiàng)給出各因子的特征值、各因子特征值占總方差的百分比以及累計百分比。單擊Continue按鈕，返回主界面。圖7.2Descriptives子對話框第2章_因子分析 3.點(diǎn)擊Extraction按鈕，設(shè)置因子提取的選項(xiàng)，見圖7.3。在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，SPSS提供了七種提取方法可供選擇，一般選擇默認(rèn)選項(xiàng)，即“主成分法”。在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關(guān)矩陣和協(xié)方差矩陣。在Display欄中指定與因子提取有關(guān)的輸出項(xiàng)，如未旋轉(zhuǎn)的因子載荷陣和因子的碎石圖。在Extract欄中指定因子提取的數(shù)目，有兩種設(shè)置方法：一種是在Eigenvaluesover后的框中設(shè)置提取的因子對應(yīng)的特征值的范圍，系統(tǒng)默認(rèn)值為1，即要求提取那些特征值大于1的因子；第二種設(shè)置方法是直接在Numberoffactors后的矩形框中輸入要求提取的公因子的數(shù)目。這里我們均選擇系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)，單擊Continue按鈕，返回主界面。第2章_因子分析圖7.3Extraction子對話框第2章_因子分析 4.點(diǎn)擊Rotation按鈕，設(shè)置因子旋轉(zhuǎn)的方法。這里選擇Varimax(方差最大旋轉(zhuǎn))，并選擇Display欄中的Rotatedsolution復(fù)選框，在輸出窗口中顯示旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣。單擊Continue按鈕，返回主界面。圖7.4Rotation子對話框第2章_因子分析 5.點(diǎn)擊Scores按鈕，設(shè)置因子得分的選項(xiàng)。選中Saveasvariables復(fù)選框，將因子得分作為新變量保存在數(shù)據(jù)文件中。選中Displayfactorscorecoefficientmatrix復(fù)選框，這樣在結(jié)果輸出窗口中會給出因子得分系數(shù)矩陣。單擊Continue按鈕返回主界面。

6.單擊OK按鈕，運(yùn)行因子分析過程。圖7.5Scores子對話框第2章_因子分析

（二）主要運(yùn)行結(jié)果解釋

1.Communalities（給出變量共同度）變量共同度反映每個變量對所提取的所有公共因子的依賴程度，此數(shù)值是因子載荷陣中每一行的因子載荷量的平方和，提取的因子個數(shù)不同，變量共同度也不同。

2.TotalVarianceExplained（給出各公因子方差貢獻(xiàn)表）InitialEigenvalues給出初始相關(guān)矩陣或協(xié)差陣矩陣的特征值，用于確定哪些因子應(yīng)該被提取，共有三項(xiàng)：Total列為各因子對應(yīng)的特征值，本例中共有四個因子對應(yīng)的特征值大于1，因此應(yīng)提取相應(yīng)的四個公因子；%ofVariance列為各因子的方差貢獻(xiàn)率；Cumulative%列為各因子的累積方差貢獻(xiàn)率，由表7.1可以看出，前四個因子已經(jīng)可以解釋89.651%的方差。RotationSumsofSquaredLoadings給出提取出的公因子經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的方差貢獻(xiàn)情況。第2章_因子分析表7.1特征根與方差貢獻(xiàn)率表

第2章_因子分析

第2章_因子分析表7.2旋轉(zhuǎn)前因子載荷陣第2章_因子分析第2章_因子分析表7.3旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣

第2章_因子分析第2章_因子分析注意：在因子表達(dá)式中的各變量為進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換后的標(biāo)準(zhǔn)變量，均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。

7.由于我們已經(jīng)在Scores子對話框中選擇了Saveasvariables復(fù)選框，因此，因子得分已經(jīng)作為新的變量保存在數(shù)據(jù)文件中，變量名分別為fac1_1、fac2_1、fac3_1和fac4_1。此后，我們還可以利用因子得分進(jìn)行其他的統(tǒng)計分析。第2章_因子分析表7.4因子得分系數(shù)矩陣

第2章_因子分析二、因子分析在市場研究中的應(yīng)用表7.5是研究消費(fèi)者對購買牙膏偏好的調(diào)查數(shù)據(jù)。通過市場的攔截訪問，用7級量表詢問受訪者對以下陳述的認(rèn)同程度（1表示非常不同意，7表示非常同意）。

V1：購買預(yù)防蛀牙的牙膏是重要的；

V2：我喜歡使牙齒亮澤的牙膏