3.4基本不等式課件

*3.4基本不等式*

這是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會標．會標根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。*思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？探究1*ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關系？

探究１：S>S′即問：那么它們有相等的情況嗎？>(a≠b)*ADBCEFGHba猜想：一般地，對于任意實數a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝*思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）當且僅當a=b時，等號成立。*知識點1：重要不等式：一般地，對于任意實數a、b，總有當且僅當a=b時，等號成立文字敘述為:兩數的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R問題一*問題一替換后得到：即：即：你能證明這個不等式嗎？問題二*證明：（做差法）①當且僅當a=b時,①中的等號成立.所以問題二證明不等式：*若a>0，b>0，則當且僅當a=b時等號成立.知識點2：基本不等式在數學中，我們把叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數；文字敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.適用范圍：a>0,b>0*你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問題三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?DC=______①如何用a,b表示OD?OD=______*你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問題三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何解釋：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab*例1（1）用籬笆圍一個面積為100㎡的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短是多少？解：設舉行菜園的長為m,寬為m,則，籬笆的長為m.由可得等號當且僅當時等號成立。此時，這個矩形的長、寬都為10m，所用籬笆最短為40m;*例1（1）用籬笆圍一個面積為100㎡的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短是多少？該題是為定值100，則當時，和取得最小值20所以都是正數，則有若（積為定值），則當時，和取得最小值（基本不等式與最值）*(2)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？解：設矩形菜園的長為m寬為m,則矩形菜園的面積為㎡由可得當且僅當，即時，等號成立.此時，矩形菜園的長、寬都為9m,菜園的面積最大，最大面積是81㎡.*(2)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？該題是定值18,則當時,積取得最大值81所以，都是正數，則有若（和為定值）,則當時,積取得最大值（基本不等式與最值）*知識點三：基本不等式與最值已知都為正數，則有（1）若（和為定值），則當時，積取得最大值_______（2）若（積為定值），則當時，和取得最小值_______*變式練習：1.x>0,當x取什么值，的值最??？最小是多少？解：所以當時，,的值最小為2.*2.用20cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應當怎樣折？解：設矩形的長寬分別為cm,則,

,面積為由得當且僅當時，矩形的長、寬分別為5cm，面積取得最大值為25.*例2某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？解：設底面的長為xm,寬為ym,水池總造價為Z元.根據題意,有

由容積為4800m3，可得因此由基本不等式與不等式的性質，可得即*當,即時,等號成立.

所以，將水池的地面設計成邊長為40m的正方形時總造價最低,最低總造價是297600元.變式練習：做一個體積為32m3，高為2m的長方體紙盒，底面的長與寬取什么值時用紙最少？解：設底面的長、寬分別為m,用紙S㎡.則當且僅當m時，用紙最少為64㎡.*小結：求最值時注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數,P,S

是常數.(1)xy=P

x+y≥2P(當且僅當