2025屆福建省閩粵聯(lián)合體高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
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2025屆福建省閩粵聯(lián)合體高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn),是線段上的點(diǎn),且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.4.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.5.已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則等于()A. B. C. D.6.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.57.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.8.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.9.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()A. B. C. D.10.下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.11.已知雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.14.如圖,在平面四邊形中,點(diǎn),是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.15.設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)(x,y)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為_____.16.曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線與曲線,分別交于、兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積18.(12分)已知橢圓的離心率為,且以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知?jiǎng)又本€l過右焦點(diǎn)F,且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為,求的值.19.(12分)為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大??;(2)若一個(gè)零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.20.(12分)甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為,三人各射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).22.(10分)如圖,在三棱柱中,、、分別是、、的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影為,求到平面的距離.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】試題分析:設(shè),由題意,顯然時(shí)不符合題意,故,則,可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故選C.考點(diǎn):1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程,均值不等式的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.解題時(shí)一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運(yùn)算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號(hào)是否成立,否則易出問題.2.B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí),所以,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B.本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡(jiǎn)運(yùn)算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題5.B【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點(diǎn),,故選:B考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎(chǔ)題.6.B【解析】

先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.7.C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.9.D【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),故選D.本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;B.,值域?yàn)椋婧瘮?shù),排除;C.,值域?yàn)?,奇函?shù),滿足;D.,值域?yàn)?,非奇非偶函?shù),排除;故選:.本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.11.A【解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,可得出,結(jié)合,得出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解:由雙曲線可知,焦點(diǎn)在軸上,則雙曲線的漸近線方程為:,由于焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,可得:,∴,即:,,所以雙曲線的漸近線方程為:.故選:A.本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),以及雙曲線的漸近線方程.12.C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實(shí)部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以且,解得.故選:C本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】試題分析:由題意得,因?yàn)閽佄锞€,即,即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).14.【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上,然后設(shè)出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo),進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo),再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,直徑為,又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱,所以圓心E在x軸上,設(shè)圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標(biāo)為,又B、D中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為,故.故答案為:.本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題,考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo),是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.15.【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分,當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(diǎn)(8,10)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則的最小值為.16.【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解:∵,

∴,

則,

又,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

則函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為,

即,

故答案為:.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2).【解析】

(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長(zhǎng),再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程為:,因?yàn)榍€的普通方程為:,曲線的極坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得:點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,點(diǎn)到射線的距離為的面積為.本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化,同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率為,得到,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,得到原心到直線的距離等于半徑,得到,從而求得,進(jìn)而求得橢圓的方程;(2)分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論,寫出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】(1)由離心率為,可得,,且以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為,因與直線相切,則有,即,,,故而橢圓方程為.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),,,由于;②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),,,則;③當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l的方程為,,,由及,得,有,∴,,,,∴,綜上所述:.該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,求向量數(shù)量積,在解題的過程中,注意對(duì)直線方程的分類討論,屬于中檔題目.19.(1)66.5(2)屬于【解析】

(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20.(1),ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ個(gè)人命中,3-ξ個(gè)人未命中”的概率.其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a);P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=;P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范圍是.21.(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn).【解析】

(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),寫出切線方程;(Ⅱ)二次求導(dǎo),判斷單調(diào)遞減,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,判斷即可;(Ⅲ),數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.【詳解】解:(Ⅰ),,,故在點(diǎn),處的切線方程為,即;(Ⅱ)證明:,,,故在遞減,又,,由零點(diǎn)存在性定理,存在唯一一個(gè)零點(diǎn),,當(dāng)時(shí),遞增;當(dāng)時(shí),遞減,故在只有唯一的一個(gè)極大值;(Ⅲ)函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn).本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性,屬于難題.22.(1)證明見解析;(2).

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