新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第4章　§4.9　解三角形及其應(yīng)用舉例（原卷版）

§4.9解三角形及其應(yīng)用舉例考試要求1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問(wèn)題.3.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．知識(shí)梳理測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線(xiàn)與水平視線(xiàn)(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)上方的叫做仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線(xiàn)起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線(xiàn)之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)東南方向與南偏東45°方向相同．()(2)若△ABC為銳角三角形且A＝eq\f(π,3)，則角B的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(3)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.()(4)俯角是鉛垂線(xiàn)與目標(biāo)視線(xiàn)所成的角，其范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()教材改編題1．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°2.如圖所示，為測(cè)量某樹(shù)的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度為()A．(30eq\r(3)＋30)m B．(15eq\r(3)＋30)mC．(30eq\r(3)＋15)m D．(15eq\r(3)＋15)m3．在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為_(kāi)_______海里．題型一解三角形的應(yīng)用舉例命題點(diǎn)1測(cè)量距離問(wèn)題例1(1)一個(gè)騎行愛(ài)好者從A地出發(fā)，向西騎行了2km到達(dá)B地，然后再由B地向北偏西60°騎行2eq\r(3)km到達(dá)C地，再?gòu)腃地向南偏西30°騎行了5km到達(dá)D地，則A地到D地的直線(xiàn)距離是()A．8kmB．3eq\r(7)kmC．3eq\r(3)kmD．5km(2)為加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在某市地面有四個(gè)5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距離為10eq\r(3)km；基站A，B在江的北岸，測(cè)得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則基站A，B的距離為()A．10eq\r(6)km B．30(eq\r(3)－1)kmC．30(eq\r(2)－1)km D．10eq\r(5)km命題點(diǎn)2測(cè)量高度問(wèn)題例2(1)如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫(huà)中“飛天”的元素．如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測(cè)得CD的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點(diǎn)共線(xiàn))．該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60米，則CD的高h(yuǎn)約為()(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)A．11米B．20.8米C．25.4米D．31.8米(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽(yáng)區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時(shí)刻撬動(dòng)著人們認(rèn)識(shí)商丘、走進(jìn)商丘的欲望．吳斌同學(xué)在今年國(guó)慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過(guò)“商”字城雕時(shí)，他想利用解三角形的知識(shí)測(cè)量一下該雕塑的高度(即圖中線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度)．他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西60°的方向前進(jìn)7eq\r(2)米后到達(dá)D處(A，C，D三點(diǎn)在同一個(gè)水平面內(nèi))，測(cè)得圖中線(xiàn)段AB在東北方向，且測(cè)得點(diǎn)B的仰角為71.565°，則該雕塑的高度大約是(參考數(shù)據(jù)：tan71.565°≈3)()A．19米B．20米C．21米D．22米命題點(diǎn)3測(cè)量角度問(wèn)題例3(1)圖1是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長(zhǎng)的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長(zhǎng)為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線(xiàn)表示點(diǎn)A處的水平面．已知某測(cè)繪興趣小組在冬至日正午時(shí)刻(太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度為南緯23°26′)，在某地利用一表高為2dm的圭表按圖1方式放置后，測(cè)得日影長(zhǎng)為2.98dm，則該地的緯度約為北緯(參考數(shù)據(jù)：tan34°≈0.67，tan56°≈1.48)()A．23°26′B．32°34′C．34°D．56°(2)《后漢書(shū)·張衡傳》：“陽(yáng)嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動(dòng)儀．以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥(niǎo)獸之形．中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機(jī)．外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之．其牙機(jī)巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無(wú)際．如有地動(dòng)，尊則振龍，機(jī)發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之．振聲激揚(yáng)，伺者因此覺(jué)知．雖一龍發(fā)機(jī)，而七首不動(dòng)，尋其方面，乃知震之所在．驗(yàn)之以事，合契若神．”如圖為張衡地動(dòng)儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200km的A，B兩地各放置一個(gè)地動(dòng)儀，B在A的東偏北60°方向，若A地地動(dòng)儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東________km.思維升華解三角形的應(yīng)用問(wèn)題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問(wèn)題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實(shí)際問(wèn)題的解．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)某貨輪在A處測(cè)得燈塔B在北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile，測(cè)得燈塔C在北偏西30°，距離為8eq\r(3)nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，測(cè)得燈塔B在南偏東60°，則下列說(shuō)法正確的是()A．A處與D處之間的距離是24nmileB．燈塔C與D處之間的距離是16nmileC．燈塔C在D處的西偏南60°D．D在燈塔B的北偏西30°(2)落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝________米．(3)如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線(xiàn)上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝60m，BC＝120m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝120m，于B處測(cè)得水深BE＝200m，于C處測(cè)得水深CF＝150m，則cos∠DEF＝________.題型二解三角形中的最值和范圍問(wèn)題例4在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知eq\r(3)(a2＋c2－b2)＝－2absinC.(1)求角B；(2)若D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△ABC面積的最大值．思維升華解三角形中最值(范圍)問(wèn)題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡(jiǎn)整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍)．跟蹤訓(xùn)練2在①bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C))＝eq\r(3)ccosB；②2S△ABC＝eq\r(3)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且________．(1)求角B；(2)在△ABC中，b＝2eq\r(3)，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．課時(shí)精練1．一艘游船從海島A出發(fā)，沿南偏東20°的方向航行8海里后到達(dá)海島B，然后再?gòu)暮uB出發(fā)，沿北偏東40°的方向航行16海里后到達(dá)海島C，若游船從海島A出發(fā)沿直線(xiàn)到達(dá)海島C，則航行的路程為()A．12海里 B．8eq\r(7)海里C．8eq\r(5－2\r(3))海里 D．8eq\r(3)海里2．如圖，航空測(cè)量的飛機(jī)航線(xiàn)和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000m，速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m3．我國(guó)無(wú)人機(jī)技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險(xiǎn)救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域．如圖，有一個(gè)從地面A處垂直上升的無(wú)人機(jī)P，對(duì)地面B，C兩受災(zāi)點(diǎn)的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝eq\f(1,3).已知地面上三處受災(zāi)點(diǎn)B，C，D共線(xiàn)，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1km，則無(wú)人機(jī)P到地面受災(zāi)點(diǎn)D處的遙測(cè)距離PD的長(zhǎng)度是()A.eq\r(2)km B．2kmC.eq\r(3)km D．4km4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinB＋sinC＝2sinA，則A的最大值為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,3)5．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.且b＝2asinB,則cosB＋sinC的取值范圍為()A．(0，eq\r(3)] B．(1，eq\r(3)]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))6．(多選)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝eq\f(π,3)，若點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DC＝1，DA＝3，則下列結(jié)論正確的是()A．△ABC的內(nèi)角B＝eq\f(π,3)B．△ABC的內(nèi)角C＝eq\f(π,3)C．△ACD的面積為eq\f(3\r(3),4)D．四邊形ABCD面積的最大值為eq\f(5\r(3),2)＋37．2022年4月16日，搭載著3名航天員的神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸于東風(fēng)著陸場(chǎng)，標(biāo)志著神舟十三號(hào)返回任務(wù)取得圓滿(mǎn)成功．假設(shè)返回艙D垂直下落于點(diǎn)C，某時(shí)刻地面上點(diǎn)A，B觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到點(diǎn)D的仰角分別為45°，75°，若A，B間距離為10千米(其中向量eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向)，試估算該時(shí)刻返回艙距離地面的距離CD約為_(kāi)_______千米(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)．8．在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，ccosB＋(2a＋b)cosC＝0，若△ABC的外接圓面積為π，則△ABC周長(zhǎng)的最大值是________．9．在①eq\f(sinA,sinB)＋eq\f(sinB,sinA)＋1＝eq\f(c2,ab)；②(a＋2b)cosC＋ccosA＝0；③eq\r(3)asin

eq\f(A＋B,2)＝csinA，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答下列問(wèn)題．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且________．(1)求角C的大?。?2)若c＝4，求AB的中線(xiàn)CD長(zhǎng)度的最小值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．10．已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若sinAsinBsinC＝eq\f(\r(3),2)(sin2A＋sin2B－sin2C)．(1)求sinC；(2)若c＝eq\r(3)，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．11．(多選)一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°方向，距離12eq\r(6)海里，燈塔C在A的北偏西30°方向，距離為12eq\r(3)海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，下面結(jié)論正確的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．∠CDA＝60°12．?dāng)?shù)學(xué)必修第二冊(cè)介紹了海倫－秦九韶公式：我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書(shū)九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))，其中a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．若eq\f(1－\r(3)cosB,\r(3)sinB)＝eq\f(1,tanC)，b＝2，則△ABC面積S