人教A版必修二6.4.3余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例（二） 課堂、課后練習(xí)題(含答案)

人教A版必修二6.4.3余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例（二）課堂練習(xí)題1.在△ABC中，若c＝2acosB，則△ABC的形狀一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形2.在△ABC中，若滿足sin2A＝sin2B＋eq\r(3)sinB·sinC＋sin2C，則A等于()A.30° B.60° C.120° D.150°3.在△ABC中，已知C＝60°，b＝4eq\r(3)，則BC邊上的高等于()A.eq\r(3) B.2eq\r(3) C.4eq\r(3) D.64.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若c＝2，C＝eq\f(π,3)，且a＋b＝3，則△ABC的面積為()A.eq\f(13\r(3),12)B.eq\f(5\r(3),4)C.eq\f(5,12) D.eq\f(5\r(3),12)5.在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，則b＝______.6.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，則△ABC的面積為________.7.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積為________．8.如圖，在△ABC中，D是AC邊上的點，且AB＝AD＝eq\f(\r(3),2)BD，BC＝2BD，則sinC的值是________．在△ABC中，若c·cosB＝b·cosC，cosA＝eq\f(2,3)，求sinB的值.10.如圖，四邊形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，求該四邊形ABCD的面積.11.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值.答案：1.C2.D2.D3.D4.45.eq\f(15\r(3),4)6.6eq\r(3)7.eq\f(\r(6),6)9.解由c·cosB＝b·cosC，結(jié)合正弦定理，得sinCcosB＝sinBcosC，故sin(B－C)＝0，∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.∵cosA＝eq\f(2,3)，∴由余弦定理得eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2,3)，即3a2＝2b2，再由余弦定理，得cosB＝eq\f(\r(6),6)，故sinB＝eq\f(\r(30),6).10.解連接BD(圖略)，在△BCD中，BC＝CD＝2，C＝120°，則∠DBC＝30°，所以BD＝2eq\r(3)，∠ABD＝90°，所以S四邊形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5eq\r(3).11.解(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又因為a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9)，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(2),9)，由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2\r(2),3).因為a＝c，所以A為銳角，所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3).所以sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(10\r(2),27).人教A版必修二6.4.3余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例（二）課后練習(xí)題一、選擇題1.在△ABC中，若c＝2acosB，則△ABC的形狀一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形2.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))3.在△ABC中，若滿足sin2A＝sin2B＋eq\r(3)sinB·sinC＋sin2C，則A等于()A.30° B.60° C.120° D.150°4.已知三角形面積為eq\f(1,4)，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為()A.1 B.2 C.eq\f(1,2) D.45.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝()A.10 B.9 C.8 D.5二、填空題6.在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.7.在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b＝2a，B＝A＋60°，則A＝________.8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，則a的值為________.三、解答題9.如圖，在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長.10.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，角C是鈍角，且sinB＝eq\f(b,2c).(1)求角C的值；(2)若b＝2，△ABC的面積為eq\r(3)，求c的值.能力提升11.已知銳角△ABC中，A＝2B，AC＝2，則BC的范圍為()A.(2eq\r(2)，2eq\r(3)) B.(eq\r(2)，eq\r(3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2))) D.[2eq\r(2)，2eq\r(3)]12.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面積為eq\r(2)，求cosA與a的值.創(chuàng)新猜想13.(多選題)在△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，則△ABC的面積是()A.2eq\r(3) B.eq\r(3) C.3eq\r(3) D.4eq\r(3)14.(多填題)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2＝ac且cosB＝eq\f(3,4).(1)則eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)的值為________；(2)設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，則a＋c的值為________.答案：1.解析∵c＝2acosB，由正弦定理得，2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，∴A＝B.∴△ABC是等腰三角形.答案C2.解析設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則由已知及正弦定理得a2≤b2＋c2－bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，則cosA≥eq\f(1,2).∵0<A<π，∴0<A≤eq\f(π,3).故選C.答案C3.解析設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∵sin2A＝sin2B＋eq\r(3)sinB·sinC＋sin2C，∴由正弦定理得a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(\r(3),2)，又∵0°<A<180°，∴A＝150°.答案D4.解析設(shè)三角形外接圓半徑為R，則由πR2＝π，得R＝1.由三角形面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(abc,4)＝eq\f(1,4)，∴abc＝1.答案A5.解析化簡23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝eq\f(1,5).由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，代入數(shù)據(jù)，得b＝5.答案D6.解析∵cosC＝eq\f(1,3)，C∈(0，π)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)7.解析∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化簡得sinA＝eq\f(\r(3),3)cosA，∴tanA＝eq\f(\r(3),3)，又∵0°<A<180°，∴A＝30°.答案30°8.解析因為cosA＝－eq\f(1,4)，0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(15),4).由3eq\r(15)＝eq\f(1,2)bcsinA得bc＝24.又因為b－c＝2，所以b＝6，c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16＋12＝64.故a＝8.答案89.解(1)在△ADC中，因為cos∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49.所以AC＝7.10.解(1)由sinB＝eq\f(b,2c)得2csinB＝b，由正弦定理得2sinCsinB＝sinB，所以sinB(2sinC－1)＝0，因為sinB≠0，所以sinC＝eq\f(1,2)，因為C是鈍角，所以C＝eq\f(5π,6).(2)由S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)a＝eq\r(3)，得a＝2eq\r(3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋4－2×2eq\r(3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝28，即c的值為2eq\r(7).11.解析由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(2,sinB)，所以eq\f(BC,2sinBcosB)＝eq\f(2,sinB)，即BC＝4cosB，又△ABC是銳角三角形，所以90°<A＋B<180°且A<90°，所以30°<B<45°，所以eq\f(\r(2),2)<cosB<eq\f(\r(3),2)，所以2eq\r(2)<BC<2eq\r(3)，故選A.答案A12.解由三角形面積公式，得eq\f(1,2)×3×1×sinA＝eq\r(2)，故sinA＝eq\f(2\r(2),3).因為sin2A＋cos2A＝1，所以cosA＝±eq\r(1－sin2A)＝±eq\r(1－\f(8,9))＝±eq\f(1,3).(1)當(dāng)cosA＝eq\f(1,3)時，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×eq\f(1,3)＝8，所以a＝2eq\r(2).(2)當(dāng)cosA＝－eq\f(1,3)時，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝12，所以a＝2eq\r(3).綜上，a的值為2eq\r(2)或2eq\r(3).13.解析在△ABC中，因為B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，所以由eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，得sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(\r(3),2)，又因為AB·sin30°<AC<AB，所以C有兩解，所以C＝60°或C＝120°.由三角形內(nèi)角和定理得A＝90°或A