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PAGEPAGE14廣西北海市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試教學(xué)質(zhì)量檢測試題理(含解析)一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分).1.若復(fù)數(shù)z=,則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限2.如圖,從甲地到乙地有3條路,從乙地到丁地有2條路;從甲地到丙地有2條路,從丙地到丁地有4條路.則從甲地到丁地不同的路途有()A.11條 B.12條 C.13條 D.14條3.變量x與y的數(shù)據(jù)如表所示,其中缺少了一個(gè)數(shù)值,已知y關(guān)于x的線性回來方程為=1.2x﹣3.8,則缺少的數(shù)值為()x2223242526y2324▲2628A.24 B.25 C.25.5 D.264.=()A.ln2 B.ln C.ln D.ln35.若曲線y=ex+x的一條切線l與直線x+2y﹣2024=0垂直,則切線l的方程為()A.2x﹣y+1=0 B.2x+y﹣1=0 C.2x﹣y﹣1=0 D.2x+y+1=06.在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),曲線ρ2cosθ=1與射線的交點(diǎn)為A,則|OA|=()A.2 B. C. D.7.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),則P(X≥4)=()A. B. C. D.8.已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(4,62),P(ξ≤5)=0.89,則P(ξ≤3)=()A.0.89 B.0.78 C.0.22 D.0.119.拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子,則在點(diǎn)數(shù)之和為6的條件下,其中一枚點(diǎn)數(shù)為2的概率為()A. B. C. D.10.我們知道,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,13+23+33+43+53=152,…,若13+23+33+…+n3=1296,則n=()A.6 B.7 C.8 D.911.若函數(shù)f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx既有極大值又有微小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞,2)∪(2,+∞) B.(0,2)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.{2}12.若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿意=1,則(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值為()A.2 B.2 C.4 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)=.14.(3x3+)7的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)15.設(shè)P,Q分別為曲線C:(θ為參數(shù))與直線l:3x﹣4y﹣6=0上的動點(diǎn),則|PQ|的最小值為.16.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,),且D(X)=,則事務(wù)“X=2”的概率為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:(α是參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos=0.(1)求曲線C的一般方程以及直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)P(﹣1,0),直線l與曲線C交于A、兩點(diǎn),求|PA|?|PB|的值.18.中學(xué)階段有這樣一句話,成也數(shù)學(xué)敗也數(shù)學(xué),意思是說數(shù)學(xué)成果好的同學(xué)總成果也好,數(shù)學(xué)成果不好的同學(xué)總成果也不好.某市教化局對本屆高三學(xué)生的上學(xué)期期末考試成果進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查得到如下2×2列聯(lián)表:總成果好總成果不好總計(jì)數(shù)學(xué)成果好220m400數(shù)學(xué)成果不好100300400總計(jì)npq(1)求表中m,n,p,q的值;(2)能否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生總成果不好與數(shù)學(xué)成果不好有關(guān)?附:K2=,n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.82819.2024年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨100周年紀(jì)念日,為迎接這一天的到來,某高校組織了一場黨史學(xué)問競賽,分為預(yù)選賽和決賽兩部分,已知預(yù)選賽的題目共有9道,隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答,規(guī)定至少要答對其中2道才能通過預(yù)選賽,某參賽人員甲只能答對其中6道,記甲抽取的3道題目中能答對的題目數(shù)為X.(1)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)求甲沒有通過預(yù)選賽的概率.20.2024年初,S市出現(xiàn)了第一例新冠肺炎本土病例,各大媒體,微信公眾號都在報(bào)道此事.某微信公眾號關(guān)于S市疫情的信息發(fā)布以后,統(tǒng)計(jì)了網(wǎng)友的點(diǎn)擊量y與發(fā)布時(shí)間x的相關(guān)數(shù)據(jù),如表:時(shí)間x/分鐘510152025點(diǎn)擊量y/次98193280369460(1)已知y與x線性相關(guān),利用表格中的數(shù)據(jù),求點(diǎn)擊量y與發(fā)布時(shí)間x之間的回來直線方程;(2)在(1)的條件下,若點(diǎn)擊量超過1000次,就達(dá)到了宣揚(yáng)效果,那么1小時(shí)后,該公眾號是否達(dá)到了宣揚(yáng)效果?參考公式:,.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:y2﹣4x﹣4=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R).(Ⅰ)求拋物線C的極坐標(biāo)方程;(Ⅱ)若拋物線C與直線l交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的值.22.已知函數(shù)f(x)=x2lnx.(1)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)≥ax﹣1對隨意的x∈(0,+∞)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分).1.若復(fù)數(shù)z=,則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限解:因?yàn)閕4=1,所以i2024=(i4)505?i=i,所以z=,則,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為(),位于第一象限,故選:A.2.如圖,從甲地到乙地有3條路,從乙地到丁地有2條路;從甲地到丙地有2條路,從丙地到丁地有4條路.則從甲地到丁地不同的路途有()A.11條 B.12條 C.13條 D.14條解:從甲到丁分為兩類,第一類:從甲過乙到丁分兩步,從甲地到乙地有3條路,從乙地到丁地有2條路,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,從甲到丁有6種走法;其次類:從甲過丙到丁分兩步,從甲地到丙地有2條路,從丙地到丁地有4條路,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,從甲到丁有8種走法,再由分類加法計(jì)數(shù)原理得,從甲到丁共有6+8=14種走法,故選:D.3.變量x與y的數(shù)據(jù)如表所示,其中缺少了一個(gè)數(shù)值,已知y關(guān)于x的線性回來方程為=1.2x﹣3.8,則缺少的數(shù)值為()x2223242526y2324▲2628A.24 B.25 C.25.5 D.26解:設(shè)缺少的數(shù)為x,則,,把代入y=1.2x﹣3.8,得,解得x=24.故選:A.4.=()A.ln2 B.ln C.ln D.ln3解:依據(jù)題意,=ln(x+1)=ln3﹣ln2=ln,故選:C.5.若曲線y=ex+x的一條切線l與直線x+2y﹣2024=0垂直,則切線l的方程為()A.2x﹣y+1=0 B.2x+y﹣1=0 C.2x﹣y﹣1=0 D.2x+y+1=0解:∵y=ex+x,∴y′=ex+1,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線l的斜率k=,∴x0=0,得,故切線l的方程為y=2x+1.即2x﹣y+1=0.故選:A.6.在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),曲線ρ2cosθ=1與射線的交點(diǎn)為A,則|OA|=()A.2 B. C. D.解:將代入ρ2cosθ=1得ρ2=2,則.故選:B.7.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),則P(X≥4)=()A. B. C. D.解:因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),所以,解得a=,所以P(X=k)==(k=1,2,3,4,5),則P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=.故選:B.8.已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(4,62),P(ξ≤5)=0.89,則P(ξ≤3)=()A.0.89 B.0.78 C.0.22 D.0.11解:∵隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(4,62),∴這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸ξ=4∴P(ξ≤3)=P(ξ≥5),∵P(ξ≤5)=0.89∴P(ξ≥5)=1﹣0.89=0.11,∴P(ξ≤3)=0.11故選:D.9.拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子,則在點(diǎn)數(shù)之和為6的條件下,其中一枚點(diǎn)數(shù)為2的概率為()A. B. C. D.解:設(shè)“拋擲兩枚骰子,兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”為事務(wù)A,“拋擲兩枚骰子,其中一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為2”為事務(wù)B,則P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.故選:B.10.我們知道,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,13+23+33+43+53=152,…,若13+23+33+…+n3=1296,則n=()A.6 B.7 C.8 D.9解:由于,所以n2?(n+1)2=5184,所以n(n+1)=72,所以n=8或﹣9(負(fù)值舍去).故選:C.11.若函數(shù)f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx既有極大值又有微小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞,2)∪(2,+∞) B.(0,2)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.{2}解:因?yàn)閒(x)=x2﹣(a+2)x+alnx既有極大值又有微小值,且,所以f′(x)=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)解,所以,且,解得a>0,且a≠2.故選:B.12.若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿意=1,則(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值為()A.2 B.2 C.4 D.8解:由=1,可得b=ea+1,d=c﹣2,故(a﹣c)2+(b﹣d)2的幾何意義為曲線y=ex+1上一點(diǎn)(a,b)與直線y=x﹣2上一點(diǎn)(c,d)間距離的平方,對于函數(shù)y=ex+1,令y′=ex+1=1,解得x=﹣1,即y=ex+1在點(diǎn)(﹣1,1)處的切線方程為x﹣y+2=0,切線方程與直線y=x﹣2平行,則函數(shù)y=ex+1在(﹣1,1)處的切線與直線y=x﹣2之間的距離d=,故(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值為d2=8.故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)=1﹣i.解:∵z==,∴.故答案為:1﹣i.14.(3x3+)7的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為21.(用數(shù)字作答)解:的綻開式的通項(xiàng)公式為=,令,得r=6,所以的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:21.15.設(shè)P,Q分別為曲線C:(θ為參數(shù))與直線l:3x﹣4y﹣6=0上的動點(diǎn),則|PQ|的最小值為1.解:曲線C:(θ為參數(shù))轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為(x﹣1)2+(y﹣3)2=4,所以圓心(1,3)到直線3x﹣4y﹣6=0的距離d=,所以|PQ|min=3﹣2=1.故答案為:1.16.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,),且D(X)=,則事務(wù)“X=2”的概率為解:∵隨機(jī)變量X~B(n,),且D(X)=,∴=,解得n=4,∴事務(wù)“X=2”的概率為:P(X=2)==.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:(α是參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos=0.(1)求曲線C的一般方程以及直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)P(﹣1,0),直線l與曲線C交于A、兩點(diǎn),求|PA|?|PB|的值.解:(1)曲線C:(α是參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos=0,依據(jù),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x﹣y+1=0.(2)設(shè)P(﹣1,0),直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),把直線的參數(shù)方程,代入得到:;所以|PA||PB|=.18.中學(xué)階段有這樣一句話,成也數(shù)學(xué)敗也數(shù)學(xué),意思是說數(shù)學(xué)成果好的同學(xué)總成果也好,數(shù)學(xué)成果不好的同學(xué)總成果也不好.某市教化局對本屆高三學(xué)生的上學(xué)期期末考試成果進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查得到如下2×2列聯(lián)表:總成果好總成果不好總計(jì)數(shù)學(xué)成果好220m400數(shù)學(xué)成果不好100300400總計(jì)npq(1)求表中m,n,p,q的值;(2)能否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生總成果不好與數(shù)學(xué)成果不好有關(guān)?附:K2=,n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解:(1)m=400﹣220=180,n=220+100=320,p=m+300=480,q=400+400=800.(2)因?yàn)椋虼擞?9.9%的把握認(rèn)為學(xué)生總成果不好與數(shù)學(xué)成果不好有關(guān).19.2024年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨100周年紀(jì)念日,為迎接這一天的到來,某高校組織了一場黨史學(xué)問競賽,分為預(yù)選賽和決賽兩部分,已知預(yù)選賽的題目共有9道,隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答,規(guī)定至少要答對其中2道才能通過預(yù)選賽,某參賽人員甲只能答對其中6道,記甲抽取的3道題目中能答對的題目數(shù)為X.(1)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)求甲沒有通過預(yù)選賽的概率.解:(1)由題意可知,隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,且X聽從超幾何分布,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以隨機(jī)變量X的分布列為:X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.(2)若甲沒有通過預(yù)選賽,則甲答對了1道或0道,所以甲沒有通過預(yù)選賽的概率P=P(X=0)+P(X=1)==.20.2024年初,S市出現(xiàn)了第一例新冠肺炎本土病例,各大媒體,微信公眾號都在報(bào)道此事.某微信公眾號關(guān)于S市疫情的信息發(fā)布以后,統(tǒng)計(jì)了網(wǎng)友的點(diǎn)擊量y與發(fā)布時(shí)間x的相關(guān)數(shù)據(jù),如表:時(shí)間x/分鐘510152025點(diǎn)擊量y/次98193280369460(1)已知y與x線性相關(guān),利用表格中的數(shù)據(jù),求點(diǎn)擊量y與發(fā)布時(shí)間x之間的回來直線方程;(2)在(1)的條件下,若點(diǎn)擊量超過1000次,就達(dá)到了宣揚(yáng)效果,那么1小時(shí)后,該公眾號是否達(dá)到了宣揚(yáng)效果?參考公式:,.解:(1)由題意可知,,,,,所以,所以,所以點(diǎn)擊量y與發(fā)布時(shí)間x之間的回來直線方程為;(2)令x=60,可得,所以1小時(shí)后,該公眾號信息的點(diǎn)擊量約為1000次,達(dá)到了宣揚(yáng)效果.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:y2﹣4x﹣4=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈
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