高一數(shù)學(xué)下冊(cè)鞏固與練習(xí)題58

鞏固1．下列幾種推理過(guò)程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人數(shù)均超過(guò)50人C．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)(an－1＋eq\f(1,an－1))(n≥2)，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式解析：選A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)(大前提)∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角(小前提)∠A＋∠B＝180°(結(jié)論)2．下列表述正確的是()①歸納推理是由部分到整體的推理②歸納推理是由一般到一般的推理③演繹推理是由一般到特殊的推理④類比推理是由特殊到一般的推理⑤類比推理是由特殊到特殊的推理A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤解析：選D.歸納推理是由部分到整體的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．3．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：選C.由類比推理的特點(diǎn)可知．4．(2010年安徽省皖南八校高三調(diào)研)定義集合A，B的運(yùn)算：A?B＝{x|x∈A或x∈B且x?(A∩B)}，則A?B?A＝________.解析：如圖，A?B表示的是陰影部分，設(shè)A?B＝C，運(yùn)用類比的方法可知，C?A＝B，所以A?B?A＝B.答案：B5．(2009年高考浙江卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．解析：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比到等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積的商成等比數(shù)列．下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，首項(xiàng)為b1，則T4＝b14q6，T8＝b18q1＋2＋…＋7＝b18q28，T12＝b112q1＋2＋…＋11＝b112q66，∴eq\f(T8,T4)＝b14q22，eq\f(T12,T8)＝b14q38，即(eq\f(T8,T4))2＝eq\f(T12,T8)·T4，故T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)成等比數(shù)列．答案：eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)6．等差數(shù)列{an}中，公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，有如下性質(zhì)：(1)通項(xiàng)an＝am＋(n－m)d；(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，則am＋an＝ap＋aq；(3)若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap；(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列．請(qǐng)類比出等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)．解：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則可以推出以下性質(zhì)：(1)an＝amqn－m；(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，則am·an＝ap·aq；(3)若m＋n＝2p，則am·an＝ap2；(4)當(dāng)q≠－1時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等比數(shù)列．練習(xí)1．下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較合適的是()A．三角形B．梯形C．平行四邊形D．矩形解析：選C.因?yàn)槠叫辛骟w相對(duì)的兩個(gè)面互相平行，類比平面圖形，則相對(duì)的兩條邊互相平行，故選C.2．由eq\f(7,10)>eq\f(5,8)，eq\f(9,11)>eq\f(8,10)，eq\f(13,25)>eq\f(9,21)，…若a>b>0且m>0，則eq\f(b＋m,a＋m)與eq\f(b,a)之間大小關(guān)系為()A．相等B．前者大C．后者大D．不確定解析：選B.觀察題設(shè)規(guī)律，由歸納推理易得eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a).3．“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M)，故此奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)”，上述推理是()A．小前提錯(cuò)B．結(jié)論錯(cuò)C．正確的D．大前提錯(cuò)解析：選C.大前提正確，小前提正確，故命題正確．4．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得PB.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛水艇解析：選B.從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．5．給出下列三個(gè)類比結(jié)論．①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：選B.③正確．6．觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是an，按此規(guī)律推斷出所有圓點(diǎn)總和Sn與n的關(guān)系式為()A．Sn＝2n2－2nB．Sn＝2n2C．Sn＝4n2－3nD．Sn＝2n2＋2n解析：選A.事實(shí)上由合情推理的本質(zhì)：由特殊到一般，當(dāng)n＝2時(shí)有S2＝4，分別代入即可淘汰B，C，D三選項(xiàng)，從而選A.也可以觀察各個(gè)正方形圖案可知圓點(diǎn)個(gè)數(shù)可視為首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，因此所有圓點(diǎn)總和即為等差數(shù)列前n－1項(xiàng)和，即Sn＝(n－1)×4＋eq\f((n－1)(n－2),2)×4＝2n2－2n.7．y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)，演繹推理過(guò)程為_(kāi)_______．答案：大前提：三角函數(shù)是周期函數(shù)；小前提：y＝cosx(x∈R)是三角函數(shù)；結(jié)論：y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)．8．對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，以下四個(gè)命題都成立：①a＋eq\f(1,a)≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③若|a|＝|b|，則a＝±b；④若a2＝ab，則a＝b.那么，對(duì)于非零復(fù)數(shù)a，b，仍然成立的命題的所有序號(hào)是________．解析：對(duì)于①，當(dāng)a＝i時(shí)，a＋eq\f(1,a)＝i＋eq\f(1,i)＝i－i＝0，故①不成立；對(duì)于②④，由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的性質(zhì)知，仍然成立．對(duì)于③，取a＝1，b＝i，則|a|＝|b|，但a≠±b，故③不成立．答案：②④9．已知數(shù)列2008,2009,1，－2008，－2009，…，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2009項(xiàng)之和S2009等于________．解析：數(shù)列前幾項(xiàng)依次為2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009，…每6項(xiàng)一循環(huán)，前6項(xiàng)之和為0，故前2009項(xiàng)包含334個(gè)周期和前5個(gè)數(shù)，故其和為2008＋2009＋1－2008－2009＝1.答案：110．用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1)若兩角是對(duì)頂角，則該兩角相等，所以若兩角不相等，則該兩角不是對(duì)頂角；(2)矩形的對(duì)角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對(duì)角線相等．解：(1)兩個(gè)角是對(duì)頂角則兩角相等，大前提∠1和∠2不相等，小前提∠1和∠2不是對(duì)頂角.結(jié)論(2)每一個(gè)矩形的對(duì)角線相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的對(duì)角線相等.結(jié)論11.觀察：(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論．解：若銳角α，β，γ滿足α＋β＋γ＝90°，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.12．已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，首項(xiàng)a1＝5.(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律．解：(1)由已知a1＝5，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝5＋2(n－1)＝2n＋3.∴Sn＝n(n＋4)