自動控制原理課后習(xí)題答案

2-1什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?在自動控制系統(tǒng)中常見的數(shù)學(xué)模型形式有哪些？

用來描述系統(tǒng)因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

常見的數(shù)學(xué)模型形式有：微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程、傳遞矩陣、結(jié)構(gòu)框圖和信號流圖。

2-2簡要說明用解析法編寫自動控制系統(tǒng)動態(tài)微分方程的步驟。

2-3什么是小偏差線性化？這種方法能夠解決哪類問題？

在非線性曲線(方程)中的某一個工作點附近，取工作點的一階導(dǎo)數(shù)，作為直線的斜率，來

線性化非線性曲線的方法。

2-4什么是傳遞函數(shù)？定義傳遞函數(shù)的前提條件是什么？為什么要附加這個條件？傳遞函

數(shù)有哪些特點？

傳遞函數(shù)：在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。

定義傳遞函數(shù)的前提條件：當(dāng)初始條件為零。

為什么要附加這個條件：在零初始條件下，傳遞函數(shù)與微分方程一致。

傳遞函數(shù)有哪些特點：

1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量S的有理真分式，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；加〈〃且所有系數(shù)均為

實數(shù)。

2.傳遞函數(shù)是一種有系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式，它只取決于系統(tǒng)或

元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。

3.傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。

4.傳遞函數(shù)W(s)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。

2-5列寫出傳遞函數(shù)三種常用的表達(dá)形式。并說明什么是系統(tǒng)的階數(shù)、零點、極點和放大倍

數(shù)。

E(率+i)

W(s)=V------------其中K=j

立(7>+1)%

>1

勺口―)b

W(s)=Ti-----------其中

ri")%

傳遞函數(shù)分母S的最高階次即為系統(tǒng)的階數(shù)，-Zj為系統(tǒng)的零點，-P/為系統(tǒng)的極點。K

為傳遞函數(shù)的放大倍數(shù)，為傳遞函數(shù)的根軌跡放大倍數(shù)。

2-6自動控制系統(tǒng)有哪幾種典型環(huán)節(jié)？它們的傳遞函數(shù)是什么樣的？

1.比例環(huán)節(jié)

2.慣性環(huán)節(jié)

3.積分環(huán)節(jié)

4.微分環(huán)節(jié)

5.振蕩環(huán)節(jié)

6.時滯環(huán)節(jié)

2-7二階系統(tǒng)是一個振蕩環(huán)節(jié)，這種說法對么？為什么？

當(dāng)阻尼比0<<<1時是一個振蕩環(huán)節(jié)，否則不是一個振蕩環(huán)節(jié)。

2-8什么是系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖？它等效變換的原則是什么？系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖有哪幾種典

型的連接？將它們用圖形的形式表示出來，并列寫出典型連接的傳遞函數(shù)。

2-9什么是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)？什么是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)？當(dāng)給定量和擾動量同時作

用于系統(tǒng)時，如何計算系統(tǒng)的輸出量？

答：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為前向通路傳遞函數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)之積。

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為輸出的拉氏變換與輸入拉氏變換之比。

當(dāng)給定量和擾動量同時作用于系統(tǒng)時，通過疊加原理計算系統(tǒng)的輸出量。

2-10列寫出梅遜增益公式的表達(dá)形式，并對公式中的符號進行簡要說明。

2-11對于一個確定的自動控制系統(tǒng)，它的微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的形式都將是唯一

的。這種說法對么嗎？為什么？

答：不對。

2-12試比較微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的特點于適用范圍。列出求系統(tǒng)傳遞

函數(shù)的幾種方法。

2-13試求出圖P2-1中各電路的傳遞函數(shù)W(s)=Uc(s)/Ur(s)。

解：(a)解法1：首先將上圖轉(zhuǎn)換為復(fù)阻抗圖，

由歐姆定律得：

I(s)=(Ur-Uc)/(R+Ls)

由此得結(jié)構(gòu)圖：

Uc=I(s)(l/Cs)

由此得結(jié)構(gòu)圖：

整個系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：

根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以求得傳遞函數(shù)為：

WB(s)=Uc/Ur=[[l/(R+Ls)](l/Cs)]/[1+[1/(R+Ls)](l/Cs)]

22

=1/[LCS+RCS+1]=1/[TLTCS+TCS+1]

其中：TL=L/R;TC=RC

解法2：由復(fù)阻抗圖得到：

所以：=_J--------

U,(s)Les2+RCs+1

解：(b)解法1：首先將上圖轉(zhuǎn)換為復(fù)阻抗圖，

根據(jù)電路分流公式如下：

/(S)=步￥其中：Z=(l/Cs)〃44=用+』=±低?+1)代入2

Z+/?2CsCS

1'(RCs+1)i

CsCs?」H|Cs+l

1,1「ICsR、Cs+2

所以:

解法2：首先將上圖轉(zhuǎn)換為復(fù)阻抗圖(如解法1圖)

畫出其結(jié)構(gòu)圖如下：

化簡上面的結(jié)構(gòu)圖如下：

應(yīng)用梅遜增益公式：

其中：\=\-La-Lh

飆一日低"+2)、4=一急

所以△=1+&(H?+2)+—=RCs+R2cs(6-+2)+1

R、R}CsR、Cs

4=等(尺?+2)、A1=1

所以：

解：(c)解法與(b)相同，只是參數(shù)不同。

2-14試求出圖P2-2中各有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)W(s)=Uc(s)/Ur(s)?

寨=凌其中：4=鳥+上=上麗，+1)=自(率+1)

RiG

R2

-t—H1-

TC2

Uc

UrRoZ

■O

(C)

Rg_Ro

其中:、

T]=R￡TQ—/?0co

RQCQS+1TQS+1

所以：黑=一盒如+也2）

將滑動電阻分為此和尺3,

I"誓,Uc（s）&

其中

K|=——zr

0zR.+R.+

J1

CPv

7?,—

R]_/?2（/?0]5+1）+R]

Z=R,+—i\->?—

c12與Gs+1居Gs+l

z（1、

&+凡+廠

所以：5J一嗯

u?）R。

解：（c）解法與（b）相同。

2-15求圖P2-3所示各機械運動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

⑴求圖(a)的翌?=?(2)求圖(b)的與獸=?

Ar(5)X/(s)

(3)求圖(c)的乂2。)=?(4)求圖(c)的

2-16如圖P2-4所示為一個帶阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，求其數(shù)學(xué)模型。

2-17圖P2Y所示為一齒輪傳動系統(tǒng)。設(shè)此機構(gòu)無間隙、無變形。

(1)列出以力矩Mr為輸入量，轉(zhuǎn)角為輸出量的運動方程式，并求其傳遞函數(shù)。

(2)列出以力矩M,.為輸入量，轉(zhuǎn)角為輸出量的運動方程式，并求出其傳遞函數(shù)。

2-18圖P2-6所示為一磁場控制的直流電動機。設(shè)工作時電樞電流不變，控制電壓加在勵磁

繞組上，輸出為電機位移，求傳遞函數(shù)w(s)=02。

U

2-19圖P2-7所示為一用作放大器的直流發(fā)電機，原電機以恒定轉(zhuǎn)速運行。試確定傳遞函數(shù)

"9=w(s),假設(shè)不計發(fā)電機的電樞電感和電阻。

Ug

2-20圖P2-8所示為串聯(lián)液位系統(tǒng)，求其數(shù)學(xué)模型。

2-21一臺生產(chǎn)過程設(shè)備是由液容為Ci和C2的兩個液箱組成，如圖P2-9所示。圖中。為穩(wěn)

態(tài)液體流量(祖3/s),qi為液箱1輸入流量對穩(wěn)態(tài)值得微小變化(旭3/$),q2為液箱1到液箱2

流量對穩(wěn)態(tài)值得微小變化("http://s),q3為液箱2輸出流量對穩(wěn)態(tài)值得微小變化(加3/s),支

為液箱1的穩(wěn)態(tài)液面高度(m),%為液箱1液面高度對其穩(wěn)態(tài)值的微小變化(m),瓦為液

箱2的穩(wěn)態(tài)液面高度(m),hz為液箱2液面高度對其穩(wěn)態(tài)值的微小變化(m),R為液箱1輸

3

出管的液阻(機/(機3/s)),R2為液箱2輸出管的液阻(m/(mA))。

(1)試確定以為輸入量、為輸出量時該液面系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；

⑵試確定以為輸入，以為輸出時該液面系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(提示：流量(Q尸液高(H)/液阻(R),

液箱的液容等于液箱的截面面積，液阻(R尸液面差變化(h)/流量變化(q)。)

2-22圖P2-10所示為一個電加熱器的示意圖。該加熱器的輸入量為加熱電壓5,輸出量為加

熱器內(nèi)的溫度To,qi為加到加熱器的熱量，qo為加熱器向外散發(fā)的熱量，笛為加熱器周圍的

溫度。設(shè)加熱器的熱阻和熱容已知，試求加熱器的傳遞函數(shù)G(s)=〃(s)/q(s)。

2-23熱交換器如圖P2-11所示，利用夾套中的蒸汽加熱罐中的熱體。設(shè)夾套中的蒸汽的溫

度為Ti；輸入到罐中熱體的流量為Qi，溫度為TI；由罐內(nèi)輸出的熱體的流量為Q2,溫度為

T2；罐內(nèi)液體的體積為V,溫度為To(由于有攪拌作用，可以認(rèn)為罐內(nèi)液體的溫度是均勻的),

并且假設(shè)T2=TO,Q2=QI=Q(Q為液體的流量)。求當(dāng)以夾套蒸汽溫度的變化為輸入量、以流

出液體的溫度變化為輸出量時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(設(shè)流入液體的溫度保持不變)。

2-24已知一系列由如下方程組成，試?yán)L制系統(tǒng)方框圖，并求出閉環(huán)傳遞函數(shù)。

解：由以上四個方程式，可以得到以下四個子結(jié)構(gòu)圖

1.

Xi(s)=Xr(s)Wi(s)-Wi(s)[W7(s)-W8(s)]Xc(s)

2.

X2(s)=W2(s)[X1(S)-W6(s)X3(s)]

3.

X3(s)=[X2(s)-Xc(s)W5(s)]W3(s)

4.

Xc(s)=W4(s)X3(s)

將以上四個子框圖按相同的信號線依次相連，可以得到整個系統(tǒng)的框圖如下：

利用梅遜公式可以求出閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

Ln=—W](s)W2(s)W3(s)W4(s)fW7(s)-W8(s)]

L|2=—W3(s)W4(s)W5(s)

L13=-W2(S)W3(S)W6(S)

L2=0

T產(chǎn)WI(S)W2(S)W3(s)W4(s)

△1=1

△=1+Wt(s)W2(s)W3(s)W4(s)[W7(s)-W8(s)]+W3(s)W4(s)W5(s)+W2(s)W3(s)W6(s)

2-25試分別化簡圖P2-12和圖P2-13所示結(jié)構(gòu)圖，并求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。

圖P2-13

解：化簡圖P2-12如下:

繼續(xù)化簡如下：

所以：

解：化簡圖P2-12如下:

圖P2-13

進一步化簡如下：

所以：

2-26求如圖P2-14所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)叱(S)=玉92,

X,(s)X/G)

解：

1.求Wi(s)=Xc(s)/Xr(s)的等效電路如下(主要利用線性電路疊加原理，令Xd=O)

上圖可以化簡為下圖

由此得到傳遞函數(shù)為：

W?(s)=Xc(s)/Xr(s)=[W|W2]/[1-W2H2+W?W2H3]

2.應(yīng)用梅遜增益公式：

其中：\=\-La-Lh,La=-W^2H.,Lh=W2H2

Z=%，A|T，4=_叱皿2〃1,42=1

所以：

2-27求如圖P2-15所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

圖P2-15

應(yīng)用梅遜增益公式：

其中：△=1一￡"一￡/,一4一4/一4

4=—wa4=一卬2”2>4=—卬2%”3>(=一叱明%叫”4

Ld=-W2W3W4W5//4

Tt=叱卬2%%，4=1,T2=W2W3W4W5，4=1+W|H|

所以：

2-28求如圖P2-16所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

解：

將上述電路用復(fù)阻抗表示后，利用運算放大器反向放大電路的基本知識，即可求解如下:

由上圖可以求出：

Ui(s)=-[Zi/R0](Ur(s)+Uc(s))

U2(S)=-UI(S)/[R2C2S]

UC(S)=-[R4/R3]U2(S)

根據(jù)以上三式可以得出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：

其中：Z1=Ri//(l/Cis)=Ri/|Tis+l]Ti=R,Ci

令：R2C2-T2RI/RO=KI()R4/RJ=K43

得到傳遞函數(shù)為：

WB(s)=Ur/Uc=-[KIOK43]/[T2S(TIS+1)+K10K43]

2-29圖P2-17所示為一位置隨動系統(tǒng)，如果電機電樞電感很小可忽略不計，并且不計系統(tǒng)

的負(fù)載和黏性摩擦，設(shè)〃,=曲,，〃/=網(wǎng)也，其中仍、外分別為位置給定電位計及反饋電

位計的轉(zhuǎn)角，減速器的各齒輪的齒數(shù)以Ni表示之。試?yán)L制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖并求系統(tǒng)的傳遞函

數(shù)。

2-30畫出圖P2-18所示結(jié)構(gòu)圖的信號流圖，用梅遜增益公式來求傳遞函數(shù)W,(s)=3支效，

X,(s)

圖P2-18

解：應(yīng)用梅遜增益公式：

其中：\^\-La-Lh-Lc,(=一叱必明/心，Lh=-W2W3H2H3,Le=-W3H3,

^=l+WtW2W3H2H3+W2W3H2H3+W,H3,(=叱嗎嗎，A,=1,T2=W4,

A2=1+WlW2W-iH2Hi++W3H.

所以：

其中：\=\-La-Lh-Lc,L(l=-WtW2W3H2H3,Lb=-W2W3H2H.,LC=-W3H3,

A=1W,WW,/7/7+,7；=%,A,=1

+223W2W?IH2H3+

所以：

X(c)

2-31畫出圖P2-19所示系統(tǒng)的信號流圖，并分別求出兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一^,

X“(s)

X,2(s)

Xr2(s)°

3-1控制系統(tǒng)的時域如何定義？

3-2系統(tǒng)的動態(tài)過程與系統(tǒng)的極點有什么對應(yīng)關(guān)系？

3-3系統(tǒng)的時間常數(shù)對其動態(tài)過程有何影響？

3-4提高系統(tǒng)的阻尼比對系統(tǒng)有什么影響？

3-5什么是主導(dǎo)極點？主導(dǎo)極點在系統(tǒng)分析中起什么作用？

3-6系統(tǒng)的穩(wěn)定的條件是什么？

3-7系統(tǒng)的穩(wěn)定性與什么有關(guān)？

3-8系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與哪些因素有關(guān)？

3-9如何減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差？

3-10一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為W?(s)=」一

s(s+l)

試求：(1)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及性能指標(biāo)b%,%如和〃；

(2)輸入量Xr(t)=t時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)；

(3)輸入量Xr(t)為單位脈沖函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。

1

解:(1)叱(S)a

s(s+1)s(s+2彳e)

比較系數(shù)：得到成=1Q=l,2物“=1,4=0.5

—兀i0其中：/?=arccos^=arccos0.5=1.0472(rat/)

n—B3.14-1.0472

所以=2.42(5)

541-宇Vl-0.52

2萬_247.255(.v)所以〃=y^=0.827

//=—其中：t

f0.866

解(2)輸入量Xr(t)=t時,X,(S)=l，這時;

1

X,.(s)，應(yīng)用部分分式法

2s2+2弧s+a

通過比較系數(shù)得到：A=l,B=-A=-1,C=1,D=()

-----S------=—1——1+

2+2切〃s+成s2s52+5+1

(A

2-o.5tsin^^/+60°

所以:xc(t)=t-l+

解(3)當(dāng)茗⑺=3⑺時,X,(s)=l,這時,XC(S)=K~-

s+s+

所以天⑺=g05“sin(旦+60°

I2J

3-11一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為M(s)=」一，其單位階躍響

5(CT+1)

應(yīng)曲線如圖所示，圖中的Xm=1.25tm=1.5s。試確定系統(tǒng)參數(shù)kk及7值。

解：因為MG)=&Ta

S(TS+1)S+.s(s+2g)

比較系數(shù)得到："=區(qū)，2g,=’

由圖得到：b%=25%=eQ得到J=0.4

3.14159263.43

=1.5,所以q=2.287

①““Y3H1-042叫

3-12一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為叱(s)=—%——。己知系統(tǒng)的

5(s+2g“)

xr(t)=1(t)，誤差時間函數(shù)為e⑺=1.46-皿一0.46-3.73,，求系統(tǒng)的阻尼比

自、自然振蕩角頻率心，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

誤差。

解：單位反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：

叢良'3214s2+2…S]

由此得到誤差傳遞函數(shù)為：

因為輸入為單位階躍輸入，所以

對e(f)=L4eT°7,_0.4ef73r取拉變得到

比較兩個誤差傳函的系數(shù)可以得到：

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

WK(s)=-

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：

cI/IQ

1.￡(QC)=limsE(s)=lims,—二0

7ST。s~+4.8s+4

2.e(oc)=lime(r)=lim[1.4eT07/_().4ef73，]=Q

3-13已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為M(s)=一試選擇

s(s+2a,,)

演及t值以滿足下列指標(biāo):

(1)當(dāng)Xr(t)=t時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差/(8)W0.02;

(2)當(dāng)Xr(t)=1(t)時，系統(tǒng)的0%W30%,ts(5%)W0.3s。

解：

1.=f時，由于該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，所以：

e(oc)=—<0.02得出KK250

KK

2.因為要求當(dāng)x,(f)=l⑺時,系統(tǒng)的5%430%,『5%)40.3s。

一勿一夕

所以，S0/0=e^<0.3取5%=6后=0.3

3

由4(5%)a-WO.3s得出物.210

皿

因為，阻尼比越大，超調(diào)量越小。取自=0.4

,.KKIT就

由WJsZ)=---&K—=——WK-----=-----*----

S(Z5+1)5(5+1/T)S(S+2gq)

所以：”2^a)n=-

TT

所以,220r<0.05取7=0.05

T

K

因為KKN50，取KK=50得到=1000/“=31.6

r

3

當(dāng)J=0.4,6y“=31.6時滿足物“210即滿足f,(5%)40.3s

所以，最后取KK=50,7=0.05

2

3-14已知單位反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為叱(s)==—%-----，試畫出

s+2&(0/+co~

以以為常數(shù)、&為變數(shù)時，系統(tǒng)特征方程式的根在S平面上的分布軌跡。

3-15一系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖P3-2,求在不同的KK值下(例如，KK={,KK=3,

KJ)系統(tǒng)的閉環(huán)極點、單位階躍響應(yīng)、動態(tài)性能指標(biāo)及穩(wěn)態(tài)誤差。

解：該系統(tǒng)的特征方程為：

SP52+7.55+12.5+12.5^=0

當(dāng)KK=1時，系統(tǒng)的特征方程為:

52+7.55+25=0,此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點為*2=-3.75±/3.3

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：唯(S)=F~———

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：唯(s)=,I2"—

B$2+7.5s+25

3-16一閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖P3-3,

(1)試求當(dāng)o%W20%,ts(5%)=1.8s時，系統(tǒng)的參數(shù)占及t值。

(2)求上述系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)與、速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Kv、加速

度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Ka及其相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖P3-3題3-16的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解：(1)將圖P3-3的內(nèi)部閉環(huán)反饋等效一個環(huán)節(jié)，如下圖

K,/[s2+KiTs]--------r-^>

i卜

由上圖得到=M2物“=KR

根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求：3%<20%,r,(5%)=1.8s可以得出

當(dāng)S%=20%時，取3%=e尺?二。？

3310

當(dāng)4(5%)=1.8$時，4(5%)。一^-=1.8$=—=—

&9“1.86

由沅=&得到K,==3.67?=13.5

,_??_.2&y?2x0.454x3.67__

由2物“=K/z得到7==--------3----=0.247

,1K,3.672

(2)由(1)得到系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

所以:

K

!

kn=limWK(s)=lim--------=oc對應(yīng)的xr(t)-1(/)時e(oc)=---=0

P2。K7>S(S+KR)1+kp

K1

k.=limsWK(s)=lim----!—=-對應(yīng)的％?)=，時e(oc)=—=r

'KZO(S+K[)Tk、,

2對應(yīng)的Xr(f)=Lf時e(oc)---CC

kn=lim,vWK(S)=1?—————=0

"ioK…(S+KR)2

3-17一系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖，

試求(1)T1=0,T2=0.1時，系統(tǒng)的。%,ts(5%)；

(2)T1=0.1,12=0時，系統(tǒng)的。％,ts(5%)；

(3)比較上述兩種校正情況下的動態(tài)性能指標(biāo)及穩(wěn)態(tài)性能。

解：

(1)T|=0,T2=0.1時系統(tǒng)框圖如下：

圖P3-4題3-17的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

進一步化簡結(jié)構(gòu)圖如下:

圖P3-4題3-17的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2

與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)比較％(s)=——％——得到

5(5+2初,)

=1(),a)=V10=3.16,2她=2,"」=0.316

nV10

一譏

==0.3512=35.12%,4(5%)“二-=3s

她

(2)解(2)Ti=0.1,T2=0時系統(tǒng)框圖如下:

圖P3-4題3-17的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解上述系統(tǒng)輸出表達(dá)式為：

3-18如圖P3-5中，Wg(s)為被控對象的傳遞函數(shù)，Wc(s)為調(diào)節(jié)器的傳遞

函數(shù)。如果被控對象為W/s)=----&-------,TI>T2,系統(tǒng)要求的指標(biāo)

°(聿+1)(7>+1)

為：位置穩(wěn)態(tài)誤差為零，調(diào)節(jié)時間最短，超調(diào)量o%W4.3%,問下述三種

調(diào)節(jié)器中哪一種能滿足上述指標(biāo)？其參數(shù)應(yīng)具備什么條件？

(a)W,(s)=K；(b)Wc(s)=K;(c)W,(s)=K尸即'+!.

ST25+l

4-1

解：三種調(diào)節(jié)器中，(b)調(diào)節(jié)器能夠滿足要求，即叱,(s)=K〃竺」。

s

Kt,K(Ts+l)

校正后的傳遞函數(shù)為W(s)=W/s)叱(s)=必;

這時滿足位置穩(wěn)態(tài)誤差為零。如果還要滿足調(diào)節(jié)時間最短，超調(diào)量。％W4.3%,

則應(yīng)該使r=7；,此時傳遞函數(shù)為W(s)=%(s)W,(s)=，勺,

S(T2S+1)

應(yīng)該使_L=2K.K/,,此時為二階最佳系統(tǒng)，超調(diào)量。％=4.3%,調(diào)節(jié)時間為

4（5%）=4.14心

3-19有閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式如下，試用勞斯判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說明特

征根在復(fù)平面上的分布。

(1)53+2052+45+50=0

(2)53+2052+45+100=0

(3)54+253+65-2+85+8=0

(4)2?+/-1553+2552+25-7=0

(5)56+3s$+9s*+18/+22/+⑵+12=0

解：(1)列勞斯表如下：

由此得到系統(tǒng)穩(wěn)定，在s平面的右半部沒有根。

(2)列勞斯表如下：

由此得到系統(tǒng)不穩(wěn)定，在s平面的右半部有兩個根。

(3)列勞斯表如下：

由此得到系統(tǒng)穩(wěn)定，在s平面的右半部沒有根。

(4)列勞斯表如下：

由此得到系統(tǒng)不穩(wěn)定，在s平面的右半部有三個根。

(5)列勞斯表如下：

由此得到系統(tǒng)穩(wěn)定，在s平面的右半部沒有根。

3-20單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為％(S)=―鼻。5丁1)—求使

系統(tǒng)穩(wěn)定的KK值范圍。

解：系統(tǒng)特征方程為：

即：05/+1.5?+2s2+5+KKO.5s+KK=0

將最高項系數(shù)化為1得到

列勞斯表如下：

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為勞斯表的第一列大于零，即

1(10-^)>0得出KK<10

\K\+10^-20]>0得出KK>—5+屈

K

所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍為

3-21已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖P3-6所示，試用勞斯判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的

Kf值范圍。

解：該系統(tǒng)的特征方程為

列勞斯表如下：

根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表第一列必須大于零。

所以得到系統(tǒng)穩(wěn)定條件為K,>0

3-22如果采用圖P3-7所示系統(tǒng)，問T取何值時，系統(tǒng)方能穩(wěn)定？

解：該系統(tǒng)的特征方程為

列勞斯表如下：

根據(jù)勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表第一列必須大于零。

所以得到系統(tǒng)穩(wěn)定條件為7>1

3-23設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為W?(s)=-------------------，

八5(1+0.335)(1+0.1075)

要求閉環(huán)特征根的實部均小于-1,求K值應(yīng)取的范圍。

解：該系統(tǒng)的特征方程為

即0.0353?+0.437A-2+S+K=0

將上述方程的最高次項系數(shù)化為1

得到$3+12.34s2+28.33.V+28.33K=0

☆s=z-1代入特征方程中，得到

列勞斯表如下：

由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表的第一列系數(shù)必須大于零。

7R1

所以78.1-28.33K>0,^<-^-=2.757

28.33

28.33K-15.99>0,K>1^59^9=0.564

28.33

即0.564<K<2.757時，閉環(huán)特征根的實部均小于-1。

3-24設(shè)有一單位反饋系統(tǒng)，如果其開環(huán)傳遞函數(shù)為

(1)跌。)=-------------；(2)UG)=+—。試求

s(s+4)(5s+l)5"(5+4)(55+1)

輸入量為Xr(t)=t和Xr(t)=2+4t+5r時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：⑴系統(tǒng)特征方程為：5/+21/+4S+10=0

列勞斯表如下：

由勞斯判據(jù)可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)x4)=t時，穩(wěn)態(tài)誤差為：=—=—=0.4

“Kv2.5

Xr(t)=2+4t+5/2時，穩(wěn)態(tài)誤差為：ess=-^―+-^―+—=0+1.6+oo=oo

解:(2)系統(tǒng)特征方程為：5/+21?+4?+105+1=0

列勞斯表如下：

由勞斯判據(jù)可知，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

當(dāng)Xr(t)=t時，穩(wěn)態(tài)誤差為：ess=—=—=OA

Kv2.5

Xr(t)=2+4t+5/2時，穩(wěn)態(tài)誤差為：紇.=+妁*=0+1.6+8=8

KpKpK”

此時求出的穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義，因為系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3-25有一單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為嗎0)=—工。求當(dāng)輸

s

入量為％⑺=g產(chǎn)和%⑺=sin初時，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：

當(dāng)當(dāng)?)=；〃時,=00

當(dāng)當(dāng)⑺=sin碗時，X.(s)=----

fs+57

E(s)_1_1_5

此時,

+叱(S)\+”=S+KK

S

這時，E(s)=V^X,.(s)

$+&

比較系數(shù)：A+B=0

解方程得到：

4_(oD_a>_coar

1+解，療+K：，療+K；無'

murv、①10)slco2a>

貝HE(S)=--$----5--------15---0-5----7------9---5-5---7

a>-+s+KKa>-+K1s~+co~KKa)~+Kj,s-+a>~

顯然小(oo)w0。由于正弦函數(shù)的拉氏變換在虛軸上不解析，所以此時不能應(yīng)用終值

定理法來計算系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

3-26有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為嗎($)=衛(wèi)也，求系統(tǒng)的

s(5s-l)

動態(tài)誤差系數(shù)，-并求當(dāng)輸入量%⑺=l+t+l/2V時，穩(wěn)態(tài)誤差的時

間函數(shù)e(t)o

解._E(s)._____1_________1____=-+5s2

'X,(s)1+叱(s),35+1010+2s+5s2

s(5s-1)

利用綜合除法得到：

%=8動態(tài)位置誤差系數(shù)

4=-10動態(tài)速度誤差系數(shù)

刈=1.9231動態(tài)加速度誤差系數(shù)

3-27一系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖，并設(shè)叱($)=%(1+叫w,(s)=—￡.

ss(l+T2S)

當(dāng)擾動量分別以&L(s)='、e作用于系統(tǒng)時，求系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。

sS

△N(s)

解：擾動誤差的傳遞函數(shù)為：

所以：△%($)=■!■時

S

AN(s)=」時

S

3-28一復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖P3-9所示，其中KI=2K3=1,

T2=0.25S,K2=2.試求：(1)輸入量分別為Xr(t)=l,Xr(t)=t,Xr(t)=l/2t2時

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；

(2)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，及其er%4。

圖P3-9題3-28的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

K.2K2K3s

X,(s)=s(7；s+l)S(7；S+1)=K,K/+KK

~X^)~i+_K1K2_]|KRF+S+K,K,

s(T2s+1)s(T2s+1)

當(dāng)KI=2K3=LT2=0.25S,K2=2時

當(dāng)Xr(t)=l時，X,.(.v)=-

s

此時4s=UnE(s)=lin———------=0

STOJ->0S+45+8

當(dāng)Xr(t)=t，=-j

此時e=linE(s)=lin-3——----0.125

2。STO$2+4S+88

當(dāng)Xr⑴=l/2t2時，Xr(5)=-L

s

此時e”=linE(s)=lin~J-----1=oo

sf。+4s+8)

3-29一復(fù)合控制系統(tǒng)如圖P3-10所示，圖中

.10

叱.")=&-+加w(s)=----------------。如果系統(tǒng)由/型提高為〃型系統(tǒng)，求a

'八5(14-0.15)(1+0.2,?)

值及b值。

解.區(qū)@_JL+也

-X,(s)1+也1+也

將叱.G)=公2+加,w⑶=----------------代入誤差傳遞函數(shù)中，

85(1+0.15)(1+0.25)

如果系統(tǒng)由/型提高為〃型系統(tǒng)，則當(dāng)X,(s)=q時，(其中K為常數(shù))

S

由此得到10。=0.3,。=0.03,10/?=1,8=0.1

4-1根軌跡法使用于哪類系統(tǒng)的分析？

4-2為什么可以利用系統(tǒng)開環(huán)零點和開環(huán)極點繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡？

4-3繪制根軌跡的依據(jù)是什么？

4-4為什么說幅角條件是繪制根軌跡的充分必要條件？

4-5系統(tǒng)開零環(huán)、極點對根軌跡形狀有什么影響？

4-6求下列各開環(huán)傳遞函數(shù)所對應(yīng)的負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡。

K,(s+3)

⑴唯")=

(s+1)(5+2)

K.(s+5)

⑵嗎(s)=

s(s+3)(s+2)

（3）W（s）=----------------

kk（5+l）（5+5）（5+10）

解：第(1)小題

K0(s+3)

由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)跌(s)=(s+：)(s+.得知

1.起點：Kg=0時，起始于開環(huán)極點，即一P1=-1、一%=-2

2.終點：Kx=oc時，終止于開環(huán)零點，-Z1=—3

3.根軌跡的條數(shù)，兩條，一條終止于開環(huán)零點，另一條趨于無窮遠(yuǎn)。

4.實軸上的根軌跡區(qū)間為一oc3和一21

5.分離點與會合點，利用公式

即：42+64+7=0

解上列方程得到：=-1.586,d2=-4.414

根據(jù)以上結(jié)果畫出根軌跡如下圖：

解：第(2)小題

由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)WKG)=得知

1.起點：Kg=0時，起始于開環(huán)極點，即—〃0=0、~P\——2、~P2——3

2.終點：Kg=oc時，終止于開環(huán)零點，一馬=—5

3.根軌跡的條數(shù)，三條，一條終止于開環(huán)零點，另兩條趨于無窮遠(yuǎn)。

4.實軸上的根軌跡區(qū)間為一53和一2~0

5.分離點與會合點，利用公式

6.根軌跡的漸進線

漸進線傾角為：夕=’儂"+2〃)='180。(1+2〃)=干9Go

n-m3-1

助率3+2.5

漸進線的父點為：-=-------------=---------=0

n-m3-1

根據(jù)以上結(jié)果畫出根軌跡如下圖：

解：第(3)小題

由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)WKG)=----/,得知

(5+1)(5+5)(5+10)

1.起點：Kg=0時，起始于開環(huán)極點，即一〃0=一1、一8=-5、-p2=-10

2.終點：Kg=oc時，終止于開環(huán)零點，-Z1=-3

3.根軌跡的條數(shù)，三條，一條終止于開環(huán)零點，另兩條趨于無窮遠(yuǎn).

4.實軸上的根軌跡區(qū)間為一10~—5和-3~-1

5.分離點與會合點，利用公式

6.根軌跡的漸進線

漸進線傾角為：夕/8。。(1+24)/8。。(1+2嘰利。

n-m3-1

；=i1=11+5+10-3(「

漸進線的交點為:-------------------=—0.5

3-1

根據(jù)以上結(jié)果畫出根軌跡如下圖：

4-7已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖P4-1所示，試寫出相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)并

繪制概略根軌跡圖。

j

X

----------

X

O

-00^------------x------------------?——?

O

圖P4-1題4-7的系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布

4-8求下列各開環(huán)傳遞函數(shù)所對應(yīng)的負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡。

K.G+2)

(2)%s)=&

s(s+2)(s~+2s+2)

K(s+2)

(3)W(s)=----------------

k5(5+3)(52+2s+2)

Kg(s+1)

5(5-1)(52+45+16)

/((Ms+l)

(5)W*(s)

S(S+1)(0.25S+1)2

解：第（1）小題

由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)WK"）=占"^得知

s~+2s+3

1.起點：K?=0時，起始于開環(huán)極點，即-/?,=-1+jl-414s-p2=-1-jl.414

2.終點：Kg=oc時，終止于開環(huán)零點，-Z1=-2

3.根軌跡的條數(shù)，兩條，一條終止于開環(huán)零點，另一條趨于無窮遠(yuǎn).

4.實軸上的根軌跡區(qū)間為一oc~—2

5.分離點與會合點，利用公式

,t2d~+6d+4—d~—2d—3d~+4d+1?

|f0一（屋+2d+3）（d+2）—-（d2+2d+3\d+2）

解上述一元二次方程得：

6.根軌跡的出射角和入射角

根據(jù)以上結(jié)果畫出根軌跡如下圖：

解：第（2）小題

由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)以。）=---------/--------得知

s(s+2)(s+2s+2)

1.起點：Kg=0時，起始于開環(huán)極點，即

一外=0-P\=-2-/?2=-1+./>-p3=-1-j

2.終點：K,=oc時，終止于開環(huán)零點，該系統(tǒng)零點在無窮遠(yuǎn)處。

3.根軌跡的條數(shù)，四條，四條均趨于無窮遠(yuǎn)。

4.實軸上的根軌跡區(qū)間為一2?0

5.分離點與會合點，利用公式

化簡上式：

解上式：

6.根軌跡的漸進線

+180°(1+2//)午180°(1+2〃)

漸進線傾角為:<P=-------------------=±45°,±135°

n-m4-0

r1+1+23

漸進線的交點為：-b*=—---------=-------=--=-0.75

n-m4-04

7.根軌跡的出射角和入射角

根據(jù)以上結(jié)果畫出根軌跡如下圖：

解：第（3）小題

勺($+2)

由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)M（s）=得知

s(s+3)(5'+2s+2)

1.起點：K.=0時，起始于開環(huán)極點，即

~Po=0-Pi=-3-p2=-\+j.-p3=-I-j

2.終點：K《=oc時，終止于開環(huán)零點，-Z