內(nèi)蒙古通遼市科左后旗甘旗卡第二高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理含解析

PAGE14-內(nèi)蒙古通遼市科左后旗甘旗卡其次高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.留意：1.答卷前，將姓名、考號(hào)填在答題卡的密封線內(nèi).2.答案必需寫在答題卡上，在試題卷上答題無(wú)效.第Ⅰ卷（選擇題60共分）一、選擇題（每題5分）1.sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（）A. B.－ C.－ D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用兩角差正弦公式可得答案.【詳解】sin53°cos23°－cos53°sin23°=.故選：A.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.5 B.10 C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得答案．詳解】依據(jù)題意，等差數(shù)列中，有，若，則；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)（其中m+n=p+q）的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可得，從而可解得的值.【詳解】，且，則，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直數(shù)量積為零求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.4.由，確定的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，序號(hào)等于（）A.99 B.100 C.96 D.101【答案】B【解析】【分析】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由列出方程求解n即可.【詳解】，，若，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】平方即可.【詳解】，，又，且，所以，.故選:A【點(diǎn)睛】是求向量模的常用方法.6.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用正弦定理，結(jié)合題中所給的條件，求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)正弦定理可得，即，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題目.7.已知A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因?yàn)椋xC8.在中，角所對(duì)的邊分別為，表示的面積，若，，則等于（）A.90° B.60° C.45° D.30°【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解【詳解】由和正弦定理，得，①則由，得，即，又因?yàn)樵谥?，解得，代入①得，，又因?yàn)樵谥?，，又由，得，進(jìn)而可求得故選：A9.在△ABC中，若，則△ABC的形態(tài)（）A.直角三角形 B.等腰或直角三角形C.不能確定 D.等腰三角形【答案】B【解析】【詳解】由正弦定理，得，，又因?yàn)椋曰?，即或，所以是等腰三角形或直角三角?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理推斷三角形形態(tài)，屬于中檔題.推斷三角形態(tài)的常見方法是：（1）通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；（3）依據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.10.若的內(nèi)角、、所對(duì)的邊，，滿意，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)余弦定理可得得，整理可得，通過(guò)配方即可得解.詳解】由余弦定理，得，即，所以，解得.故選：C.11.若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式干脆化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值、二倍角公式化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題.12.在中，，分別為邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件可得為的重心，可得，在中，將用表示，進(jìn)而表示出，即可求解.【詳解】，分別為邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為的重心，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量加減法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.第Ⅱ卷（選擇題90共分）二、填空題（每題5分）13.若，則__________．【答案】【解析】【分析】干脆利用余弦的二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.等差數(shù)列中，，，則__________.【答案】11【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出，，即可求出.【詳解】解：等差數(shù)列中，，，，解得，，．故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．15.已知、為平面對(duì)量，，，則與夾角的余弦值等于______．【答案】【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)以及計(jì)算出，然后計(jì)算出、以及的值，最終通過(guò)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，所以，即與夾角的余弦值等于，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的余弦值的求法，考查向量的數(shù)量積公式以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查平面對(duì)量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，若，，則，考查計(jì)算實(shí)力，是簡(jiǎn)潔題.16.關(guān)于函數(shù)，有下列說(shuō)法：①的最大值為；②是以為最小正周期的周期函數(shù)；③在區(qū)間()上單調(diào)遞減；④將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是______．【答案】①②③【解析】【詳解】解：由題意可得：，故，故①正確；,故②正確；可得當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，解得，故③正確；的圖象向左平移可得，故④不正確；故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性及誘導(dǎo)公式等內(nèi)容，嫻熟駕馭三角函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵.三、解答題17.已知向量.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)k.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案；（2）由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算條件可得答案.【詳解】（1）·（2），，∵，∴，解之得：·【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.18.已知等差數(shù)列中（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）當(dāng)n取何值時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最值，并求出最值．【答案】當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列定義及的值，代入即可求得公差，即可得通項(xiàng)公式．（2）依據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得，利用配方法得關(guān)于n的二次函數(shù)，即可推斷最值，留意n取正整數(shù)．【詳解】∴當(dāng)或時(shí)取最小值，最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，結(jié)合“裂項(xiàng)法”，即可求解.【詳解】（1）由題意，等差數(shù)列中，公差，∴，又由，即.（2）由（1）知，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的求和公式，以及嫻熟應(yīng)用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.20.如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．【答案】（1）24；（2）8【解析】【分析】（1）利用已知條件，利用正弦定理求得AD長(zhǎng)．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【詳解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD?ACcos30°，解得CD=．所以A處與D處之間的距離為24nmile，燈塔C與D處之間的距離為nmile．【點(diǎn)睛】點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)依據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．(3)依據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，留意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.21.設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值.【答案】（1）；（2）最小值，最大值為.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、兩角和與差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解．（2）求出的取值范圍，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)得最值．【詳解】（1），∴的最小正周期是（2）時(shí)，，此時(shí).最大值為，此時(shí)，，最小值為，此時(shí)，.綜上，的最小值為，最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用二倍角公式、兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)的形態(tài)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解，難度屬于中檔題22.△ABC中，是角A，B，C所對(duì)的邊，已知，（1）求角A的大??；（2）當(dāng)a=1，求△ABC中的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）△ABC中的周長(zhǎng)的取值范圍是.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定邊化角，并利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到，求得，進(jìn)而得解；（2）當(dāng)a=1，由正弦定理得，△ABC中的周長(zhǎng)為消去，并正用和逆用兩角和差的正弦公式化為,然后