人教B版數學必修第二冊講義平面向量及其線性運算

第六章?平面向量初步

DILIUZHANG

6.1平面向量及其線性運算

6.1.1向量的概念

考點學習目標核心素養(yǎng)

向量的概念理解向量的有關概念及向量的幾何表示數學抽象

共線向量、相等向量理解共線向量、相等向量的概念數學抽象

向量與幾何的關系正確區(qū)分向量平行與直線平行直觀想象

研讀?導學?嘗試.

?問題導學

預習教材P133—P136的內容，思考以下問題：

1.向量是如何定義的？怎樣表示向量？

2.向量的相關概念有哪些？

3.兩個向量能比較大小嗎？

fl新知初探

1.位移與向量

(1)向量的概念

一般地，像位移這樣既有大小又有方向的量稱為向量(也稱為矢量).

向量的大小也稱為向量的模(或長度)；只有大小的量稱為標量,長度、面積等都是標量.

(2)向量的表示方法

①始點為A終點為B的有向線段表示的向量，可以用符號簡記為通，此時向量施的模用曲表示.除

了用始點和終點的兩個大寫字母來表示向量外，還可用一個小寫字母來表示向量：在印刷時，通常用加粗

的斜體小寫字母如a,6，c等來表示向量；在書寫時，用帶箭頭的小寫字母如"，~b,7■等來表示向量.

②始點和終點相同的向量稱為零向量.零向量的模為3零向量的方向是不確定.模不為0的向量通

常稱為非零向量.模等于1的向量稱為單位向量.e是單位向量的充要條件是|el=l.

■名師點撥

向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段.向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了

起點和終點的線段.

2.向量的相等與平行

一般地，把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量.

如果兩個非零向量的方向相同或相反,則稱這兩個向量平行.因為零向量的方向不確定，因此通常規(guī)

定零向量與任意向量平行.兩個向量a和力平行，記作也.兩個向量平行也稱為兩個向量共線.

■名師點撥

共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；不等向量指大小凹方向均相同.

、自我檢測,

n判斷正誤(正確的打“，”，錯誤的打“x”)

(1)零向量沒有方向.()

(2)向量贏的長度和向量函的模相等.()

(3)單位向量都平行.()

(4)零向量與任意向量都平行.()

答案：(1)X(2)V(3)X(4)V

0在下列物理量：①質量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風速.其中可以看成是向量的有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量.

@關于零向量，下列說法中錯誤的是()

A.零向量是沒有方向的

B.零向量的長度為0

C.零向量只與零向量相等

D.零向量的方向是任意的

答案：A

畫如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，則圖中相等的向量是(填序號).

①國)與反■；②/與赤；/\

③公與彷；④45與次:.//0

答案：①④

解惑?探究?突破.

探究QL

向量的有關概念

fiSTT］判斷下列命題是否正確，請說明理由：

(1)若向量a與1同向,且|a|>|可，貝!la>b;

(2)若向量|a|=|臼，則Q與b的長度相等且方向相同或相反；

(3)對于任意向量間=田|,若a與力的方向相同，則。=加

(4)向量a與向量力平行，則向量a與b方向相同或相反.

【解】(1)不正確.因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大小.

(2)不正確.由間=|臼只能判斷兩向量的長度相等，不能確定它們的方向關系.

(3)正確.因為間=|例，且a與〃同向，由兩向量相等的條件，可得a=b.

(4)不正確.因為向量“與向量》若有一個是零向量，則其方向不定.

奧回園矗

(1)理而零向量和單位向量應注意的問題

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.

②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

(2)共線向量與平行向量

①平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別.

②共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同.

③平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

跟蹤訓練】

①若Q〃方，b//c,貝!ja〃c；

②若單位向量的起點相同，則終點相同；

③起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；

④向量初與比是共線向量，則A,B,C,。四點必在同一直線上.

其中正確命題的序號是.

解析：①錯誤.若。=0,則①不成立.

②錯誤.起點相同的單位向量，終點未必相同.

③正確.對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的.

④錯誤.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求兩個向量嬴，歷必須在同一

直線上.

答案：③

探究點囪

向量的表示及應用

麗(1)如圖，B,C是線段AQ的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出_______個

向量.

①萬1,使|5A|=4巾，點A在點0北偏東45°處；

②矗,使|B|=4,點8在點4正東處；

③辰?,使|的=6,點C在點8北偏東30°處.

【解】(1)可以寫出12個向量，分別是：AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,

DC,故填12.

(2)①由于點4在點O北偏東45°處，所以在坐標紙上點A距點。的橫向小方格數與縱向小方格數相

等.又|51|=4\△，小方格邊長為I,所以點A距點。的橫向小方格數與縱向小方格數都為4,于是點4

位置可以確定，畫出向量萬1如圖所示.

②由于點B在點A正東處，且|矗|=4,所以在坐標紙上點8距點A的橫向小方格數為4,縱向小方格

數為0,于是點B位置可以確定，畫出向量電如圖所示.

③由于點C在點8北偏東30°處，且［反］=6,依據勾股定理可得，在坐標紙上點C距點8的橫向小

方格數為3,縱向小方格數為35七5.2,于是點C位置可以確定，畫出向量反1如圖所示.

您H的四

(1)向量的兩種表示方法

①幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據向量的長度確定向量的終點.

②字母表示法：為了便于運算可用字母a,b,C表示，為了聯系平面幾何中的圖形性質，可用表示向

量的有向線段的起點與終點表示向量，如筋，CD,際等.

(2)兩種向量表示方法的作用

①用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運算，為用向量處理幾何問題打下了基礎.

②用字母表示法表示向量，便于向量的運算.

跟蹤訓練；某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點,然后改變方向按東北方向走了1即米到達

C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達。點.

(1)作出向量后，BC,CD-.

(2)求Q)的模.

解：(1)作出向量BC,CD,如圖所示：

(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中/BDC=90°,BC=10小米,

C￡>=10米，所以8。=10米.△A8O是直角三角形，其中/A8￡>=90°,AB=

5米，80=10米，所以AD=y/52+(10)2=5小(米),所以|由)|=5小米.

探究點?L

相等向量和共線向量

胸⑶如圖所示，。是正六邊形A8CQEF的中心，且。4=a,OB=b,OC=c.

(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)與a共線的向量有哪些？

(3)請---列出與a,方，c相等的向量.

【解】⑴與a的長度相等、方向相反的向量有應>,BC,AO,FE.

(2)與“共線的向量有序1,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AIJ.

(3)與a相等的向量有濟，DO,CB-,與b相等的向量有詼，EO,FA-,與c相等的向量有能，ED,AB.

1.［變問法］本例條件不變，試寫出與向量病相等的向量.

解：與向量前1相等的向量有而，AO,FE.

2.［變條件，變問法］在本例中，若⑷=1,求正六邊形的邊長.

解：由正六邊形性質知，△FOA為等邊三角形，所以邊長Af=|a|=l.

曲陶團四

相等向量與共線向量的探求方法

(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線.

(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注

意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量.

跟蹤訓練如圖所示，四邊形A8C。與ABOE是平行四邊形.

AB

DC

(1)找出與向量油共線的向量；

(2)找出與向量油相等的向量.

解：⑴依據圖形可知及7,ED,丘與贏方向相同，BA,CD,DE,匕定與矗方向相反，所以與向量施

共線的向量為函，CD,DC,ED,DE,EC,CE.

(2)由四邊形ABC。與ABOE是平行四邊形，知反，訪與矗長度相等且方向相同，所以與向量后相

等的向量為。C和ED

測評案，?彼短也驗證?反憒?達標.

1.下列結論正確的個數是()

①溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量;

②向量的模是一個正實數；

③向量。與分不共線，則a與8都是非零向量；

④若⑷習臼，則

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B.①錯誤.溫度是數量不是向量；②錯誤.零向量的模為0.③正確.因為零向量與任意向量

共線；④錯誤.向量不能比較大小.

2.設。是正方形ABC。的中心，則向量或），BO,0C,而是（）

A.相等的向量B.平行的向量

C.有相同起點的向量D.模相等的向量

解析：選D.由正方形的性質知|命|=|反）|=|次|=|方譏

3.在下列判斷中，正確的是（）

①長度為0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③單位向量的長度都相等；

④單位向量都是同方向向量；

⑤任意向量與零向量都共線.

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

解析：選D.由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故兩個零向量的方向是否相同不確定，

故不正確.顯然③⑤正確，④不正確，故選D.

4.在下列命題中：

①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行：③共線向量一定相等：④相等向量一定共線；⑤

長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量.

正確命題的序號是.

解析：由向量的相關概念可知④⑥正確.

答案：④⑥

,應用案，①⑥O?

礎達標］

1.F面幾個命題：

⑴若則⑷=向；

（2）若⑷=0,則a=0；

（3）若=則a=Z＞；

［同=出1，

（4）若向量a,〃滿足彳則a=6.

a//b,

其中正確命題的個數是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B.（l）正確.（2）錯誤.間=0,則a=0.（3）錯誤.a與b的方向不一定相同.（4）錯誤.a與b的

方向有可能相反.

2.在同一平面內，把所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是（）

A.單位圓B.一段弧

C.線段D.直線

解析：選A.平面內到定點距離等于定長的點的軌跡是圓.

3.如圖，在。。中，向量勵，0C,超是（）

A.有相同起點的向量

B.共線向量

C.模相等的向量

D.相等的向量

解析：選C.由圓的性質可知|仍|=|次|=而5.

4.以下命題：①⑷與血是否相等與a,b的方向無關；②兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量;

③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.其中，正確命題的個數是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選C.①正確；②錯誤；終點相同方向不一定相同或相反；③正確.

5.如圖所示，在正三角形A8C中，P、Q、R分別是A8、BC、4C的中點，則與人

向量而相等的向量是()/\

A.eq與^

B.eq與//、/\

C.eq與讀B°C

D.eq與詼

解析：選B.向量相等要求模相等，方向相同，因此薪與比都是和的相等的向量.

6.下列命題正確的是()

A.共線向量一定在同一條直線上

B.所有零向量都相等

C.向量。與6共線，6與c共線，則。與c共線

D.平行四邊形兩對邊所表示的向量一定是相等向量

解析：選B.A錯誤，兩個向量的方向相同或相反都是共線向量，而兩個向量所在直線平行時也稱它們

為共線向量，即共線向量不一定在同一條直線上，也可能在兩條平行直線上.B顯然正確.C錯誤，注意

到零向量與任意向量共線，若b=0,此結論不成立；若5W0,此結論成立.￡>錯誤，平行四邊形兩對邊

所表示的向量可能方向相反.

7.若。為任一非零向量，8為模為1的向量，下列各式：

①⑷〉網；②?！╞；③⑷>0；④步|=±1.其中正確的是(填序號).

解析：①錯誤.|a|=g時，⑷<|例；②錯誤.”與8的方向關系無法確定；③正確，④錯誤.|/>|=1.

答案：③

8.在?ABC。中，。是兩對角線AC,8。的交點，設點集S={A,B,C,D,0},向量集合7={而V|M,

N&S},且〃，N不重合，則集合7中元素的個數為.

解析：S={A,B,C,D,O],S中任意兩點連成的有向線段有：AB,AC,AD,AO;BA,BC,BD,

BO-,CA,CB,CD,CO-,DA,DB,DC,DO;OA,OB,OC,5b.由平行四邊形的性質可知（如圖所示）,

共有8對向量相等，即初=茂7,BA=CD,AD=BC,DA=CB,AO=OC,OA=CO,DO=OB,OD=BO,

又集合中元素具有互異性，所以集合7中的元素共有12個.

答案：12

9.0是正方形ABCD對角線的交點，四邊形O4E￡),OCF8都是正方形，在如圖

所示的向量中：

(1)分別找出與T),防相等的向量；

(2)找出與公共線的向量；

(3)找出與晶模相等的向量;

(4)向量超與歷是否相等？

解：⑴命=濟，BO^AE.

(2)與啟共線的向量有：BF,CO,DE.

(3)與歷模相等的向量有：CO,DO,BO,BF,CF,AE,DE.

(4)向量40與CO不相等，因為它們的方向不相同.

10.如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定

點A,8.點C為小正方形的頂點，且|而=小.

(1)畫出所有的向量公：

(2)求|反:|的最大值與最小值.

解：(1)畫出所有的向量啟，如圖所示.

(2)由(1)所畫的圖知，

①當點C位于點G或C2時,

|布|取得最小值由12+22=,:

②當點C位于點Q或。6時,

|比|取得最大值、42+52="1.

所以|的的最大值為佝，最小值為小.

[B能力提升]

11.四邊形4BCD,CEFG,CGHO都是全等的菱形，"E與CG相交于點則下

列關系不一定成立的是()

A.\AB\=\EF\

B.eq與庠/共線

C.eq與西共線

D.eq與EC共線

解析：選C.因為三個四邊形都是全等的菱形，所以港|=|函，AB//CD//FH,故矗與麗共線.又三

點￡>,C,E共線，所以虎與無共線，故A,B,D都正確.故選C.

12.若麗|=|屐)|且函=而，則四邊形ABC。的形狀為()

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

解析：選C.因為威=而，所以BA〃C。且BA=CO,所以四邊形ABC。為平行四邊形.

又因為樂物=|Q)|,

所以四邊形4BCD為菱形.

13.如圖,ZVIBC和△46。是在各邊的;處相交的兩個全等的等邊三角形，設AABC

的邊長為“，圖中列出了長度均為W的若干個向量，則

(1)與向量而相等的向量有;

(2)與向量而共線，且模