考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷6（共255題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷6（共9套）（共255題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)y=f(x)由cos(xy)+lny—x=1確定，則=()．A、2B、1C、一1D、一2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將x=0代入得y=1，cos(xy)+lny—x=1兩邊對(duì)x求導(dǎo)得一sin(xy)一1=0．將x=0，y=1代入得=1，即f’(0)=1，于是=2f’(0)=2，應(yīng)選(A)．2、設(shè)f(x)=｜x3一1｜g(x)，其中g(shù)(x)連續(xù)，則g(1)=0是f(x)在x=1處可導(dǎo)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)g(1)=0，f－’(1)=．(x2+x+1)g(x)=0，f＋’(1)=(x2+x+1)g(x)=0，因?yàn)閒－’(1)=f＋’(1)=0，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．設(shè)f(x)在x=1處可導(dǎo)，f－’(1)=．(x2+x+1)g(x)=一3g(1)，f＋’(1)=(x2+x+1)g(x)=3g(1)，因?yàn)閒－’(1)=f＋’(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0為f(x)在x=1處可導(dǎo)，應(yīng)選(C)．3、極坐標(biāo)下的累次積分dθ∫02cosθf(wàn)(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：累次積分所對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域?yàn)镈：x2+y2≤2x(y≥0)，則D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤}，選(D)．4、設(shè)的收斂半徑為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、當(dāng)x→0時(shí)，3x一4sinx+sinxcosx與xn為同階無窮小，則n=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：則3x－4sinx＋sinxcosx～x5，故n=5。6、設(shè)L：則t=0對(duì)應(yīng)的曲線上點(diǎn)處的法線為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=－2x知識(shí)點(diǎn)解析：t=0對(duì)應(yīng)的曲線上點(diǎn)為(0，0)，又，故法線方程為y一0=一2(x一0)，即y=一2x．7、∫e＋∞=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：8、點(diǎn)M(2，1，1)到直線L：之間的距離為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：M0(1，1，0)為直線上一點(diǎn)，=｛1，0，1｝，直線的方向向量為s=｛1，0，一1｝，×s={0，2，0}，由｜×s｜=｜s｜．d得距離為d=．9、由方程xyz+確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(diǎn)(1，0，一1)處的微分為dz=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：dz=dx－dy知識(shí)點(diǎn)解析：xyz+兩邊求微分得yzdx+xzdy+xydz＋(xdx+ydy+zdz)=0，把(1，0，一1)代入上式得dz=dx－dy．10、微分方程xy’=+y的通解為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin=±ln｜x｜＋C知識(shí)點(diǎn)解析：由xy’=，得，解得arcsinμ=±ln｜x｜+C，則原方程通解為arcsin=±ln｜x｜+C．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)a1=1，an＋1+=0，證明：數(shù)列{an)收斂，并求an．標(biāo)準(zhǔn)答案：先證明｛an｝單調(diào)減少．a(chǎn)2=0，a2＜ai；設(shè)ak＋1＜ak，ak＋2=一，由ak＋1＜ak得1一ak＋1＞1一ak，從而，即ak＋2＜ak＋1，由歸納法得數(shù)列{an}單調(diào)減少．現(xiàn)證明an≥，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，求[∫－aaf(x+a)dx一∫－aaf(x－a)dx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫－aaf(x＋a)dx一∫－aaf(x－a)dx=∫－aaf(x+a)d(x＋a)－∫－aaf(x－a)d(x－a)=∫02af(x)dx－∫－2a0f(x)dx=∫02af(x)dx＋∫0－2af(x)dx，又由ln(1+a)=a一+ο(a2)得a→0時(shí)a一ln(1+a)～，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＞(1+x)ln2(1+x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；f’’(x)=2一＞0(x＞0)，由得f’(x)＞0(x＞0)；由得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1+x)ln2(1+x)(x＞0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=t2，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?3+sinxcosx)’=cos2x，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求函數(shù)f(x)=∫0x2(2－t)e－tdt的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以只研究f(x)在[0，+∞)內(nèi)的最大值與最小值即可．令f’(x)=2x(2一x2)e－x2=0，得f(x)的唯一駐點(diǎn)為x=，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f’(x)＞0，當(dāng)x∈(，+∞)時(shí)，f’(x)＜0，注意到駐點(diǎn)的唯一性，則為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，最大值為，因?yàn)閒(＋∞)=f(一∞)=∫0＋∞(2一t)e－tdt=1及f(0)=0，所以最小值為0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求直線L：在平面π：x一3y+2z一5=0上的投影直線．標(biāo)準(zhǔn)答案：直線L：過直線L的平面束為π’：x+2y—1+λ(y+z－3)=0，或π’：x+(2+λ)y+λz一1—3λ=0，由｛1，2+λ，λ｝．｛1，－3，2｝=0得λ=一5，所以過L垂直于π的平面方程為π’：x一3y一5z+14=0，投影直線為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0確定的x，y的函數(shù)，且f(x，t)，G(x，y，t)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y=f(x，t)與G(x，y，t)=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算∫Lx3dy－(＋y)dx，其中L：y=從點(diǎn)B(一1，0)到點(diǎn)A(1，0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析計(jì)算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中22、L從原點(diǎn)經(jīng)過直線y=x到點(diǎn)(2，2)；標(biāo)準(zhǔn)答案：∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02xdx－(2x+1)dx=－∫02(x+1)dx=－4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、L從原點(diǎn)經(jīng)過拋物線y=到點(diǎn)(2，2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×xdx一(x2+1)dx=一2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算(x2+y2)ds，其中S：x2+y2+z2=2z．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=1得R=1，當(dāng)x=±1時(shí)，因?yàn)槭諗?，所以x=±1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，故收斂域?yàn)閇一1，1]．S(0)=0；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求冪級(jí)數(shù)xn－1的收斂域，并求其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：，則收斂半徑為R=2，當(dāng)x=一2時(shí)，收斂；當(dāng)x=2時(shí)，發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一2，2)．所以S(x)=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、用變量代換x=sint將方程(1一x2)一4y=0化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：一4y=0的通解為y=C1e－2t+C2e2t，故原方程的通解為y=C1e－2arcsinx+C2e2arcsinx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、f(x)=xsinxA、在(－∞，+∞)內(nèi)有界．B、當(dāng)x→+∞時(shí)為無窮大．C、在(－∞，+∞)內(nèi)無界．D、當(dāng)x→∞時(shí)有極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取xn=2nπ+∈(－∞，+∞)(n=1，2，3，…)，則f(xn)=(2nπ+→+∞(n→∞)．因此f(x)在(－∞，+∞)無界．選(C)．2、若極限=A，則函數(shù)f(x)在x=a處A、不一定可導(dǎo)．B、不一定可導(dǎo)，但f’+(a)=A．C、不一定可導(dǎo)，但f’－(a)=A．D、可導(dǎo)，且f’(a)=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：只有極限存在并不能保證極限都存在，因此兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)都不一定存在，應(yīng)選(A)．3、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，I=t∫0s／tf(tx)dx，其中t＞0，s＞0，則，的值A(chǔ)、依賴于s和t．B、依賴于s，t，x．C、依賴于t，x，不依賴于s．D、依賴于s，不依賴于t．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：I=∫0s／tf(tx)dtx∫0sf(u)du，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、xsinx_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“00”型未定式．利用基本極限xx=1及重要極限sinx／x=1即得=11=1．5、∫0π／2dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：原式=∫0π／2=－ln(1+e－t)|01=ln6、曲線y=9／14x1／3(x2－7)(－∞＜x＜+∞)的拐點(diǎn)是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，0)知識(shí)點(diǎn)解析：這里y(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，(y’(0)，y"(0)均不ヨ)，y(x)在x=0兩側(cè)凹凸性相反，(0，0)是拐點(diǎn)．7、設(shè)x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是由方程F(x，y，z)=0所確定的隱函數(shù)，并且E(x，y，z)滿足隱函數(shù)存在定理的條件，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1知識(shí)點(diǎn)解析：由隱函數(shù)求導(dǎo)法知(如，由e(x，y，z)=0確定x=x(y，z)，將方程對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得其余類似)．將這三式相乘得=－1．8、設(shè)D為y=x3及x=－1，y=1所圍成的區(qū)域，則I=xydσ=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：D如圖9．1所示．添加輔助線y=－x3(x≤0)，將D分解成D=D1∪D2，其中D1關(guān)于y軸對(duì)稱，D2關(guān)于x軸對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)x，y均為奇函數(shù)9、設(shè)bnx2n的收斂半徑R=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考察bntn(t=x2)三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)求下列極限：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：屬∞／∞型．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=1／t，則所以原極限=e－1／3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求雙紐線r2=a2cos2θ(a＞0)繞極軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)面的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：雙紐線如圖3．4所示．由對(duì)稱性，只需考察θ∈[0，π／4]．面積S=2．2π∫0π／4r(θ)sinθdθ．由r2=a2cos2θ2rr’=－2a2sin2θ，r’=－a2sin2θ／r，r’2+r2=a4／r2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、證明|∫nn+psin(x2)dx|≤1／n，其中p＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫nn+psin(x2)dx|∫nn+psin(x2)dx|[注]由此不等式可知∫nn+psin(x2)dx=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)0＜x1＜x2，f(x)在[x1，x2]可導(dǎo)，證明：在(x1，x2)內(nèi)至少ヨ一個(gè)c，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：要證f’(x)－f(x)+k在(x1，x2)ヨ零點(diǎn)e－x[f’(x)－f(x)+k]=[e－x(f(x))－k)]’在(x1，x2)ヨ零點(diǎn)．令F(x)=e－x[f(x)－k]，則F(x)在[x1，x2]可導(dǎo)．考察F(x1)－F(x2)因此，由羅爾定理ヨc∈(x1，x2)，F(xiàn)’(c)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)有參數(shù)方程0≤t≤π．16、求證該參數(shù)方程確定y=y(x)，并求定義域；標(biāo)準(zhǔn)答案：dx／dt=3cos2t(－sint)≤0，(t∈[0，π])，僅當(dāng)t=0，π／2，π時(shí)為零x是t的單調(diào)(減)函數(shù)，ヨ反函數(shù)t=t(x)y=sin3t(x)=y(x)，x∈[－1，1]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、討論y=y(x)的可導(dǎo)性與單調(diào)性；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)t≠0，π／2，π時(shí)dx／dt≠t≠0反函數(shù)t=t(x)可導(dǎo)y=y(茗)可導(dǎo)注意y=y(x)在[－1，1]連續(xù)，t與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系：0≤x≤1時(shí)y(x)單調(diào)下降，－1≤x≤0時(shí)y(x)單調(diào)上升．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、討論y=y(x)的凹凸性．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=y(x)在[－1，0]，[0，1]均是凹的．y=y(x)的圖形如圖4．2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、要建一個(gè)圓柱形無蓋水池，使其容積為V0m3．底的單位面積造價(jià)是周圍的兩倍，問底半徑r與高h(yuǎn)各是多少，才能使水池造價(jià)最低?標(biāo)準(zhǔn)答案：先求出水池總造價(jià)的表達(dá)式．設(shè)水池周圍單位面積造價(jià)為a元／m2，水池總造價(jià)為y，則y=2πrha+2aπr2．又知V0=πr2h，代入上式得y=2πa(+r2)，0＜r＜+∞．現(xiàn)求y(r)在(0，+∞)上的最小值點(diǎn)．求y’(r)：因此，當(dāng)時(shí)，y取最小值，即水池造價(jià)最低．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析求下列函數(shù)的帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式：20、f(x)=sin3x；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、f(x)=xln(1－x2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在x=a處四階可導(dǎo)，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f(4)(a)≠0，求證：當(dāng)f(4)(a)＞0(＜0)時(shí)x=a是f(x)的極小(大)值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)－f(a)=f’(a)(x－a)+f"(a)(x－a)2+f"’(a)(x－a)3+f(4)(a)(x－a)4+o((x－a)4)=1／4!f(4)(a)(x－a)4+o((x－a)4)=(x－a)4[1／4!f(4)(a)+o(1)]其中o(1)為無窮小量(x→a時(shí))，因此，ヨδ＞0，當(dāng)0＜|x－a|＜δ時(shí)f(x)－f(a)=(x－a)4[1／4!f(4)(a)+o(1)]因此f(4)(a)＞0(＜0)時(shí)f(a)為極小(大)值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(t)在[0，+∞)上連續(xù)，且滿足方程f(t)=dxdy，試求f(t)標(biāo)準(zhǔn)答案：先用極坐標(biāo)變換將二重積分轉(zhuǎn)化為定積分=∫02πdθ∫02tf(1／2r)rdr(t≥0)=2π∫02tf(1／2r)rdr．代入原方程得兩邊對(duì)t求導(dǎo)得在前一個(gè)方程中令t=0得f(0)=1．②求f(t)轉(zhuǎn)化為求解初值問題①+②．這是一階線性方程，兩邊乘由f(0)=1得C=1．因此f(t)=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求點(diǎn)M1(2，1，3)到平面П：2x－2y+z－3=0的距離與投影．標(biāo)準(zhǔn)答案：點(diǎn)M1到平面П的距離平面П的法向量n={2，－2，1}，過M1點(diǎn)以n方向向量的直線L的方程為代入П的方程2(2+2t)－2(1－2t)+(3+t)－3=0，解得t=－2／9，代入L的方程得L與П的交點(diǎn)即點(diǎn)M1到平面П的投影點(diǎn)(14／9，13／9，25／9)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、若可微函數(shù)z=f(x，y)在極坐標(biāo)系下只是θ的函數(shù)。求證：x=0(r≠0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由z=f(rcosθ，rsinθ)與r無關(guān)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)S為柱面x2+y2=a2(0≤z≤h)的外側(cè)，滿足x≥0的部分，求I=zdydz+xyzdzdx+ydxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：S如圖9．25，S垂直xy平面，于是ydxdy=0，I=zdydz+xyzdzdx．投影到y(tǒng)z平面直接計(jì)算較為方便．S表示為x=，(y，z)∈Dyz，其中Dyz：0≤z≤h，－a≤y≤a．代公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析求下列區(qū)域Ω的體積：27、Ω：由z=x2+y2，x+y+z=1所圍成；標(biāo)準(zhǔn)答案：消去z得x2+x+y2+y=1，即于是Ω在Oxy平面上的投影區(qū)域(如圖9．28)是圍成Ω區(qū)域的上曲面是z=1－x－y，下曲面是z=x2+y2，因此Ω的體積知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、Ω：由曲面z=y2(y≥0)，z=4y2(y≥0)，z=x，z=2x，z=4所圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖9．29，Ω={(x，y，z)|，(z，x)∈Dzx}，Dzx={(z，x)|z／2≤x≤z，0≤z≤4}．Ω的體積為或Ω也可表示成(如圖9．30)：Ω={(x，y，z)|z／2≤x≤z，(y，z)∈Dyz}，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、選擇a，b，使Pdx+Qdy在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≠0}內(nèi)為某函數(shù)u(x，y)的全微分，其中標(biāo)準(zhǔn)答案：先確定a，b，使，(x，y)∈D．=1／(x2+y2)4[(2y+2x)(x2+y2)2－2(x2+y2)．2y(y2+2xy+ax2)]=2／(x2+y2)2[(x+y)(x2+y2)－2y(y2+2xy+ax2)]，=－1／(x2+y2)4[(2x+2y)(x2+y2)2－2(x2+y2)2x(x2+2xy+by2)]=2／(x2+y2)3[－(x+y)(x2+y2)+2x(x2+2xy+by2)]，(x+y)(x2+y2)－2y(y2+2xy+ax2)=－(x+y)(x2+y2)+2x(x2+2xy+by2)2(x2+xy2+yx2+y2)－2y3－4xy2－2ax2y=2x3+4x2y+2bxy2－2xy2+2(1－a)x2y=4x2y+2bxy2－2(b+1)xy2－2(a+1)x2y=0a=－1，b=－1．此時(shí)因D不是單連通的，在D成立不足以保證Pdx+Qdyヨ原函數(shù)．進(jìn)一步討論是否可直接求出原函數(shù)．取特殊路徑如圖10．11及u(x，y)=∫0xP(x，1)dx+∫1yQ(x，y)dy(第二個(gè)積分中x為常量)，將因此u=+C為Pdx+Qdy在區(qū)域D的原函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)y=xx在區(qū)間上()A、不存在最大值和最小值B、最大值是C、最大值是D、最小值是標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：y’=xx(lnx+1)，令y’=0，得y’＞0，函數(shù)單調(diào)增加，故選D．2、下列反常積分收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A中，發(fā)散；選項(xiàng)B中，發(fā)散；選項(xiàng)C中，收斂；選項(xiàng)D中，發(fā)散．3、已知｜a｜=1，則｜a+b｜=()A、1B、C、2D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：｜a+b｜2=(a+b).(a+6)=｜a｜2+2a.b+｜b｜2從而應(yīng)選D．4、設(shè)a與b為非零向量，則a×b=0是()A、a=b的充要條件B、a⊥b的充要條件C、a∥b的充要條件D、a∥b的必要但不充分條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)(A)中a=b只是a×b=0的充分條件，不是必要的；選項(xiàng)(B)中a⊥b是a.b=0的充要條件；選項(xiàng)(D)顯然是錯(cuò)誤的(只要a∥b，必有a×b=0)；選項(xiàng)(C)是正確的：如果a∥b，顯然a×b=0．如果a×b=0，當(dāng)a，b有一個(gè)為零向量，零向量可以平行于任何向量，故a∥b正確，當(dāng)a，b都為非零向量時(shí)，由于0=｜a×b｜=而｜a｜≠0，｜b｜≠0，從而a∥b．5、利用變量替換u=x，化成新方程()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)微分法可得于是又u=x，故新方程為6、下列結(jié)論正確的是()A、z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，則z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)B、z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)連續(xù)，則z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在C、z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且有界，則z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)D、x=f(z，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)連續(xù)，則z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)某鄰域內(nèi)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)有界標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二元函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)之間沒有必然的聯(lián)系．設(shè)在(x0，y0)某鄰域U內(nèi)，對(duì)于任意(x，y)∈U有fx’｜(x，y)｜≤M，｜fy’(x，y)｜≤M(M為正常數(shù))．由微分中值定理有｜f(x，y)－f(x0，y0)｜≤｜f(x，y)－f(x，y0)｜+｜f(x，y0)－f(x0，y0)｜=｜fy’(x，y0+θ1△y).△y｜+｜fx’(x0+θ2△x，y0).△x｜≤M(｜△x｜+｜△y｜)，其中△x=x－x0，△y=y－y0，θ＜θ1，θ2＜1．所以當(dāng)時(shí)，有△x→0，△y→0，必有｜f(x，y)－f(x0，y0)｜≤M(｜△x｜+｜△y｜)→0，故f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)．7、設(shè)∑是部分錐面：x2+y2=z2，0≤z≤1，則曲面積分(x2+y2)dS等于()A、∫0πdθ∫01r2.rdrB、∫02πdθ∫01r2.rdrC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因0≤z≤1，故其中Dxy={(x，y)｜x2+y2≤1}．8、微分方程y’’+y’+y=的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(其中a，b為常數(shù))()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程r2+r+1=0，特征根為二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線在點(diǎn)(0，1)處的法線方程為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y+2x－1=0知識(shí)點(diǎn)解析：(0，1)點(diǎn)對(duì)應(yīng)t=0時(shí)的點(diǎn)．由于則法線的斜率為－2，可得出法線方程為y－1=－2(x－0)，整理得y+2x－1=0．10、曲線的曲率及曲率的最大值分別為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：故K≤1，當(dāng)x=0時(shí)，Kmax=K(0)=1．11、=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：12、曲線9y2=4x3(y＞0)上從x=0到x=1的一段弧的長(zhǎng)度為_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：曲線方程可化為弧長(zhǎng)元素所以弧長(zhǎng)13、設(shè)曲線г：x=acost，y=asint，z=bt(0≤t≤2π)，則∫г(x2+y2)ds=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由第一型曲線積分公式知：∫г(x2+y2)ds=∫02π(a2cos2t+a2sin2t).14、設(shè)l為平面曲線y=x2從點(diǎn)O(0，0)到點(diǎn)A(1，1)的有向弧，則平面第二型曲線積分∫lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e知識(shí)點(diǎn)解析：令P(x，y)=yey2，Q(x，y)=xey2+2xy2ey2，有曲線積分與路徑無關(guān)．方法一改取路徑y(tǒng)=x．∫lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=∫01(xex2+xex2+2x3ex2)dx=∫011(2xex2+2x3ex2)dx=(ex2+x2ex2－ex2)｜01=e．方法二用原函數(shù)法．yey2x+(xey2+2xy2ey2)dy=ey2(ydx+xdy)+xydey2=d(xyey2)．∫lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=∫ld(xyey2)=xyey2｜∫(0，0)(1，1)=e．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)15、設(shè)f(x)=x2+ax+b，證明：｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一個(gè)不小于2．標(biāo)準(zhǔn)答案：用反證法．設(shè)｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜都小于2，即｜f(1)｜=｜a+b+1｜＜2，｜f(3)｜=｜3a+b+9｜＜2，｜f(5)｜=｜5a+b+25｜＜2，則｜f(1)－2f(3)+f(5)｜≤｜f(1)｜+2｜f(3)｜+｜f(5)｜＜2+2×2+2=8．而事實(shí)上，｜f(1)－2f(3)+f(5)｜=｜a+6+1－6a－2b－18+5a+b+25｜=8，矛盾，故｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一個(gè)不小于2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛謝→0時(shí)，ax－1=exlna－1～xlna．這樣～Axlna(x→0)，因此f(x)～Axlna.sinx(x→0)，于是得到知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)由點(diǎn)A從靜止開始做直線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止，A，B兩點(diǎn)間距離為1，證明：該質(zhì)點(diǎn)在(0，1)內(nèi)總有一時(shí)刻的加速度的絕對(duì)值不小于4．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程Y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為y=y(t)，0≤t≤1，則有y(0)=0，y(1)=1，y’(0)=0，y’(1)=0．在t=0與t=1處的一階泰勒展開式分別為若由上述第二式得y’’(ξ2)＜－4．證畢．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f’’(x)＞0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：先證左邊．其中由于f’’(x)＞0，所以f’(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，從而于是φ’(x)＜0，所以x＞a時(shí)φ(x)＜0，有φ(b)＜0，左邊證畢．再證右邊．令ψ(x)=∫axf(t)dt－(x－a)[f(a)+f(x)]，有ψ(a)=0，其中a＜η＜x．由于f’’(x)＞0，所以f’(η)＜f’(x)，從而ψ’(x)＜0．于是當(dāng)x＞a時(shí)，ψ(x)＜0，故ψ(b)＜0．證畢．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)證明：(1)I1+In－2=并由此計(jì)算In；(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)In+In－2當(dāng)n=2k時(shí)，當(dāng)n=2k+1時(shí)，(2)由時(shí)，0＜tanx＜1，于是=In+2+In＜2In＜In+In－2=則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=∫0yg(t)dt．(1)證明y=f(x)為奇函數(shù)，并求其曲線的水平漸近線；(2)求曲線y=f(x)與它所有水平漸近線及y軸圍成圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然，g(0)=1，而當(dāng)x≠0時(shí)，g(x)為“1∞”型未定式極限，則其中故不論x是否為零都有g(shù)(x)=e－x2，則f(x)=∫0xe－t2dt．(1)因令t=－u有f(－x)=∫0－xe－t2dt=－∫0xe－u2du=－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)?因故y=f(x)有兩條水平漸近線(2)由所考慮的平面圖形的對(duì)稱性及分部積分法得所求的面積其中，由洛必達(dá)法則得而∫0+∞e－x2dx=－∫0+∞e－x2d(－x2)=(－e－x2)｜0+∞=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)有方程其中u=u(x，y，z)．試證：｜gradu｜2=2A.gradu，其中A=(x，y，z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：欲證結(jié)論等價(jià)于ux’2+uy’2+uz’2=2(xux’+yuy’+zuz’)．①式對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)得由輪換對(duì)稱性，有②③④式平方后相加，并在等式兩端約去公因子，得②③④式分別乘以x，y，z后相加，結(jié)合①式，得將⑤⑥式聯(lián)立，即得證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、記平面區(qū)域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，計(jì)算如下二重積分：(1)其中f(t)為定義在(－∞，+∞)上的連續(xù)正值函數(shù)，常數(shù)a＞0，b＞0；(2)I2=(eλx－e－λy)da，常數(shù)λ＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯而易見，積分區(qū)域D是邊長(zhǎng)為的正方形，故其面積SD=2，因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則由二重積分的性質(zhì)便有(2)因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，又關(guān)于y軸，x軸對(duì)稱；函數(shù)eλx－e－λx，λy－e－λy分別關(guān)于x，y為奇函數(shù)，則由二重積分的性質(zhì)得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算I=(x2+y2)dv，其中Ω為平面曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面與平面z=8所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：旋轉(zhuǎn)曲面的方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：由展開式知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：易知當(dāng)n充分大時(shí)，單調(diào)遞減且此數(shù)列收斂于0，由萊布尼茨判別法知，級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由的形式，考查冪級(jí)數(shù)：容易求得它的收斂半徑為R=1，記逐項(xiàng)積分，得再逐項(xiàng)積分，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求xy’’－y’lny’+y’lnx=0滿足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)y’=p，則y’’=p’，代入原方程中，xp’－plnp+plnx=0，即這是齊次方程，設(shè)p=xu，則代入上式得由原方程知x＞0，y’＞0，從而u＞0，積分后得lnu－1=C1x，即lnu=C1x+1，回代得p=xeC1x+1．代入初值條件y’(1)=e2，解得C1=1，得到方程p=xex+1，即積分得y=(x－1)ex+1+C2．代入初值條件y(1)=2，解得C2=2，故所求特解為y=(x－1)ex+1+2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、位于上半平面且圖形凹的曲線y=y(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線斜率為0，在點(diǎn)(2，2)處的切線斜率為1．已知曲線上任一點(diǎn)處的曲率半徑與及(1+y’2)的乘積成正比，求該曲線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知，有y(0)=1，y’(0)=0，y(2)=2，y’(2)=1，又代入y(0)=1，y’(0)=0，y(2)=2，y’(2)=1，得k=2，C=0，有代入y(0)=1，C1=0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、極限()．A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D(zhuǎn)、等于0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)2、設(shè)f(x)=可導(dǎo)，則a=_________，b=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=3，b=一2知識(shí)點(diǎn)解析：f(1—0)=f(1)=a＋b，f(1+0)=1，因?yàn)閒(x)在x=1處連續(xù)，所以a+b=1；因?yàn)閒(x)在x=1處可導(dǎo)，所以a=3，故a=3，b=一2．3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，則∫01xf’’(2x)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：4、由方程xyz＋確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(diǎn)(1，0，一1)處的微分為dz=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、(x2+xy一z)dxdy=_______，其中D由直線y=x,y=2x及x=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)x2ds=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)y=y(x)可導(dǎo)，y(0)=2，令△y=y(x＋△x)-y(x)，且△y=△x＋α，其中α是當(dāng)△x→0時(shí)的無窮小量，則y=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)函數(shù)y=y(x)由確定，則y=y(x)在x=ln2處的法線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=ln2時(shí)，t=±1；當(dāng)t=±1時(shí)，y=0．(1)當(dāng)t=一1時(shí)，(2)當(dāng)t=1時(shí)，9、設(shè)∫xf(x)dx=arcsinx＋C，則∫=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、曲線，在xOy平面上的投影曲線為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由在xOy平面上的投影曲線為．11、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3e知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)y=y(x)滿足△y=△x+o(△x)，且有y(1)=1，則∫02y(x)dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、若．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)y=，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，連接點(diǎn)A(a，f(a))，B(b，f(b))的直線與曲線y=f(x)交于點(diǎn)C(c，f(c))(其中a＜c＜b)。證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C共線，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因?yàn)閒(x)二階可導(dǎo)，所以再由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f’’(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：=∫－11｜x｜dx=2∫01xdx=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)L：y=e－x(x≥0)．18、求由y=e－x、x軸、y軸及x=a(a＞0)所圍成平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：V(a)=π∫0ae－2xdx=(1－e－2a)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)V(c)=V(a)，求c．標(biāo)準(zhǔn)答案：由V(c)=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、一半徑為R的球沉入水中，球面頂部正好與水面相切，球的密度為1，求將球從水中取出所做的功．標(biāo)準(zhǔn)答案：以球頂部與水面相切的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下，取[x，x+dx][0，2R]，由于球的密度與水的密度相同，所以水面以下不做功，dω=(2R—x)×π[R2一(R－x)2]×1×gdx=πx(2R—x)2gdx，W=∫02Rdω=g．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x一3e2x為特解，求該微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥1=e2x，y2=2e－x一3e2x為特解，所以e2x，e－x也是該微分方程的特解，故其特征方程的特征值為λ1=一1，λ2=2，特征方程為(λ+1)(λ一2)=0即λ2一λ一2=0，所求的微分方程為y’’－y’一2y=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)=c(≠0)，求n，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，f(0)=0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．證明：f(x)≡0，x∈[0，1]．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而｜f(x)｜在[0，1]上連續(xù)，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得｜f(x0)｜=M．當(dāng)x0=0時(shí)，則M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；當(dāng)x0≠0時(shí)，M=｜f(x0)｜—｜f(x0)-f(0)｜=｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)｜≤，其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算二重積分I=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、計(jì)算I=，其中L是繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的正向光滑閉曲線．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(x，y)=．令Lr：x2+y2=r2，其中r＞0，Lr在L內(nèi)，方向取逆時(shí)針，由格林公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、等價(jià)無窮小B、同階但非等價(jià)無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?1／3，所以正確答案為(B)．2、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，g(x)連續(xù)，且g(x)／x=0，又f’(x)=－2x2+∫0xg(x－t)dt，則()．A、x=0為f(x)的極大點(diǎn)B、x=0為f(x)的極小點(diǎn)C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0既不是f(x)極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由∫0xg(x－t)dt=∫0xg(t)dt得f’(x)=－2x2+∫0xg(t)dt，f"(x)=－4x+g(x)，因?yàn)?－4＜0，所以存在δ＞0，當(dāng)0＜|x|＜δ時(shí)，f"(x)／x＜0，即當(dāng)x∈(－δ，0)時(shí)，f"(x)＞0；當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f"(x)＜0，故(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)，應(yīng)選(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)3、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)兩曲線y=x2+ax+b與－2y=－1+xy3在點(diǎn)(－1，1)處相切，則a=_______，b=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3，3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閮汕€過點(diǎn)(－1，1)，所以b－a=0，又由y=x2+ax+b得dy／dx|x=－1=a－2，再由－2y=－1+xy3得，且兩曲線在點(diǎn)(－1，1)處相切，則a－2=1，解得a=b=3．5、設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，則φ’(1)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：47知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣铡?x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．6、設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，則∫01y(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：π／4知識(shí)點(diǎn)解析：由y(1)=1得C=0，故y(x)7、設(shè)f(x)=D為xOy面，則f(y)f(x+y)dxdy=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／4知識(shí)點(diǎn)解析：在D1={(x，y)|－∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；在D2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，則在D0=D1∩D2={(x，y)|－y≤x≤1－y，0≤y≤1)}上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以f(y)f(x+y)dxdy=∫01dy∫－y1－yy(x+y)dx=1／4．8、設(shè)向量場(chǎng)A=2x3yzi－x2y2zj－x2yz2k，則其散度divA在點(diǎn)M(1，1，2)沿方向l={2，2，－1}的方向?qū)?shù)(divA)|M=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：22／3知識(shí)點(diǎn)解析：divA==6x2yz－2x2yz－2x2yz=2x2yz，9、微分方程y’－xe－y+=0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ey=1／x(x2+C)知識(shí)點(diǎn)解析：所以原方程的通解為ey=1／x(x2+C)．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1．證明：10、存在c∈(0，1)，使得f(c)=1－2c；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)－1+2x，φ(0)=－1，φ(1)=2，因?yàn)棣?0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1－2c知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得=f(ξ)，于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)an=A，證明：數(shù)列{an}有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：取ε0=1，因?yàn)閍n=A，根據(jù)極限定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，有|an－A|＜1，所以|an|≤|A|+1．取M=max{|a1|，|a2|，…，|aN|，|A|+1}，則對(duì)一切的n，有|an|≤M．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，f(0)=0，|f’(x)|≤1／2|f(x)|．證明：f(x)≡0，x∈[0，1]．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而|f(x)|在[0，1]上連續(xù)，故|f(x)|在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得|f(x0)|=M．當(dāng)x0=0時(shí)，則M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；當(dāng)x0≠0時(shí)，M=|f(x0)|=|f(x0)－f(0)|=|f’(ξ)|x0≤|f’(ξ)|≤1／2|f(ξ)|≤M／2，其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且|f(4)(x)|≤M(M＞0)．證明：對(duì)此鄰域內(nèi)任一異于x0的點(diǎn)x，有|f"(x0)－|≤M／12(x－x0)2，其中x’為x關(guān)于x0的對(duì)稱點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)=f(x0)+f’(x0)(x－x0)+(x－x0)2+(x－x0)3+(x－x0)4，f(x’)=f(x0)+f’(x0)(x’－x0)+(x’－x0)4，兩式相加得f(x)+f(x’)－2f(x0)=f"(x0)(x－x0)2+[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)](x－x0)4，于是|f"(x0)－|≤1／24[|f(4)(ξ1)|+|f(4)(ξ2)|](x－x0)2，再由|f(4)(x)|≤M，得|f"(x0)－|≤M／12(x－x0)2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)是在[a，b]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=a＜b=f(b)．證明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得1／n1／f’(ξi)=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令h=，因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n－1)h＜b=f(b)，由端點(diǎn)介值定理和函數(shù)單調(diào)性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn－1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn－1)=a+(n－1)h，再由微分中值定理，得f(c1)－f(a)=f’(ξ1)(c1－a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)－f(c1)=f’(ξ2)(c2－c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)－f(cn－1)=f’(ξn)(b－cn－1)，ξn∈(cn－1，b)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0．證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在區(qū)間[0，1]1上取到最大值M和最小值m，對(duì)f(x)－f(0)=f’(c)x(其中c介于0與x之間)兩邊積分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01dx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2|f(x)dx≤M，由介值定理．存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)=∫1x，求∫01x2f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01x2f(x)dx=1／3∫01f(x)d(x3)=1／3x3f(x)|01－∫01x3f’(x)dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)an=∫0π／4tannxdx(n≥2)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：an+an+2=∫0π／4(1+tan2x)tannxdx=∫0π／4tannxd(tanx)同理an+an－2=1／(n－1)．因?yàn)閠annx，tann+2x在[0，π／4]上連續(xù)，tannx≥tann+2x，且tannx，tann+2x不恒等，所以∫0π／4tannxdx＞∫0π／4于是=an+an+2＜2an，即an＞知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、證明：∫0πxasinxdx．∫0π／2a－cosxdx≥π3／4，其中a＞0為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤?πxasinxdx=π／2∫0πasinxdx=π∫0π／2acosxsdx，所以∫0πxasinxdx．∫0π／2a－cosxdx=π．∫0π／2acosxdx．∫0π／2a－cosxdx=π．∫0π／2(acosx／2)2dx．∫0π／2(－cosx／2)2dx≥π(∫0π／2acosx／2．a(chǎn)－cosx／2dx)2=π3／4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)直線L1：21、證明：直線L1，L2為異面直線；標(biāo)準(zhǔn)答案：M1(1，0，－1)∈L1，M2(－2，1，2)∈L2，={－3，1，3}，s1={－1，2，1}，s2={0，1，－2}，s1×s2={－5，－2，－1}．因?yàn)?s1×s2)．={－5，－2，－1}．{－3，1，3}=10≠0，所以L1，L2異面．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求平行于L1，L2且與它們等距離的平面．標(biāo)準(zhǔn)答案：與L1，L2同時(shí)平行的平面的法向量為n=s1×s2={－5，－2，－1}，設(shè)與L1，L2等距離的平面方程為π：5x+2y+z+D=0，則有解得D=1，所求的平面方程為π：5x+2y+z+1=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)u=f(x，y，xyz)，函數(shù)z=z(x，y)由exyz=∫xyzh(xy+z－t)dt確定，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，h連續(xù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：∫xyzh(xy+z－t)dt∫zxyh(u)(－du)=∫xyzh(u)du，=xf’1－yf’2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x，y，z)一階連續(xù)可偏導(dǎo)且滿足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)．證明：x=kf(x，y，z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，兩邊對(duì)t求導(dǎo)得=ktk－1f(x，y，z)當(dāng)t=1時(shí)，有x=kf(x，y，z)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算二重積分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲線(x2+y2)2=a2(x2－y2)圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對(duì)稱性(x2+4x+y2)dxdy=4(x2+y2)dxdy，其中D1是D位于第一卦限的區(qū)域．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)空間曲線C由立體0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面與平面x+y+z=3／2所截而成，計(jì)算|∮C(z2－y2)dx+(x2－z2)dy+(y2－x2)dz|．標(biāo)準(zhǔn)答案：取平面x+y+z=3／2上被折線C所圍的上側(cè)部分為S，其法向量的方向余弦為cosα=cosβ=cosγ=設(shè)Dxy表示曲面S在平面xOy上的投影區(qū)域，其面積為A=3／4，由斯托克斯公式得|∮C(z2－y2)dx+(x2－z2)dy+(y2－x2)dz|知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求冪級(jí)數(shù)xn的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，=－f(x，y)(0，π／2)=1，且}=ecoty，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：解得f(0，y)=Csiny．由f(0，π／2)=1，得C=1，即f(0，y)=siny．又由=－f(x，y)，得lnf(x，y)=－x+lnφ(y)，即f(x，y)=φ(y)e－x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e－xsiny．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析飛機(jī)以勻速v沿y軸正向飛行，當(dāng)飛機(jī)行至O時(shí)被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚導(dǎo)彈向飛機(jī)飛去(x0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機(jī)，且速度大小為2v．29、求導(dǎo)彈運(yùn)行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻導(dǎo)彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得所以導(dǎo)彈運(yùn)行軌跡滿足的微分方程及初始條件為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、導(dǎo)彈運(yùn)行方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)y=y(x)由x—∫1x＋ye－t2dt=0確定，則y’’(0)等于()．A、2e2B、2e－2C、e2一1D、e－2一1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)μn收斂，則下列級(jí)數(shù)必收斂的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：3、下列說法中正確的是()．A、若f’(x0)＜0，則f(x)在x0的鄰域內(nèi)單調(diào)減少B、若f(x)在x0取極大值，則當(dāng)x∈(x0一δ，x0)時(shí)，f(x)單調(diào)增加，當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，f(x)單調(diào)減少C、f(x)在x0取極值，則f(x)在x0連續(xù)D、f(x)為偶函數(shù)，f’’(0)≠0，則f(x)在x=0處一定取到極值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：極大值，但f(x)在x=1處不連續(xù)，(C)不對(duì)；由f’’(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)為偶函數(shù)，所以f’(0)=0，所以x=0一定為f(x)的極值點(diǎn)，選(D)．4、設(shè)α=∫05xdt，β=∫0sinx(1+t)dt，則當(dāng)x→0時(shí)，兩個(gè)無窮小的關(guān)系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價(jià)無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以兩無窮小同階但非等價(jià)，選(C)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)5、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：，∫0xlncos(x—t)dt=一∫0xlncos(x—t)d(x一t)=一∫x0lncosμdμ=∫0xlncosμdμ，7、設(shè)L為從點(diǎn)A(0，一1，1)到點(diǎn)B(1，0，2)的直線段，則∫L(x＋y＋z)ds=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)8、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、確定常數(shù)a，c，使得=c，其中c為非零常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫－aaf(x+a)dx—∫－aaf(x—a)dx=∫－aaf(x+a)d(x+a)一∫－aaf(x—a)d(x一a)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)eg(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，則存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，因?yàn)棣铡?x)=eg(x)[f’(x)+f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可積，當(dāng)0≤x＜y≤1時(shí)，｜f(x)一f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，證明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求過直線的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：s1=｛1，一1，2｝，s2=｛一1，2，1｝，n=s1×s2=｛一5，一3，1｝，所求平面方程為π：一5(x一2)－3(y+2)+(z一3)=0，即π：一5x一3y+z+1=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、已知μ(x，y)=，其中f，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求xμxx’’+yμxy’’·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求I=dxdy，其中D=｛(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0｝．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求I=zdS，其中∑為x2+y2+z2=1被所截的頂部．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求冪級(jí)數(shù)xn－1的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求微分方程(y+)dx一xdy=0的滿足初始條件y(1)=0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)=3x2+Ax－3(x＞0)，A為正常數(shù)，問：A至少為多少時(shí)，f(x)≥20？標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)≥20等價(jià)于A≥20x3一3x5，令φ(x)=20x3一3x5，由φ’(x)=60x2一15x4=0，得x=2，φ’(x)=120x-60x3，因?yàn)棣铡?2)=一240＜0，所以x=2為φ(x)的最大值點(diǎn)，最大值為φ(2)=64，故A至少取64時(shí)，有f(x)≥20．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．證明積分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(t)=lnt(t＞0)，g’’(t)=＜0，再令x0=∫01f(x)dx，則有g(shù)(t)≤g(x0)+g’(x0)(t一x0)g[f(x)]≤g(x0)+g’(x0)[f(x)一x0]，兩邊積分，得∫01lnf(x)dx≤ln∫01f(x)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)直線L：及π：x—y+2z一1=0．24、求直線L在平面π上的投影直線L；標(biāo)準(zhǔn)答案：令，即x=一1+t，y=t，z=1一t，將x=1+t，y=t，z=1一t代入平面x—y+2z一1=0，解得t=1，從而直線L與平面π的交點(diǎn)為M1(2，1，0)．過直線L且垂直于平面π的平面法向量為s1=｛1，1，－1｝×｛1，一1，2｝=｛1，一3，一2｝，平面方程為π1：1×(x一2)一3×(y一1)－2×z=0，即π1：x一3y一2z+1=0從而直線L在平面π上的投影直線一般式方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)M(x，y，z)為所求旋轉(zhuǎn)曲面∑上任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于y軸的平面，該平面與∑相交于一個(gè)圓，且該平面與直線L及y軸的交點(diǎn)分別為M0(x0，y，z0)及T(0，y，0)，由｜M0T｜=｜MT｜，得x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y，z0)∈L，即，將其代入上式得∑：x2+z2=(y+1)2+(1一y)2，即∑：x2一2y2+z2=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)μ=μ(x，y)由方程組μ=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0確定，其中f，g，h連續(xù)可偏導(dǎo)且．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組由五個(gè)變量三個(gè)方程構(gòu)成，故確定了三個(gè)二元函數(shù)，其中x，y為自變量，由μ=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、對(duì)常數(shù)P，討論冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、在t=0時(shí)，兩只桶內(nèi)各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g／L，用管子以2L／min的速度將凈水輸入到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L／min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將混合液攪拌均勻，然后用1L／min的速度輸出．求在任意時(shí)刻T＞0，從第二只桶內(nèi)流出的水中含鹽所滿足的微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)在任意時(shí)刻t＞0，第一只桶和第二只桶內(nèi)含鹽分別為m1(t)，m2(t)，在時(shí)間[t，t+dt]知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、設(shè)f(x)=()A、為∞．B、不存在．C、等于0．D、等于標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗圆淮嬖冢?、’’f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)"是“｜f(x)｜在點(diǎn)x0處連續(xù)”的()A、充分條件，但不是必要條件．B、必要條件，但不是充分條件．C、充分必要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由“如果”可得，如果f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，即f(x)｜=｜f(x0)｜，即｜f(x)｜在點(diǎn)x0處連續(xù)．但如果｜f(x)｜在點(diǎn)x0處連續(xù)，f(x)在點(diǎn)x0處不一定連續(xù)．例如f(x)=在x=0點(diǎn)不連續(xù)，但｜f(x)｜=1在x=0點(diǎn)連續(xù)．所以“f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)”是“｜f(x)｜在點(diǎn)x0處連續(xù)”的充分條件，但不是必要條件．3、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)有定義，并且｜f(x)｜≤ln(1+x2)，則f(x)在點(diǎn)x=0處()A、不連續(xù)．B、連續(xù)但不可導(dǎo)．C、可導(dǎo)但f’(0)≠0．D、可導(dǎo)且f’(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：連續(xù)性因?yàn)椋黤(x)｜≤ln(1+x2)，所以-ln(1+x2)≤f(x)≤ln(1+x2)，得f(0)=0，又故由夾逼定理，得=0=f(0)，于是f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)．可導(dǎo)性由于沒有給出f(x)的具體表達(dá)式，只能用定義討論f(x)在點(diǎn)x=0處的可導(dǎo)性．由于｜f(x)｜≤ln(1+x2)，所以因?yàn)橛蓨A逼定理得故f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f’(0)=0．4、如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值，則必有()A、f’(x0)=0且f’’(x0)=0．B、f’(x0)=0且f’’(x0)＜0．C、f’(x0)=0且f’’(x0)＞0．D、f’(x0)=0或f’(x0)不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查f(x)在點(diǎn)x0處取得極(大)值的必要條件．取f(x)=-(x-1)2，則f(x)在點(diǎn)x=1處取得極大值，f’(x)=-2(x-1)，f’’(x)=-2，f’(1)=0，但f’’(1)=-2，排除A．B是f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值的充分條件．C是f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值的充分條件．故只有選D．5、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，F(xiàn)(x)=，則函數(shù)F(x)在(a，b)內(nèi)()A、必定沒有零點(diǎn)．B、有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．C、至少有兩個(gè)零點(diǎn)．D、有無零點(diǎn)無法確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因f(x)在[a，b]上連續(xù)，f(x)＞0，所以在[a，b]上連續(xù)，從而在[a，b]上可導(dǎo)，當(dāng)然在[a，b]上連續(xù)，又由零點(diǎn)定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，又所以F(x)在[a，b]上單調(diào)增加，即至多存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，故應(yīng)選B．6、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則tf(x2-t2)dt等于()A、xf(x2)．B、-xf(x2)．C、-2xf(x2)．D、2xf(x2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)積分上限函數(shù)的求導(dǎo)問題，由于積分上限函數(shù)的被積函數(shù)中含有x，可作變量代換，將被積函數(shù)中的x移到積分符號(hào)外，然后求導(dǎo)．令x2-t2=u，則7、直線L：與平面Ⅱ：x-y-z+1=0的夾角為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：直線L的方向向量s==2i+4j-2k．平面Ⅱ的法向量n=i-j-k．于是，直線L與平面Ⅱ的夾角θ就是直線L的方向向量s與平面Ⅱ的法向量n夾角的余角．從而故θ=0．8、設(shè)f(x，y)=x2+xy+y2-3x+2，則f(x，y)()A、在點(diǎn)(-1，2)處取得極小值．B、在點(diǎn)(2，-1)處取得極小值．C、在點(diǎn)(1，-2)處取得極大值．D、在點(diǎn)(-1，-2)處取得極大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)二元函數(shù)的極值點(diǎn)的判定問題．先求駐點(diǎn)．令解得駐點(diǎn)為(2，-1)，由于四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)的點(diǎn)是駐點(diǎn)，故應(yīng)選B．事實(shí)上，在駐點(diǎn)(2，-1)處，而B2-AC=-3＜0，A＞0，故f(x，y)在點(diǎn)(2，-1)處取得極小值．9、的值為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：直接計(jì)算二次積分，計(jì)算量太大，因此應(yīng)先交換積分次序，再計(jì)算．由已知二次積分知，D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤1}，將其寫成X型區(qū)域，得D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，所以10、設(shè)L為圓周x2+(y+1)2=2取逆時(shí)針方向，則()A、等于π．B、等于2π．C、等于π2．D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于積分曲線L為x2+(y+1)2=2，故可先代入，再用格林公式．于是其中D是由圓x2+(y+1)2=2圍成的封閉區(qū)域．11、若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(推理法)因?yàn)榧?jí)數(shù)an收斂，所以an+1收斂，由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)知收斂．故應(yīng)選D．12、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)(x≠0)滿足方程f(tx)dt=nf(x)(n為大于1的整數(shù))，則f(x)=()A、B、Cx．C、Csinnx．D、cosnx．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：類似于上題分析，當(dāng)x≠0時(shí)，令tx=u，則t=，于是從而，原方程可化為等式兩邊求導(dǎo)，得f(x)=nf(x)+nxf’(x)，即等式兩邊積分，得則f(x)=13、差分方程yt+1-yt=4cos的一個(gè)特解為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：一階線性差分方程yt+1-yt=4cos應(yīng)具有的特解形式為yt*=Acos，于是將yt*，yt*，代入原差分方程，并化簡(jiǎn)整理得比較等式兩邊的系數(shù)，得二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且f’(0)存在，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(0)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0．從而16、曲線y=lnx與直線x+y=1垂直的切線方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x-1知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與題意有故切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，切線方程為y=x-1．17、設(shè)f(x)=ax3-6ax2+b在閉區(qū)間[-1，2]上的最大值是3，最小值是-29，且a＞0，則a______，b=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2，3知識(shí)點(diǎn)解析：(1)求f(x)在[-1，2]上的駐點(diǎn)與使得f’(x)不存在的點(diǎn)(如果有的話)．f’(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)．令f’(x)=0，得駐點(diǎn)x1=0，x2=4(舍去)．(2)求f(x)在[-1，2]上的駐點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值．f(-1)=b-7a，f(0)=b，f(2)=-16a+b．(3)比較上述函數(shù)值得f(x)在[-1，2]上的最大值、最小值．比較上述函數(shù)值，得由已知條件，得b=3，b=16a=-29，解得a=2，b=3．18、max{2，x2}dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)分段函數(shù)的定積分的計(jì)算問題．關(guān)鍵是寫出max{2，x2}在[-2，3]上的表達(dá)式．19、曲線y=x2，x=y2圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由y=x2，x=y2解出曲線的交點(diǎn)為(0，0)，(1，1)．取x作為積分變量，所求旋轉(zhuǎn)體的體積等于由曲線，y=0，x=1所圍成的平面圖形與由曲線y=x2，y=0，x=1所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之差(如圖37)，即20、設(shè)f(x，y)=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?1、已知函數(shù)u=3x2y-2yz+z3，v=4xy-z3，則u在點(diǎn)P(1，-1，1)處沿該處gradv方向的方向?qū)?shù)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先計(jì)算v在點(diǎn)P處的梯度gradv，再求出它的單位向量l0，最后計(jì)算將其單位化，得從而gradv｜p的方向余弦由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式，有22、設(shè)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，區(qū)域Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，則=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先在球坐標(biāo)下將三重積分f(x2+y2+z2)dv化為積分上限函數(shù)，然后用洛必達(dá)法則求極限．在球坐標(biāo)下，積分區(qū)域Ω={(θ，φ，r)｜0≤0≤2π，0≤φ≤π，0≤r≤t}．于是23、設(shè)∑為上半球面的上側(cè)，則曲面積分I==________.標(biāo)準(zhǔn)答案：2π知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查第二類曲面積分的計(jì)算問題．由于被積表達(dá)式過于復(fù)雜，不易直接計(jì)算．應(yīng)先將曲面∑的方程代入到被積表達(dá)式，然后補(bǔ)曲面(減曲面)最后再計(jì)算．添加曲面∑1：z=0(x2+y2≤R2，取下側(cè))，則∑1與∑構(gòu)成封閉曲面(取外側(cè))，如圖53所示，其圍成的空間閉區(qū)域?yàn)棣?，則24、將f(x)=展開成(x-3)的冪級(jí)數(shù)為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由｜-(x-3)｜＜1，，得x∈(2，4)．故f(x)展開成(x-3)的冪級(jí)數(shù)為25、微分方程xy’’=y’+x2的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)不顯含未知函數(shù)y的可降階的微分方程．令y’=P(x)，則y’’=P’(x)，將其代入原方程，得xP’(x)=P(x)+x2，即P’(x)-P(x)=x，這是一個(gè)以x為自變量、P(x)為未知函數(shù)的一階線性微分方程，利用一階線性微分方程的求解公式，有即=x2+C1x，等式兩邊積分，得即為微分方程的通解．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)是不恒為零的奇函數(shù)，且f’(0)存在，則g(x)=()．A、在x=0處無極限B、x=0為其可去間斷點(diǎn)C、x=0為其跳躍間斷點(diǎn)D、x=0為其第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(0)存在，所以f(x)在x=0處連續(xù)，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=0，顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，因?yàn)閒’(0)，所以x=0為g(x)的可去間斷點(diǎn)，選(B)．2、設(shè)f(x，y)=sin，則f(x，y)在(0，0)處()．A、對(duì)x可偏導(dǎo)，對(duì)y不可偏導(dǎo)B、對(duì)x不可偏導(dǎo)，對(duì)y可偏導(dǎo)C、對(duì)x可偏導(dǎo)，對(duì)y也可偏導(dǎo)D、對(duì)x不可偏導(dǎo)，對(duì)y也不可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)L為由y2=x+3及x=2圍成的區(qū)域的邊界，取逆時(shí)針方向，則等于()．A、－2πB、2πC、πD、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：取Cr：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L內(nèi)，取逆時(shí)針)，二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)4、若當(dāng)，則a=________，b=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=，b=1知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(μ)可導(dǎo)，y=f(x2)在x0=一1處取得增量△x=0．05時(shí)，函數(shù)增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=－1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因?yàn)椤鱵的線性部分為dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=．6、∫e＋∞=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：∫e＋∞7、過點(diǎn)A(3，2，1)且平行于直線L1：及L2：的平面方程為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求平面為π：一(x一3