第十章 分式（45道壓軸題專練）

第十章分式（45道壓軸題專練）1．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．下列判斷正確的是（

）結(jié)論I：若n的值為5，則y的值為1；結(jié)論Ⅱ：x+y的值為定值；結(jié)論Ⅲ：若xm-3n=1，則y的值為A．I，Ⅲ均對 B．Ⅱ?qū)?，Ⅲ錯 C．Ⅱ錯，Ⅲ對 D．I，Ⅱ均錯2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組x-12≤11+x34x-a>x+1，有且只有45個整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程的解為非正數(shù)，則A．-61或-58 B．-61或-59 C．或-59 D．-3．（2022秋·上海·七年級專題練習）當x分別取值12019，12018，12017，，12，1，2，，2017，2018，2019時，計算代數(shù)式的值，將所得結(jié)果相加，其和等于(A．1 B．20192 C．1009 D．4．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如果，那么代數(shù)式1x-2?A．-2 B． C．1 D．25．（2020春·上海金山·八年級統(tǒng)考階段練習）用換元法解方程3xx2-1+A．3y+1y=C．3y2-6．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知a，b為實數(shù)且滿足a≠-1，b≠-1，設(shè)M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1．①若ab=1時，M=N；②若ab>1時，M>N；A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）甲杯中盛有m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍墨水，從甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時（

）A．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少B．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多C．甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同D．甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定8．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）對于任意的x值都有2x+7x2+x-2A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝49．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）若關(guān)于x的方程x+2x+3=mx+3無解，則mA．m=1 B．m=-1 C．m=2 D10．（2023春·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校?？计谥校┮阎獙崝?shù)a，b、c滿足a+b=ab=c，有下列結(jié)論：①若，則；②若a=3，則b+c=6；③若，則1-a1-b=1a+1b；A．1 B．2 C．3 D．411．（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）已知方程11+a+21+aA．8 B．14 C．16 D．3212．（2023·全國·八年級專題練習）已知兩個分式：1x，1第一次操作：將這兩個分式相乘，結(jié)果記為M1；相除，結(jié)果記為N（即M1=1第二次操作：將M1，N1相乘，結(jié)果記為M2（即M2=M第三次操作：將M2，N2相乘，結(jié)果記為M3（即M3=M2×將每一次操作的結(jié)果再相乘，相除，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結(jié)論：①M3=M12；

②③在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：M2n=④當x=1時，M2n-1⑤在第n（n為正整數(shù)）次和第n+1次操作的結(jié)果中：Nn以上結(jié)論正確的個數(shù)有（

）個．A．5 B．4 C．3 D．213．（2023春·安徽淮北·七年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）若關(guān)于x的不等式組3x-a>21-xx-12≥x+2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（2022·八年級單元測試）甲、乙、丙三名工人共承擔裝搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天時的對話信息如下：甲說：我的工作效率比乙的工作效率少1乙說：我3小時完成的工作量與甲4小時完成工作量相等；丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的12丁說：我沒參加此項工作，但我可以計算你們的工作效率．知道工程問題三者關(guān)系是：工作效率×工作時間＝工作總量．如果每小時只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（

）小時．A．20 B．21 C．1914 D．1915．（2023春·全國·八年級專題練習）已知兩個分式：1x，1第一次操作：將這兩個分式作和，結(jié)果記為M1；作差，結(jié)果記為N（即M1=1第二次操作：將M1，N1作和，結(jié)果記為M2（即M2=M第三次操作：將M2，N2作和，結(jié)果記為M3（即M3=M2+將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結(jié)論：．①M3=2M1；②當x=1時，M2+M④在第n（n為正整數(shù)）次和第n+1次操作的結(jié)果中：Nn⑤在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：M2n=2以上結(jié)論正確的個數(shù)有（

）個A．5 B．4 C．3 D．216．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為．17．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知：m2-9m+1=0，則m2+1m2=18．（2019春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F中學?？茧A段練習）若關(guān)于x的方程x-ba=2-x-ab有唯一解，則19．（2022秋·七年級單元測試）已知關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是.20．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）計算：1xx+121．（2022春·上海·八年級專題練習）若關(guān)于x的方程-2x+m2017-x+4020=022．（2021春·上海楊浦·六年級?？计谥校┤魓-1x-1=23．（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）有正整數(shù)x<y<z，且k為整數(shù)，1x+1y+124．（2023春·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成A×B（A≥B），其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，則稱數(shù)M為“如意數(shù)”，并把數(shù)M分解成M=A×B的過程，稱為“快樂分解”．例如，因為528=22×24，22和24的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，所以528是“如意數(shù)（1）最小的“如意數(shù)”是；（2）把一個“如意數(shù)”M進行“快樂分解”，即M=A×B，A與B的和記為P（M），A與B的差記為Q（M），若PM25．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元一次不等式組x-23<x+1x+a≤3至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程y-a26．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？计谀τ谝粋€四位自然數(shù)M，設(shè)M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，它的千位數(shù)字與個位數(shù)字組成的兩位數(shù)為A=10a+d，十位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)為B=10c+b，若A與B的差等于M的千位數(shù)字與百位數(shù)字和的相反數(shù)，則稱M為“開數(shù)”．判斷：1029是否為“開數(shù)”（填“是”“否”）；若M為“開數(shù)”，記GM=b+13c-a-d，當GM能被727．（2023春·八年級課時練習）現(xiàn)有形狀、大小、庫存貨物完全相同的A，B兩個倉庫，已知甲、乙兩人合作搬運完A倉庫需要20小時，乙、丙兩人合作搬運完B倉庫需要24小時．現(xiàn)由乙先與甲合作搬運A倉庫，同時丙在獨立搬運B倉庫，n小時后，乙停止搬運進行休息，乙休息1.5小時立即到B倉庫和丙一起搬運，若搬運完A，B兩個倉庫各用了27小時，則n=．28．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？级＃┮阎獂2-3x+1=0，則x3-29．（2023·全國·八年級專題練習）已知a>0,S1=1a,S2=-S1-1,S3=1S30．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）已知關(guān)于x的分式方程x+mx+2-mx-2=1的解不超過6，且關(guān)于y的不等式組m-6y>231．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）某生態(tài)柑橘園現(xiàn)有柑橘31噸，租用9輛A和B兩種型號的貨車將柑橘一次性運往外地銷售．已知每輛車滿載時，A型貨車的總費用500元，B型貨車的總費用480元，每輛B型貨車的運費是每輛A型貨車的運費的1.2倍．（1）每輛A型貨車和B型貨車的運費各多少元？（2）若每輛車滿載時，租用1輛A型車和7輛B型車也能一次性將柑橘運往外地銷售，則每輛A型貨車和B型車貨各運多少噸？32．（2022秋·上海·七年級專題練習）甲?乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，距離為100千米．（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時的速度到達中點，再以25千米/小時的速度到達B地，求走完全程所用的時間．（2）若甲從A地出發(fā)，先以12V千米/小時的速度到達中點，再以2V千米/小時的速度到達B地．乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時不變，請問甲?乙誰先到達B（3）若甲以a千米/時的速度行走x小時，乙以b千米/時的速度行走x小時，此時甲距離終點為100-ax千米，乙距離終點為100-bx千米．分式100-ax100-bx對一切有意義的x33．（2019·上?！ぞ拍昙壣虾＝淮蟾街行？甲灾髡猩㏒n為n的各位數(shù)字之和，例S（1）當10≤n≤99時，求nS（2）當100≤n≤999時，求nS（3）當1000≤n≤9999時，求nS34．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）先化簡，再求值，12x2-4x-35．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：，，則x+1x-1和都是“和諧分式”．（1）下列分式中，不屬于“和諧分式”的是（填序號）．①

②

③

④（2）將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式．（3）應用：先化簡，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．36．（2019秋·上海徐匯·七年級上海市田林第三中學?？茧A段練習）當x取何整數(shù)時，分式6x37．（2019秋·上海徐匯·七年級上海市田林第三中學?？茧A段練習）已知x2-5x-2019=0，求38．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）某廣告公司招標了一批燈箱加空工程，需要在規(guī)定時間內(nèi)加工1400個燈箱，該公司按一定速度加工5天后發(fā)現(xiàn)，按此速度加工下去會延期十天完成，于是又抽調(diào)了一批工人投入燈箱加工，使工作效率提高了50%，結(jié)果如期完成工作，按規(guī)定時間是多少天？39．（2019秋·上海虹口·七年級?？茧A段練習）已知x+3x-22=40．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）閱讀理解：把一個分式寫成兩個分式的和叫做把這個分式表示成部分分式．如何將1-設(shè)分式1-3xx2-1=mx-1+nx+1，將等式的右邊通分得：m(x+1)+n(x-1)(x+1)(x-1)=(m+n)x+m-n(x+1)(x-1)，由1-3xx2（1）把分式1(x-2)(x-5)表示成部分分式，即1(x-2)(x-5)=mx-2+nx-（2）請用上述方法將分式4x-41．（2023春·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程ax+bx-1=b，其中a，b均為整數(shù)且(1)若方程有增根，則a，b滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．42．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料：把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”．例：將分式1-3xx2-1Mx-1+Nx+1x+1x-1=M+N(1)將分式2n+1n(2)按照（1）的規(guī)律，求3143．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學校聯(lián)考期末）本學期初二年級舉辦了籃球比賽，為了讓參賽的運動員更好地訓練，體育組計劃購買甲，乙兩種品牌的籃球，已知甲品牌籃球的單價比乙品牌籃球的單價低40元，且用4800元購買甲品牌籃球的數(shù)量是用4000元購買乙品牌籃球數(shù)量的32(1)求甲、乙兩種品牌籃球的單價．(2)若學校計劃購買甲、乙兩種品牌的籃球共90個，且乙品牌籃球的數(shù)量不小于甲品牌籃球數(shù)量的2倍，購買兩種品牌籃球的總費用不超過17200元．則該校共有幾種購買方案？(3)在（2）條件下，專賣店準備對乙種品牌的籃球進行優(yōu)惠，每個乙種籃球優(yōu)惠a元30<a<50，甲種籃球價格不變，那么學校采用哪一種購買方案可使總費用最低？44．（2023春·安徽亳州·七年級統(tǒng)考期末）如果兩個分式P與Q的和為常數(shù)m，且m為正整數(shù)，則稱P與Q互為“完美分式”，常數(shù)m稱為“完美值”，如分式P=xx+1，Q=1x+1，P+Q=x+1x+1=1，則P與Q互為“完美分式(1)已知分式A=x-1x-4，B=x-7x-4，判斷A與B是否互為“完美分式”？若不是，請說明理由；若是，請求出“(2)已知分式C=3x-4x-2，D=Ex2-4，若C與D互為“完美分式”，且“完美值”①求E所代表的代數(shù)式；②求x的值．45．（2023秋·福建福州·八年級福州三牧中學?？计谀╅喿x：在分式中，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”，例如：x-1x+1，x2x+2這樣的分式就是假分式；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”，例如：1x+1，-2xx2x2x2請根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)填空：①分式2x+2是______分式（填“真”或“假”②把下列假分式化成一個整式與一個真分式的和（差）的形式：x2-3x+5x(2)把分式x2+2x-(3)一個三位數(shù)m，個位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍．另一個兩位數(shù)n，十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同．若這個三位數(shù)的平方能被這個兩位數(shù)整除，求滿足條件的兩位數(shù)n．

第十章分式（45道壓軸題專練）參考答案1．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．下列判斷正確的是（

）結(jié)論I：若n的值為5，則y的值為1；結(jié)論Ⅱ：x+y的值為定值；結(jié)論Ⅲ：若xm-3n=1，則y的值為A．I，Ⅲ均對 B．Ⅱ?qū)Γ箦e C．Ⅱ錯，Ⅲ對 D．I，Ⅱ均錯【答案】B【分析】先由題意得到x+2y=m①3x+2y=n②，m+n=8，然后解方程組得到x=n-m2y=3m-n4，當n=5時，m=3，則此時y=3×3-54=1，即可判斷I；①+②得4x+4y=8，即可判斷②；根據(jù)1的任何次方為1，的偶次方為【詳解】解：由題意得，x+2y=m①3x+2y=n②，m+n=8②-①得2x=n-m，解得x=n把x=n-m2代入①得n-m2∴方程組的解為x=n∵m+n=8，∴當n=5時，m=3，則此時y=3×3①+②得4x+4y=8，∴x+y=2，故結(jié)論Ⅱ正確；當x=1時，y=1，此時滿足xm當時，則m=3n，此時m=6，n=2∴x=-2，y=4，此時滿足xm當x=-1此時m=-∴m-3n=5-3×3=-4，此時滿足xm綜上所述，若xm-3n=1，則y的值為4或3或故選B．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和二元一次方程的解，零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組x-12≤11+x34x-a>x+1，有且只有45個整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程的解為非正數(shù)，則A．-61或-58 B．-61或-59 C．或-59 D．-61或或-59【答案】B【分析】先解不等式組，根據(jù)不等式組的整數(shù)解確定a的范圍，結(jié)合a為整數(shù)，再確定a的值，再解分式方程，根據(jù)分式方程的解為非正數(shù)，得到a的范圍，注意結(jié)合分式方程有意義的條件，從而可得答案．【詳解】解：∵由①得：x≤由②得：x＞a+13因為不等式組有且只有45個整數(shù)解，∴a+13＜∴-20≤a+13＜∴-60≤a+1＜-57,∴-61≤a＜-58,為整數(shù)，為-61,-∵，∴2y+a+2+60=y+1,∴y=而y≤0,且y≠-∴-∴a又-61∴a綜上：a的值為：-61,故選B．【點睛】本題考查的是由不等式組的整數(shù)解求參數(shù)系數(shù)的問題，考查分式方程的解為非正數(shù)，易錯點是疏忽分式方程有意義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上海·七年級專題練習）當x分別取值12019，12018，12017，，12，1，2，，2017，2018，2019時，計算代數(shù)式的值，將所得結(jié)果相加，其和等于(A．1 B．20192 C．1009 D．【答案】D【分析】先把x=n和x=1n代入代數(shù)式，并對代數(shù)式化簡求值，得到它們的和為0，然后把【詳解】解：設(shè)f(x)=xf(∴f(則原式=f(故選：D．【點睛】本題考查的是代數(shù)式的求值，本題的x的取值較多，并且除x=1外，其它的數(shù)都是成對的且互為倒數(shù)，把互為倒數(shù)的兩個數(shù)代入代數(shù)式得到它們的和為0，原式即為x=1代入代數(shù)式后的值．4．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如果，那么代數(shù)式1x-2?A．-2 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由可得x2+2x=2，再化簡1x-2?x【詳解】解：由可得x21=1=x=x=-=-=-2故答案為A．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，正確化簡分式以及根據(jù)得到x2+2x=25．（2020春·上海金山·八年級統(tǒng)考階段練習）用換元法解方程3xx2-1+xA．3y+1y=C．3y2-7y+1=0【答案】D【分析】由xx2-1=【詳解】解：∵x∴x∴3xx2-1+x故答案為D．【點睛】本題考查了用換元法解分式方程，掌握換元法和解分式方程的去分母是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知a，b為實數(shù)且滿足a≠-1，b≠-1，設(shè)M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1．①若ab=1時，M=N；②若ab>1時，M>N；③若ab<1時，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求出M對于①當ab=1時，可得M-N=0，所以對于②當ab>1時，不能確定的正負，所以②錯誤；對于③當ab<1時，不能確定的正負，所以③錯誤；對于④當a+b=0時，MN=-【詳解】M=a(b+1)+b(a+1)(a+1)(b+1)M①當ab=1時，M-N=0，所以M=N，①正確；②當ab>1時，2ab-2>0，如果a=-3，b=-12此時M-N=2ab-2(a+1)(b+1)<0，M<N③當ab<1時，2ab-2<0，如果a=-3，b=-14此時M-N=2ab-2(a+1)(b+1)>0，M>N④當a+b=0時，M=N=MN=-故選B．【點睛】本題關(guān)鍵在于熟練掌握分式的運算，并會判斷代數(shù)式的正負．7．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）甲杯中盛有m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍墨水，從甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時（

）A．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少B．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多C．甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同D．甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定【答案】C【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相應墨水的比例，進而得到混入相應墨水的質(zhì)量，比較即可．【詳解】甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：乙杯中紅墨水的比例為am+a，藍墨水的比例為m再從乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是a-a?am+a=mam+a乙杯中減少的藍墨水的數(shù)量是a?mm+a=mam+a∵①=②∴故選C．【點睛】考查了用濃度和溶液表示溶質(zhì)的等量關(guān)系；用到的知識點為：純墨水的質(zhì)量=總質(zhì)量×相應的濃度．8．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）對于任意的x值都有2x+7x2+x-2A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【答案】B【分析】先計算Mx+2+Nx-1=M+Nx+-M+2Nx2+x-2【詳解】解：M=M=M+N∴2x+7x2∴M+N＝解得：M＝故選B．【點睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法則，并根據(jù)已知等式得出關(guān)于M、N的方程組．9．（2021·上海·九年級專題練習）若關(guān)于x的方程x+2x+3=mx+3無解，則mA．m=1 B．m=-1 C．m=2 D．m=【答案】B【分析】先去分母方程兩邊同乘以x+3，根據(jù)無解的定義即可求出m【詳解】解：方程去分母得，x+2=則x=當分母x+3=0即x所以m-2=-3即m故選B．【點睛】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內(nèi)容．分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．10．（2023春·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校?？计谥校┮阎獙崝?shù)a，b、c滿足a+b=ab=c，有下列結(jié)論：①若，則；②若a=3，則b+c=6；③若，則1-a1-b=1a+1b；④若c=4，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)所給條件，對各項進行變形，利用整體代入、解方程、通分、完全平方式進行計算即可驗證．【詳解】解：∵∴①當時，2a-3ab+2b5a+7ab+5b=2(a+b)-3ab5(a+b)+7ab②當a=3時，∴解得：b=3∴b+c=32③∵(11a∴1-a④當c=4，則a+b=ab=4∴a2+b綜上所述，正確的結(jié)論有4個；故選：D．【點睛】本題考查代數(shù)式求值及恒等式證明，根據(jù)題意，結(jié)合四個結(jié)論中的代數(shù)式恒等變形是解決問題的關(guān)鍵．11．（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）已知方程11+a+21+aA．8 B．14 C．16 D．32【答案】C【分析】利用平方差公式，將方程左邊分步通分，進而得到1-a161-a【詳解】解：1=====16∴161-a16∴1-∵1====1-∴1+a=，故選：C．【點睛】本題考查分式的化簡、代數(shù)式求值，靈活運用平方差公式，將分式分步通分求解是解答的關(guān)鍵．12．（2023·全國·八年級專題練習）已知兩個分式：1x，1第一次操作：將這兩個分式相乘，結(jié)果記為M1；相除，結(jié)果記為N（即M1=1第二次操作：將M1，N1相乘，結(jié)果記為M2（即M2=M第三次操作：將M2，N2相乘，結(jié)果記為M3（即M3=M2×將每一次操作的結(jié)果再相乘，相除，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結(jié)論：①M3=M12；

②③在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：M2n=④當x=1時，M2n-1⑤在第n（n為正整數(shù)）次和第n+1次操作的結(jié)果中：Nn以上結(jié)論正確的個數(shù)有（

）個．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，據(jù)此找到規(guī)律，然后逐項判斷即可．【詳解】解：∵M1=∴M2=∴M3=∴MN……M2n-1=M2n=由M3=1x由N4=1x+14=81，則由M2n=1x2n由當x=1時，M2n-1由N3N4=x+1故選C．【點睛】本題主要考查的分式乘和除法，掌握分式的運算法則、找到運算結(jié)果的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·安徽淮北·七年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）若關(guān)于x的不等式組3x-a>21-xx-12≥x+23-1的解集為x≥1，關(guān)于A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先分別解不等式組里的兩個不等式，根據(jù)解集求出a的取值范圍，再由分式方程的解求出a的范圍，得到兩個a的范圍必須同時滿足，即求得可得到的整數(shù)a的值．【詳解】解：解不等式：3x-a>21-x，得：x>解不等式：x-12≥x+2∵不等式組的解集為x≥∴2+a5<1，即：解關(guān)于y的分式方程yy+1得y=-∵分式方程的解為整數(shù)解，∴2a-1為整數(shù)，且-a+1a-1≠±1，a-1≠0，即∴所有滿足條件的整數(shù)a的值有：2，，共2個，故選：B．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組及應用，解分式方程．解題關(guān)鍵是由條件得到a的取值范圍．14．（2022·八年級單元測試）甲、乙、丙三名工人共承擔裝搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天時的對話信息如下：甲說：我的工作效率比乙的工作效率少1乙說：我3小時完成的工作量與甲4小時完成工作量相等；丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的12丁說：我沒參加此項工作，但我可以計算你們的工作效率．知道工程問題三者關(guān)系是：工作效率×工作時間＝工作總量．如果每小時只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（

）小時．A．20 B．21 C．1914 D．19【答案】D【分析】設(shè)甲單獨完成任務需要x小時，則甲的工作效率是1x，乙的工作效率是1【詳解】解：設(shè)甲單獨完成任務需要x小時，則甲的工作效率是1x，乙的工作效率是1x+解得：x=20，經(jīng)檢驗x=20是原方程的根，且符合題意，甲的工作效率是120，乙的工作效率是1∵丙的工作效率是乙的工作效率的12丙的工作效率是12∴一輪的工作量為：120∴6輪后剩余的工作量為：1-∴還需要甲工作1小時后，乙需要的工作量為：，∴乙還需要工作的時間為120∴按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需（小時）．故選：D．【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是分析題意，找到合適的等量關(guān)系進行求解．15．（2023春·全國·八年級專題練習）已知兩個分式：1x，1第一次操作：將這兩個分式作和，結(jié)果記為M1；作差，結(jié)果記為N（即M1=1第二次操作：將M1，N1作和，結(jié)果記為M2（即M2=M第三次操作：將M2，N2作和，結(jié)果記為M3（即M3=M2+將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結(jié)論：．①M3=2M1；②當x=1時，M2+M④在第n（n為正整數(shù)）次和第n+1次操作的結(jié)果中：Nn⑤在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：M2n=2以上結(jié)論正確的個數(shù)有（

）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】通過計算確定第2n個式子的變化規(guī)律和第2n-1個式子的變化規(guī)律，然后確定一般形式，進行判定即可．【詳解】解：，，，，，，，，……當2n-1為奇數(shù)時（1除外），，，當2n為偶數(shù)時，M2n=2n∵，故①正確；當x=1時，M2+M4+M6+M8==30，故②錯誤；，解得x=1或-2，故③錯誤；當n=2k-2時，=x，x不是定值，故④錯誤；由規(guī)律知，⑤正確；故選：D．【點睛】本題考查分式的化簡以及探究式子的規(guī)律，解決問題的關(guān)鍵是確定式子的變化規(guī)律．16．（2023春·上海·八年級專題練習）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為．【答案】10或-4或【分析】分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約去分母后，整式方程無解．【詳解】解：（1）x=-此時有，即，解得m=10；（2）為原方程的增根，此時有，即，解得m=-（3）方程兩邊都乘(x+2)(x-得，化簡得：．當m=3時，整式方程無解．綜上所述，當m=10或m=-4或m=3時，原方程無解．故答案為：10或-4或3【點睛】本題考查的是分式方程的解，解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．17．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知：m2-9m+1=0，則m2+1m2=【答案】79【分析】先將m2-9m+1=0變形求出m2+1=9m，再將原式通分得到(【詳解】∵m2∴m2∴，=，=(m=(9m)=79，故答案為：79.【點睛】此題考查分式的加法計算，分式的通分，正確將將原式變形后代入分式中進行計算是解題的關(guān)鍵.18．（2019春·上海·八年級上海市張江集團中學?？茧A段練習）若關(guān)于x的方程x-ba=2-x-ab有唯一解，則【答案】a+b【分析】根據(jù)隱含條件，a≠0，b≠0，先去分母、去括號、移項，再合并，保證未知數(shù)的系數(shù)不等于【詳解】解：，b≠0∴兩邊同乘以ab得，整理后，得(b+a)x=因方程有唯一解，故a+b≠故答案為：a+b≠【點睛】本題考查了一元一次方程的解法，一元一次方程有唯一解的條件是：未知數(shù)的系數(shù)不等于0．19．（2022秋·七年級單元測試）已知關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是.【答案】m>1且【分析】先對分式方程進行通分，因式分解后得出m與x的關(guān)系，由于分式方程的解為正數(shù)，且要保證分式方程有意義，故可知x的取值范圍，再利用m與x的關(guān)系，求出m的取值范圍.【詳解】等式左邊為：等式右邊：左邊等于右邊則有：解，得：6x+2=2m-x，即x=要滿足方程得解為正數(shù)，即x>0，且必須保證分式方程有意義，故x≠3且x≠-2，綜合解得分式方程的解為x>0且x≠3故27(m-1)>0且解得m>1且，即為m的取值范圍.【點睛】本題考查分式方程的解法，要想分式方程有解，前提必須保證分式有意義（即分母不為0），再根據(jù)得到的關(guān)系式求出m的取值范圍.20．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）計算：1xx+1【答案】2019【分析】利用裂項法先將每個分式化簡，再將結(jié)果相加即可.【詳解】∵1x(x+1)11……1∴原式=(=1=2019x【點睛】此題考查分式的混合運算，運用裂項法將每個分式化簡是解題的關(guān)鍵.21．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）若關(guān)于x的方程-2x+m2017-x+4020=0【答案】15【詳解】顯然x≠2017，由題意得：m=2x-40202017-x，令y=2017-x，則x=2017∴m=2(2017-y2)-4020∵m是正整數(shù)，y≥0，∴y=1時，m=12，y=2時，m=3，∴正整數(shù)m的所有取值的和為15，故答案為15．【點睛】本題考查了方程的整數(shù)解問題，解決本題巧妙運用整數(shù)的特點及在分數(shù)計算中整數(shù)的倍數(shù)關(guān)系求解，令y=2017-x從而使得用x表示m22．（2021春·上海楊浦·六年級?？计谥校┤魓-1x-1=【答案】x＜1【詳解】根據(jù)x-1的絕對值與本身的比為-1，說明絕對值與本身互為相反數(shù)，故可知x-1＜0，即x＜1.故答案為x＜1.23．（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）有正整數(shù)x<y<z，且k為整數(shù)，1x+1y+1【答案】81【分析】由x，y，z為正整數(shù)，x<y<z且1x+1y+1z=k，k為正整數(shù)可得k只能為【詳解】解：，y，z為正整數(shù)，且x<y<z，∴x≥1，y≥2，z≥∴0<k=即0<k≤又∵k∴k=1，x≠若x≥3，則1即1x只能為2，∴12+1y若y≥4，則1y即1y只能為3，∴12+∴(y+z)故答案為：81．【點睛】本題考查分式的加減法，解答本題的關(guān)鍵是分類討論x，y，z的值．24．（2023春·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成A×B（A≥B），其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，則稱數(shù)M為“如意數(shù)”，并把數(shù)M分解成M=A×B的過程，稱為“快樂分解”．例如，因為528=22×24，22和24的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，所以528是“如意數(shù)（1）最小的“如意數(shù)”是；（2）把一個“如意數(shù)”M進行“快樂分解”，即M=A×B，A與B的和記為P（M），A與B的差記為Q（M），若PM【答案】1653968【分析】（1）根據(jù)“如意數(shù)”的定義進行判斷即可得；（2）設(shè)兩位數(shù)A和B的十位數(shù)字均為m，A的個位數(shù)字為n，則B的個位數(shù)字為6-n，且m為1至9的自然數(shù)，從而可得A=10m+n，B=10m+6-n，再求出PMQM=20m+62n-6=10m+3n-3，根據(jù)A≥B，自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，以及QM=A-B=2n-6≠0，可得n為5【詳解】（1）∵自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，∴根據(jù)“如意數(shù)”的定義可得最小的“如意數(shù)”為：M=11×故答案為：165；（2）由題意，設(shè)兩位數(shù)A和B的十位數(shù)字均為m，A的個位數(shù)字為n，則B的個位數(shù)字為6-n，且m為1至∴A=10m+n，B=10m+6-∴PM=A+B=20m+6，∵A≥B，自然數(shù)M的個位數(shù)字不為∴n為5、4或者3，∵QM∴n為5或者4，∴PMQ當n=5時，PM不符合題意，舍去；當n=4時，PM∵PMQM能被7整除，且m為∴滿足條件的整數(shù)m只有6，∴A=64，B=62，即M=64×故答案為：3968．【點睛】本題考查了因式分解的應用、整式加減的應用等知識點，正確理解“如意數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．25．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元一次不等式組x-23<x+1x+a≤3至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程y-a【答案】-【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a≤4，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得y=a+32，由分式方程有正整數(shù)解，確定出【詳解】解：x-2解不等式①得：x>解不等式②得：x≤則根據(jù)題意可知，不等式組的解集為：-5∵關(guān)于x的一元一次不等式組x+1>x-1則該不等式的整數(shù)解至少包含：-2，，∴3解得：a≤分式方程y-ay解得：y=a+3∵a≤∴y=a+3∵y是正整數(shù)，且y≠∴y=1或，或a=3，∴滿足條件的整數(shù)a的積為-1故答案為：-3【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的步驟以及解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．26．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考期末）對于一個四位自然數(shù)M，設(shè)M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，它的千位數(shù)字與個位數(shù)字組成的兩位數(shù)為A=10a+d，十位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)為B=10c+b，若A與B的差等于M的千位數(shù)字與百位數(shù)字和的相反數(shù)，則稱M為“開數(shù)”．判斷：1029是否為“開數(shù)”（填“是”“否”）；若M為“開數(shù)”，記GM=b+13c-a-d，當GM能被7【答案】是8892【分析】根據(jù)“開數(shù)”的定義判斷1029是否為“開數(shù)”；若M為“開數(shù)”，則A-B=10a+d-10c+b=-a+b，由此可得d=10c-11a，代入GM可得GM【詳解】解：M=1029時，A=10×1+9=19，B=10×A-B=19-20=-1，千位數(shù)字與百位數(shù)字和為：1+0=1，∵與1互為相反數(shù)，∴1029是“開數(shù)”；若M為“開數(shù)”，則A-∴d=10c∴G∵GM是∴若要M最大，則b=8，a=8，c=9，∴d=10c∴M最大值為8892．故答案為：是，8892．【點睛】本題考查數(shù)字整除問題，運用題設(shè)條件進行數(shù)值分析是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·八年級課時練習）現(xiàn)有形狀、大小、庫存貨物完全相同的A，B兩個倉庫，已知甲、乙兩人合作搬運完A倉庫需要20小時，乙、丙兩人合作搬運完B倉庫需要24小時．現(xiàn)由乙先與甲合作搬運A倉庫，同時丙在獨立搬運B倉庫，n小時后，乙停止搬運進行休息，乙休息1.5小時立即到B倉庫和丙一起搬運，若搬運完A，B兩個倉庫各用了27小時，則n=．【答案】6【分析】可設(shè)單獨搬運甲需要x小時，乙需要y小時，丙需要z小時，根據(jù)等量關(guān)系：甲、乙兩人合作搬運完A倉庫需要20小時；乙、丙兩人合作搬運完B倉庫需要24小時；搬運完A、B兩個倉庫各用了27小時；列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)單獨搬運甲需要x小時，乙需要y小時，丙需要z小時，依題意有1①×27-③得7y+20n=540⑤，②×27-④得y-8n=12聯(lián)立⑤⑥得n=6y=60經(jīng)檢驗得，n，y的值是原方程組的解，∴n的值為6.故答案為：6．【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．28．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？级＃┮阎獂2-3x+1=0，則x3-【答案】13【分析】根據(jù)已知條件易得，x2-3x=-1，x-3+1x=0，從而可得【詳解】解：∵x2∴，x2-3x=-1，x∴x+1∴x+1∴x2∴x=x=x=x=3====13，故答案為：13．【點睛】本題主要考查了分式的求值，熟練掌握完全平方公式，利用整體思想進行求值是解題的關(guān)鍵．29．（2023·全國·八年級專題練習）已知a>0,S1=1a,S2=-S1-1,S3=1S【答案】-【分析】先找到規(guī)律Sn的值每6個一循環(huán)，再求出S1+S2【詳解】解：S1，，S4S5S6，…，∴Sn的值每6∵S====-∵2022=337×∴S1故答案為：-337【點睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出Sn的值，每630．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）已知關(guān)于x的分式方程x+mx+2-mx-2=1的解不超過6，且關(guān)于y的不等式組m-6y>2【答案】-【分析】先解分式方程，求得分式方程解x=2-2m，再由分式方程的解不超過6，得2-2m≤6且2-2m≠±2，解得：m≥-2且m≠0、m≠2，然后解不等式組得-4≤m<m-26，根據(jù)不等式組有四個整數(shù)解，得-1<m-26≤0，解得：-4<m≤2，所以且m≠0，又因為m為整數(shù)，則【詳解】解：解方程x+mx+2-m∵x+mx+2-m∴2-2m≤6且2-解得：m≥-2且m≠0、m≠解不等式組m-6y>2y-4≤3y+4，得-∵不等式組有四個整數(shù)解，∴-1<解得：-4<m∴且m≠0∵m為整數(shù)，∴，-2，∴符合條件的整數(shù)m的和為：-1故答案為：-2【點睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況和不等式組的整數(shù)解求字母系數(shù)值，熟練掌握解分式方程和不等式組是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）某生態(tài)柑橘園現(xiàn)有柑橘31噸，租用9輛A和B兩種型號的貨車將柑橘一次性運往外地銷售．已知每輛車滿載時，A型貨車的總費用500元，B型貨車的總費用480元，每輛B型貨車的運費是每輛A型貨車的運費的1.2倍．（1）每輛A型貨車和B型貨車的運費各多少元？（2）若每輛車滿載時，租用1輛A型車和7輛B型車也能一次性將柑橘運往外地銷售，則每輛A型貨車和B型車貨各運多少噸？【答案】（1）每輛A型貨車運費100元，每輛B型貨車的運費120元；（2）每輛A型貨車運3噸，B型貨車運4噸【分析】（1）設(shè)每輛A型貨車運費為x元，則每輛B型車運費為1.2x元；根據(jù)題意，列分式方程并求解，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得A型貨車和B型貨車的數(shù)量；結(jié)合題意，設(shè)每輛A型貨車運a噸，每輛B型貨車運b噸，列二元一次方程組并求解，即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)每輛A型貨車運費為x元，則每輛B型貨車運費為1.2x元由題意得：500x解得：x=100經(jīng)檢驗，x=100時，x≠0，1.2x≠∴每輛A型貨車運費100元，每輛B型貨車的運費120元；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，A型貨車的數(shù)量為：500100∴B型貨車的數(shù)量為：9-設(shè)每輛A型貨車運a噸，每輛B型貨車運b噸，由題意得：5a+4b=31a+7b=31解得：a=3b=4∴每輛A型貨車運3噸，B型貨車運4噸．【點睛】本題考查了二元一次方程組、分式方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組、分式方程的性質(zhì)，從而完成求解．32．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）甲?乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，距離為100千米．（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時的速度到達中點，再以25千米/小時的速度到達B地，求走完全程所用的時間．（2）若甲從A地出發(fā)，先以12V千米/小時的速度到達中點，再以2V千米/小時的速度到達B地．乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時不變，請問甲?乙誰先到達B（3）若甲以a千米/時的速度行走x小時，乙以b千米/時的速度行走x小時，此時甲距離終點為100-ax千米，乙距離終點為100-bx千米．分式100-ax100-bx對一切有意義的x【答案】（1）4.5小時；（2）乙先到；（3）a，b應滿足的條件是a=b．【分析】（1）根據(jù)“時間=路程÷速度”分別求出兩段路程的時間，再求和即可得；（2）根據(jù)“時間=路程÷速度”分別求出甲、乙走完全程所用的時間，再比較大小即可得；（3）設(shè)100-ax100-bx=k，從而可得【詳解】（1）由題意得：t=100=2.5+2，=4.5（小時），答：走完全程所用的時間為4.5小時；（2）甲走完全程所用的時間為1002乙走完全程所用的時間為100V因為100V所以乙先到；（3）設(shè)100-ax100-bx=k，則整理得：100-∵分式100-ax100-bx對一切有意義的x∴k的值與x的取值無關(guān)，∴kb-a=0，即a=kb，∴100-解得k=1，∴a=b，故a，b應滿足的條件是a=b．【點睛】本題考查了分式加減的應用等知識點，依據(jù)題意，正確列出各運算式子是解題關(guān)鍵．33．（2019·上?！ぞ拍昙壣虾＝淮蟾街行？甲灾髡猩㏒n為n的各位數(shù)字之和，例S（1）當10≤n≤99時，求nS（2）當100≤n≤999時，求nS（3）當1000≤n≤9999時，求nS【答案】（1）1.9，見解析；（2）10919，見解析；（3）【分析】（1）設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則nSn=10a+ba+b（2）設(shè)這個三位數(shù)的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c，根據(jù)（1）中的方法進行求值即可；（3）設(shè)這個四位數(shù)的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字是d，參照（1）中的方法進行求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則nS要使nSn的值最小，則則∵10≤n≤99，∴a=1,b=9，nSn最小為19（2））設(shè)這個三位數(shù)的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c；要使nSn=∵100≤n≤999，∴a=1,c=9，nSn∴b=9，n（3）設(shè)這個四位數(shù)的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字是d；則nS則a=1,d=9，nSn=999+99b+9cnSn的最小值為1099【點睛】本題主要考查分式的性質(zhì)及運算的運用，關(guān)鍵是會用整體思想及轉(zhuǎn)化思想把復雜問題簡單化．34．（2022秋·上海·七年級專題練習）先化簡，再求值，12x2-4x-【答案】，32．【分析】先根據(jù)分式的運算法則化簡原式，然后再求出不等式的整數(shù)解，然后選擇合適的整數(shù)解代入已化簡的分式即可．【詳解】解：原式=[==∵∴所以不等式組的整數(shù)解是0,1,2,3要使分式有意義，x的值只能取1，所以原式=1+2【點睛】本題考查了分式的化簡求值、分式有意義的條件以及求不等式組的整數(shù)解等知識點，正確化簡分式和求不等式組的整數(shù)解是解答本題的關(guān)鍵．35．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：，，則x+1x-1和都是“和諧分式”．（1）下列分式中，不屬于“和諧分式”的是（填序號）．①

②

③

④（2）將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式．（3）應用：先化簡，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．【答案】（1）②；（2）a-2+-9a-2；（3），當x=【分析】（1）把給出的各式進行處理，根據(jù)和諧分式的定義判斷；（2）把分式先變形為a2（3）先算除法，把分式轉(zhuǎn)化成和諧分式，再確定x的值．【詳解】解：（1）①2x+3x=2+3x；②3+x3=1+x∴①③④屬于和諧分式，②不屬于和諧分式；故答案為：②；（2）原式；（3）原式====2x+4根據(jù)題意得：原式；當原式的值為整數(shù)時，x+1應該是2的因數(shù)，∴x+1=1或x+1=-1或x+1=2或解得：x=0或x=-2或x=1或x=-∵x≠0且x≠-1且x≠1且x≠-∴當x=-【點睛】本題考查了分式的混合運算及和新定義“和諧分式”．解決本題的關(guān)鍵是理解定義的內(nèi)容并能運用．36．（2019秋·上海徐匯·七年級上海市田林第三中學?？茧A段練習）當x取何整數(shù)時，分式6x【答案】x=0或-1或-2或-5．【分析】先把分式6x2-12x+61-x3【詳解】解：6∴要使61-x的值是正整數(shù)，則分母1-x即1-x=1或2或3或則x=0或-1或-2或-5．【點睛】此題考查了分式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式6x2-12x+637．（2019秋·上海徐匯·七年級上海市田林第三中學?？茧A段練習）已知x2-5x-2019=0，求【答案】2023.【分析】將代數(shù)式x-23-x-12【詳解】解：x=====∵x∴x∴原式=2019+4=2023【點睛】本題考查的是代數(shù)式的化簡求值，能熟練化簡代數(shù)式，并且能轉(zhuǎn)化求出x2-38．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）某廣告公司招標了一批燈箱加空工程，需要在規(guī)定時間內(nèi)加工1400個燈箱，該公司按一定速度加工5天后發(fā)現(xiàn)，按此速度加工下去會延期十天完成，于是又抽調(diào)了一批工人投入燈箱加工，使工作效率提高了50%，結(jié)果如期完成工作，按規(guī)定時間是多少天？【答案】25天.【分析】根據(jù)計劃的天數(shù)列出相應的分式方程，解方程即可得到答案【詳解】設(shè)工廠前5天每天加工x個，1400x得x=40，經(jīng)檢驗，x=40是原分式方程的解，140040答：規(guī)定的時間是25天.【點睛】此題考查分式方程的實際應用，正確理解題意，找到題中的等量關(guān)系列方程，注意檢驗不能缺.39．（2019秋·上海虹口·七年級?？茧A段練習）已知x+3x-22=【答案】A=1，B=5.【分析】將等式右邊相加得到x+3x-22=A(x-2)+B(x-2)【詳解】x+3xx+3xx+3x∴x+3=A(x-x+3=Ax-∴A=1，-2A+B=3.∴A=1，B=5.【點睛】此題求解分式方程中其它未知數(shù)的值，根據(jù)化簡后分母相同得到分子中對應相等的關(guān)系，由此解得A與B的值.40．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習）閱讀理解：把一個分式寫成兩個分式的和叫做把這個分式表示成部分分式．如何將1-設(shè)分式1-3xx2-1=mx-1+nx+1，將等式的右邊通分得：m(x+1)+n(x-1)(x+1)(x-1)=(m+n)x+m-n(x+1)(x-1)，由1-3xx2（1）把分式1(x-2)(x-5)表示成部分分式，即1(x-2)(x-5)=mx-2+nx-（2）請用上述方法將分式4x-【答案】（1）-13，；（2）2【分析】仿照例子通分合并后，根據(jù)分子的對應項的系數(shù)相等，列二元一次方程組求解.【詳解】解：(1)∵mx∴m+n=0-解得：m=-(2)設(shè)分式4x-32x+1x-2將等式的右邊通分得：mx-2+n2x+1由4x-32x+1x-2=得m+2n=4-解得m=2n=1所以4x-32x+1x-2=41．（2023春·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程ax+bx-1=b，其中a，b均為整數(shù)且(1)若方程有增根，則a，b滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．【答案】(1)a+b=0(2)或8或9【分析】（1）由分式方程有增根，得到x-1=0，求出x的值即為增根；（2）將x=a代入ax+bx-1=b求得b=a+2+4a-2，根據(jù)題意可得a-2=±1或-2或±4【詳解】（1）解：由分式方程有增根，得到x-解得：x=1，將分式方程化為整式方程：ax+b=bx整理得：a-將x=1代入a-bx+2b=0得：a+b=0即若方程有增根，則a+b=0．（2）解：∵x=a是方程的解，將x=a代入ax+bx-1=b得：整理得：a2∴b=a∴b=a2∵a，b均為整數(shù)且a≠∴a-2=±1或-2或±4當a-2=-1時，即a=1，b=a當a-2=1時，即a=3，b=a當a-2=2時，即a=4，b=a當a-2=-4時，即a=-2，b=a當a-2=4時，即a=6，b=a綜上，b的值為或8或9．【點睛】此題考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解題的關(guān)鍵是①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．42．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料：把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”．例：將分式1-3xx2-1Mx-1+Nx+1x+1x-1=M+N(1)將分式2n+1n(2)按照（1）的規(guī)律，求31【答案】(1)2n+1n(2)2021【分析】（1）模仿閱讀材料可得答案；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律變形，再計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)，∴2n+1n∴M+N=2M=1∴2n+1n（2）3===20【點睛】本題考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能把一個分式化為部分分式．43．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學校聯(lián)考期末）本學期初二年級舉辦了籃球比賽，為了讓參賽的運動員更