2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章數(shù)學(xué)建?；顒右痪殰y評含解析北師大版必修第一冊

PAGE第八章數(shù)學(xué)建模活動(一)§1走近數(shù)學(xué)建?！?數(shù)學(xué)建模的主要步驟§3數(shù)學(xué)建模活動的主要過程必備學(xué)問基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層學(xué)問點(diǎn)一建立數(shù)學(xué)模型1.生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動物依舊會消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫．探討表明，消耗的能量E與通過心臟的血液量Q成正比；并且依據(jù)生物學(xué)常識知道，動物的體重與體積成正比．血流量Q是單位時間流過的血量，脈博率f是單位時間心跳的次數(shù)；還有一些生物學(xué)假設(shè)，例如，心臟每次收縮擠壓出來的血量q與心臟大小成正比，動物心臟的大小與這個動物體積的大小成正比．下表給出一些動物體重與脈搏率對應(yīng)的數(shù)據(jù)．動物名體重/g脈搏率/(心跳次數(shù)·min－1)鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070馬45000038建立一個數(shù)學(xué)模型將通過心臟的血流量與體重聯(lián)系起來，進(jìn)一步建立脈搏率與體重的關(guān)系，探討你模型中的假設(shè)，并用上表中的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停畬W(xué)問點(diǎn)二數(shù)學(xué)建模的主要步驟2.超市賣某一品牌的衛(wèi)生紙，這種衛(wèi)生紙分“有芯”和“無芯”兩種紙卷，如圖，兩種紙具有同樣的材質(zhì)和厚度，紙卷的高度和單價也一樣，若預(yù)購買這種衛(wèi)生紙，但不知道哪種紙卷更合算，假如沒有帶尺子，用什么方法可以確定合算的紙卷？為什么？學(xué)問點(diǎn)三數(shù)學(xué)建模的主要過程3.在意外發(fā)生的時候，建筑物內(nèi)的人員是否能盡快的疏散撤離是人們普遍關(guān)切的有關(guān)人身平安保障的最大問題．依據(jù)學(xué)校狀況，選一角度并提出問題，完成開題報(bào)告．關(guān)鍵實(shí)力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練其次層1．下圖中的兩個圖形，哪一個圖形能一筆畫成，哪個不能？為什么？2．在一摩天大樓里有三根電線從底層限制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有長短，因此三根電線的長度均未知．現(xiàn)在工人師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，須要知道這三根電線的電阻，如何測量出這三根電線的電阻？3．你是否留意到北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層玻璃且中間留有肯定空隙，如左圖所示，兩層厚度為d的玻璃夾著一層厚度為l的空氣．據(jù)說這樣做是為了保暖，即削減室內(nèi)向室外的熱量流失．我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的傳導(dǎo)(即流失)過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗(如右圖，玻璃厚度為2d)的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對比，對雙層玻璃窗能夠削減多少熱量損失給出定量分析結(jié)果．模型假設(shè)：(1)熱量的傳播過程只有傳導(dǎo)，沒有對流．即假定窗戶的密封性能很好，兩層玻璃之間的空氣是不流淌的．(2)室內(nèi)溫度T1和室外溫度T2保持不變，熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)．(3)玻璃材料勻稱，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)．在上述假設(shè)下熱傳導(dǎo)過程遵從下面的物理定律：厚度為d的勻稱介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為ΔT，則單位時間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量Q與ΔT成正比，與d成反比，即Q＝keq\f(ΔT,d)，(*)k為熱傳導(dǎo)系數(shù)．從有關(guān)資料可知，常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k1＝4×10－3～8×10－3J/cm·s·kW·h，不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2＝2.5×10－4J/cm·s·kW·h.4．針對“北京市區(qū)道路交通流量隨時間改變規(guī)律”這一選題進(jìn)行分析、思索，完成其開題報(bào)告．學(xué)科素養(yǎng)升級練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．在商場中，我們常?？梢钥吹酵环N商品會有多種大小不同的型號，其價格也各不相同．對比型號和價格，我們很簡潔發(fā)覺：當(dāng)商品的“量”增加時，價格也會增加；但是價格的增加與“量”的增加是不成比例的，也就是說你買的商品的“量”越多，商品的平均價格越低，有人認(rèn)為這是商家的營銷策略，買得越多越劃算，這樣顧客往往傾向于購買大包裝的商品．大包裝的商品真的是薄利多銷嗎？就這一問題通過調(diào)查、分析、探討，完成選題，開題報(bào)告．第八章數(shù)學(xué)建?；顒?一)§1走近數(shù)學(xué)建模§2數(shù)學(xué)建模的主要步驟§3數(shù)學(xué)建?；顒拥闹饕^程必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：建模過程如下：(1)因?yàn)閯游矬w溫通過身體表面散發(fā)熱量，表面積越大，散發(fā)的熱量越多，保持體溫須要的能量也就越大，所以動物體內(nèi)消耗的能量E與身體的表面積S成正比，可以表示為E＝p1S.又因?yàn)閯游矬w內(nèi)消耗的能量E與通過心臟的血流量Q成正比，可以表示為E＝p2Q.因此得到Q＝pS，其中p1，p2和p均為正的比例系數(shù)．另一方面，因?yàn)轶w積V與體重W成正比，可以表示為V＝r1W；又因?yàn)楸砻娣eS大約與體積V的eq\f(2,3)次方成正比，可以表示為S＝r2Veq\f(2,3)，因此得到S＝rWeq\f(2,3)，其中r1，r2，r為正的比例系數(shù)．所以可以構(gòu)建血流量與體重關(guān)系的數(shù)學(xué)模型Q＝k1Weq\f(2,3)，其中k1為正的比例系數(shù)．(2)依據(jù)脈搏率的定義f＝eq\f(Q,q)，再依據(jù)生物學(xué)假設(shè)q＝cW(c為正的比例系數(shù))，最終得到f＝eq\f(Q,q)＝eq\f(k1W\f(2,3),cW)，也就是f＝kW－eq\f(1,3)，其中k為正的待定系數(shù)．脈搏率與體重關(guān)系的數(shù)學(xué)模型說明，恒溫動物體重越大，脈搏率越低；脈搏率與體重的eq\f(1,3)次方成反比，表中的數(shù)據(jù)基本上反映了這個反比例的關(guān)系．右圖是以lnW和lnf為坐標(biāo)的散點(diǎn)圖．可以看出，數(shù)據(jù)取對數(shù)之后基本滿意線性關(guān)系，因此得到體重和脈搏率的對數(shù)線性模型，可以把這個模型表達(dá)為lnf＝lnk－eq\f(lnW,3).2．解析：合算就是紙的量多，因?yàn)榧埦淼母叨群蛦蝺r一樣，我們只要比較兩種紙卷截面的面積，取較大的就合算，為此可以各取一個紙卷，令無芯紙卷截面的圓心壓在有芯紙卷截面的芯(即小圓)上，如右圖，然后看無芯紙卷截面上與有芯紙卷截面的芯相切的直徑端點(diǎn)，若端點(diǎn)在有芯紙卷截面的大圓上，則兩種紙卷的量相等；若在其內(nèi)則買有芯紙卷合算；若在其外則買無芯紙卷合算．證明：設(shè)有芯紙卷截面的內(nèi)、外半徑分別為r，R，大圓內(nèi)與小圓相切的弦長為d，無芯紙卷截面的直徑為D，于是，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝R2－r2，當(dāng)D＝d時，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S無芯，當(dāng)D＞d時，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＜πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S無芯．當(dāng)D＜d時，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＞πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S無芯．3．解析：要解決的問題在教學(xué)樓一樓有一排四間教室，學(xué)生可以沿教室外走廊始終走到終點(diǎn)的出口，試分析學(xué)生撤離所用時間選題的緣由及意義建立數(shù)學(xué)模型給出最佳撤離方案，同時就教學(xué)樓設(shè)計(jì)給出合理化建議建模問題的可行性分析老師可在教學(xué)樓內(nèi)組織學(xué)生進(jìn)行多次演習(xí)，只需測量幾個簡潔的參數(shù)．基本模型、解決問題的大體思路和步驟做出合理假設(shè)，列出有關(guān)的參數(shù)．隊(duì)列中人與人之間的距離將為常數(shù)，記為d，隊(duì)列行進(jìn)的速度也是常數(shù)v，令第i個教室中的人數(shù)為ni＋1人，第i個教室的門口到前一個教室的門口的距離為Li，教室門的寬度為D.疏散時教室內(nèi)第一個人到達(dá)教室門口所用的時間忽視不計(jì)．T1,2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(L1＋L2＋D＋n2d/v,n1＋1d≤L2＋D,[L1＋n1＋n2＋1d]/v,n1＋1d＞L2＋D))預(yù)期結(jié)果和結(jié)果呈現(xiàn)方式建立一個來描述建筑物內(nèi)人員疏散的最合適的模型，一份有求解過程的文字報(bào)告參考文獻(xiàn)《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建?！繁本煼陡咝?shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院其他說明關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．解析：(1)標(biāo)點(diǎn)：標(biāo)出雙數(shù)點(diǎn)和單數(shù)點(diǎn)．(2)推斷：第一個只有兩個單數(shù)點(diǎn)，所以可以一筆畫，其次個有4個單數(shù)點(diǎn)，所以不能一筆畫，2．解析：不妨用a，b，c及a′，b′，c′分別表示三根電線的底端和頂端，并用aa′，bb′，cc′分別表示三根電線，假設(shè)x，y，z分別是aa′，bb′，cc′的電阻，這是三個未知數(shù)，電表不能干脆測量出這三個未知數(shù)．然而我們可以把a(bǔ)′和b′連接起來，在a和b處測量得電阻x＋y為l；然后將b′和c′連接起來，在b和c處測量得y＋z為m，連接a′和c′可測得x＋z為n，這樣得三元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝l,y＋z＝m,x＋z＝n.))由三元一次線性方程組解出x，y，z即得三根電線的電阻．3．解析：記雙層窗內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度是Ta，外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度是Tb，如圖，玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為k2，由(*)式單位時間單位面積的熱量傳導(dǎo)(即熱量流失)為Q1＝k1eq\f(T1－Ta,d)＝k2eq\f(Ta－Tb,l)＝k1eq\f(Tb－T2,d)，消去Ta，Tb，可得Q1＝eq\f(k1T1－T2,ds＋2)，s＝heq\f(k1,k2)，h＝eq\f(l,d)，對于厚度為2d的單層玻璃窗，簡潔寫出其熱量傳導(dǎo)為Q2＝k1eq\f(T1－T2,2d).二者之比為eq\f(Q1,Q2)＝eq\f(2,s＋2)，明顯Q1＜Q2.為了得到更詳細(xì)的結(jié)果，我們須要k1和k2的數(shù)據(jù).16≤eq\f(k1,k2)≤32.在分析雙層玻璃窗比單層玻璃窗可削減多少熱量損失時，我們作最保守的估計(jì)，即取eq\f(k1,k2)＝16，可得eq\f(Q1,Q2)＝eq\f(1,8h＋1)，h＝eq\f(l,d)，比值eq\f(Q1,Q2)反映了雙層玻璃窗在削減熱量損失上的功效，它只與h＝eq\f(l,d)有關(guān)，我們給出eq\f(Q1,Q2)－h(huán)的曲線，當(dāng)h增加時，eq\f(Q1,Q2)快速下降，而當(dāng)h超過肯定值(比如h＞4)后eq\f(Q1,Q2)下降變緩，可見h不必選擇過大．4．解析：要解決的問題隨著北京城市的不斷發(fā)展，交通成了飽受關(guān)注的話題，那么北京市區(qū)主要道路交通流量隨時間改變有什么樣的規(guī)律？選題的原因及意義為市民日常出行乃至相關(guān)部門的政策制定供應(yīng)參考建模問題的可行性分析時間和車流量滿意肯定的函數(shù)關(guān)系基本模型、解決問題的大體思路和步驟觀測某主干道每3分鐘內(nèi)通過的車流量，進(jìn)行分析比較，時刻為自變量x(單位：小時)，車流量為因變量y(單位：輛/3分鐘)預(yù)期結(jié)果和結(jié)果呈現(xiàn)方式一個能夠反映時間與車流量的函數(shù)模型，一份有求解過程的文字報(bào)告成員和分工全組共同制定探討安排商討確定數(shù)學(xué)模型同學(xué)甲(組長，側(cè)重組織探討，把握工作方向)同學(xué)乙、丙(側(cè)重信息采集、數(shù)據(jù)計(jì)算整理)同學(xué)丁(側(cè)重探討記錄、報(bào)告撰寫、結(jié)果復(fù)核)參考文獻(xiàn)《北京交通狀況的分析與預(yù)料》百度地圖：//map.baidu其他說明學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：要解決的問題到商場買牙膏，從劃算的角度講，同一品牌的牙膏我們是買小包裝的好，還是大包裝的好呢？解決問題的方法同一品牌的牙膏形態(tài)是相像的，通過比例建立價格與質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系相關(guān)問題分析及其假設(shè)我們設(shè)商品的價格為y(元)，質(zhì)量為x(g)，看能否找出y與x的函數(shù)關(guān)系式：y＝f(x)．為了便利敘述，我們引入“∝”這一符號，當(dāng)y與x成比例，即y＝kx(k為常數(shù))時，記作y∝x建模求解的主要過程設(shè)商品的成本為P(元)，一般來說，商品價格＝商品成本×(1＋利潤率)，所以有y∝P.而商品的成本主要分為生產(chǎn)成本和包裝成本兩部分，分別設(shè)為P1和P2，即有y∝(P1＋P2)．商品的生產(chǎn)成本P1與商品的質(zhì)量x成比例，即P1∝x；而商品的包裝成本P2與商品的表面積S成比例，即P2∝S，而S∝Veq\f(2,3)，V∝x(這里V指商品的體積)，故有P2∝xeq\f(2,3).從而我們可以假設(shè)y＝ax＋bxeq\f(2,3).下面我們用實(shí)際數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)這一函數(shù)表達(dá)式的精確性，因?yàn)樵诤瘮?shù)中有兩個待定系數(shù)，所以我們只須要代入兩組(x，y)值即可求出a，b的值．將(65,14)和(90,17.6)代入y＝ax＋bx中，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(65a＋65\f(2,3)b＝14,90a＋90\f(2,3)b＝17.6，))解得a≈0.0225，b≈0.7756，所以y＝0.0225x＋0.7756x結(jié)果檢驗(yàn)將x＝120代入，得y＝21.57，與實(shí)際價格21.60元相差0.03；再將x＝180代入，得y＝28.77，與實(shí)際價格28.30元相差0.47元．因此，我們推導(dǎo)出來的函數(shù)表達(dá)式還是比較精確的．這一步得到單位質(zhì)量價格y′＝0.0225＋0.7756x－eq\f(1,3)，由幾何畫板做出y′－x的關(guān)系圖為可以看出隨牙膏質(zhì)量的增加，單位質(zhì)量價格的減小量在削減，因此不能盲目的認(rèn)為越大的包裝越便宜小組成員和分工全組共同制定探討安排商討確定數(shù)學(xué)模型同學(xué)甲(組長，側(cè)重組織探討，把握工作方向)同學(xué)乙、丙(側(cè)重信息采集、數(shù)據(jù)計(jì)算整理)同學(xué)丁(側(cè)重探討記錄、報(bào)告撰寫、結(jié)果復(fù)核)反思與拓展在以上推導(dǎo)