《數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用》幻燈片

數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用韓中庚編著數(shù)學(xué)建模教學(xué)片第十六章隨機性決策分析方法設(shè)計制作：主要內(nèi)容

第十六章隨機性決策分析方法32024年8月17日隨機性決策問題的基本概念；

效用函數(shù)的概念；

效用與風(fēng)險的關(guān)系；

隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)的關(guān)系；案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問題。

一、問題的引入－彩票與數(shù)學(xué)42024年8月17日

彩票中的數(shù)學(xué)知多少？你們了解彩票嗎？你們買過彩票嗎？你們了解彩票的規(guī)則嗎？No,Idon’tknow!請問幾個問題：（1）博彩有規(guī)律可尋嗎？（2）現(xiàn)行的各種彩票方案中獎的可能性有多大？（3）現(xiàn)行的彩票方案合理嗎？哪種方案“好”？（4）我們應(yīng)該如何看待彩票？中國的彩票業(yè)還有多大的發(fā)展空間？我想應(yīng)該有規(guī)律吧！啊！有這么懸乎嗎？52024年8月17日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學(xué)

“彩票中的數(shù)學(xué)”問題（CUMCM2002-B）近年來“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型?！皞鹘y(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：中獎等級10選6+1（6+1/10）基本號碼特別號碼說明一等獎abcdefg選7中（6+1）二等獎abcdef

選7中（6）三等獎abcdeX

Xbcdef

選7中（5）四等獎abcdXX

XbcdeX

XXcdef選7中（4）五等獎abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

選7中（3）六等獎abXXXX

XbcXXX

XXcdXX

XXXdeX

XXXXef

選7中（2）62024年8月17日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學(xué)

“彩票中的數(shù)學(xué)”問題（CUMCM2002-B）“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案和“36選6+1”的方案，中獎等級33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號碼特別號碼說明基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）72024年8月17日

一、問題的引入－彩票與數(shù)學(xué)“彩票中的數(shù)學(xué)”問題（CUMCM2002-B）要解決的問題：（1）根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設(shè)計一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。82024年8月17日

二.隨機性決策的基本概念

隨機性決策問題包含兩個方面：決策人所采取的行動方案(決策);問題的自然狀態(tài)(狀態(tài))；

基本特點：后果的不確定性和后果的效用。

后果的不確定性：由問題的隨機性，使問題會出現(xiàn)什么狀態(tài)的不確定性，決策人做出決策后會出現(xiàn)后果的不確定性。后果的效用：后果價值的量化。由后果的不確定性，對于不同決策后果的效用是不同的。92024年8月17日

1、主觀概率

二.隨機性決策的基本概念

隨機性決策問題后果的不確定性是由狀態(tài)的不確定性引起的，狀態(tài)的不確定性不能通過在相同條件下的大量重復(fù)試驗來確定其概率分布。實際中只能由決策人主觀地做出估計，稱其為主觀概率。

主觀概率遵循客觀概率應(yīng)該遵循的假設(shè)、公理、性質(zhì)等，客觀概率的所有邏輯推理方法均適用于主觀概率。

設(shè)定主觀概率的方法：主觀先驗分布法、無信息先驗分布法、極大熵先驗分布法和利用過去數(shù)據(jù)設(shè)定先驗分布法等。102024年8月17日

2、隨機性決策的效用函數(shù)

二.隨機性決策的基本概念112024年8月17日

2、隨機性決策的效用函數(shù)122024年8月17日效用函數(shù)的定義：

2、隨機性決策的效用函數(shù)132024年8月17日

2、隨機性決策的效用函數(shù)142024年8月17日

2、隨機性決策的效用函數(shù)152024年8月17日

實際中的決策問題對決策人的決策往往是效益和風(fēng)險并存。不同的決策人對待風(fēng)險的態(tài)度可分為厭惡型、中立型和喜好型。

3、效用與風(fēng)險的關(guān)系

二.隨機性決策的基本概念問題：決策人對待這一風(fēng)險的態(tài)度是什么呢？162024年8月17日

3、效用與風(fēng)險的關(guān)系厭惡型:

決策人認(rèn)為冒此風(fēng)險的期望盈利只等價于比它低的不冒風(fēng)險的盈利。喜好型:

對待風(fēng)險的態(tài)度與厭惡型相反的。中立型：介于二者之間的，即決策人認(rèn)為這和不冒任何風(fēng)險的另一行為盈利a元等價。這三種不同的態(tài)度可以反映在效用函數(shù)上就是凹函數(shù)，線性函數(shù)和凸函數(shù)。172024年8月17日

3、效用與風(fēng)險的關(guān)系182024年8月17日

實際中，有的效用函數(shù)曲線呈S型，即在后果的范圍內(nèi)，決策人會從厭惡風(fēng)險變?yōu)橄埠蔑L(fēng)險。

3、效用與風(fēng)險的關(guān)系

(1)反映了決策人的財產(chǎn)從小到大，對待風(fēng)險的態(tài)度從喜好到厭惡的改變。(2)反映了決策人的財產(chǎn)從損失到盈利的增加，對待風(fēng)險的態(tài)度從喜好到厭惡的變化。192024年8月17日

4、損失函數(shù)與風(fēng)險函數(shù)的關(guān)系

二.隨機性決策的基本概念202024年8月17日4、損失函數(shù)與風(fēng)險函數(shù)的關(guān)系212024年8月17日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

二.隨機性決策的基本概念

隨機優(yōu)勢法:在有價證券問題的研究中常用的一種在一定風(fēng)險的情況下確定決策的方法。隨機優(yōu)勢法常用的效用函數(shù)有三種：222024年8月17日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

（１）遞增的效用函數(shù)

232024年8月17日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

（１）遞增的效用函數(shù)

這種類型的效用函數(shù)僅能反映出財富與風(fēng)險的關(guān)系，但不能反映出決策人對待風(fēng)險的態(tài)度。242024年8月17日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

（２）遞增的凹效用函數(shù)

252024年8月17日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

（２）遞增的凹效用函數(shù)

事實上，可以證明：

（3）遞減的厭惡風(fēng)險的效用函數(shù)262024年8月17日

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

272024年8月17日

（3）遞減的厭惡風(fēng)險的效用函數(shù)

5、隨機優(yōu)勢與效用函數(shù)

282024年8月17日1、問題的提出三、案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問題要解決的問題：（1）根據(jù)所給方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設(shè)計一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。292024年8月17日

２、問題的分析三、案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問題

評價一個方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和彩民兩方面的利益。事實上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。問題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購買彩票？

302024年8月17日

問題涉及到一個方案的設(shè)置使彩民獲獎的可能性有多大、獎金額有多少、中獎面怎樣、各獎項的設(shè)置是否合理等因素，這些都對彩民的購買彩票的吸引力有產(chǎn)生一定的影響，在這里可用彩民的心理曲線來描述一個方案對彩民的吸引力。另外，一個方案對彩民的影響程度可能與區(qū)域有關(guān)，即與彩民所在地區(qū)的經(jīng)濟狀況以及收入和消費水平有關(guān)。為此，要考查一個方案的合理性問題，需要綜合考慮以上這些因素的影響，這是建立模型的關(guān)鍵所在。

2、問題的分析312024年8月17日

３、模型的建立與求解三、案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問題問題（一）：根據(jù)所給方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（1）彩民獲各項獎的概率322024年8月17日

3、模型的建立與求解（2）綜合評價各種方案的合理性332024年8月17日

3、模型的建立與求解342024年8月17日

綜合（1)和（2）式，利用Matlab編程計算出29種方案的合理性指標(biāo)值及高項獎的期望值，排在前三位的如下表：指標(biāo)方案

排序97/304.009×10-71.086×1062067914101