考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷4（共252題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷4（共9套）（共252題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)=，則f(x)()·A、無間斷點B、有間斷點x=1C、有間斷點x=一1D、有間斷點x=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：當(dāng)｜x｜＜1時，f(x)=1+x；當(dāng)｜x｜＞1時，f(x)=0；當(dāng)x=一1時，f(x)=0，當(dāng)x=1時，f(x)=1．于是f(x)=顯然x=1為函數(shù)f(x)的間斷點，選(B)．2、設(shè)f(x，y)在(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足=一3，則f(x，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否取極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：3、設(shè)∑：x2+y2+z2=1(z≥0)，∑1為∑在第一卦限的部分，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：4、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)≠0，則｜f(x)｜在x=a處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：不妨設(shè)f(a)＞0，因為f(x)在x=a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)，于是存在σ＞0，當(dāng)｜x－a｜＜δ時，有f(x)＞0，于是=f’(a)，即｜f(x)｜在x=a處可導(dǎo)，同理當(dāng)f(a)＜0時，｜f(x)｜在x=a處也可導(dǎo)，選(A)．5、設(shè)y(x)是微分方程y’’+(x一1)y’+x2y=ex滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=1的解，則()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：微分方程y’’+(x一1)y’+x2y=ex中，令x=0，則y’’(0)=2，于是=1，選(A)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、設(shè)曲線y=lnx與y=k相切，則公共切線為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)當(dāng)x=a時，兩條曲線相切，由得a=e2．兩條曲線的公共切線為y一lne2=．8、曲線y==x4e－x2(x≥0)與x軸圍成的區(qū)域面積為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、一平面經(jīng)過點M1(2，1，3)及點M2(3，4，一1)，且與平面3x－y+6z一6=0垂直，則該平面方程為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：7x一9y一5z+10=0知識點解析：且與平面3x—y+6z一6=0垂直，所求平面的法向量為n=｛1，3，一4｝×｛3，一1，6｝=｛14，一18，一10｝，所求的平面方程為14(x一2)一18(y一1)一10(z一3)=0，即7x一9y一5z+10=0．10、設(shè)f(x)=，D為一∞＜x＜＋∞，一∞＜y＜＋∞，則f(y)f(x＋y)dxdy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、設(shè)y=y(x)過原點，在原點處的切線平行于直線y=2x+1，又y=y(x)滿足微分方程y’’一6y’+9y=e3x，則y(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2xe3x+x2e3x知識點解析：由題意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’一6y’+9y=e3x的特征方程為λ2一6λ+9=0，特征值為λ1=λ2=3，令y’’一6y’+9y=e3x的特解為y0(x)=ax2e3x代入得a=．故通解為y=(C1+C2)e3X+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，則y(x)=2xe3x+x2e3x．13、=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)14、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f’’=4，．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為=0，所以f(0)=0，f’(0)=0，又f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)且f’’(0)=4，所以f(x)=2x2+o(x2)，所以=e2．知識點解析：暫無解析15、設(shè)y=y(x)由x—∫1x＋ydt=0確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0時，y=1．x—∫1x＋ye－t2dt=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得．知識點解析：暫無解析16、證明：當(dāng)x＞0時，x2＞(1+x)ln2(1+x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；知識點解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、判斷級數(shù)的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)有冪級數(shù)2+．20、求該冪級數(shù)的收斂域；標(biāo)準(zhǔn)答案：因為=0，所以收斂半徑為R=+∞，故冪級數(shù)的收斂域為(一∞，+∞)．知識點解析：暫無解析21、證明此冪級數(shù)滿足微分方程y’’一y=一1；標(biāo)準(zhǔn)答案：故該冪級數(shù)滿足微分方程y’’一y=一1．知識點解析：暫無解析22、求此冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’’(x)一f(x)=一1得f(x)=C1e－x+C2ex+1，再由f(0)=2，f’(0)=0得，所以f(x)=chx+1．知識點解析：暫無解析23、求微分方程x2y’’一2xy’+2y=2x一1的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、f(x)在[－1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．證明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)=3．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得兩式相減得f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)=6．因為f(x)在[一1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，所以f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)最值定理，f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)+f’’’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](一1，1)，使得f’’’(ξ)=3．知識點解析：暫無解析26、設(shè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)A(一1，0，4)，π：3X一4y+z+10=0，L：1005，求一條過點A與平面π平行，且與直線L相交的直線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：過A(－1，0，4)且與平面π：3x一4y+2+10=0平行的平面方程為π1：3(x+1)一4y+(z一4)=0，即π1：3x一4y+z一1=0．令，代入π1：3x一4y+z一1=0，得t=16，則直線L與π1的交點為M0(15，19，32)，所求直線的方向向量為s=｛16，19，28｝，所求直線為．知識點解析：暫無解析28、計算I=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)連續(xù)，且=一2，則()．A、f(x)在x=0處不可導(dǎo)B、f(x)在x=0處可導(dǎo)且f’(0)≠0C、f(x)在x=0處取極小值D、f(x)在x=0處取極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由=－2得f(0)=1，由極限的保號性，δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時，＜0，即f(x)＜1=f(0)，故x=0為f(x)的極大點，應(yīng)選(D)．2、曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為()．A、一∫02x(x一1)(2一x)dxB、∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2一x)dxC、一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD、∫02x(x一1)(2一x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：曲線y=x(x－1)(2一x)與x軸的三個交點為x=0，x=1，x=2，當(dāng)0＜x＜1時，Y＜0；當(dāng)1＜x＜2時，y＞0，所以圍成的面積可表示為(C)的形式，選(C)．3、若正項級數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：4、設(shè)三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x，則該微分方程為()．A、y’’’一y’’一y’+y=0B、y’’’+y’’一y’一y=0C、y’’’+2y’’一y’一2y=0D、y’’’一2y’’一y’+2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的特解可得其特征值為λ1=λ2=1，λ3=一1，其特征方程為(λ一1)2(λ+1)=0，即λ3－λ2一λ+1=0，所求的微分方程為y’’’一y’’一y’+y=0，選(A)．5、設(shè)f(x)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，且x＜0時有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，則當(dāng)x＞0時有()．A、f’’(x)＜0，f’(x)＜0B、f’’(x)＞0，f’(x)＞0C、f’’(x)＞0，f(x)＜0D、f’’(x)＜0，f’(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為f(x)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，所以f(一x)=一f(x)，f’(一x)=f’(x)，f’’(一x)=一f’’(x)，即f’(x)為偶函數(shù)，f’’(x)為奇函數(shù)，故由x＜0時有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，得當(dāng)x＞0時有f’’(x)＜0，f’(x)＜0，選(A)．6、對二元函數(shù)z=f(x，y)，下列結(jié)論正確的是()．A、z=f(x，y)可微的充分必要條件是z=f(x，y)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)B、若z=f(x，y)可微，則z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C、若z=f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則z=f(x，y)一定可微D、若z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則z=f(x，y)一定不可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為若函數(shù)f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(x，y)一定可微，反之則不對，所以若函數(shù)f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)不一定不可微，選(C)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識點解析：8、曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在點(1，0，1)處的切平面方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：切平面為π：2(x一1)一y一(z一1)=0，即π：2x—y－z一1=0知識點解析：F=x2(1一siny)+y2(1一sinx)一z，n=｛2x(1一siny)一y2cosx，2y(1一sinx)一x2cosy，一1｝，在點(1，0，1)處的法向量為n=｛2，一1，一1｝，切平面為π：2(x一1)一y一(z一1)=0，即π：2x—y－z一1=0．9、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：10、設(shè)∫a2ln2，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識點解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)y=x2lnx，求y(n)(n≥3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y(n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x．(lnx)(n－1)+Cn22．(lnx)n－2知識點解析：暫無解析14、當(dāng)0＜x＜時，證明：＜sinx＜x．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x－sinx，f(0)=0，知識點解析：暫無解析15、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、求函數(shù)f(x)=∫0x2(2一t)e－tdt的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)為偶函數(shù)，所以只研究f(x)在[0，+∞)內(nèi)的最大值與最小值即可．令f’(x)=2x(2一x2)e－x2=0，得f(x)的唯一駐點為x=，因為f(+∞)=f(-∞)=∫0＋∞(2一t)e－tdt=1及f(0)=0，所以最小值為0．知識點解析：暫無解析17、求函數(shù)μ=的梯度方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、改變積分次序并計算．標(biāo)準(zhǔn)答案：改變積分次序得知識點解析：暫無解析19、計算I=∫L(ex+1)cosydx一[(ex+x)siny—x]dy，其中L為由點A(2，0)沿心形線r=1+cosθ上側(cè)到原點的有向曲線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：令L1：y=0(起點x=0，終點x=2，則∫L1(ex＋1)cosydx－[(ex＋x)siny－x]dy=(ex＋1)dx=∫02e2＋1，所以原式=一e2—1．知識點解析：暫無解析20、若正項級數(shù)都收斂，證明下列級數(shù)收斂：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)因為收斂．知識點解析：暫無解析21、設(shè)a1=1，當(dāng)n≥1時，an＋1=，證明：數(shù)列｛an｝收斂并求其極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=＞0(x＞0)，所以數(shù)列｛an｝單調(diào)．又因為a1=1，0≤an＋1≤1，所以數(shù)列｛an｝有界，從而數(shù)列｛an｝收斂，令=A，則有A=．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，=1且f’’(x)＞0．證明：當(dāng)x≠0時，f(x)＞x．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=1，得f(0)=0，f’(0)=1，又由’’(x)＞0且x≠0，所以f(x)＞f(0)+f’(0)x=x．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)=其中g(shù)(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且g(0)=1．23、確定常數(shù)a，使得f(x)在x=0處連續(xù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：=f’(0)，當(dāng)a=g’(0)時，f(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析24、求f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時，f’(x)=．知識點解析：暫無解析25、討論f’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)且｜f’(x)｜≤M．證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，a](a＞0)上非負(fù)、二階可導(dǎo)，且f(0)=0，f’’(x)＞0，為y=f(x)，y=0，x=a圍成區(qū)域的形心，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y’’+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，確定常數(shù)a，b，c，并求該方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，則有原方程為y’’一3y’+2y=一ex．原方程的特征方程為λ2一3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，則y’’一3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解為y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)=則在x=1處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但不是連續(xù)可導(dǎo)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：2、下列說法正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：3、設(shè)當(dāng)x→0時，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1＋2x)sintdt，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為x→0時，ax3+bx2+cx～∫0ln(1＋2x)sintdt，得a=0，b=2，選(D)．4、設(shè)f(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＜0，f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+=+∞，故=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點，又因為f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點是唯一的，選(B)．5、設(shè)A=｛x3+2y，y3+2z，z3+2x｝，曲面S：x2+y2+z2=2z內(nèi)側(cè)，則場A穿過曲面指定側(cè)的通量為()．A、32πB、一32πC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)6、若f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：7、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析10、設(shè)an=，證明：｛an｝收斂，并求an．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然｛an｝單調(diào)增加，現(xiàn)證明：an≤3，當(dāng)n=1時，a1=≤3，設(shè)n=k時，ak≤3，當(dāng)n=k＋1時，ak＋1==3，知識點解析：暫無解析11、設(shè)對一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時f(x)=x(x2一1)，討論函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f－’(0)≠f＋’(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析12、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、求曲線y=cosx()與x軸圍成的區(qū)域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)xy=xf(z)+yg(z)，且xf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函數(shù)．證明：·標(biāo)準(zhǔn)答案：xy=xf(z)+yg(z)兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析16、計算sinx2cosy2dxdy，其中D：x2+y2≤a2(x≥0，y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)F(μ)連續(xù)可導(dǎo)，計算I=3=dzdx+zdxdy，其中曲面∑為由y=x2+z2+6與y=8一x2一z2所圍成立體的外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ω是∑所圍成的區(qū)域，它在xOz平面上的投影區(qū)域為x2+z2≤1，由高斯公式得知識點解析：暫無解析18、求冪級數(shù)xn－1的收斂域，并求其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、求微分方程(xy2+y一1)dx+(x2y+x＋2)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令P(x，y)=xy2+y一1，Q(x，y)=x2y+x+2，因為=2xy+1，所以原方程為全微分方程，令μ(x，y)=∫(0，0)(x，y)(xy2+y一1)dx+(x2y+x+2)dy=∫0x(一1)dx+∫0y(x2y+x+2)dy=一x++xy+2y則原方程的通解為+xy+2y—x=C．知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，且f(x)存在．證明：f(x)在[a，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)=A，取ε0=1，根據(jù)極限的定義，存在X0＞0，當(dāng)x＞X0時，｜f(x)一A｜＜1，從而有｜f(x)｜＜｜A｜+1，又因為f(x)在[a，X0]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界的性質(zhì)，存在k＞0，當(dāng)x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k，取M=max｛｜A｜+1，k｝，對一切的x∈[a，+∞)，有｜f(x)｜＜M．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f’(0)=0，f’’(x)＞0．曲線y=f(x)上任一點(x，f(x))(x≠0)處作切線，此切線在x軸上的截距為μ，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=f(x)在點(x，f(x))處的切線方程為Y一f(x)=f’(x)(X—x)，知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)=∫1x，求∫01x2f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=｜x-y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(0，0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù)．證明：函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的充分必要條件是φ(0，0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(必要性)設(shè)f(x，y)在點(0，0)處可微，則fx’(0，0)，fy’(0，0)存在．知識點解析：暫無解析設(shè)｛μn｝，｛cn｝為正項數(shù)列，證明：25、若對一切正整數(shù)n滿足cnμn一cn＋1μn＋1≤0，且也發(fā)散；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、若對一切正整數(shù)n滿足cn一cn＋1≥a(a＞0)，且也收斂·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、求函數(shù)f(x)=ln(1一x一2x2)的冪級數(shù)，并求出該冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=ln(1一x一2x2)=ln(x+1)(1—2x)=ln(1+x)+ln(1—2x)，知識點解析：暫無解析28、早晨開始下雪，整天不停，中午一掃雪車開始掃雪，每小時掃雪體積為常數(shù)，到下午2點掃雪2km，到下午4點又掃雪1km，問降雪是什么時候開始的?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)單位面積在單位時間內(nèi)降雪量為a，路寬為b，掃雪速度為c，路面上雪層厚度為H(t)，掃雪車前進(jìn)路程為S(t)，降雪開始時間為T，則H(t)=a(t—T)，又b×H(t)×△s=c×△t，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、下列命題中正確的是①設(shè)anχn與bnχn有相同的收斂域(－R，R)，則(an＋bb)χn的收斂域為(－R，R)；②設(shè)anχn與bnχn的收斂域分別為[－1，1)，(－2，2)，則＝(an＋bn)χn的收斂域為[－1，1)；③若冪級數(shù)anχn的收斂區(qū)間(－R，R)即它的收斂域，則的收斂域可能是[－R，R]；④若冪級數(shù)anχn的收斂域為[－R，R]，則冪級數(shù)nanχn-1的收斂域為[－R，R]．A、①②B、②③C、③④D、①④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析2、下列級數(shù)中發(fā)散的是A、B、C、1－＋…(χ＞0，χ≠1)．D、正項級數(shù)互un，其中un滿足－vn-1≥a＞0(n＝1，2，3，…)，{vn}是正數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：關(guān)于選項C：考察它添加括號后的級數(shù)記為an．χ＞1時，因發(fā)散，收斂，所以an發(fā)散，因添加括號后的級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)也發(fā)散．0＜χ＜1時，an～－(n→∞)．這說明an是負(fù)項級數(shù)，比較判別法對它是適用的．因發(fā)散an發(fā)散原級數(shù)發(fā)散．故應(yīng)選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)3、設(shè)有極坐標(biāo)系下的累次積分J＝dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，(Ⅰ)將J寫成直角坐標(biāo)系下先對y后對χ積分的累次積分則是J＝_______；(Ⅱ)將J改成先對θ后對r積分的累次積分則是J＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)f(rcosθ，rsinθ)rdθ．知識點解析：(Ⅰ)將累次積分-，寫成J＝f(χ，y)dσ，其中，D的極坐標(biāo)表示D：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，于是得D的直角坐標(biāo)形式為(如圖24—3(a))χ2＋y2≤y(由r2≤rsinθ而得)，χ≤0，即χ2＋，χ≤0．現(xiàn)重新配限得J＝(Ⅱ)在Oθr直角坐標(biāo)系中(如圖24—3(b))，J＝f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ．當(dāng)≤0≤π時，0≤π－θ≤，由r＝sinθ＝sin(π－θ)π－θ＝arcsinr，θ＝π－arcsinr．因此J＝f(rcosθ，rsinθ)rdθ．4、設(shè)Ω＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤R2}，α，β，γ為常數(shù)，則I＝(αχ2＋βy2＋γz2)dV＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：πR5(α＋β＋γ)知識點解析：由變量的輪換對稱性(坐標(biāo)軸名稱互換，區(qū)域Ω不變)因此I＝πR5(α＋β＋γ)．5、設(shè)曲線L為χ2＋4y2＝1，則曲線積分∫L｜χy｜ds＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：L關(guān)于χ，y軸對稱，L在第一象限部分記為L1，｜χy｜對χ，y均為偶函數(shù)，則I＝∫L｜χy｜ds＝4χyds．L1參數(shù)方程為，又6、(Ⅰ)設(shè)S是球面(χ－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝R2的上半部分，取上側(cè)，則J＝χdydz＋ydzdχ＋zdχdy＝_______；(Ⅱ)設(shè)S是球面χ2＋y2＋z2－2aχ－2ay－2az＋a2＝0(a＞0為常數(shù))，則J＝(χ＋y＋z－)dS＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)；2πR3＋πR2c；(Ⅱ)8(3－)πa3．知識點解析：暫無解析7、由級數(shù)的斂散性確定下列參數(shù)的取值范圍：(Ⅰ)若收斂，則a滿足_______；(Ⅱ)級數(shù)若收斂，則α滿足_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)｜a｜＜e；(Ⅱ)α∈(1，＋∞)．知識點解析：(Ⅰ)因一般項含有階乘，選用比值判別法．記un＝，則由比值判別法知，當(dāng)｜a｜＜e時級數(shù)絕對收斂，從而收斂，當(dāng)｜a｜＞e時級數(shù)發(fā)散(此時un0)．當(dāng)｜a｜＝e時比值判別法失效，但由于故｜a｜＝e時級數(shù)也發(fā)散．因此，a滿足：｜a｜＜e．(Ⅱ)α≤0時－1→＋∞(n→∞)原級數(shù)發(fā)散．由于α＞0時，因此，α滿足：α∈(1，＋∞)．8、設(shè)f(χ)＝則其以2π為周期的傅氏級數(shù)(Ⅰ)在χ＝π處收斂于_______；(Ⅱ)在χ＝0處收斂于_______；(Ⅲ)在χ＝1處收斂于_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)3．知識點解析：f(χ)滿足收斂性定理條件．(Ⅰ)χ＝π是區(qū)間的端點，χ＝π時收斂于(Ⅱ)χ＝0∈(－π，π)．是f(χ)的間斷點，χ＝0處收斂于(Ⅲ)χ＝1∈(－π，π)，是f(χ)的連續(xù)點，χ＝1處收斂于f(1)＝2＋1＝3．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、設(shè)a＞0為常數(shù)，求積分I＝(χ＋y)dχdy，其中D由直線χ＝a，χ＝0，y＝a，y＝－a及曲線χ2＋y2＝aχ所圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線χ2＋y2＝aχ即圓周：，它的極坐標(biāo)方程是r＝acosθ．積分區(qū)域D如圖24—2(a)陰影部分．由于D關(guān)于χ軸對稱，故ydχdy＝0，χdχdy＝2χdχdy，其中D1＝D∩{y≥0}．將D1看成正方形區(qū)域與半圓形區(qū)域的差集，在半圓形區(qū)域上用極坐標(biāo)變換，可得于是I＝a3－π．知識點解析：暫無解析10、求二次積分I＝標(biāo)準(zhǔn)答案：直接計算行不通，先表成D上的二重積分I＝dχdy，確定積分區(qū)域D＝D1∪D2：D1＝{χ，y)｜0≤χ≤1，1－χ≤y≤2－χ}，D2＝{χ，y)｜1≤χ≤2，0≤y≤2－χ}，如圖24—4(a)所示．交換積分順序不能解決問題，直接對累次積分I用分部積分法時遇到求導(dǎo)的困難．對內(nèi)層積分作變量替換t＝χ＋y(對y積分時χ為常量)得可表為D0：0≤χ≤1，1≤y≤2，1≤χ≤2，χ≤y≤2上的二重積分(如圖24—4(b)所示，然后交換積分次序)知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(χ)連續(xù)，Ω(R)＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤2Ry}，R＞0．(Ⅰ)將三重積分I＝f(z)dV化為定積分；(Ⅱ)求J＝標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)Ω(R)是球域：χ2＋(y－R)2＋z2≤R2．選擇先二(χ與y)后一(z)的積分順序，Ω(R)表為－R≤z≤R，(χ，y)∈D(z)＝{(χ，y)｜χ2＋(y－R)2≤R2－z2}，于是I＝圓域D(z)的面積為π(R2－z2)，因此I＝π∫-RRf(z)(R2－z2)dz．(Ⅱ)用題(Ⅰ)的結(jié)果得用洛必達(dá)法則得知識點解析：暫無解析12、設(shè)Ω是由yz平面內(nèi)z＝0，z＝2以及y2－(z－1)2＝1所圍成的平面區(qū)域繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的空間區(qū)域．求三重積分，I＝(χ2＋y2)dV．標(biāo)準(zhǔn)答案：平面區(qū)域如圖24—5(a)所示．空間區(qū)域Ω是由旋轉(zhuǎn)面戈χ2＋y2＝(z－1)2＋1及平面z＝0，z＝2所圍成，見圖24—5(b)．由被積函數(shù)與區(qū)域的特點，選用柱坐標(biāo)變換χ＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z，并選擇先二(先r，Z)后一(θ)或先r，θ后z的積分順序．過z軸作極角為θ的半平面截Ω得平面區(qū)域D(θ)(圖24—5(c))：0≤r≤，0≤z≤2，于是知識點解析：暫無解析13、計算三重積分I＝(χ＋y＋z)2dV，其中(Ⅰ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥}；(Ⅱ)Ω{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，χ2＋y2＋z2≤4z}．標(biāo)準(zhǔn)答案：這二個區(qū)域Ω的共同點是，它們關(guān)于yz平面與zχ平面均對稱，當(dāng)被積函數(shù)對χ或?qū)是奇函數(shù)時，則在Ω上的三重積分值為零．于是I＝(χ2＋y2＋z2)aV＋2(χy＋yz＋zχ)dV＝(χ2＋y2＋z2)dV．下面分別就上述兩種區(qū)域Ω求積分值I．(Ⅰ)Ω由上半球面＝2及錐面z＝圍成．如圖24—6(a)所示．它們的交線是：作球坐標(biāo)變換，則Ω的球坐標(biāo)表示為：0≤ρ≤2，0≤φ≤，0≤θ≤2π．于是(Ⅱ)Ω是兩個球體χ2＋y2＋z2≤4與χ2＋y2＋z2≤4z(χ2＋y2＋(z－2)2≤4)的公共部分，兩球面的交線是圖24—6(b)是Ω在yz平面上的截面圖．作球坐標(biāo)變換，并用錐面z＝將Ω分成Ω＝Ω1＝Ω2．其中Ω1＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4，z≥}，Ω2＝{(χ，y，z)｜χ2＋y2＋z2≤4z，z≤}．用球坐標(biāo)表示：Ω1：0≤ρ≤2，0≤φ≤，0≤θ≤2π，Ω2：0≤ρ≤4cosφ，，0≤θ≤2π．這里球面χ2＋y2＋z2＝4z的球坐標(biāo)方程是：ρ＝4cosφ．因此知識點解析：暫無解析14、設(shè)φ(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L為半圓周：(y≥χ)，從點O(0，0)到點A(π，π)方向(見圖25—1)，求曲線積分I＝∫L[φ(y)cosχ－y]dχ＋[φ′(y)sinχ－1]dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：I＝∫Lφ(y)dsinχ＋sinχdφ(y)－dy－ydχ＝[φ(y)sinχ－y]｜(0，0)(π，π)－∫Lydχ＝－π－∫Lydχ．L的參數(shù)方程是因此，I＝－π－．知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)u(χ，y)，v(χ，y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足．C為包圍原點的正向閉曲線．證明：(Ⅰ)[(χv－yu)aχ＋(χu＋yv)dy]＝[(χv－yu)dχ＋(χu＋yv)dy]，其中Cr＋是以原點為心r為半徑的圓周，取逆時針方向，r充分小使Cr＋在C所圍區(qū)域內(nèi)；(Ⅱ)[(χv－yu)dχ＋(χu＋yv)dy]＝2πu(0，0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)可知，記P＝(χv，yu)，Q＝(χu＋yv)，則從而[2u(χ2＋y2)－2u(χ2＋y2)]＝0．(χ2＋y2≠0)在C與Cr+所圍的區(qū)域D上用格林公式得其中Cr-為順時針方向(如圖25—2)．于是∮CPdχ＋Qdy＝＋Pdχ＋Qdy．即結(jié)論(Ⅰ)成立．(Ⅱ)在Cr+上χ2＋y2＝r2，由結(jié)論(Ⅰ)得∮CPdχ＋Qdy＝P1dχ＋Q1dy其中P1(χ，y)＝χv－yu，Q1(χ，y)＝χu＋yv．在Cr+圍成的區(qū)域D，上用格林公式得再由二重積分中值定理得，(ξ，η)∈D，使得udσ＝πr2(ξ，η)，因此，對充分小的r＞0，就有∮CPdχ＋Qdy＝.πr2u(ξ，η)＝2πu(ξ，η)．令r→0得∮CPdχ＋Qdy＝2πu(0，0)．知識點解析：暫無解析16、設(shè)區(qū)域D由線г1：χ＝cos3t，y＝sin3t(0≤t≤，π)與χ軸圍成，求I＝y(tǒng)dχdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D的邊界由參數(shù)方程給出，利用積分間的相互轉(zhuǎn)化，將求，I(二重積分)轉(zhuǎn)化為求D的邊界г上的曲線積分，由曲線的參數(shù)方程求曲線積分是方便的．邊界г由г1及г2組成，見圖25—3．D如圖25—3，邊界廠取正向(逆時針方向)，在格林公式中，＝∫гPdχ＋Qdy取P＝－y2，Q＝0，左端即是I，且知識點解析：暫無解析17、求曲面積分I＝χdydz＋y2dzdχ，其中∑是曲面z＝χ2＋y2滿足z≤χ的部分，取下側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：圖26—1(a)中只畫出曲面z＝χ2＋y2，易知，∑關(guān)于zχ平面對稱，y2對y為偶函數(shù)，于是y2dzdχ＝0，I＝I1＝χdydz．不論投影到哪個平面上計算這個曲面積分，都需要先求投影區(qū)域．現(xiàn)選擇投影到χy平面上，記投影區(qū)域為Dχy．由，消去z得χ＝χ2＋y2，見圖26—1(b)．因∑方程為z＝χ2＋y2，于是代公式化為二重積分得作極坐標(biāo)變換：χ＝rcosθ，r＝rsinθ，Dχy：，0≤r≤cosθ，于是知識點解析：暫無解析18、設(shè)F＝(P，Q，R)＝(χ2－yz，y2－yz，z2－χy)．(Ⅰ)求rotF；(Ⅱ)求J＝∫гPdχ＋Qdy＋Rdz，其中г是沿螺旋線χ＝acosθ，y＝asinθ，z＝θ，從A(a，0，0)到B(a，0，h)的有向曲線(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按旋度計算公式得＝(－χ－(－χ)，－y－(－y)，－z－(－z))＝(0，0，0)．(Ⅱ)若C是閉曲線，以C為邊界的曲面S，定向按右手法則，則由斯托克斯公式得∫CPdχ＋Qdy＋Rdz＝rotF.ndS＝0．這里г不封閉，添加直線段(如圖26—2)，則C＝г∪構(gòu)成閉曲線，于是Pdχ＋Qdy＋Rdz＝0J＝∫гPdχ＋Ddy＋Rdχ＝Pdχ＋Qdy＋Rdz＝∫0hR(a，0，z)dz＝∫0hz2dz＝h3．知識點解析：暫無解析19、下列區(qū)域D上，是否與路徑無關(guān)?是否存在原函數(shù)?若存在，求出原函數(shù)．(Ⅰ)D：χ2＋y2＞0；(Ⅱ)D：y＞0；(Ⅲ)D：χ＜0；(Ⅳ)D：平面除去射線：y＝0，－∞＜χ≤0．(若存在原函數(shù)，不要求求原函數(shù)．)標(biāo)準(zhǔn)答案：首先明確與路徑無關(guān)等價于存在原函數(shù)．記，易驗證：(Ⅰ)D：χ2＋y2＞0不是單連通的，則((χ，y)∈D)不是∫L，Pdχ＋Qdy在D與路徑無關(guān)的充分條件．事實上，若取閉曲線C：χ2＋y2＝r2，逆時針方向，則∮CPdχ＋Qdy＝＝2π．因此，在D上不是與路徑無關(guān)，在D上不存在原函數(shù)．(Ⅱ)D：y＞0是單連通的，在D上∫LPdχ＋QdyD上與路徑無關(guān)，存在原函數(shù)．則原函數(shù)u＝－arctan＋C，其中C為常數(shù)．(Ⅲ)同理，在D：χ＜0上與路徑無關(guān)，存在原函數(shù)，可求得原函數(shù)為u＝arctan＋C．(Ⅳ)區(qū)域D如圖27一1所示，D是單連通區(qū)域，在D上∫LPdχ＋Qdy在D上與路徑無關(guān)，Pdχ＋Qdy原函數(shù)．知識點解析：暫無解析20、設(shè)有平面力F(χ，y)＝(P(χ，y)，Q(χ，y))，其中P(χ，y)＝f(χ)＋y[e－χ－f′(χ)]，Q(χ，y)＝f′(χ)，函數(shù)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，并滿足f′(0)＝0，試確定f(χ)，使得(Ⅰ)力F對運動質(zhì)點做的功與質(zhì)點運動路徑無關(guān)；(Ⅱ)若L是由點A(－1，1)到點8(1，0)逐段光滑的有向曲線，則∫LPdχ＋Qdy＝．標(biāo)準(zhǔn)答案：條件(Ⅰ)即∫LPdχ＋Qdy在全平面與路徑無關(guān)，即f〞(χ)＝e－χ－f′(χ)，f〞(χ)＋f′(χ)＝e－χ．現(xiàn)求此方程的解．這也是可降階的二階方程．令p＝f′(χ)，兩邊乘μ(χ)＝e∫dχ＝eχ得(eχp)′＝1．積分并注意p(0)＝f′(0)＝0得eχf′(χ)＝χ，f′(χ)＝χe－χ．再積分得f(χ)＝－(χ＋1)e－χ＋C．現(xiàn)由條件(Ⅱ)定出常數(shù)C．因積釙與路徑無關(guān)．取L如圖27—3所示的路徑，則有∫LPdχ＋Qdy＝∫10Q(－1，y)dy＋∫-11P(χ，0)dχ＝∫10f′(－1)dy＋∫-11f(χ)dχ＝e＋∫-11[－(χ＋1)e－χ＋C]dχ＝e＋(χ＋1)e－χ｜-11＋e－χ｜-11＋2C＝，C＝0．因此，f(χ)＝－(χ＋1)e－χ．知識點解析：暫無解析21、求[0，＋∞)上連續(xù)曲線y＝f(χ)≥0的方程，使曲線y＝f(χ)與兩坐標(biāo)軸及過點(t，0)(t＞0)的垂直于χ軸的直線所圍成的曲邊梯形，繞χ軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的形心的橫坐標(biāo)等于t．標(biāo)準(zhǔn)答案：該旋轉(zhuǎn)體記為Ωt，它的體積是V＝π∫01f2(χ)dχ．它的形心的χ坐標(biāo)χdV／π∫0tf2(χ)dχ，其中＝∫0tχ.πf2(χ)dχ于是＝π∫0tχf2(χ)dχ／π∫0tf2(χ)dχ＝∫0tχf3(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ．按題意得∫0tχf2(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ＝t，即∫0tχf2(χ)dχ＝t∫0tf2(χ)dχ．①兩邊求導(dǎo)得tf2(t)＝即tf2(t)＝∫0tf2(t)dt②再對t求導(dǎo)得f2(t)＋2tf(t)f′(t)＝4f2(f)，即f′(t)－f(t)＝0(t＞0)．③(①，②式中令t＝0時等式自然成立，不必另加條件．)現(xiàn)在③式兩邊乘得＝0．積分得f(t)＝C(t＞0)．又f(χ)在[0，＋∞)上連續(xù)，因此求得f(χ)＝C(χ≥0)，其中C＞0為常數(shù)．知識點解析：暫無解析22、求曲面z＝1＋χ2＋y2上任一點(χ0，y0，z0)的切平面與z＝χ2＋y2所圍成立體Ω的體積，以及當(dāng)(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)時Ω的表面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：①先求曲面z＝1＋χ2＋y2在點(χ0，y0，z0)處的切平面方程為z＝z0＋2χ0(χ－χ0)＋2y0(y－y0)，即z＝1－χ02－y02＋2χ0χ＋2y0y．②再求切平面與z＝χ2＋y2的交線在χy平面上的投影，由消去z得(χ－χ0)2＋(y－y0)2＝1．因此投影曲線為(χ－χ0)2＋(y－y0)＝1，z＝0．③求立體的體積．記D：(χ－χ0)2＋(y－y0)2≤1，則切平面與z＝χ2＋y2所圍成立體的體積V＝[(1－χ02－y02＋2χ0χ＋2y0y)－(χ2＋y2)]dχdy＝{1－[(χ－χ0)2＋(y－y0)2]}dχdy＝π－，④當(dāng)(χ0，y0，z0)＝(0，0，1)時求Ω的表面積．Ω的表面由平面部分S1：z＝1(χ2＋y2≤1)及旋轉(zhuǎn)拋物面部分S2：z＝χ2＋y2(χ2＋y2≤1)組成，記D：χ2＋y2≤1，則S1的面積A2＝π，S2的面積因此，表面積A＝A1＋A2＝π．知識點解析：暫無解析23、求一段均勻圓柱面S：χ2＋y2＝R2(0≤z≤h對原點處單位質(zhì)點的引力，設(shè)S的面密度ρ＝1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性可知，引力F＝(F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3)，其中F1＝F2＝0，只需求z方向的分量F3．圓柱面上點(χ，y，z)處取曲面微元dS，它對該質(zhì)點的引力沿，r(χ，y，z)方向，模為k，r＝｜r｜＝．引力dF＝，在z軸方向的分量dF3＝zdS．整個圓柱面對質(zhì)點的引力的z分量為F3＝．現(xiàn)投影到y(tǒng)平面上求這個曲面積分．S如圖28—3，投影區(qū)域Dyz：－R≤y≤R，0≤z≤h．前半曲面S1的方程χ＝，(y，z)∈Dyz，知識點解析：暫無解析24、設(shè)an＝，試判斷級數(shù)an是條件收斂還是絕對收斂或發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：直接求an辦不到，直接估計an也行不通．用分部積分法將an分解記bn＝，易知交錯級數(shù)互bn條件收斂．現(xiàn)估計cn＝．由于又收斂cn絕對收斂．因此(bn＋cn)條件收斂．知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：變量替換法．令t＝χ2，對用求R公式原級數(shù)的收斂半徑R＝．因此原冪級數(shù)的收斂區(qū)間是()．再考察端點χ＝±的斂散性．當(dāng)χ＝±時，由于顯然收斂，而，因此收斂，從而原級數(shù)收斂．因此原冪級數(shù)的收斂域是．知識點解析：暫無解析26、求的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)．求收斂域：原冪級數(shù)記為anχn．由收斂域為(－∞，＋∞)．(Ⅱ)求和函數(shù)．為了用eχ＝，對原級數(shù)進(jìn)行分解，記原級數(shù)的和為S(χ)，則因此S(χ)＝－χe－χ－e－χ＋1＋(1－χ－e－χ)＝－e－χ(χ＋1)＋(1－e－χ)(χ≠0)，S(0)＝0．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(χ)＝ln(1＋t)dt，求f(χ)的冪級數(shù)展開式．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知現(xiàn)逐項積分得知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(χ)是周期為2的周期函數(shù)，且f(χ)＝寫出f(χ)的傅氏級數(shù)與其和函數(shù)，并求級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)傅氏系數(shù)的計算公式，得an＝∫02f(χ)cosnπχdχ＝∫01χcosnπχdχ＝(n＝1，2，3…)，a0＝∫02f(χ)dχ＝∫01χdχ＝，bn＝∫02f(χ)sinnπχdχ＝∫01χsinnπχdχ＝(n＝1，2，3，…)，所以f(χ)的傅氏級數(shù)為其和函數(shù)的周期為2，且S(χ)＝令χ＝0，得且S(0)＝0，所以知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)－v(x)，并設(shè)都不存在，下列論斷正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：令當(dāng)x→0時可排除A；令u(x)=v(x)=，當(dāng)x→0時可排除B；令當(dāng)x→0時可排除D．對于選項(C)，使用反證法．設(shè)存在，由條件均存在，與題意矛盾，故若必不存在．2、關(guān)于函數(shù)y=f(x)在點x0的以下結(jié)論正確的是()A、若f’(x0)=0，則f(x0)必是一極值B、若f’’(x0)=0，則點x0，f(x0))必是曲線y=f(f)的拐點C、若極限存在(n為正整數(shù))，則f(x)在x0點可導(dǎo)，且有D、若f(x)在x0處可微，則f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有界標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：A不一定，反例：f(x)=x3，f’(0)=0，但x=0非極值點；B不一定，需加條件：f’’(x)在x0點兩側(cè)異號；C項所給的只是必要條件，即僅在子列上收斂，這是不充分的．3、兩條平行直線之間的距離為()A、B、C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：連接直線L1上點M1(1，－1，0)與直線L2上點M2(2，－1，1)的向量為(1，0，1)，L1的方向向量τ=(1，2，1)，則4、設(shè)a，b，c為非零向量，則與a不垂直的向量是()A、(a.c)b－(a．b)cB、C、a×bD、a+(a×b)×a標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：已知兩向量垂直，則內(nèi)積為零．對于A，a.[(a.c)b－(a.b)c]=0；對于B，對于C，a.(a×b)=0；對于D，a.[a+(a×b)×n]=｜a｜2≠0，所以答案選擇D．5、函數(shù)()A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：當(dāng)xy≠0時，當(dāng)(x，y)→(0，0)時，由夾逼準(zhǔn)則，可得極限值為0．6、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2＞0}，l是D內(nèi)的任意一條逐段光滑的簡單封閉曲線，則下列第二型曲線積分必有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對于A和B，令(當(dāng)(x，y)≠(0，0))．所以當(dāng)l不包含(0，0)在其內(nèi)部時，B不正確．若取l為x=cost，y=sint，t從0到2π，則A中=∫02π[(cost－sint)(－sint)+(cost+sint)cost]dt=2π，所以A不正確．對于C和D，令(當(dāng)(x，y)≠(0，0))．當(dāng)l不包含(0，0)在其內(nèi)部時，D不正確，若取l為x=cost，y=sint，不妨認(rèn)為t從－π到π，則所以對于D內(nèi)任意l，C正確．7、設(shè)則級數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為是滿足萊布尼茨條件的交錯級數(shù)，因此是等價無窮小，且調(diào)和級數(shù)發(fā)散，故選C．8、設(shè)a＞0為常數(shù)，則()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因絕對收斂．9、微分方程(x2+y2)dx+(y3+2xy)dy=0是()A、可分離變量的微分方程B、齊次方程C、一階線性方程D、全微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由Q’x=2y=P’y可知A，B，C均不符合，應(yīng)選D．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)10、由曲線y=x3，y=0及x=1所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：該旋轉(zhuǎn)體體積V=∫01π(x3)x2dx=．11、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：12、微分方程滿足初值條件y(0)=0．的特解是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=ey－e－y－siny知識點解析：熟悉反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的讀者知道，原方程可化為x關(guān)于y的二階常系數(shù)線性方程．將上兩式代入原方程，原方程化為解得x關(guān)于y的通解為x=C1ey+C2e－y－siny，①當(dāng)x=0時，y=0，代入式①，得0=C1+C2，再將式①兩邊對y求導(dǎo)，有當(dāng)x=0時，解得C1=1，C2=－1，于是得特解x=ey－e－y－siny三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)13、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=∫0xf(xn一tn)dt，求標(biāo)準(zhǔn)答案：令xn－tn=u，則F(x)=∫0xtn－1f(xn－tn)dt=∫0xnf(u)du，于是知識點解析：暫無解析14、數(shù)列{xn}通項標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=aax+axx+axa+aaa(a＞0)；(2)Y=ef(x).f(ex)，其中f(x)具有一階導(dǎo)數(shù)；(3)(4)設(shè)f(t)具有二階導(dǎo)數(shù)，求f[f’(x)]，{f[f(x)]}’．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)y’=aax.lna.axlna+axx.lna.(xx)’+axa．lna.axa－1。其中，(xx)’=(exlnx)’=exlnx.(lnx+1)=xx(lnx+1)．(2)y’=ef(x).f’(x)f(ex)+ef(x).f.(ex)ex．(3)(4)令則f(t)=4t2，即f(x)=4x2，有f’(x)=8x，由函數(shù)概念得f[f’(x)]=f(8x)=4×(8x)2=256x2，{f[f(x)}=f’[f(x)].f’(x)=8f(x).8x=32x2.8x=256x3．知識點解析：暫無解析16、求的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求yx’，令知識點解析：暫無解析17、防空洞的截面擬建成矩形加半圓(如圖1．2—1)，截面的面積為5平方米，問底寬x為多少時才能使建造時所用的材料最省?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)截面周長為S，矩形高為y，則故唯一極值可疑點為由問題的實際意義知，截面周長必有最小值，并且就在此駐點處取得，因此當(dāng)?shù)讓挒椤?．367米時，截面的周長最小，因而所用材料最省．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f’(a)=f’(b)=0，則存在ξ∈(a，b)，使標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)在x=a，x=b處展開泰勒公式．令｜f’’(ξ)｜=max{｜f’’(ξ1)｜，｜f’’(ξ2)｜}．則故原命題得證．知識點解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=2x－t，則t=2x－u，dt=－du．當(dāng)t=0時，u=2x；當(dāng)t=x時，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du．由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2，兩邊對x求導(dǎo)，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=即2∫x2xf(u)du=令x=1，得知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且g(x)＞0，證明：存在一點ξ∈a，6]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因f(x)在[a，b]上連續(xù)，故m≤f(x)≤M，其中m，M分別是f(x)在[a，b]上的最小值與最大值．因為g(x)＞0，mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，兩邊在[a，b]上取積分，得m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx，即從而存在ξ∈[a，b]，使得知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)可導(dǎo)，－∞＜x＜+∞，y＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、(1)設(shè)x＞0，y＞0，z＞0，求函數(shù)f(x，y，z)=xyz3在約束條件x2+y2+z2=5R2(R＞0為常數(shù))下的最大值；(2)由(1)的結(jié)論證明：當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時，下述不等式成立：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)F(x，y，z，λ)=xyz3+λ(x2+y2+z2－5R2)，令由①，②得λ(x=y)=0．若λ=0，則有xyz=0，與題設(shè)條件x＞0，y＞0，z＞0不符，故得x=y，因此得z3+2λ=0，3x2z+2λ=0，2x2+z2=5R2．于是得3x2－z2=0及2x2+z2=5R2，從而得唯一的一組解：x=R，y=R，此時對應(yīng)的f(x，y，z)=xyz3在約束條件x2+y2+z2=5R2下達(dá)到最大：(2)由(1)已知，當(dāng)x2+y2+z2=5R2且x＞0，y＞0，z＞0時，令a=x2，b=y2，c=z2，有證畢．知識點解析：暫無解析24、將∫01dx∫01－xdy∫0x+yf(x，y，z)dz化為先y，再x，后z的三次積分，其中f為連續(xù)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y，z的積分區(qū)域為Dyz={(y，z)Θ0≤y≤1－x，0≤z≤x+y}(x視為[0，1]上的一個常數(shù))，換序后Dyz=D1∪D2，D1={(y，z)｜0≤z≤x，0≤y≤1－x}；D2={(y，z)｜x≤z≤1，z－x≤y≤1－x}，故∫01－xdy∫0x+yf(x，y，z)dz=∫0xdz∫01－xf(x，y，z)dy+∫x1dz∫z－x1－xf(x，y，z)dy．于是∫01dx∫01－xdy∫0x+yf(x，y，z)dz=∫01dx∫0xdz∫01－xf(x，y，z)dy+∫01dz∫x1dz∫z－x1－xf(x，y，z)dy=∫01dz∫z1dx01－xf(x，y，z)dy+∫01dz∫0zdx∫z－x1－xf(x，y，z)dy．知識點解析：暫無解析25、變換下列二次積分的積分次序：(1)(2)∫01dy∫1－y1+y2f(x，y)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)如圖1．6—6所示，(2)如圖1．6—7所示，則∫01dy∫1－y1+y2f(x，y)dx=∫01dx∫1－x1f(x，y)dy+(3)如圖1．6—8所示，D=D1∪D2，其中(4)如圖1．6—9所示，故=∫－10dy∫－2arcsinyπf(x，y)dx+∫01dy∫arcsinyπ－arcsinyf(x，y)dx知識點解析：暫無解析26、在密度為1的半球體的底面接上一個相同材料的柱體：－h(huán)≤z＜0，x2+y2≤R2(h＞0)，試確定h值，使整個球柱體的重心恰好落在球心上．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)球柱體Ω的重心為由時，整個立體的重心恰好落在球心上．知識點解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，且f(x)=eαx(0≤x＜2π)，其中α≠0，試將f(x)展開成傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此，由狄利克雷收斂定理知令α=1，x=0，由狄利克雷收斂定理知知識點解析：暫無解析28、求微分方程y’’+2y’+y=xex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程r2+2r+1—0的兩個根為r1=r2=－1．對應(yīng)齊次方程的通解為Y=(C1+C2x)e－x．設(shè)所求方程的特解為y*=(ax+b)ex，則(y*)’=(ax+a+b)ex，(y*)’’=(ax+2a+b)ex，代入所給方程，有(4ax+4a+4b)ex=xex，解得故所求通解為y=(C1+C2x)e－x+(x－1)ex，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析29、求微分方程滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：此為y’’=f(y，y’)型．令原方程化為當(dāng)x=0時，y=1，y’=1．代入得1=1(1+C1)，所以C1=0．于是得p2=y2，p=y2(因y=1時y’=1，取正號)，故再分離變量，積分得將x=0時y=1代入得C2=－1，從而得特解知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)在(一∞，＋∞)上有定義，x0≠0為函數(shù)f(x)的極大值點，則()．A、x0為f(x)的駐點B、一x0為一f(一x)的極小值點C、一x0為一f(x)的極小值點D、對一切的x有f(x)≤f(x0)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為y=f(一x)的圖像與y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以一x0為f(一x)的極大值點，從而一x0為一f(一x)的極小值點，選(B)．2、設(shè)an(x一1)n在x=－1處收斂，則此級數(shù)在x=2處()．A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：3、設(shè)α～β(x→a)，則等于()．A、eB、e2C、1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、當(dāng)x→0時，ex—為x的三階無窮小，則a=________，b=________·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：ex=1＋x＋＋o(x3)，=1－bx＋b2x2－b3x3＋o(x3)得=(1＋ax)[1－bx＋b2x2－b3x3＋o(x3)]=1＋(a－b)x＋(b2－ab)x2＋(ab2－b3)x3＋o(x3)，5、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋C知識點解析：6、設(shè)f(x，y)滿足=2，f(x，0)=1，fy’(x，0)=x，則f(x，y)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2+xy+1知識點解析：因為f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．7、設(shè)f(x)=x2,則f’(x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x知識點解析：f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x．8、設(shè)f(x)連續(xù)，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析10、設(shè)f(x)=sinx，求f(x)的間斷點及其分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0即x=1為f(x)的間斷點．知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)=，驗證f(x)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，并求(0，2)內(nèi)使得f(2)一f(0)=2f’(ξ)成立的ξ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(1一0)=f(1)=f(1+0)=1得f(x)在x=1處連續(xù)，從而f(x)在[0，2]上連續(xù)．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：12、存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=e－x2f(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x2[f’(x)一2xf(x)]且e－x2≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析13、存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=xf(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)=sin3x＋∫－ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫－ππxf(x)dx=A，則f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin3x+Ax兩邊積分得∫－ππxf(x)dx=∫－ππsin3xdx+∫－ππAxdx，即A=∫－ππsin3xdx=2∫0πxsin3xdx=π∫0πsin3xdx知識點解析：暫無解析15、當(dāng)x≥0時，f(x)=x，設(shè)g(x)=，當(dāng)x≥0時，求∫0xf(t)g(x－t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)平面圖形D由x2+y2≤2x與y≥x圍成，求圖形D繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、計算(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲線繞z軸一周所成的曲面介于z=2與z=8之間的幾何體．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線繞x軸一周所成的曲面為z=(x2+y2)，則Ω=｛(x，y，z)｜(x，y)∈Dz，2≤z≤8｝，其中Dz：x2+y2≤2z，于是知識點解析：暫無解析19、計算曲面積分(x2+y2)dzdx+zdxdy，其中S為錐面z=(0≤z≤1)第一卦限的部分，方向取下側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將曲面S向xOz面投影得Dxz=｛(x，y)｜0≤x≤1，x≤z≤1｝，知識點解析：暫無解析20、將f(x)=arctanx展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在(一1，+∞)內(nèi)連續(xù)且f(x)—∫0xtf(t)dt=1(x＞一1)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)x3一3xy+y3=3確定y為x的函數(shù)，求函數(shù)y=y(x)的極值點．標(biāo)準(zhǔn)答案：x3一3xy+y3=3兩邊對x求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在x=x0的鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)=M．證明：f’(x0)=M．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)一f(x0)=f’(ξ)(x—x0)，其中ξ介于x0與x之間，則=M，即f’(x0)=M．知識點解析：暫無解析24、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，設(shè)井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度為3m／s，在提升過程中，污泥以20N／s的速度從抓斗中漏掉．現(xiàn)將抓斗從井底提升到井口，問克服重力做功多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)拉力對空斗所做的功為W1，則W1=400×30=12000(J)．設(shè)拉力對繩所做的功為W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30一x)dx，則W2=∫030dW2=22500(J)．設(shè)拉力對污泥做功為W3，任取[T，t+dt][0，10]，dW3=(2000—20t)×3dt，則W3=∫010dW3=57000(J)，拉力克服重力所做的功為W=W1+W2＋W3=91500(J)．知識點解析：暫無解析26、在變力F=｛yz，xz，xy｝的作用下，質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面上第一卦限的點M(ξ，η，ζ)，問ξ，η，ζ取何值時，F(xiàn)所做的功最大?求最大的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)原點O到點M(ξ，η，ζ)的直線為L，L的參數(shù)方程為知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=1，且f'(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0·27、求f’(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：(x+1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(t)dt=0，兩邊求導(dǎo)得(x＋1)f’’(x)=－(x＋2)f’(x)．再由f(0)=1，f’(0)＋f(0)=0，得f’(0)=一1，所以C=一1，于是f’(x)=．知識點解析：暫無解析28、證明：當(dāng)x≥0時，e－x≤f(x)≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≥0時，因為f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)一e－x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e－x=e－x≥0，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)f(x)=｜x3一1｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，則g(1)=0是f(x)在x=1處可導(dǎo)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)g(1)=0，f－’(1)=．(x2+x+1)g(x)=0，因為f－’(1)=f＋’(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0為f(x)在x=1處可導(dǎo)，應(yīng)選(C)．2、下列廣義積分發(fā)散的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由發(fā)散，應(yīng)選(B)．3、f(x，y)=arctan在(0，1)處的梯度為()．A、iB、一iC、jD、一j標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：4、極坐標(biāo)下的累次積分dθ∫02cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：累次積分所對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域為D：x2+y2≤2x(y≥0)，則D=｛(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤｝，選(D)．5、f(x)g(x)在x0處可導(dǎo)，則下列說法正確的是()．A、f(x)，g(x)在x0處都可導(dǎo)B、f(x)在x0處可導(dǎo)，g(x)在x0處不可導(dǎo)C、f(x)在x0處不可導(dǎo)，g(x)在x0處可導(dǎo)D、f(x)，g(x)在x0處都可能不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令f(x)=顯然f(x)，g(x)在每點都不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，但f(x)g(x)≡一1在任何一點都可導(dǎo)，選(D)．6、設(shè)冪級數(shù)an(x一2)n在x=6處條件收斂，則冪級數(shù)(x一2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、當(dāng)x→0時，3x一4sinx+sinxcosx與xn為同階無窮小，則n=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識點解析：8、由曲線L：繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點(0，)處的指向外側(cè)的單位法向量為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：曲線L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為∑：3x2+2y2+3z2一12=09、設(shè)函數(shù)f(x)=πx+x2(一π＜x＜π)的傅里葉級數(shù)為(ancosnx+bnsinnx)，則b3=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、設(shè)y’’一3y’+ay=一5e－x的特解形式為Axe－x，則其通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e－x+C2e4x+xe－x知識點解析：因為方程有特解Axe－x，所以一1為特征值，即(一1)2一3×(一1)+a=0a=一4，所以特征方程為λ2一3λ一4=0λ1=一1，λ2=4，齊次方程y’’一3y’+ay=0的通解為y=C1e－x+C2e4x，再把Axe－x代入原方程得A=1，原方程的通解為y=C1e－x+C2e4x+xe－x。11、設(shè)f(x)滿足等式xf’(x)一f(x)=，且f(1)=4，則∫01f(x)dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2-知識點解析：12、函數(shù)μ=x2－2yz在點(1，一2，2)處的方向?qū)?shù)最大值為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點解析：函數(shù)μ=x2一2yz在點(1，一2，2)處的方向?qū)?shù)的最大值即為函數(shù)μ=x2一2yz在點(1，一2，2)處的梯度的模，而gradμ｜(1，－2，2)=｛2x，一2z，一2y｝｜(1，一2，2)=｛2，－4，4｝，方向?qū)?shù)的最大值為=6．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0確定，求y’’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將x=0代入得y=0，ey+6xy+x2一1=0兩邊對x求導(dǎo)得ey+2x=0，將x=0，y=0代入得y’(0)=0．將x=0，y=0，y’(0)=0代入得y’’(0)=一2．知識點解析：暫無解析16、證明：當(dāng)0＜x＜1時，．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：17、求∫arcsinxarccosxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(t)=∫1tdx，求∫01t2f(t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、利用格林公式計算∫L(eXsiny+x—y)dx＋(excosy+y)dy，其中L是圓周y=(a＞0)上從點A(2a，0)到點O(0，0)的弧段．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)a1=2，an＋1=(n=1，2，…)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)由(1)得0≤≤an－an＋1，對級數(shù)(an－an＋1)，Sn=(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)=2－an＋1，知識點解析：暫無解析21、一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k＞0，設(shè)融化過程中形狀不變，設(shè)半徑為r0的雪堆融化3小時后體積為原來的，求全部融化需要的時間．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻雪堆的半徑為r，則有知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[1，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f’(x)＜0且f(x)=a＞0，令an=f(k)一∫1nf(x)dx．證明：｛an｝收斂且0≤an≤f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f’(x)＜0，所以f(x)單調(diào)減少．又因為an＋1一an=f(n+1)一∫nn＋1f(x)dx=f(n+1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以｛an｝單調(diào)減少．因為an=∫kk＋1[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而∫kk＋1[f(k)一f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n一1)且=a＞0，所以存在X＞0，當(dāng)x＞X時，f(x)＞0．由f(x)單調(diào)遞減得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在．由an=f(1)＋[f(2)一∫12f(x)dx]＋…＋[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，從而0≤≤f(1)．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在[一a，a](a＞0)上有四階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，存在．23、寫出f(x)的帶拉格朗日余項的麥克勞林公式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f’’(0)=0，則f(x)的帶拉格朗日余項的麥克勞林公式為f(x)=，其中ξ介于0與x之間．知識點解析：暫無解析24、證明：存在ξ1，ξ2∈[一