考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷6（共258題）

考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷6（共9套）（共258題）考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設X1，X2，…Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，記EX＝μ，DX＝σ2，DS＞0，則A、S是σ的無偏估計．B、S2是σ2的無偏估計．C、是μ2的無偏估計·D、是EX2的無偏估計．標準答案：B知識點解析：從上題知S2是無偏估計，應選(B)．進一步分析DS＝ES2一(ES)2>0(ES)2≠ES2＝σ2ES≠σ．σ2＋μ2≠μ2，2、設是從總體X中取出的簡單隨機樣本X1，…，Xn的樣本均值，則是μ的矩估計，如果A、X～N(μ，σ2)．B、X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布．C、P{X＝m}＝μ(1一μ)m－1，m＝1，2，…D、X服從[0，μ]上均勻分布．標準答案：A知識點解析：若X～N(μ，σ2)，則EX＝μ，μ的矩估計為，應選(A)．若x服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，則，μ的矩估計；對于選項(C)，X服從參數(shù)為μ的幾何分布，EX＝，μ＝的矩估計；對選項(D)，EX＝，μ＝2EX，于是μ的矩估計．3、假設總體X的方差DX＝σ2存在(σ>0)，X1，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，其方差為S2，且DS＞0，則A、S是σ的矩估計量．B、S是σ的最大似然估計量．C、S是σ的無偏估計量．D、S是σ的相合(一致)估計量．標準答案：D知識點解析：由各選項中概念的定義及知，正確選項是(D)，這是因為σ2DX的矩估計量，因而S不是σ的矩估計量，(A)不成立；題中未對X的分布做出假設，因此σ的最大似然估計量是否存在不知，(B)不成立。如果S2是σ2的最大似然估計量，根據(jù)最大似然估計的不變性，可以斷言S是σ的最大似然估計量，選項(B)成立，否則選項(B)不成立．如果S是σ的無偏估計即ES＝σ，由此得(ES)2＝σ2，又ES2＝σ2，所以DS＝ES2一(ES)2＝0，與假設矛盾，所以(C)不成立，因此選(D)．事實上，由大數(shù)定律及依概率收斂性質知故，即S是σ的相合估計量．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、設X1，X2，…Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，是總體方差σ2的無偏估計量，則a＝_______，b＝______．標準答案：知識點解析：樣本方差是總體方差σ2的無偏估計，所以5、設總體X服從(a，b)上的均勻分布，X1，X2，…Xn是取自X的簡單隨機樣本，則未知參數(shù)a，b的矩估計量為＝______．＝______．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)6、設總體X的概率分布為其中p(01，x2，…xn是總體X的一組樣本觀測值．(I)試求參數(shù)p的矩估計量和最大似然估計量；(Ⅱ)驗證相應兩個估計量的無偏性．標準答案：(I)矩估計＝p，故p的矩估計量．最大似然估計：似然函數(shù)解得p＝，故p的最大似然估計量(Ⅱ)由于，要證無偏性只要驗證即相應的估計量均為無偏估計量．知識點解析：暫無解析7、設總體X的概率密度為f(x，α，β)＝其中α和β是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估計值和最大似然估計值．標準答案：由f(x；α，β)≥0和f(x；α，β)dx＝1，得到α≥0，β≥0且α＋β＝1.于是(I)求矩估計值．由于而(－0．5＋0．3－0．2－0．6－0．1＋0．4＋0．5－0.8)＝，令E(X)＝，解得α的矩估計值．(Ⅱ)求最大似然估計值．由于在給定的8個樣本值中，屬(一1，0)的有5個，屬[0，1)的有3個，故似然函數(shù)為令，解得α的最大似然估計值(顯然這時L(α)最大)．知識點解析：暫無解析8、已知總體X服從瑞利分布，其密度函數(shù)為X1，…，Xn為取自總體X的簡單隨機樣本，求θ的矩估計量，并問這個估計量是否為無偏估計量?標準答案：記EX＝μ，DX＝σ2，則由等式，因此參數(shù)θ的矩估計量為由于樣本均值與總體X的期望相等，因此，計算可知是θ的有偏估計量．知識點解析：暫無解析9、接連不斷地、獨立地對同一目標射擊，直到命中為止，假定共進行n(n≥1)輪這樣的射擊，各輪射擊次數(shù)相應為k1，k2，…，后，試求命中率P的最大似然估計值和矩估計值．標準答案：依題意，總體X服從參數(shù)為p的幾何分布，即P{X＝k}＝p(1－p)k－1，k＝1，2，…，由于EX＝，所以p的矩估計值．樣本(k21，k2，…，kn)的似然函數(shù)L為L(k1，k2，…，kn；p)＝P{X1＝k1，X2＝k2，…，Xn＝kn}因此P的最大似然估計值知識點解析：暫無解析10、設X服從[0，6]上的均勻分布，X1，…，Xn為簡單隨機樣本，求a，b的最大似然估計量．標準答案：設χ的樣本觀測值為x1，…，xn則似然函數(shù)顯然，且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i＝1，…，n}＝{b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i＝1，…，n}＝{a≤(xi，…，xn)}，所以只有當b＝max{Xi}，a＝{Xi}時，L才達到最大值，故a，b的最大似然估計值分別為，從而可知其最大似然估計量分別是．知識點解析：暫無解析11、已知總體X的密度函數(shù)為其中θ，β為未知參數(shù)，X1，…，Xn為簡單隨機樣本，求θ和β的矩估計量．標準答案：因此θ與β的矩估計量分別為知識點解析：暫無解析12、設總體X服從韋布爾分布，密度函數(shù)為其中α>0為已知，θ>0是未知參數(shù)，試根據(jù)來自X的簡單隨機樣本X1，X2，…Xn，求θ的最大似然估計量．標準答案：設x1，x2，…，xn是樣本X1，…，Xn的觀測值，當Xi>0(i＝1，2，…，n)時其似然函數(shù)為因此θ的最大似然估計值為，最大似然估計量為．知識點解析：暫無解析13、設某種電子器件的壽命(以小時計)T服從指數(shù)分布，概率密度為其中λ＞0未知．現(xiàn)從這批器件中任取n只在時刻t＝0時投入獨立壽命試驗，試驗進行到預定時間T0結束，此時有k(0＜k＜n)只器件失效，試求λ的最大似然估計．標準答案：考慮事件A：“試驗直至時間T0為止，有k只器件失效，而有n—k只未失效”的概率．記T的分布函數(shù)為F(t)，即有一只器件在t＝0時投入試驗，則在時間T0以前失效的概率為P{T≤T0}＝F(T0)：1一；而在時間T0未失效的概率為P{T>T0}＝1一F(T0)＝．由于各只器件的試驗結果是相互獨立的，因此事件A的概率為這就是所求的似然函數(shù)．取對數(shù)得lnL(λ)＝lnCnk＋kln(1一)＋(n一k)(一λT0)，于是A的最大似然估計為知識點解析：暫無解析14、設總體X在區(qū)間[0，θ]上服從均勻分布，X1，X2，…Xn取自總體X的簡單隨機樣本，，X(n)＝max(X1，…，Xn)．(I)求θ的矩估計量和最大似然估計量；(Ⅱ)求常數(shù)a，b，使均為θ的無偏估計，并比較其有效性；(Ⅲ)應用切比雪夫不等式證明：均為θ的一致性(相合性)估計．標準答案：(I)依題意總體X的密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為令μ＝EX=，解得θ＝2μ，于是θ的矩估計量為．又樣本X1，…，Xn的似然函數(shù)為L(θ)為θ的單調減函數(shù)，且O≤xi≤θ，即θ要取大于xi的一切值，因此θ的最小取值為max(x1，…，xn)，θ的最大似然估計量＝max(X1，…，Xn)＝X(n)．為求得b，必須求X(n)的分布函數(shù)F(n)(x)及密度函數(shù)f(n)(x)，由X(n)＝max(X1，…，Xn)得知識點解析：暫無解析15、設有一批同型號產品，其次品率記為P．現(xiàn)有五位檢驗員分別從中隨機抽取n件產品，檢測后的次品數(shù)分別為1，2，2，3，2．(I)若已知P＝2．5％，求n的矩估計值；(Ⅱ)若已知n＝100，求P的極大似然估計值；(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，檢驗員從該批產品中再隨機檢測100個產品，試用中心極限定理近似計算其次品數(shù)大于3的概率．標準答案：記X為n件產品中的次品數(shù)，則X～B(n，P)．(Ⅰ)由＝EX＝np，即＝2.5%n，得＝80.(Ⅱ)(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，X～B(100，)，由中心極限定理知X近似服從N(2，)，于是知識點解析：暫無解析16、假設批量生產的某種配件的內徑X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，今隨機抽取16個配件，測得平均內徑＝3．05毫米，樣本標準差s＝0．4毫米，試求μ和σ2的90％置信區(qū)間．標準答案：這是一個正態(tài)總體的區(qū)間估計，由于σ2未知，關于μ的置信區(qū)間公式為其中滿足P{｜t(15)｜＞}＝0．1，查表可知t0.05(15)＝1．753，于是置信度為90％關于μ的置信區(qū)間為I＝(3.05－×1.753，3.05＋×1.753)＝(2.87，3.23)μ未知關于σ2的置信區(qū)間公式為其中(n一1)分別滿足P{χ2(n－1)≥}＝0.05，P{χ2(n－1)≥1－}＝0.95，查χ2分布上分位數(shù)表得χ0.952(15)＝7．261，χ0.052(15)＝24．996，于是置信度為90％關于σ2的置信區(qū)間為知識點解析：暫無解析17、在測量反應時間中假設反應時間服從正態(tài)分布，一心理學家估計的標準差是0．05秒．為了以95％的置信度使他對平均反應時間的估計誤差不超過0．01秒，應取的樣本容量n為多少?標準答案：對于正態(tài)總體方差已知μ的置信區(qū)間為其中滿足P{｜U｜≥}＝0．95，U—N(0，1)，所以＝1．96對平均反應時間的估計誤差為，解不等式因此應取的樣本容量n至少為97．知識點解析：暫無解析18、某裝置的平均工作溫度據(jù)制造廠家稱低于190℃．今從一個由16臺裝置構成的隨機樣本測得工作溫度的平均值和標準差分別為195℃和8℃，根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否支持廠家結論?設a＝0．05，并假定工作溫度近似服從正態(tài)分布．標準答案：這是一個正態(tài)總體方差未知關于期望值μ的假設檢驗問題H0：μ≥μ0＝190；H1：μ<190如果能根據(jù)觀測數(shù)據(jù)拒絕H0，就可以支持“低于190℃”的結論．選取統(tǒng)計量，當μ＝μ0時T～t(15)，這是一單邊檢驗，其拒絕域應為R＝{T＜－tα(15)}＝{≤μ0－tα(15)}，其中P{｜T｜＞tα(15)}＝2α，P{T＜－tα(15)}＝α，T~t(15).查表得知tα(15)＝t0.05(15)＝1．753．拒絕域為R＝{T<一1．753}，計算統(tǒng)計量T的值根據(jù)樣本觀測數(shù)據(jù)不能拒絕H0，即不能支持廠家所稱“平均工作溫度低于190℃”的結論．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設X～N(μ，16)，Y～N(μ，25)，p1=P{X≤μ一4}，p2=P{Y≥μ+5}，則：A、對任意實數(shù)μ，有p1=p2．B、對任意實數(shù)μ，有p1＜p2．C、對任意實數(shù)μ，有p1＞p2．D、只對部分實數(shù)μ，有p1=p2．標準答案：A知識點解析：暫無解析2、設隨機變量X，Y獨立同分布，P(X=一1)=P(X=1)=，則A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、設X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥1)=，則P(Y≥1)=______．標準答案：知識點解析：暫無解析4、用一臺機器接連獨立地制造3個同種零件，第i個零件是次品的概率為，(i=1，2，3)．設這3個零件中有X個合格品(非次品即為合格品)，則P(X=2)=______．標準答案：知識點解析：暫無解析5、設隨機變量X服從(-a,a)上的均勻分布(a＞0)，且已知P(X＞1)=，則a=_____，D(X)=______標準答案：3．知識點解析：暫無解析6、隨機變量X的密度為：且知EX=6，則常數(shù)A=______，B=______．標準答案：知識點解析：暫無解析7、設隨機變量X，Y，Z相互獨立，且X～N(4，5)，Y～N(一2，9)，Z～N(2，2)，則P{0≤X+Y—Z≤3}=______．(=0．7734)標準答案：0．2734．知識點解析：暫無解析8、對隨機變量X，Y，Z，已知EX=EY=1，EZ=一1，DX=DY=1，DZ=4，ρ(X,Y)(X．Y)=0，ρ(X,Z)=，ρ(Y,Z)=．(ρ為相關系數(shù))則E(X+Y+Z)=_______，D(X+Y+Z)=________，cov(2X+Y，3Z+X)=________標準答案：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2cov(X，Y)+2coy(X，Z)知識點解析：暫無解析9、設二維隨機變量(X，Y)的分布列為(如表)．其中α，β未知，但已知E(Y)=，則α=______，β=_______，E(X)=_______，E(XY)=_____．標準答案：知識點解析：暫無解析10、設(X，Y)在D：|x|+|y|≤a(a＞0)上服從均勻分布，則E(X)=_____，E(Y)=_______，E(XY)=______．標準答案：0,0,0知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)11、設飛機引擎在飛行中正常運行的概率為p，且各引擎是否正常運行是相互獨立的．如果有至少50％的引擎正常運行，飛機就能成功飛行．問對于多大的p而言，4引擎飛機比2引擎飛機更可取?標準答案：設4引擎與2引擎飛機分別有X與Y個引擎正常工作，則X～B(4，p)，Y～B(2，p)，P(X≥2)=1一(1一p)4一4p(1一p)3，P(Y≥1)=1一(1一p)2，由P(X≥2)≥P(Y≥1)，而0＜p＜1，可解得p≥．知識點解析：暫無解析12、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為問X與Y是否獨立?|X|與|Y|是否獨立?標準答案：關于X的邊緣密度為fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy．若|x|≥1，則fX(x)=0；若|x|＜1，則fX(x)=關于Y的邊緣密度為fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx即X與Y不獨立．而(|X|，|Y|)的分布函數(shù)為F(x，y)=P{|X|≤x，|y|≤y}當x≤0或y≤0時，f(x，y)undefinedundefinedundefined知識點解析：暫無解析13、設隨機變量X，Y，Z獨立，均服從指數(shù)分布，參數(shù)依次為λ1，λ2，λ3(均為正)．求P{X=min(X，Y，Z)}．標準答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度為知識點解析：暫無解析14、函數(shù)是否可以是某隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)?為什么?標準答案：令a=c=0，b=d=2，則a＜b，c＜d，但F(b．d)一F(a，d)-F(b，c)+F(a，c)=1—1-1+0=一1＜0，可見F(x，y)不是隨機變量的分布函數(shù)．知識點解析：暫無解析15、設X～U(0，1)且X與Y獨立同分布，求的分布函數(shù)(U(0，1)表示區(qū)間(0，1)上的均勻分布)F(u)．標準答案：由題意，(X，Y)的概率密度為u≤0時，F(xiàn)(u)=0；u≥1時，F(xiàn)(u)=1；其中G見圖1中陰影部分；其中D見圖2中陰影部分．知識點解析：暫無解析16、設區(qū)域D為：由以(0，0)，(1，1)，為頂點的四邊形與以為頂點的三角形合成．而(X，Y)在D上服從均勻分布，求關于X和Y的邊緣密度fX(x)和fY(y)．標準答案：易算得D1的面積為，D2的面積為故D的面積為∴(X，Y)的概率密度為∴fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy當x≤0或x≥1時，fX(x)=0；而fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx．當y≤0或y≥1時，fY(y)=0；知識點解析：暫無解析17、設X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，求Y=1-e-2x的概率密度fY(y)．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設一電路裝有3個同種電氣元件，它們工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布(λ＞0)，當3個元件都無故障時，電路正常工作，否則電路不能正常工作．求電路正常工作的時間T的密度f(t).標準答案：記X1，X2，X3為這3個元件的無故障工作的時間，則T=min(X1，X2，X3)的分布函數(shù)為FT(t)=P(T≤t)=1一P{min(X1，X2，X3)＞t}=1一[P(X1＞t)]3=1-[1一P(X1≤t)]undefined知識點解析：暫無解析19、設隨機變量X的密度為f(x)=一∞＜x＜+∞，求E[min(1，|X|)]．標準答案：知識點解析：暫無解析20、已知隨機變量X與Y獨立，且X服從[2，4]上的均勻分布，Y～N(2，16)．求cov(2X+XY，(Y-1)2)．標準答案：cov(2X+XY，(Y一1)2)=cov(2X+XY，Y2一2Y+1)=cov(XY，Y2一2Y)=cov(XY，Y2)一2cov(XY，Y)=E(XY3)一E(XY)E(Y2)一2EE(XY2)一E(XY).EY]=EX.EY3-EXEYEY2-2[EXE(Y2)一EX(EY)undefined知識點解析：暫無解析21、隨機變量X可能取的值為一1，0，1．且知EX=0．1，EX2=0．9，求X的分布列．標準答案：由題意，X的分布列可設為：且知：a+b+c=1，0．1=EX=一a+c，0．9=E(X2)=(一1)2.a+12.c=a+c．可解得a=0．4，b=0．1，c=0．5，代回分布列表達式即可．知識點解析：暫無解析22、在△ABC中任取一點P，而△ABC與△ABP的面積分別記為S與S1．若已知S=12，求ES1．標準答案：如圖建立坐標系，設AB長為r，△ABC高為h，c點坐標為(u，h)．設△ABC所圍區(qū)域為G，則G的畝積=12．又設P點坐標為(X，Y)，則隨機變量(X，Y)在G上服從均勻分布，其概率密度為知識點解析：暫無解析23、袋中裝有黑白兩種顏色的球，黑球與白球個數(shù)之比為3：2．現(xiàn)從此袋中有放回地摸球，每次摸1個．記X為直至摸到黑、白兩種顏色都出現(xiàn)為止所需要摸的次數(shù)．求E(X)．標準答案：知識點解析：暫無解析24、已知線段AB=4，CD=1，現(xiàn)分別獨立地在AB上任取點A1，在CD上任取點C1，作一個以AA1為底、CC1為高的三角形，設此三角形的面積為S，求P(S＜1)和D(S)．標準答案：記AA1長度為X，CC1長度為Y，則知X與Y為二相互獨立的隨機變量，分別服從區(qū)間[0，4]和[0，1]上的均勻分布，(X，Y)的概率密度為其中D={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤1}知識點解析：暫無解析25、設隨機變量X在區(qū)間(一1，1)上服從均勻分布，Y=X2，求(X，Y)的協(xié)方差矩陣和相關系數(shù)．標準答案：X的概率密度為：故EX=0，EX2=DY=E(Y2)一(EY)2=E(X4)一(EX2)2=，cov(X，Y)=coy(X，X2)=E(X3)-EX.EX2=0，故知(X，Y)的相關系數(shù)ρ(X,Y)=0，協(xié)方差陣為知識點解析：暫無解析26、現(xiàn)有k個人在某大樓的一層進入電梯，該樓共n+1層．電梯在任一層時若無人下電梯則電梯不停(以后均無人再入電梯)．現(xiàn)已知每個人在任何一層(當然不包括第一層)下電梯是等可能的且相互獨立，求電梯停止次數(shù)的平均值．標準答案：i=2,3,…,n+1,而為電梯停的次數(shù)，故知平均停的次數(shù)為EX=知識點解析：暫無解析27、設某種元件的壽命為隨機變量且服從指數(shù)分布．這種元件可用兩種方法制得，所得元件的平均壽命分別為100和150(小時)，而成本分別為c和2c元．如果制得的元件壽命不超過200小時，則須進行加工，費用為100元．為使平均費用較低，問c取值時，用第2種方法較好?標準答案：記用第一、第二種方法制得的元件的壽命分別為X、Y，費用分別為ξ、η，則知X、Y的概率密度分別為：∴Eξ=(c+100)P(X≤200)+c.P(X＞200)=c+100p(X≤200)，Eη=(2c+100)P(Y≤200)+2cP(Y＞200)=2c+100P(Y≤200)，于是Eη一Eξ=c+100．[P(Y≤200)一P(X≤200)]=c+100，可見c＜時，Eη＜Eξ，用第2種方法較好(平均費用較低)．知識點解析：暫無解析28、設做一次實驗的費用為1000元，如果實驗失敗，則要另外再花300元對設備調整才能進行下一次的實驗．設各次實驗相互獨立，成功的概率均為0．2，并假定實驗一定要進行到出現(xiàn)成功為止．求整個實驗程序的平均費用．標準答案：設需進行X次試驗，則所需費用為Y=1000+300(X—1)．而P(X=k)=0．8k-1.0．2，k=1，2，…，記g(x)=于是EX=，故EY=1000+300(EX一1)=2200(元)．知識點解析：暫無解析29、現(xiàn)有獎券100萬張，其中一等獎1張，獎金5萬元；二等獎4張，每張獎金2500元；三等獎40張，每張獎金250元；四等獎400張，每張獎金25元．而每張獎券2元，試計算買一張獎券的平均收益．標準答案：記X和ξ分別為買1張獎券的所得的獎金和凈收益(單位為元)，則ξ=X一2，而X的概率分布為：知識點解析：暫無解析30、設隨機變量(X，Y)～N(0，1；0，1；ρ)，求Emax(X，Y)．標準答案：E(X—Y)=EX—EY=0，D(X—Y)=DX+DY一2cov(X，Y)=1+1—2ρ=2(1一ρ)，∴X一Y～N(0,2(1-ρ)),知識點解析：暫無解析31、設隨機變量X1，X2，…，Xn獨立同分布且DX1=σ2，令，試求相關系數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析32、設試驗成功的概率為，失敗的概率為，獨立重復試驗直到兩次成功為止．設X為所需要進行的試驗次數(shù)，求X的概率分布及E(X)．標準答案：P(X=k)=P{前k一1次試驗中恰出現(xiàn)1次成功，第k次試驗成功}=．k=2，3，…，設出現(xiàn)第1次成功時進行了ξ次試驗，從第1次成功(不含)到第2次成功(含)進行了η次試驗，則X=ξ+η，且ξ與η服從同一幾何分布：P(ξ=k)=，k=1，2，…，可算得Eξ=Eη=故EX=Eξ+Eη=知識點解析：暫無解析33、n個小球和n個盒子均編號1，2，…，n，將n個小球隨機地投入n個盒中去，每盒投1個球．記X為小球編號與所投之盒子編號相符的個數(shù)，求E(X)．標準答案：知識點解析：暫無解析34、在長為a的線段AB上獨立、隨機地取兩點C，D，試求CD的平均長度．標準答案：設AC、AD的長度分別為X、Y，由題意知X與Y獨立同分布，均服從區(qū)間(0，a)上的均勻分布，故(X，Y)的概率密度為：f(x，y)=其中D={(x，y)|0＜x＜a，0＜y＜a}，而CD的長度為|X—Y|，故知知識點解析：暫無解析35、設隨機變量X1，…，Xn，Xn+1獨立同分布，且P(X1=1)=p，P(X1=0)=1一p，記：(i=1，2，…，n)．求標準答案：EYi=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，Xi+1=1)+P(Xi=1，Xi+1=0)=2p(1一p)，i=1，…，n=2np(1一p)，而E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1一p)，∴DYi=E(Yi知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、對任意兩個事件A和B，若P(AB)=0，則()．A、AB=B、C、P(A)P(B)=0D、P(A—B)=P(A)標準答案：D知識點解析：選(D)，因為P(A—B)=P(A)一P(AB)．2、設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=(a＞0，A為常數(shù))，則P｛a＜x＜a+b｝的值()．A、與b無關，且隨a的增加而增加B、與b無關，且隨a的增加而減少C、與a無關，且隨b的增加而增加D、與a無關，且隨b的增加而減少標準答案：C知識點解析：因為∫－∞＋∞f(x)dx=1，所以∫a＋∞Ae－xdx=1，解得A=ea．由P(a＜X＜a＋b)=∫aa＋bf(x)dx=∫aa＋beae－xdx=－eae－x｜aa＋b=1一e－b，得P(a＜X＜a+b)與a無關，且隨b的增加而增加，正確答案為(C)．3、設二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服從均勻分布，p=P(X2+9Y2≤9a2)，則()．A、p的值與a無關，且p=B、p的值與a無關，且p=C、p的值隨口值的增大而增大D、p的值隨a值的增大而減少標準答案：B知識點解析：因為(X，Y)在區(qū)域D：x2+y2≤9a2上服從均勻分布，4、設(X1，X2，…，Xn)(n≥2)為標準正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由，選(D)．5、總體X～N(μ，52)，則總體參數(shù)μ的置信度為1－α的置信區(qū)間的長度()．A、與α無關B、隨α的增加而增加C、隨α的增大而減少D、與α有關但與α的增減性無關標準答案：C知識點解析：總體方差已知，參數(shù)μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為，其中n為樣本容量，長度為越大，所以置信區(qū)間的長度隨α增大而減少，選(C)．6、以下命題正確的是()．A、若事件A，B，C兩兩獨立，則三個事件一定相互獨立B、設P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B獨立，則A，B一定互斥C、設P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B互斥，則A，B一定獨立D、A，B既互斥又相互獨立，則P(A)=0或P(B)=0標準答案：D知識點解析：當P(A)＞0，P(B)＜0時，事件A，B獨立與互斥是不相容的，即若A，B獨立，則P(AB)=P(A)P(B)＞0，則A，B不互斥；若A，B互斥，則P(AB)=0≠P(A)P(B)，即A，B不獨立，又三個事件兩兩獨立不一定相互獨立，選(D)．7、設隨機變量X與Y相互獨立且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則下列隨機變量中服從參數(shù)為2λ的指數(shù)分布的是()．A、X+YB、X—YC、max｛X，Y｝D、min｛X，Y｝標準答案：D知識點解析：由于X～E(λ)，所以密度函數(shù)為f(x)=，分布函數(shù)為事實上，min(X，Y)的分布函數(shù)為P｛min(X，Y)≤x｝=1一P｛min(X，Y)＞x｝=1一P(X＞x，Y＞x)=1一P(X>x)P(Y＞x)=1-[1-F(x)]2=二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)8、設P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，則P(A+B)=_________．標準答案：0．9知識點解析：因為P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A+B)=P(A－B)+P(B)=0．8．9、設X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥1)=，則P(Y≥1)=________．標準答案：知識點解析：10、設X表示12次獨立重復射擊擊中目標的次數(shù)，每次擊中目標的概率為0．5，則E(X2)=_________．標準答案：39知識點解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．11、設X，Y相互獨立且都服從標準正態(tài)分布，則E｜X—Y｜=_________，D｜X—Y｜=_________．標準答案：2，知識點解析：因為E｜Z｜2=E(Z2)=D(Z)+[E(Z)]2=2，所以D｜Z｜=E｜Z｜2=(E｜Z｜)2=2一．12、設A，B是兩個隨機事件，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，則=________．標準答案：0.4知識點解析：因為P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，所以P(AB)=0．2．又因為，所以=P(A)+P(B)一2P(AB)=0．8—0．4=0．4．13、設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=，則P｛｜X－E(X)｜＜2D(X)｝=________．標準答案：知識點解析：14、設X1，X2，…，X100相互獨立且在區(qū)間[一1，1]上同服從均勻分布，則由中心極限定理P()≈________．標準答案：0．8413知識點解析：15、設總體X，Y相互獨立且服從N(0，9)分布，(X1，…，X9)與(Y1，…，Y9)分別為來自總體X，Y的簡單隨機樣本，則U=～__________．標準答案：知識點解析：由X1+X2+…+X9～N(0，81)，得(X1+X2+…+X9)～N(0，1)，因為Y1，…，Y9相互獨立且服從N(0，9)分布，所以(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)，即(Y12+…+Y92)～χ2(9)，因此U=～t(9)．16、設總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是來自總體的簡單樣本，其中參數(shù)μ，σ未知，令，則假設H0：μ=0的t檢驗使用統(tǒng)計量________．標準答案：知識點解析：在σ未知的情況下，對參數(shù)μ進行假設檢驗選用統(tǒng)計量t=，其中．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)17、設X～N(0，1)，Y=X2，求Y的概率密度函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析袋中有10個大小相等的球，其中6個紅球4個白球，隨機抽取2個，每次取1個，定義兩個隨機變量如下：就下列兩種情況，求(X，Y)的聯(lián)合分布律：18、第一次抽取后放回；標準答案：(X，Y)的可能取值為(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)．知識點解析：暫無解析19、第一次抽取后不放回．標準答案：知識點解析：暫無解析20、游客乘電梯從底層到頂層觀光，電梯于每個整點的5分、25分、55分從底層上行，設一游客早上8點X分到達底層，且X在[0，60]上服從均勻分布，求游客等待時間的數(shù)學期望．標準答案：因為X～[0，60]，所以X的密度函數(shù)為f(x)=．游客等電梯時間設為T，則T=，于是E(T)=∫－∞＋∞T(x)f(x)dx=[∫05(5一x)dx+∫525(25-x)dx+∫2555(55一x)dx+∫5560(65一x)dx]=11．67(分鐘)．知識點解析：暫無解析設隨機變量X，Y獨立同分布，且X～N(0，σ2)，再設U=aX+bY，V=aX一bY，其中a，b為不相等的常數(shù)．求：21、E(U)，E(V)，D(U)，D(V)，ρUV；標準答案：E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aX—bY)=0，D(U)=D(V)=(a2+b2)σ2．Cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX—bY)=a2D(X)一b2D(Y)=(a2一b2)σ2知識點解析：暫無解析22、設U，V不相關，求常數(shù)a，b之間的關系．標準答案：U，V不相關知識點解析：暫無解析23、一批種子中良種占，從中任取6000粒，計算這些種子中良種所占比例與之差小于0．01的概率．標準答案：設6000粒種子中良種個數(shù)為X，則X～B(6000，)，知識點解析：暫無解析24、設事件A，B獨立．證明：事件都是獨立的事件組．標準答案：由A，B獨立，得P(AB)=P(A)P(B)，知識點解析：暫無解析25、設隨機變量X的概率密度為fX(x)=，求y=eX的概率密度fY(y)．標準答案：FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤y)，當y≤1時，X≤0，F(xiàn)Y(y)=0；當y＞1時，X＞0，F(xiàn)Y(y)=P(eX≤y)=P(X≤lny)=∫－∞lnyfX(x)dx=∫0lnye－xdx，知識點解析：暫無解析設D=｛(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1｝，且變量(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，令Z=．26、令U=X+Z，求U的分布函數(shù)．標準答案：隨機變量(X，Y)的聯(lián)合密度為f(x，y)=，U的分布函數(shù)為F(x)=P｛U≤x｝，當x＜0時，F(xiàn)(x)=0；當x≥2時，F(xiàn)(x)=1；當0≤x＜1時，F(xiàn)(x)=｛X+Z≤x｝=P｛Z=0，X≤x｝=P｛X＜Y，X≤x｝=∫0xdx∫x1dy=∫0x(1一x)dx=x一；當1≤x＜2時，F(xiàn)(x)=P｛Z=0，X≤x｝+P｛Z=1，X≤x一1｝=P｛X＜Y，X≤1｝+P｛X≥Y，X≤x一1｝知識點解析：暫無解析27、判斷X，Z是否獨立．標準答案：設(X，Z)的分布函數(shù)為F(x，z)，知識點解析：暫無解析28、設隨機變量X，Y相互獨立，且，Z=｜X—Y｜，求E(Z)．標準答案：知識點解析：暫無解析29、設總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)．從該總體中抽取簡單隨機樣本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令的數(shù)學期望．標準答案：令Yi=Xi+Xn＋i(i=1，2，…，n)，則Y1，Y2，…，Yn為正態(tài)總體N(2μ，2σ2)的簡單隨機樣本，=(n一1)S2，其中S2為樣本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以統(tǒng)計量U=的數(shù)學期望為E(U)=E[(n一1)S2]=2(n一1)σ2．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設X1，X2為相互獨立的連續(xù)型隨機變量，分布函數(shù)分別為F1(x)，F(xiàn)2(x)，則一定是某一隨機變量的分布函數(shù)的為()A、F1(x)+F2(x)B、F1(x)－F2(x)C、F1(x)F2(x)D、F1(x)／F2(x)標準答案：C知識點解析：用排除法．因為F1(x)，F(xiàn)2(x)都是分布函數(shù)，所以故(A)不正確．故(B)不正確．對于D，由于型未定式極限，因此不能保證故(D)不正確．容易證明F1(x)F2(x)是單調不減的右連續(xù)函數(shù)，且=1，故其一定是某一隨機變量的分布函數(shù)，所以C正確．2、已知隨機變量Xn(n=1，2，…)相互獨立且都在(－1，1)上服從均勻分布，根據(jù)獨立同分布中心極限定理有=()A、Ф(0)B、Ф(1)C、D、Ф(2)標準答案：C知識點解析：由題設知EXn=0，由中心極限定理，對任意x有3、設P(B)＞0，A1，A2互不相容，則下列各式中不一定正確的是()A、P(A1A2｜B)=0B、P(A1∪A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)C、D、標準答案：C知識點解析：由A1A2=，得P(A1A2)=0，于是：P(A1A2｜B)==0，A正確；P(A1∪A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)－P(A1A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)，B正確；=1－P(A1∪A2｜B)=1－P(A1｜B)－(A2｜B)不一定等于1，C錯誤；=1－P(A1A2｜B)=1－0=1，D正確．4、設隨機變量(X，Y)的概率密度f(x，y)滿足f(x，y)=f(－x，y)，且ρXY存在，則ρXY=()A、1B、0C、一1D、一1或1標準答案：B知識點解析：因為E(XY)=∫－∞+∞ydy∫－∞+∞xf(x，y)dx(∫－∞+∞ydy∫－∞+∞(－t)f(－t，y)dt=∫－∞+∞ydy∫－∞+∞(－t)f(t，y)dt=－∫－∞+∞ydy∫－∞+∞xf(x，y)dx=－E(XY)，所以E(XY)=0．同理，EX=∫－∞+∞x[∫－∞+∞f(x，y)dy]dx=0，所以ρXY=0．類似地，當f(x，y)=f(x，－y)時，ρXY=0．5、設X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分別是來自正態(tài)總體N(－1，4)和N(2，5)的簡單隨機樣本，且相互獨立，S12，S22分別為這兩個樣本的方差，則服從F(7，9)分布的統(tǒng)計量是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由因此本題選D．6、設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，若則()A、μ1＜μ2B、μ1＞μ2C、σ1＜σ2D、σ1＞σ2標準答案：A知識點解析：由于X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，故X－Y～N(μ1－μ2，σ12+σ22)．于是P{X＞Y)=P{X－Y＞0}=1－P{X－Y≤0}可知=>μ2＞μ1．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、設事件A，B，C兩兩獨立，三個事件不能同時發(fā)生，且它們的概率相等，則P(A∪B∪C)的最大值為______．標準答案：知識點解析：依題意有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P()=3P(A)－3[P(A)]2故P(A∪B∪C)的最大值為=8、設隨機變量X的概率密度為為______．標準答案：知識點解析：9、設隨機變量X的數(shù)學期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估計得P{｜X～75｜≥k}≤0．05，則k=______．標準答案：10知識點解析：P{｜X－75｜≥k}=P{｜X－EX｜≥k)≤即k=10．10、設隨機變量X服從正態(tài)分布，其概率密度為f(x)=ke－x2－2x－1(－∞＜x＜+∞)，則常數(shù)k=______．標準答案：知識點解析：∫－∞+∞f(x)dx=k∫－∞+∞e－(x－1)2d(x－1)11、設隨機變量X與Y的分布律為且相關系數(shù)則(X，Y)的分布律為______．標準答案：知識點解析：設(X，Y)的分布律如下(邊緣分布律也表示于表中)則E(XY)=p11，從而有由此得所以(X，Y)的分布律為12、設總體X～N(μ，8)，X1，X2，…，X36是來自X的簡單隨機樣本，是它的均值．如果是未知參數(shù)μ的置信區(qū)間，則置信水平為______．標準答案：0.966知識點解析：由題設可知由此得置信水平1－α=0．966．13、市場上某產品由甲、乙兩廠各生產，已知甲廠和乙廠的產品指標分別服從分布函數(shù)F1(x)和F2(x)，現(xiàn)從市場上任取一件產品，則其指標服從的分布函數(shù)為______．標準答案：[F1(x)+F2(x)]知識點解析：設隨機變量ξ1，為甲廠產品指標，隨機變量ξ2為乙廠產品指標，隨機變量ξ為任取一件產品指標，事件A為“所取一件產品屬甲廠生產”．根據(jù)全概率公式，所求分布函數(shù)為三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、一汽車沿一街道行駛，需要通過三個設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠相互獨立，且每一信號燈紅綠兩種信號顯示的概率均為，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求X的概率分布．標準答案：P{X=0}=P{第一個路口即為紅燈}=．P{X=1)=P{第一個路口為綠燈，第二個路口為紅燈}=以此類推，得X的分布律為知識點解析：暫無解析15、設隨機變量X的概率密度為已知EX=2，P{1＜X＜3}=求：(1)a，b，c的值；(2)隨機變量Y=ex的數(shù)學期望和方差．標準答案：(1)由題意有，1=∫－∞+∞f(x)dx=∫02axdx+∫24(cx+b)dx=2a+2b+6c，2=∫－∞+∞xf(x)dx=∫02ax2dx+∫24(cx+b)xdx解方程組(2)EY=E(eX)=∫－∞+∞exf(x)dx=E(Y2)=E(e2X)=∫－∞+∞e2xf(x)dx=DY=E(Y2)－(EY)2=e2(e2－1)2．知識點解析：暫無解析16、設X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，EX=μ，DX=σ2＜+∞，求EX，DX和E(S2)．標準答案：依題意有EXi=μ，DXi=σ2，進而有E(Xi2)=DXi+(EXi)2=σ2+μ2，知識點解析：暫無解析17、某種零件的尺寸方差為σ2=1．21，抽取一批這類零件中的6件檢查，得尺寸數(shù)據(jù)如下(單位：毫米)：32．56，29．66，31．64，30．00，21．87，31．03，設零件尺寸服從正態(tài)分布，問這批零件的平均尺寸能否認為是32．50毫米(α=0．05)．標準答案：問題是在σ2已知的條件下檢驗假設H0：μ=32．50．因此H0的拒絕域為｜Z｜≥zα／2，其中z0．025=1．96，故又因｜Z｜=6．77＞1．96，所以否定H0，即不能認為平均尺寸是32．50毫米．知識點解析：暫無解析18、設事件A出現(xiàn)的概率為p=0．5，試利用切比雪夫不等式，估計在1000次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)在450到550次之間的概率α．標準答案：設X是“1000次獨立重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)”，則X～B(1000，0．5)，EX=1000×0．5=500，DX=1000×0．52=250．利用切比雪夫不等式，知α=P{450＜X＜550{=P{｜X－500｜＜50}≥=0．9．知識點解析：暫無解析設有甲、乙兩名射擊運動員，甲命中目標的概率是0．6，乙命中目標的概率是0．5，求下列事件的概率：19、從甲、乙中任選一人去射擊，若目標被命中，則是甲命中的概率；標準答案：該隨機試驗分為兩個階段：①選人，A甲，A乙；②射擊，B={目標被命中}．則知識點解析：暫無解析20、甲、乙兩人各自獨立射擊，若目標被命中，則是甲命中的概率．標準答案：該隨機試驗不分階段，記A甲={甲命中}，A乙={乙命中}，B={目標被命中}，則知識點解析：暫無解析21、某考生想借張宇編著的《張宇高等數(shù)學18講》，決定到三個圖書館去借，對每一個圖書館而言，有無這本書的概率均為0．5；若有，能否借到的概率也均為0．5，假設這三個圖書館采購、出借圖書相互獨立，求該生能借到此書的概率．標準答案：設A={該生能借到此書}，Bi={從第i館借到}，=1，2，3．則P(B1)=P(B2)=P(B3)=P{第i館有此書且能借到}=于是知識點解析：暫無解析22、設隨機變量X與Y相互獨立，都服從均勻分布U(0，1)．求Z=｜X－Y｜的概率密度及標準答案：U=X－Y的概率密度為fU(u)=∫－∞+∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．當u≤－1或u≥1時，fU(u)=0；當－1＜u≤0時，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫－u11dy=1+u；當0＜u＜1時，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01－u1dy=1－u，即所以Z=｜X－Y｜=｜U｜的概率密度為知識點解析：暫無解析23、若隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…，滿足條件試證明：{Xn}服從大數(shù)定律．標準答案：由切比雪夫不等式，對任意的ε＞0有所以對任意的ε＞0，故{Xn}服從大數(shù)定律．知識點解析：暫無解析24、設X1，X2，…，Xn是取自均勻分布在(0，θ)上的一個樣本，試證：Tn=max{X1，X2，…，Xn}是θ的相合估計量．標準答案：Tn=X(n)的分布函數(shù)為Tn的概率密度為fT(t)=F’T(t)=nf(t)Fn－1(t)=由切比雪夫不等式有因此可知：當n→∞時，故Tn是θ的相合估計量．知識點解析：暫無解析25、設某產品的指標服從正態(tài)分布，它的標準差為σ=100，今抽了一個容量為26的樣本，計算平均值為1580，問在顯著性水平α=0．05下，能否認為這批產品的指標的期望值μ不低于1600．標準答案：問題是在σ2已知的條件下檢驗假設H0：μ≥1600；H1：μ＜1600．H0的否定域為Z＜－zα／2，其中－z0．025=1．96．因為Z=－1．02＞－1．96=－z0．025，所以接受H0，即可以認為這批產品的指標的期望值μ不低于1600．知識點解析：暫無解析產品壽命X是一個隨機變量，其分布函數(shù)與概率密度分別為F(x)，f(x)．產品已工作到時刻x，在時刻x后的單位時間△x內發(fā)生失效的概率稱為產品在時刻z的瞬時失效率，記為λ(x)．26、證明標準答案：知識點解析：暫無解析27、設某產品壽命的瞬時失效率函數(shù)為λ(x)=a，其中參數(shù)α＞0，求產品壽命X的數(shù)學期望．標準答案：將λ(x)=α代入得上式兩邊積分得∫0xαdT=∫0x{－ln[l－F(t)])’dt，αx+C=－ln[l－F(x)]，即1－F(x)=e－(αx+C)，又F(0)=P{x≤0}=0，則C=0，故F(x)=1～e－αx，即產品壽命服從指數(shù)分布，所以知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)1、已知P(A)=p，P(B)=q，且A與B互斥，則A與B恰有一個發(fā)生的概率為()A、p+q．B、1-p+q．C、1+p-q．D、p+q-2pq．標準答案：A知識點解析：A與B恰有一個發(fā)生可以表示為，故其概率為，故P(AB)=0，因而=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)=p+q，故選擇A．2、設A，B相互獨立，則下面說法錯誤的是()A、A與相互獨立．B、與B相互獨立．C、D、A與B一定互斥．標準答案：D知識點解析：由于A，B相互獨立，因此A與相互獨立，從而A、B、C都是正確的說法，故選D．3、設A，B，C是三個相互獨立的隨機事件，且0＜P(C)＜1，則在下列給定的四對事件中可能不相互獨立的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：相互獨立的隨機事件A1，A2，…，Am中任何一部分事件，包括它們的和、差、積、逆等運算的結果必與其他一部分事件或它們的運算結果都是相互獨立的．所以A、C、D三對事件必為相互獨立的．當P(C)＜1，P(AC)>O時，如果獨立，即AC與C也獨立，則有P(AC∩C)=P(AC)P(C)，P(AC)=P(AC∩C)=P(AC)P(C)．因為P(AC)＞0，等式兩邊同除以P(AC)得P(C)=1，與題目已知條件矛盾．所以此時AC與C不獨立，選B．4、已知f1(x)，f2(x)均為隨機變量的概率密度函數(shù)，則下列函數(shù)可以作為概率密度函數(shù)的是()A、f1(x)+f2(x)．B、f1(x)f2(x)．C、2f1(x)-f2(x)．D、0．4f1(x)+0．6f2(x)．標準答案：D知識點解析：A選項，函數(shù)[f1(x)+f2(x)]dx=2，不滿足概率密度的規(guī)范性，排除A；B選項，令f1(x)=f2(x)=則f1(x)，f2(x)均為隨機變量的概率密度，而f1(x)f2(x)=不滿足概率密度的規(guī)范性，排除B；C選項，令f1(x)=則2f1(x)-f2(x)=，不滿足概率密度的非負性，排除C；D選項，首先0．4f1(x)+0．6f2(x)≥0，同時因此0．4f1(x)+0．6f2(x)可以作為隨機變量的概率密度．故選D．5、設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=(-∞＜x＜+∞)，則其分布函數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因F’(x)=f(x)，而A、C不滿足這個條件，故排除A、C；因f(x)為連續(xù)函數(shù)，則F(x)也是連續(xù)函數(shù)，而對D，，故排除D；選擇B．6、設隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，記p1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}，則()A、對任何實數(shù)μ，都有p1=p2．B、對任何實數(shù)μ，都有p1＜p2．C、只對μ的個別值，有p1=p2．D、對任何實數(shù)μ，都有p1＞p2．標準答案：A知識點解析：X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，則p1=P(X≤λ-4}==Ф(-1)，p2=P{Y≥μ+5}==1-Ф(1)=Ф(-1)，因此，對任何實數(shù)μ，都有p1=p2，應選A．7、已知f1(x)，f2(x)分別是某個隨機變量的概率密度，則f(x，y)=f1(x)f2(y)+h(x，y)為某個二維隨機變量概率密度的充要條件是()A、h(x，y)≥0，且h(x，y)dxdy=1．B、h(x，y)≥0，且h(x，y)dxdy=0．C、h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，且h(x，y)dxdy=1．D、h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，且h(x，y)dxdy=0．標準答案：D知識點解析：由概率密度的充要條件可知f(x，y)=f1(x)f2(y)+h(x，y)≥0，且所以h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，又由，故選D．8、已知隨機變量X1與X2相互獨立且有相同的概率分布：P{Xi=-1}=，P{Xi=1}=(i=1，2)，則()A、X1與X1X2獨立且有相同的分布．B、X1與X1X2獨立且有不相同的分布．C、X1與X1X2不獨立且有相同的分布．D、X1與X1X2不獨立且有不相同的分布．標準答案：A知識點解析：由題設知X1X2可取-1，1，且P{X1X2=-1}一P{X1=-1，X2=1)+P{X1=1，X2=-1}=P(X1=-1}P{X2=1}+P{X1=1}P(X2=-1}又P{X1=-1，X1X2=-1)=P{X1=-1，X2=1}=利用邊緣概率和條件概率之間的關系，得到(X1，X1X2)的概率分布：從而X1與X1X2有相同的概率分布，且由以上概率分布可知P{X1=i，X1X2=j{=P{X1=i)P{X1X2=j}，i=-1，1，j=-1，1．所以X1與X1X2相互獨立，故應選A．9、設隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，且它們不相關，則()A、X與Y一定獨立．B、(X，Y)服從二維正態(tài)分布．C、X與Y未必獨立．D、X+Y服從一維正態(tài)分布．標準答案：C知識點解析：本題考查正態(tài)分布的性質以及二維正態(tài)分布與一維正態(tài)分布之間的關系．只有(X，Y)服從二維正態(tài)分布時，不相關與獨立才是等價的．即使X與Y都服從正態(tài)分布，甚至X與Y不相關也并不能推出(X，Y)服從二維正態(tài)分布．例如(X，Y)的聯(lián)合密度為不難驗證X與y都服從正態(tài)分布N(0，1)，且相關系數(shù)ρXY=0，而(X，Y)不服從二維正態(tài)分布，X與Y也不相互獨立．本題僅僅已知X與Y服從正態(tài)分布，因此，由它們不相關推不出X與Y一定獨立，排除A；若X與Y都服從正態(tài)分布且相互獨立，則(X，Y)服從二維正態(tài)分布，但題設并不知道X，Y是否獨立，可排除B；同樣要求X與Y相互獨立時，才能推出X+Y服從一維正態(tài)分布，可排除D．故正確選項為C．10、設隨機變量(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=的密度函數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：是一維隨機變量，密度函數(shù)是一元函數(shù)，排除A、B．對于D，因為，所以D中所給函數(shù)不是某隨機變量的密度函數(shù)，排除D．故選C．11、已知隨機變量X的分布函數(shù)F(z)在x-1處連續(xù)，且F(1)-1，記Y=(abc≠0)，則Y的期望E(Y)=()A、a+b+c．B、a．C、b．D、c．標準答案：D知識點解析：F(x)在x=1處連續(xù)且F(1)=1，所以P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0，P{X＞1}=1-P{X≤1}=1-F(1)=0．P{X＜1)=P(X≤1}-P{X=1}=F(1)-0=1．E(Y)=aP{X＞1}+bP{X=1}+cP{X＜1}=C．12、設隨機變量X～E(2)，Y～E(1)，且相關系數(shù)ρXY=-1，則()A、P(Y-2X+2}=1．B、P(Y=-2X-2}=1．C、P{Y=2X-2}=1．D、P{Y=-2X+2)=1．標準答案：D知識點解析：由于ρXY=-1，因此P{Y=aX+b}=1．其中a＜0，b為常數(shù)，又1=E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=+b，1=D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=所以a=±2，由a＜0得a=-2，nb=2，故選D．13、設隨機變量X，Y的方差存在且不等于0，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y()A、不相關的充分條件，但不是必要條件．B、獨立的充分條件，但不是必要條件．C、不相關的充分必要條件．D、獨立的充分必要條件．標準答案：C知識點解析：因為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+，且D(X)≠0，D(Y)≠0，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)ρXY=0(X，Y不相關)．故選C．14、設總體X的均值為E(X)=1，方差為D(X)=1，X1，X2，…，X9是總體X的簡單隨機樣本，令統(tǒng)計量y=，則由切比雪夫不等式，有()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由于E(Y)=，因此由切比雪夫不等式，有P{｜Y-9｜＜ε}=P{｜Y-E(Y)｜＜ε}≥1-，故選B．15、隨機變量X1，X2，X3，X4獨立同分布，都服從正態(tài)分布N(1，1)，且服從χ2分布，則常數(shù)k和χ2分布的自由度n分別為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：利用正態(tài)分布的性質得到Xi～N(4，4)，標準化得到所以，n=1．故應選A．16、設X～N(a，2)，Y～N(b，2)，且X，Y獨立，分別在X，Y中取容量為m和n的簡單隨機樣本，樣本方差分別記為SX2和SY2，則T=[(m-1)SX2+(n-1)SY2]服從()A、t(m+n-2)．B、F(m-1，n-1)．C、χ2(m+n-2)．D、t(m+n)．標準答案：C知識點解析：因為～χ2(n-1)，且χ2分布具有可加性，所以T～χ2(m+n-2)．故選C．17、設為θ的無偏估計，且必為θ2的()A、無偏估計．B、有偏估計．C、一致估計．D、有效估計．標準答案：B知識點解析：因為為θ的無偏估計，所以≠θ2．故選B．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)18、設A，B是任意兩個隨機事件，則=_______．標準答案：0知識點解析：19、設10件產品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產品中有1件是不合格品，則另1件也是不合格品的概率為_______．標準答案：知識點解析：設A={2件產品中有1件是不合格品}，B={2件都是不合格品}，則所求即為20、設隨機變量X的概率密度為以Y表示對X的3次重復觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則P(Y=2}=______．標準答案：知識點解析：21、隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則P{-2＜X＜4｜X＞0}=______．標準答案：1-e-ε知識點解析：因為X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，故P{X＞0}=，從而P{-2＜X＜4｜X＞0}=22、設X和Y為兩個隨機變量，且P{X≥0，Y≥0}=，則P{min{X，Y}＜0}=________．標準答案：知識點解析：P{min{X，Y}＜0}=1-p{min{X，Y}≥0}=1-P{X≥0，Y≥0}=23、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)=，則X的數(shù)學期望為_______，X的方差為_______．標準答案：知識點解析：將f(x)改寫為正態(tài)分布概率密度的一般形式f(x)=由上式知，X服從正態(tài)分布，所以E(X)=1，D(X)=24、D(X)=4，D(Y)=9，ρXY=0．5，則D(X-Y)=______，D(X+y)=_______．標準答案：7，19知識點解析：D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)同理可得D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=19.25、設隨機變量X具有密度函數(shù)則P{｜X-E(X)｜＜2}=______.標準答案：1知識點解析：P{｜X-E(X)｜＜2)=P{-2＜X-E(X)＜2}=P{-2＜X-＜2}26、設總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，其樣本均值、樣本方差分別為，S2，則，E(S2)=_______，樣本(X1，…，Xn)的概率分布為______．標準答案：知識點解析：總體X服從泊松分布，即P{X=k}=，所以E(X)=D(X)=λ．(X1，…，Xn)的概率分布為P{X1=x1，…，Xn=xn}27、設總體X和Y均服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn分別是來自總體X和Y的兩個相互獨立的簡單隨機樣本，它們的樣本方差分別為SX2和SY2，則統(tǒng)計量T=(SX2+SY2)服從的分布及參數(shù)為______．標準答案：χ2(2n-2)知識點解析：～χ2(n-1)，且它們相互獨立，故(SX2+SY2)～χ2(2n-2)．考研數(shù)學一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、一種零件的加工由相互獨立的兩道工序組成，第一道工序的廢品率為p1，第二道工序的廢品率為p2，則該零件加工的成品率為()A、1－p1－p2B、1－p1p2C、1－p1－p2+p1p2D、(1－p1)+(1－p2)標準答案：C知識點解析：設A={成品零件}，Ai={第i道工序為成品}，i=1，2．依題意有P(A1)=1－p1，P(A2)=1－p2，則P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(1－p1)(1－p2)=1－p1－p2+p1p2，故選C．2、現(xiàn)有10張獎券，其中18張為2元的，2張為5元的．今從中任取3張，則獎金的數(shù)學期望為()A、6B、7．8C、9D、11．2標準答案：B知識點解析：記獎金為X，則X全部可能取值為6，9，12，并且因此本題選B．3、設x1，x2，…，xn是來自總體X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的簡單隨機樣本的觀察值，則σ2的最大似然估計值為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：在μ未知時，σ2的最大似然估計值為因此本題選B．4、以下結論，錯誤的是()A、若0＜P(B)＜1，P(A｜B)+=1，則A，B相互獨立B、若A，B滿足P(B｜A)=1，則P(A－B)=0C、設A，B，C是三個事件，則(A－B)∪B=A∪BD、若當事件A，B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則P(C)＜P(A)+P(B)－1標準答案：D知識點解析：對于A，即P(B)－P(B)P(B)=P(AB)+P(B)－P(A)P(B)－P(B)P(B)，則P(AB)=P(A)P(B)，故A正確．對于B，P(B｜A)==1=>P(AB)=P(A)=>P(A)－P(AB)=0=>P(A－B)=0，故B正確．對于C，(A－B)∪B==A∪B，C正確．對于D，ABC=>P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)=>P(A)+P(B)－1，D錯誤，故選D．5、設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜P＜1)，則X+Y的分布函數(shù)()A、為連續(xù)函數(shù)B、恰有n+1個間斷點C、恰有1個間斷點D、有無窮多個間斷點標準答案：A知識點解析：記Z=X+Y，則Z的分布函數(shù)是n+1個連續(xù)函數(shù)之和，所以為連續(xù)函數(shù)．因此本題選A．6、設總體X與Y都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xn與Y1，Y2，…，Yn是分別來自總體X與Y的兩個相互獨立的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量服從t(n)分布，則=()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：應用t分布的典型模式．由于U與V相互獨立，由t分布的典型模式有7、設總體X～N(μ，σ2)，來自X的一個樣本為X1，X2，…，X2n記當μ已知時，基于T構造估計σ2的置信水平為1－α的置信區(qū)間為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因相互獨立，則二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、設二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域上服從均勻分布，則(X，Y)關于X的邊緣概率密度fX(z)在點x=e處的值為______．標準答案：知識點解析：區(qū)域D如圖3—1陰影部分所示，它的面積所以(X，Y)的概率密度為9、設相互獨立的兩個隨機變量X，Y具有同一分布律，且X的分布律為則隨機變量Z=max(X，Y)的分布律為______．標準答案：知識點解析：P{Z=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0)=P{Z=1}=1－P{Z=0}=故Z的分布律為10、設X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，對X作三次獨立重復觀察，至少有一次觀測值大于2的概率為，則λ=______．標準答案：知識點解析：因記A={X＞2}，y={對X作三次獨立重復觀察A發(fā)生的次數(shù)}，則Y～B(3，p)，p=P{X＞2}=∫2+∞λe－λxdx=ee－2λ，由題意有11、若X1，X2，X3兩兩不相關，且DXi=1(i=1，2，3)，則D(X1+X2+X3)=______．標準答案：3知識點解析：因為X1，X1，X3兩兩不相關，所以Cov(Xi，Xj)=0(i≠j)，于是D(X1+X2+X3)=D[(X1+X2)+X3]=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X3)=DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2Cov(X2，X3)=DX1+DX2+DX3=3．12、設總體X的概率密度為其中θ＞0為未知參數(shù)，又設x1，x2，…，xn是X的一組樣本值，則參數(shù)η的最大似然估計值為______．標準答案：知識點解析：似然函數(shù)為三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)13、某彩票每周開獎一次，每次提供十萬分之一的中獎機會，且各周開獎是相互獨立的．某彩民每周買一次彩票，堅持十年(每年52周)，那么他從未中獎的可能性是多少?標準答案：令Ai={第i次中獎}(i=1，2，…，520)，p=P{在一次購買彩票中中獎)．又事件A1，A1，…，A520相互獨立，且p=10－5．所以P{連續(xù)購買十年從未中獎}=(1－p)520=(1－10－5)520≈0．9948．知識點解析：暫無解析設電子管壽命X的概率密度為若一臺收音機上裝有三個這種電子管，求：14、使用的最初150小時內，至少有兩個電子管被燒壞的概率；標準答案：設y為在使用的最初150小時內燒壞的電子管數(shù)，則Y～B(3，p)，其中所求概率為P{Y≥2}=P{Y=2}+P{Y=3}知識點解析：暫無解析15、在使用的最初150小時內燒壞的電子管數(shù)Y的分布律；標準答案：Y的分布律為k=0，1，2，3，即知識點解析：暫無解析16、Y的分布函數(shù)．標準答案：Y的分布函數(shù)為知識點解析：暫無解析17、設X關于Y的條件概率密度為而Y的概率密度為標準答案：(X，Y)的概率密度為如圖3—3所示，則知識點解析：暫無解析18、用切比雪夫不等式確定，擲一均質硬幣時，需擲多少次，才能保證“正面”出現(xiàn)的頻率在0．4至0．6之間的概率不小于0．9．標準答案：設需擲n次，正面出現(xiàn)的次數(shù)為Yn，則依題意應有所以n≥250．知識點解析：暫無解析19、設X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，設EX=μ，DX=σ2，，試確定常數(shù)C，使－CS2為μ2的無偏估計．標準答案：由知識點解析：暫無解析20、設隨機變量(X，Y)的概率密度為求隨機變量Z=X－Y的概率密度fZ(z)．標準答案：由于X，y不是相互獨立的，所以記V=－Y時，(X，V)的概率密度不易計算．此時應先計算Z的分布函數(shù)，再計算概率密度fZ(z)．記Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則FZ(z)=P{Z≤z}=P{X－Y≤z)=其中Dz={(x，y)｜x－y≤z}(直線x－y=z的上方部分)，由Dz與D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x)(如圖3—10中帶陰影的△OSC)的相對位置可得：當z＜0時，Dx與D不相交，所以當0≤z＜1時，Dz∩D=四邊形OABC，=∫0zdx∫0x3xdy+∫z1dx∫x－zx3xdy=∫0zx2dx+∫z13xzdx當z≥1時，Dz∩D=△OSC，由此得到知識點解析：暫無解析21、設(X，Y)的概率密度為求的數(shù)學期望．標準答案：知識點解析：暫無解析△ABC邊AB上的高CD長度為h．向△ABC中隨機投擲一點P，求22、點P到邊AB的距離X的概率密度；標準答案：設X的分布函數(shù)為F(x)，則當x＜0時，有F(x)=0；當x≥h時，有F(x)=1；當0≤x＜h時，為了求概率．P{X≤x)，作EF∥AB，使EF與AB間的距離為x(如圖3—15)，利用幾何方法，可得綜上可得由此得X的概率密度為知識點解析：暫無解析23、X的期望與方差．標準答案：由上一小題知X與X2的數(shù)學期望分別為從而得X的方差知識點解析：暫無解析24、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為求：(1)方差D(XY)；(2)協(xié)方差Cov(3X+Y，X－2Y)．標準答案：(1)因D(XY)=E(X2Y2)－[E(XY)]2，其中(2)Cov(3X+y，X一2y)一3DlX一5Cov(X，Y)一2Dy(2)Cov(3X+Y，X－2Y)=3DX－5Cov(X，Y)－2DY=3DX－5E(XY)+5EXEY－2DY又(X，Y)關于X的邊緣概率密度為知識點解析：暫無解析25、設總體X服從參數(shù)為N和p的二項分布，X1，X1，…，Xn為取自X的樣本，試求參數(shù)N和p的矩估計．標準答案：由所以N和p的矩估計為知識點解析：暫無解析26、經測定某批礦砂的5個樣品中鎳含量為X(％)：3．25，3．27，3．24，3．26，3．24，設測定值服從正態(tài)分布，問能否認為這批礦砂的鎳含量為3．25(α=0．01)?標準答案：問題是在σ2未知的條件下檢驗假設H0：μ=3．25．H0的拒絕域為｜t｜＞tα／2(4)．由因為｜t｜=0．344＜4．6041=t0．005(4)，所以接受H0，即可以認為這批礦砂的鎳含量為3．25．知識點解析：暫無解析27、假設一批產品的不合格品數(shù)與合格品數(shù)之比為R(未知常數(shù))．現(xiàn)在按還原抽樣方式隨意抽取的n件中發(fā)現(xiàn)k件不合格品．試求R的最大似然估計值．標準答案：設a是這批產品中不合格