新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)章節(jié)專題模擬卷第九章 排列組合與二項(xiàng)式定理（解析卷）

排列組合與二項(xiàng)式定理本試卷22小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2023·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．7或9【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：D．2．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）SKIPIF1<0展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0展開式的常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0.故選：A.3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）將4個(gè)6和2個(gè)8隨機(jī)排成一行，則2個(gè)8不相鄰的情況有（

）A．480種 B．240種 C．15種 D．10種【答案】D【解析】將2個(gè)8插空放入不相鄰的5個(gè)空位（4個(gè)6之間有5個(gè)空位）中有SKIPIF1<0方法，故2個(gè)8不相鄰的情況有SKIPIF1<0種.故選：D4．（2023·山東青島二模）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（

）A．85 B．5 C．-5 D．-85【答案】A【解析】SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0．故選：A．5．（2023·山東濱州·統(tǒng)考一模）從SKIPIF1<0名大學(xué)畢業(yè)生中選SKIPIF1<0人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有SKIPIF1<0人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】分別在甲、乙有且僅有SKIPIF1<0人入選和甲、乙SKIPIF1<0人都入選的情況下確定選法種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】甲、乙有且僅有SKIPIF1<0人入選、丙沒(méi)有入選的情況有：SKIPIF1<0種；甲、乙SKIPIF1<0人都入選、丙沒(méi)有入選的情況有：SKIPIF1<0種；SKIPIF1<0甲、乙至少有SKIPIF1<0人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)有SKIPIF1<0種.故選：C.6．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字SKIPIF1<0的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有（

）A．96種 B．64種 C．32種 D．16種【答案】B【解析】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，第一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1，4或2，3中的一組，共有SKIPIF1<0種排法；第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有SKIPIF1<0種排法；第三步，排數(shù)字5和6，共有SKIPIF1<0種排法；由分步計(jì)數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B.7．（2023廣東佛山一中4月一模）定義:兩個(gè)正整數(shù),,若它們除以正整數(shù)所得的余數(shù)相等,則稱,對(duì)于模同余,記作,比如:.已知,滿足,則可以是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】因?yàn)?/p>

也即,

故除以的余數(shù)為除以的余數(shù),

又除以的余數(shù)也為,滿足題意,其它選項(xiàng)都不滿足題意.

故選:A.8．（2023·江蘇無(wú)錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：每一個(gè)比1大的數(shù)（每個(gè)比1大的正整數(shù)）要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫成一系列素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么寫出來(lái)的形式是唯一的，即任何一個(gè)大于1的自然數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不為素?cái)?shù)）能唯一地寫成SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是素?cái)?shù)，SKIPIF1<0是正整數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），將上式稱為自然數(shù)SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有SKIPIF1<0個(gè)素?cái)?shù)．從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．13 C．19 D．60【答案】B【分析】首先根據(jù)SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)分解式得到SKIPIF1<0，然后根據(jù)這5個(gè)素?cái)?shù)的特點(diǎn)進(jìn)行分類討論，最后利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解．【詳解】解根據(jù)SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)分解式可得SKIPIF1<0，故從2，2，2，3，5這5個(gè)素?cái)?shù)中任取3個(gè)組成三位數(shù)，有下列三種情況：①選取3個(gè)2，可以組成1個(gè)三位數(shù)；②選取2個(gè)2后，再?gòu)?或5中選一個(gè)，可以組成SKIPIF1<0個(gè)不同的三位數(shù)；③選取2，3，5，可以組成SKIPIF1<0個(gè)不同的三位數(shù)．所以從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，一共可以組成SKIPIF1<0個(gè)不同的三位數(shù).故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2023·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志愿者分配到甲?乙?丙?丁4個(gè)小區(qū)開展工作，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A．共有625種分配方法B．共有1024種分配方法C．每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有240種分配方法D．每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有480種分配方法【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)AB:若需要將5名志愿者分配到甲?乙?丙?丁4個(gè)小區(qū)開展工作，則每個(gè)志愿者都有4種可能，根據(jù)計(jì)數(shù)原理之乘法原理，則有45=1024種不同的方法，故A錯(cuò)誤，B正確，對(duì)于選項(xiàng)CD：若每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則有一個(gè)小區(qū)有兩名志愿者，其余小區(qū)均有1名志愿者，由部分均勻分組消序和全排列可知，把5名志愿者分成4組，有SKIPIF1<0種不同的分配方法，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.（2023·江蘇南京·寧海中學(xué)模擬）關(guān)于SKIPIF1<0的展開式，下列結(jié)論正確的是（

）A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C．常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0D．系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)【答案】BC【解析】SKIPIF1<0，可得二項(xiàng)式系數(shù)和為SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；令SKIPIF1<0得所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，故B正確；常數(shù)項(xiàng)SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，系數(shù)為SKIPIF1<0，最大為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，為第3項(xiàng)或第5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.（2023黑龍江哈爾濱九中二模）若,其中(,,…,)為實(shí)數(shù),則()A. B. C. D. 【答案】B,C【解析】依題意,令,

對(duì)于A,,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,是按展開的第4項(xiàng)系數(shù),因此,B正確;

對(duì)于C,,,

所以,C正確;

對(duì)于D,,D錯(cuò)誤.故選:BC.12.(2023貴州遵義一中月考）若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大,則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”,如、等都是“凸數(shù)”,用,,,,這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),則()A.組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 B.在組成的三位數(shù)中,奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

C.在組成的三位數(shù)中,“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為 D.在組成的三位數(shù)中,“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為【答案】B,D【解析】A:個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為,故A錯(cuò)誤;

B:奇數(shù)為個(gè)位數(shù)是,,的三位數(shù),個(gè)數(shù)為,故B正確;

C:“凸數(shù)”分為類,①十位數(shù)為,則有個(gè);②十位數(shù)為,則有個(gè);

③十位數(shù)為,則有個(gè),所以共有個(gè),故C錯(cuò)誤;

D:由選項(xiàng)C的分析可知,D正確;

故選:BD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_________個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】312【分析】分兩種情況，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)公式求解.【詳解】偶數(shù)包含2，4，6，奇數(shù)包含1，3，5，7，1.若四位數(shù)沒(méi)有偶數(shù)，則都是奇數(shù)，有SKIPIF1<0個(gè)；2.若四位數(shù)有一個(gè)偶數(shù)，三個(gè)奇數(shù)，有SKIPIF1<0個(gè)，綜上可知，共有SKIPIF1<0個(gè).故答案為：31214．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0____________．【答案】0【解析】由題意，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.15.（2023·山東省齊魯名?！?月大聯(lián)考）為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，預(yù)防新冠病毒的傳播，7位高齡老人排隊(duì)注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相鄰，且乙在甲與丙的中間，則共有______種不同的排隊(duì)方法．【答案】240【分析】利用捆綁法，結(jié)合排列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】不同的排隊(duì)方法有SKIPIF1<0種．故答案為：24016．（2023·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考模擬考試）SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，要得到SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.四、解答題：本大題共6小題，共70分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（2023江西師范大學(xué)附中月考）(1)已知,求的值(用數(shù)字作答).

(2)解不等式:.【解析】(1)因?yàn)?

所以或,解得或(舍去),

則;

(2),即為,

解得,又因,

所以不等式的解集為.

18.（2023河北張家口張?jiān)?lián)盟月考）已知甲,乙,丙,丁,戊五名同學(xué),按下列要求進(jìn)行排列,分別求滿足條件的排列數(shù).

(1)把名同學(xué)排成一排且甲乙必須相鄰;

(2)把名同學(xué)安排到排成一排的個(gè)空位中的個(gè)空位上,且甲乙不相鄰.【解析】(1)第一步,捆綁甲乙兩名同學(xué)種;第二步,把有限制條件(相鄰)的同學(xué),

甲乙看作整體和其他三名同學(xué)一起全排列,其排列方法有種.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,滿足條件的排列方法有(種)

(2)將“空位”看成一名同學(xué)(他還沒(méi)來(lái)),除了甲,乙剩下的三名同學(xué)和一個(gè)空位,

形成五個(gè)間隔,讓甲乙插入個(gè)間隔得到,

然后三名同學(xué)和一個(gè)空位全排列得到,最后結(jié)果是(種).19.（2023甘肅武威月考）若,且.

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)求值.【解析】(1)依題意,,因此,解得,

所以實(shí)數(shù)的值是.

(2)由(1)知,,當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,

因此,

所以.20.（2023山東煙臺(tái)龍口市3月月考）將個(gè)編號(hào)為的不同小球全部放入個(gè)編號(hào)為的個(gè)不同盒子中.求:

(1)每個(gè)盒至少一個(gè)球,有多少種不同的放法?

(2)恰好有一個(gè)空盒,有多少種不同的放法?

(3)每盒放一個(gè)球,并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少種不同的放法?

(4)把已知中個(gè)不同的小球換成四個(gè)完全相同的小球(無(wú)編號(hào)),其余條件不變,恰有一個(gè)空盒,有多少種不同的放法?【解析】(1)根據(jù)題意知,每個(gè)盒子里有且只有一個(gè)小球,所求放法種數(shù)為(種);

(2)先將個(gè)小球分為組,各組的球數(shù)分別為,然后分配給個(gè)盒子中的個(gè)盒子,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,所求的放法種數(shù)為(種);

(3)考查編號(hào)為的盒子中放入編號(hào)為的小球,則其它個(gè)球均未放入相應(yīng)編號(hào)的盒子,

那么編號(hào)為的盒子中放入的小球編號(hào)可以依次為或,

因此,所求放法種數(shù)為(種);

(4)按兩步進(jìn)行,空盒編號(hào)有種情況,

然后將個(gè)完全相同的小球放入其它個(gè)盒子,沒(méi)有空盒,

則只需在個(gè)完全相同的小球所形成的個(gè)空(不包括兩端)中插入塊板,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,所求的放法種數(shù)為(種).

21.（2023蘇州常州一中高三上學(xué)期檢測(cè)）已知在的展開式中,前項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,求:

(1)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的項(xiàng);

(2)展