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人教A版必修二9.2.4總體離散程度的估計教學(xué)導(dǎo)學(xué)案【基本知識】1.一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(xi-eq\o(x,\s\up6(-)))2=eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xeq\o\al(2,i)-eq\o(x,\s\up6(-))2,標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(xi-\o(x,\s\up6(-)))2).2.總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差:如果總體中所有個體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體的平均數(shù)為eq\o(Y,\s\up6(-)),則稱S2=eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i=1))(Yi-eq\o(Y,\s\up6(-)))2為總體方差,S=eq\r(S2)為總體標(biāo)準(zhǔn)差.(2)總體方差的加權(quán)形式:如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i=1))fi(Yi-eq\o(Y,\s\up6(-)))2.(3)總體方差的加權(quán)形式:如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻率為pi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i=1))pi(Yi-eq\o(Y,\s\up6(-)))2.3.樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果一個樣本中個體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(-)),則稱s2=eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(yi-eq\o(y,\s\up6(-)))2為樣本方差,s=eq\r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.4.標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.*5.分層隨機抽樣的方差設(shè)樣本容量為n,平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(-)),其中兩層的個體數(shù)量分別為n1,n2,兩層的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(-))1,eq\o(x,\s\up6(-))2,方差分別為seq\o\al(2,1),seq\o\al(2,2),則這個樣本的方差為s2=eq\f(n1,n)[seq\o\al(2,1)+(eq\o(x,\s\up6(-))1-eq\o(x,\s\up6(-)))2]+eq\f(n2,n)[seq\o\al(2,2)+(eq\o(x,\s\up6(-))2-eq\o(x,\s\up6(-)))2].
【課后練習(xí)】1.判斷正誤(1)計算分層隨機抽樣的均值與方差時,必須已知各層的權(quán)重.()(2)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等,沒有波動變化,則標(biāo)準(zhǔn)差為0.()(3)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.()2.下列選項中,能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是()A.平均數(shù) B.中位數(shù)C.方差 D.眾數(shù)3、對于一組數(shù)據(jù)xi(i=1,2,3,…,n),如果將它們改變?yōu)閤i+C(i=1,2,3,…,n),其中C≠0,則下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)與方差均不變 B.平均數(shù)變,方差保持不變C.平均數(shù)不變,方差變 D.平均數(shù)與方差均發(fā)生變化4、甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目的選拔賽,四人的平均成績和方差如下表所示:甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\o(x,\s\up6(-))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽,最佳人選是()A.甲 B.乙C.丙 D.丁5、一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以2,再減去80,得一組新數(shù)據(jù),若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.2,方差為4.4,則原來的數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A.40.6,1.1B.48.8,4.4C.81.2,44.4D.78.8,75.66、在高一期中考試中,甲、乙兩個班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表:班級人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲20eq\o(x,\s\up6(-))甲2乙30eq\o(x,\s\up6(-))乙3其中eq\o(x,\s\up6(-))甲=eq\o(x,\s\up6(-))乙,則兩個班數(shù)學(xué)成績的方差為()A.3 B.2C.2.6 D.2.57、甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則()A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差8、已知某7個數(shù)平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4,這8個數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(-)),方差為s2,則()A.eq\o(x,\s\up6(-))=4,s2<2 B.eq\o(x,\s\up6(-))=4,sa2>2C.eq\o(x,\s\up6(-))>4,s2<2 D.eq\o(x,\s\up6(-))>4,s2>29如圖,樣本A和B分別取自兩個不同的總體,它們的樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為SA和SB,則()A.eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B,SA>SB B.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B,SA>SBC.eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B,SA<SB D.eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B,SA<SB10、已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數(shù)據(jù)的方差是________.11、若40個數(shù)據(jù)的平方和為56,平均數(shù)為,則這組數(shù)據(jù)的方差為________12、抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績(單位:環(huán)),結(jié)果如下:運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________.13、在一次科技知識競賽中,兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計知識,進(jìn)一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣,并說明理由.
【參考答案】1、(1)√(2)√(3)×2、選C由方差的定義,知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度.3、選B根據(jù)平均數(shù)和方差的公式,知平均數(shù)增加C,方差不變4、選C由題表中數(shù)據(jù)可知,丙的平均環(huán)數(shù)最高,且方差最小,說明技術(shù)穩(wěn)定,且成績好.5、選A根據(jù)平均數(shù)和方差的公式,知新數(shù)據(jù)平均數(shù)是舊數(shù)據(jù)乘以2,再減去80,結(jié)果是1.2,所以原數(shù)據(jù)平均數(shù)為40.6,新數(shù)據(jù)方差是舊數(shù)據(jù)方差的四倍,結(jié)果是4.4,所醫(yī)院數(shù)據(jù)方差為1.16、選C由題意可知兩個班的數(shù)學(xué)成績平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(-))=eq\o(x,\s\up6(-))甲=eq\o(x,\s\up6(-))乙,則兩個班數(shù)學(xué)成績的方差為s2=eq\f(20,20+30)[2+(eq\o(x,\s\up6(-))甲-eq\o(x,\s\up6(-)))2]+eq\f(30,20+30)[3+(eq\o(x,\s\up6(-))乙-eq\o(x,\s\up6(-)))2]=eq\f(20,20+30)×2+eq\f(30,20+30)×3=2.6.7、由題意可知,甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6,A錯;甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5,B錯;甲、乙的成績的方差分別為eq\f(1,5)×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,eq\f(1,5)×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=eq\f(12,5),C對;甲、乙的成績的極差均為4,D錯.8、選A∵某7個數(shù)的平均數(shù)為4,∴這7個數(shù)的和為4×7=28,∵加入一個新數(shù)據(jù)4,∴eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(28+4,8)=4.又∵這7個數(shù)的方差為2,且加入一個新數(shù)據(jù)4,∴這8個數(shù)方差s2=eq\f(7×2+4-42,8)=eq\f(7,4)<2,故選A9、選B由圖可知A組的6個數(shù)為2.5,10,5,7.5,2.5,10,B組的6個數(shù)為15,10,12.5,10,12.5,10,所以eq\x\to(x)A=eq\f(2.5+10+5+7.5+2.5+10,6)=eq\f(37.5,6),eq\x\to(x)B=eq\f(15+10+12.5+10+12.5+10,6)=eq\f(70,6).顯然eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)B,又由圖形可知,B組的數(shù)據(jù)分布比A均勻,變化幅度不大,故B組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定,方差較小,從而標(biāo)準(zhǔn)差較小,所以SA>SB.10、根據(jù)公式eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(xi-eq\o(x,\s\up6(-)))2求得方差為0.12511、根據(jù)公式eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xeq\o\al(2,i)-eq\o(x,\s\up6(-))2求得方差為0.912、∵eq\o(x,\s\up6(-))甲=eq\f(1,5)(87+91+90+89+93)=90,eq\o(x,\s\up6(-))乙=eq\f(1,5)(89+90+91+88+92)=90,∴seq\o\al(2,甲)=eq\f(1,5)[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,seq\o\al(2,乙)=eq\f(1,5)[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2.答案:213、(1)甲組成績的眾數(shù)為90分,乙組成績的眾數(shù)為70分,從成績的眾數(shù)比較看,甲組成績好些.(2)eq\o(x,\s\up6(-))甲=eq\f(1,2+5+10+13+14+6)(50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)=eq\f(1,50)×4000=80(分),eq\o(x,\s\up6(-))乙=eq\f(1,4+4+16+2+12+12)(50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)=eq\f(1,50)×4000=80(分).seq\o\al(2,甲)=eq\f(1,2+5+10+13+14+6)[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172,seq\o\al(2,乙)=eq\f(1,4+4+16+2+12+12)[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+
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