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2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)
填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處”o
2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦
干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先
劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。
4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.把二次函數(shù)),=一/一4%-3化成.丫=。。一//)2+&的形式是下列中的()
A.y=(x-2)2-lB.y=-(x-2)2-1
C.y-(x+2)~+lD.y=—(x+2)--1
2.已知二次函數(shù)y=-V+3,71V-3〃的圖像與x軸沒有交點(diǎn),貝!j()
4444
A.2m+n>—B.2m+n<-C.2m-n<—D.2m-n>—
3333
3.關(guān)于x的一元二次方程依2+3%—i=o有實(shí)數(shù)根,則%的取值范圍是()
9999
A.k&—B.kN—且左。0C.kN—D.k>—且左
4444
4.已知二次函數(shù)y=o?2+法+。的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()
A.B.ac=QC.ac<0D."的符號(hào)不能確定
5.在一個(gè)不透明的布袋中有紅色、黑色的球共10個(gè),它們除顏色外其余完全相同.小娟通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其
中摸到黑球的頻率穩(wěn)定在60%附近,則口袋中黑球的個(gè)數(shù)很可能是()
A.4B.5C.6D.7
6.^AABC^AADE,若AB=9,AC=6,AD=3,則EC的長(zhǎng)是()
D,
B
A.2B.3C.4D.5
7.如圖,AB是。。的直徑,弦COJ_AB于點(diǎn)£,OC=5c%,CO=8cw2jilijAE=()
A.8cmB.5cmC.3cmD.2cm
9.若「「在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則X的取值范圍是()
yl-2x
A.x<—B.x<2C.x<—D.x>0
22
10.如圖,AE是四邊形ABCD外接圓。。的直徑,AD=CD,ZB=50°,則NDAE的度數(shù)為()
A.70°B.65°C.60°D.55°
二、填空題(每小題3分,共24分)
11.如圖,四邊形的兩條對(duì)角線AC、80相交所成的銳角為60。,當(dāng)AC+BZ)=8時(shí),四邊形ABCO的面積的最大
值是.
12.如圖,在RtAABC中,ZACB=90°,CD是A3邊上的高,CE是AS邊上的中線,若AO=3,CE=5,則CD等
于.
c
13.如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖:
第一步:如圖①,在線段AD上任意取一點(diǎn)E,沿EB,EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC(余下部分不再使用);
第二步:如圖②,沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分,并在線段GH上任意取一點(diǎn)M,線段BC上任意取
一點(diǎn)N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分;
第三步:如圖③,將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。,使線段GB與GE重合,將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)
針方向旋轉(zhuǎn)180",使線段HC與HE重合,拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片(裁剪和拼圖過程均無(wú)
縫且不重疊)則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最大值為__cm.
■\)_KY—r)
14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),一次函數(shù),=肌*+①與7=?>+岳的圖象如圖所示,則關(guān)于x,y的方程組;一」的
y—k2x=b1
解是________
15.關(guān)于X的一元二次方程(加一3)£+X+病-9=0有一根為0,則m的值為
16.一元二次方程X2+3X=Q的根的判別式的值為
17.關(guān)于x的方程/+丘+2=0的一個(gè)根是1,則方程的另一個(gè)根是一?
18.把拋物線y=2x2向上平移3個(gè)單位,得到的拋物線的解析式為.
三、解答題(共66分)
19.(10分)AABC中,NACB=90。,AC=BC,。是BC上一點(diǎn),連接AZ>,將線段AO繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)
D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上。過點(diǎn)E作EFLAD垂足為點(diǎn)G,
(1)求證:FE=AE;
(2)填空:—=
BF
4G
(3)若二=攵,求空AH■的值(用含4的代數(shù)式表示).
DGEH
20.(6分)如圖,ABHCD,AC與8。的交點(diǎn)為E,Z4BE=ZACB.
(1)求證:△ABE-△ACB;
(2)如果A8=6,AE=4,求AC,8的長(zhǎng).
區(qū)
CD
21.(6分)如圖,四邊形ABCD中,AC平分NDAB,ZADC=ZACB=90°,E為AB的中點(diǎn),
(1)求證:AC2=AB?AD;
(2)求證:△AFDs^CFE.
22.(8分)如圖,大圓的弦AB、AC分別切小圓于點(diǎn)M、N.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AB=8,求圓環(huán)的面積.
23.(8分)某次足球比賽,隊(duì)員甲在前場(chǎng)給隊(duì)友乙擲界外球.如圖所示:已知兩人相距8米,足球出手時(shí)的高度為2.4
米,運(yùn)行的路線是拋物線,當(dāng)足球運(yùn)行的水平距離為2米時(shí),足球達(dá)到最大高度4米.請(qǐng)你根據(jù)圖中所建坐標(biāo)系,求
出拋物線的表達(dá)式.
24.(8分)定義:連結(jié)菱形的一邊中點(diǎn)與對(duì)邊的兩端點(diǎn)的線段把它分成三個(gè)三角形,如果其中有兩個(gè)三角形相似,那
么稱這樣的菱形為自相似菱形.
(1)判斷下列命題是真命題,還是假命題?
①正方形是自相似菱形;
②有一個(gè)內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形.
③如圖1,若菱形是自相似菱形,ZABC=a(0°<a<90°),E為BC中點(diǎn),貝!J在△A5E,AAED,△EDC中,相
似的三角形只有△A8E與△AE0.
(2)如圖2,菱形是自相似菱形,NABC是銳角,邊長(zhǎng)為4,E為8c中點(diǎn).
①求AE,OE的長(zhǎng);
②AC,BD交于點(diǎn)O,求tanNOBC的值.
25.(10分)如圖,在△ABC中,BD平分NABC,交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),連接DE,BD2=BCBE.
證明:ABCD^ABDE.
B
26.(10分)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任意兩點(diǎn)A(a,O),若點(diǎn)T(x,y)滿足x=W,^=—,
33
那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)A,B的融合點(diǎn).
-1+48+(-2)
例如:A(-l,8),6(4,-2),當(dāng)點(diǎn)T(x,y)滿是=y=_1=2時(shí),則點(diǎn)T(l,2)是點(diǎn)A,8的融合
點(diǎn),
/O1DX
1/
(1)已知點(diǎn)A(—1,5),8(7,7),C(2,4),請(qǐng)說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn).
(2)如圖,點(diǎn)。(3,0),點(diǎn)E(f,2f+3)是直線/上任意一點(diǎn),點(diǎn)T(x,y)是點(diǎn)。,£的融合點(diǎn).
①試確定》與x的關(guān)系式.
②若直線ET交x軸于點(diǎn),,當(dāng)AD7H為直角三角形時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).
參考答案
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1、C
【分析】先提取二次項(xiàng)系數(shù),然后再進(jìn)行配方即可.
【詳解】y=-x2-4x-3=-U2+4x+4)-3+4=-(-^+2)2+l.
故選:c.
【點(diǎn)睛】
考查了將一元二次函數(shù)化成y=a(x-h)2+k的形式,解題關(guān)鍵是正確配方.
2、C
【分析】若二次函數(shù)y=-2+3蛆-3〃的圖像與X軸沒有交點(diǎn),則A<0,解出關(guān)于m、n的不等式,再分別判斷即可;
3
【詳解】解:>y=+3機(jī)一3〃與X軸無(wú)交點(diǎn),A=9/n2-\2n<0,:.n>-m2,
4
a、a(4\244
2m+n>2m+~^m~+~—?故A、B錯(cuò)誤;
日鈿。-323(4丫44
I可理:2>n—n<2m——m=——m——+—<—;
4413)33
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),掌握拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
3、B
【分析】判斷上述方程的根的情況,只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號(hào)就可以了.關(guān)于x的一元二次方程
kx?+3x-l=l有實(shí)數(shù)根,則△=b2-4ac?l.
【詳解】解:Va=k,b=3,c=-l,
9
A△=b2-4ac=32+4xkxl=9+4k>l,k>——,
4
?.?k是二次項(xiàng)系數(shù)不能為i,kri,
9
即kN--且呼1.
4
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件.
4、A
【分析】由題意根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案判斷選項(xiàng).
【詳解】解:由圖象可知開口向上a>0,與y軸交點(diǎn)在上半軸c>0,
/.ac>0,
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),本題屬于中等題型.
5、C
【分析】根據(jù)題意得出摸出黑球的頻率,繼而根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)X頻率計(jì)算即可.
【詳解】???小娟通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到黑球的頻率穩(wěn)定在60%附近,
,口袋中黑球的個(gè)數(shù)可能是10X60%=6個(gè).
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用頻率估計(jì)概率.大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況
數(shù)之比.
6、C
【分析】利用相似三角形的性質(zhì)得,對(duì)應(yīng)邊的比相等,求出AE的長(zhǎng),EC=AC-AE,即可計(jì)算DE的長(zhǎng);
【詳解】VAABC^AADE,
.ABAC
?.=,
ADAE
VAB=9,AC=6,AD=3,
.?.AE=2,
即EC=AC-AE=6-2=4;
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
7、A
【分析】根據(jù)垂徑定理可得出CE的長(zhǎng)度,在RSOCE中,利用勾股定理可得出OE的長(zhǎng)度,再利用AE=AO+OE即
可得出AE的長(zhǎng)度.
【詳解】:弦CDLAB于點(diǎn)E,CD=8cm,
.,.CE=—CD=4cm.
2
在RtAOCE中,OC=5cm,CE=4cm,
.*?OE=yJoC2-CE2=3cm,
AE=AO+OE=5+3=8cm.
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理以及勾股定理,利用垂徑定理結(jié)合勾股定理求出OE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.
8、C
【分析】逐一分析四個(gè)選項(xiàng),根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向以及對(duì)稱軸與y軸的位置關(guān)系,即可得出a、b的正負(fù)性,
由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限,即可得出結(jié)論.
【詳解】AJ.?二次函數(shù)圖象開口向下,對(duì)稱軸在y軸左側(cè),
.?.av(),b<0,
一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B.?.?二次函數(shù)圖象開口向上,對(duì)稱軸在y軸右側(cè),
?*.a>0,b<0,
???一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C.?.?二次函數(shù)圖象開口向下,對(duì)稱軸在y軸左側(cè),
/.a<0,b<0,
...一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限,故本選項(xiàng)正確;
D.?.?二次函數(shù)圖象開口向下,對(duì)稱軸在y軸左側(cè),
.".a<0,b<0,
二一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的綜合,掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系,是解題的關(guān)鍵.
9、A
【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件:被開方數(shù)20和分式有意義的條件:分母W0,列出不等式,解不等式即可.
【詳解】解:由題意可知:1—2x>0
解得:
故選A.
【點(diǎn)睛】
此題考查的是二次根式有意義的條件和分式有意義的條件,掌握二次根式有意義的條件:被開方數(shù)20和分式有意義的
條件:分母W0是解決此題的關(guān)鍵.
10、B
【分析】連接OC、OD,利用圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理求得NAOD=50。,然后根據(jù)的等腰三角形的性
質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求得NDAE=65。.
【詳解】解:連接OC、OD,
VAD=CD,
:?AD=CD,
AZAOD=ZCOD,
VZAOC=2ZB=2x50°=100°,
/.AOD=50°,
VOA=OD,
ZDAO=ZADO=180-5°=65°,即NDAE=65。,
2
本題考查了圓中弦,弧,圓心角之間的關(guān)系,圓周角定理和三角形內(nèi)角和,解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意,能夠熟
練掌握?qǐng)A心角,弧,弦之間的關(guān)系.
二、填空題(每小題3分,共24分)
11、4百
【分析】設(shè)AC=x,根據(jù)四邊形的面積公式,S=[ACxBOxsin60。,再根據(jù)sin60。=苴得出S=L(8—x)x式
222V72
再利用二次函數(shù)最值求出答案.
【詳解】解:VAC、BD相交所成的銳角為60°
...根據(jù)四邊形的面積公式得出,S=-ACxBDxsin60°
2
設(shè)AC=x,則BD=8-x
所以,S=;x(8-x)x£=-當(dāng)(8-4)2+4君
/.當(dāng)x=4時(shí),四邊形ABCD的面積取最大值4百
故答案為:4A/3.
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是四邊形的面積公式,熟記公式是解題的關(guān)鍵.
12、VH
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=1,進(jìn)而得出DE=2,利用勾股定理解答即可.
【詳解】解:.在R3ABC中,ZACB=90°,CE為AB邊上的中線,CE=1,
/.AE=CE=1,
VAD=3,
ADE=2,
???CD為AB邊上的高,
:,在RtACDE中,CD=^CE2-ED2=A/52-22=V21,
故答案為:V21.
【點(diǎn)睛】
此題考查勾股定理的應(yīng)用以及直角三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=1.
13、12+4713
【分析】首先確定剪拼之后的四邊形是個(gè)平行四邊形,其周長(zhǎng)大小取決于MN的大小.然后在矩形中探究MN的不同
位置關(guān)系,得到其長(zhǎng)度的最大值與最大值,從而問題解決.
【詳解】解:畫出第三步剪拼之后的四邊形MiNN2M2的示意圖,如答圖1所示.
圖中,N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位線定理),
又?.?M1M2〃N1N2,
...四邊形M1N1N2M2是一個(gè)平行四邊形,
其周長(zhǎng)為2NIN2+2MINI=2BC+2MN.
VBC=6為定值,
二四邊形的周長(zhǎng)取決于MN的大小.
如答圖2所示,是剪拼之前的完整示意圖,
過G、H點(diǎn)作BC邊的平行線,分別交AB、CD于P點(diǎn)、Q點(diǎn),則四邊形PBCQ是一個(gè)矩形,這個(gè)矩形是矩形ABCD
的一半,
是線段PQ上的任意一點(diǎn),N是線段BC上的任意一點(diǎn),
根據(jù)垂線段最短,得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離,即MN最小值為4;
而MN的最大值等于矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度,即
y]PB2+BC2=V42+62=2V13,
四邊形MiNiN2M2的周長(zhǎng)=2BC+2MN=12+2MN,
二最大值為12+2X2x/13=12+4A/13.
故答案為:12+4"\/將.
【點(diǎn)睛】
此題通過圖形的剪拼,考查了動(dòng)手操作能力和空間想象能力,確定剪拼之后的圖形,并且探究MN的不同位置關(guān)系得
出四邊形周長(zhǎng)的最值是解題關(guān)鍵.
x=2
14、b<=1.
【分析】利用方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)求解.
【詳解】?.,一?次函數(shù)>=?1*+加與7=4力+。2的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),
y-kx=b,[x=2
...關(guān)于X,y的方程組.,y,:的解是
y-k2x=b2=l
x=2
故答案為一
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程(組):方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).
15、m=-l
【解析】把x=0代入方程(m-1)x2+x+m2?9=0得m2-9=0,解得mi=Lm2=-l,然后根據(jù)一元二次方程的定義確定m
的值.
222
【詳解】把x=0代入方程(m-1)x+x+m-9=0^m-9=0,解得mi=Lm2=-l,
而m-1^0,
所以m的值為-1.
故答案是:-1.
【點(diǎn)睛】
考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.也考查了一元二次方
程的定義.
16、1.
【解析】直接利用根的判別式A=bZ4ac求出答案.
【詳解】一元二次方程x2+3x=0根的判別式的值是:△=32-4x1x0=1.
故答案為1.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了根的判別式,正確記憶公式是解題關(guān)鍵.
17、x=2
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.
【詳解】設(shè)方程的另一個(gè)根為XI,
?方程V+日+2=0的一個(gè)根是1,
;.X1?1=1,即Xl=l,
故答案為:1.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理),掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
18、y-2x2+3
【解析】由“上加下減”的原則可知,將拋物線y=2/向上平移3單位,得到的拋物線的解析式是>=2/+3.
故答案為y=2/+3.
【點(diǎn)睛】
二次函數(shù)圖形平移規(guī)律:左加右減,上加下減.
三、解答題(共66分)
AH2
19、(1)證明見解析;(2)V2;(3)
EHk+l
【分析】(1)由AC=3C得乙鉆C=ZB4C,由NAGH=NECH=90°可得NDAC=NBEF,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到
ZDAC=ZEAC,從而可得NBEF=NEAC,利用三角形外角的性質(zhì)得到加E=NE4E,即可得到結(jié)論成立;
(2)過點(diǎn)E作EMJ_BE,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作ANLME于N,先證明也EF^NEA,得到BF=AM,再利用
等腰直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得到8尸=JIAN,DE=2CE=2AN,即可得到答案;
(3)先利用相似三角形的判定證明VADC?V£DG,得到處=空,從而得到巳=J二一,再證明
DEDGmU+1
NAGH7ECH,即可得到?色=kA-.
EHU+l
【詳解】(1)證明:;AC=BC,
:.ZABC=ZBAC,
V石/_1_4)垂足為點(diǎn)6,
..ZAGE=NOGE=90。,
?:ZACB=9Q°,
ACLBE,
VAE=AD,
:.ZDAC^ZEAC,
VACYBE,
NACE=90。,
在RtAAGH和RtAECH中,ZDAC^900-ZAHG,NBEF=90?!?EHC,ZAHG=/EHC,
ZDACZBEF,
:.ZBEF=ZEAC,
VZAFE=ZABC+/BEF,ZEAE=ABAC+ZEAC,
:.ZAFE^AFAE,
:.FE=AE;
(2)如圖,過點(diǎn)E作EM_LBE,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作AN_LME于N,
VZACB=90°,AC=BC,
:.ZB=45°,
VEM1BE,
AZM=ZB=45°,
由(1)已證:ZAFE^ZFAE,
:A8O0-ZAFE=1SO°-ZFAE,即NBFE=ZM4E,
NB=NM
在△班廠和AME4中,<NBPE=NAME,
FE=AE
/.ABEF=JVtEA(AAS),
;.BF=AM,
VAN±ME,NM=45°,
:.△AWN是等腰直角三角形,
.,.AN=MN,AM=NAN=BF,
易知四邊形ACEN是矩形,
.?,CE=AN=MN,
VDE=2CE=2AN,
.DE.2AN涇
??薩一瓦L'
故答案為:V2;
(3)VAE=AD,AC1BE,
CE—CD>
??,NAC8=90。,
由(1)知NDGE=90°,
:.ZACB=ZDGE,
由(1)知/DAC=/BEF,
£iADC?iJEDG,
ADDC
~DE~~DG
設(shè)CZ)=m,DG-n>則CEn"?,DE-2m>AG=kn,=(k+V)n,
(Z+l)〃_m
2mn
VZAHG=ZCHE,ZAGH=ZACE=90°,
:.屈GHYCH,
.AHAG_kn_
"~EH~~CE~~m~Vl+T'
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),以及
等角對(duì)等邊等性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題,注意角度之間的相互轉(zhuǎn)換.
20、(1)詳見解析;(2)AC=9,CD=—.
2
【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定證明即可;
(2)利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.
【詳解】證明:(1)ZABE=ZACB,ZA=ZA,
(2)
.ABAE
-------=-------9
ACAB
:.AB2=AC>AE,
":AB=6,AE-4,
AB2
=9,
~AE
':AB//CD,
:.^CDE<^^ABE,
.CD_CE
??一9
ABAE
.fAB?CEAB^(AC-AE)6x515
AEAE42
【點(diǎn)睛】
此題考查相似三角形的判定和性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定證明△ABESAACB.
21、(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)兩組對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可;
(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=BE=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NEAC=NECA,推出AD〃CE即可解決
問題;
【詳解】(1)證明:;AC平分NDAB,
.,.ZDAC=ZCAB,
VZADC=ZACB=90°,
/.△ADC^AACB,
AAD:AC=AC:AB,
.,.AC2=AB?AD;
(2)證明:;E為AB的中點(diǎn),
.*.CE=BE=AE,
.".ZEAC=ZECA,
VZDAC=ZCAB,
.,.ZDAC=ZECA,
ACE//AD,
.,.△AFD^ACFE.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定,掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
22、(1)證明見解析;(2)Sms?=16n
【解析】試題分析:(1)連結(jié)。M、ON、由切線長(zhǎng)定理可得AM=AN,由垂徑定理可得AN=NC,從而
可得AB=AC.
(2)由垂徑定理可得AM=8M=4,由勾股定理得OK-0^2=4^2=16,代入圓環(huán)的面積公式求解即可.
(1)證明:連結(jié)OM、ON、OA
???AB、AC分別切小圓于點(diǎn)M、N.
.\AM=AN,OM±AB,ON±AC,
/.AM=BM,AN=NC,
/.AB=AC
(2)解:I?弦AB切與小圓。。相切于點(diǎn)M
.*.OM±AB
;.AM=BM=4
:.在RtAAOM中,OA?—OM2=AM2=16
...S畫環(huán)=7tOA2—kORf=JTAM2=16JT
23、y=-0.4x2+4
【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+4(。。0),代入(-2,2.4),即可求出a.
【詳解】解:設(shè)y=ax2+4(。聲0)
■:圖象經(jīng)過(-2,2.4)
:.4a+4=2.4
a=-0.4
/.表達(dá)式為y=-0.4X2+4
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型.
24、(1)見解析;(2)①AE=2Q,DE=4&_;②tanNO8C=客.
【分析】(1)①證明AASE之△OCE(S4S),得出"BEs/XoCE即可;
②連接AC,由自相似菱形的定義即可得出結(jié)論;
③由自相似菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
A3BEAE
(2)①由(1)③得得出一=——=—,求出4E=20,OE=4也即可;
DEAEAD
②過E作EM_LAD于M,過。作ON_LBC于N,則四邊形OMEN是矩形,得出ON=EM,DM=EN,NM=NN=
90°,設(shè)4M=x,則EN=DM=x+4,由勾股定理得出方程,解方程求出AM=1,EN=DM=5,由勾股定理得出ON
=EM=^AE2-AM2=V7>求出BN=7,再由三角函數(shù)定義即可得出答案.
【詳解】解:(1)①正方形是自相似菱形,是真命題;理由如下:
如圖3所示:
二?四邊形A3。是正方形,點(diǎn)E是5c的中點(diǎn),
:.AB=CD,BE=CE,N45E=NOCE=90°,
在AABE和AOCE中
AB=CD
<ZABE=ZDCE,
BE=CE
:.^ABE^/\DCE(SAS),
:.AABESADCE,
...正方形是自相似菱形,
故答案為:真命題;
圖3
②有一個(gè)內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形,是假命題;理由如下:
如圖4所示:
連接AC,
???四邊形AB。是菱形,
:.AB=BC=CD,AD//BC,AB//CD,
,:N8=60。,
.,.△ABC是等邊三角形,Z£>C£=120°,
,點(diǎn)E是的中點(diǎn),
:.AE1.BC,
:.NAE5=NO4E=90。,
:.只能△AEB與△ZME相似,
':AB//CD,
二只能N8=NAE〃,
若NAEZ)=N5=60°,則NCEO=180°-90°-60°=30°,
ZCZ)E=180°-120°-30°=30°,
NCED=NCDE,
:.CD=CE,不成立,
二有一個(gè)內(nèi)角為60。的菱形不是自相似菱形,
故答案為:假命題;
圖4
③若菱形ABC。是自相似菱形,ZABC=a(00<a<90°),E為BC中點(diǎn),
則在△ABE,△AEO,△E0C中,相似的三角形只有aABE與是真命題;理由如下:
,:ZABC=a(0°<a<90°),
.,.Z0900,且NABC+NC=180。,4ABE與△E0C不能相似,
同理△4EO與△EOC也不能相似,
???四邊形A5C。是菱形,
:.AD//BC,
:.ZAEB=ZDAE,
當(dāng)NAEO=N8時(shí),AABEsADEA,
,若菱形AB。是自相似菱形,NABC=a(0o〈aV90。),E為BC中點(diǎn),
則在△ABE,4AED,△E0C中,相似的三角形只有△A5E與△AE。,
故答案為:真命題;
(2)①?.,菱形A8CO是自相似菱形,NA8C是銳角,邊長(zhǎng)為4,E為8c中點(diǎn),
:.BE=2,AB=AD=4,
由(1)③得:AABE^ADEA,
?_A_B___B_E___A__E
??麗一靠一罰
29
:.AE=BEAD=2X4=89
:.AE=2叵,誨小竺=生還=40,
BE2
故答案為:A
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